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闭环频率特性

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-频率特性与稳态误差闭环频率特性与稳态误差闭环传递函数M

-频率特性与稳态误差闭环频率特性与稳态误差闭环传递函数M

GH(jw)平面上的Nyquist曲线GH绕原点旋转的 单位幅值点就是(-1,0)点所需的旋转相角
反映了系统与临界稳定系统在稳定特征点的相角差异。 增大 后系统将临界稳定。Nyquist 图对应地绕原点旋转
到与实轴－1＋j0点重合所需的相移量。
1
截止频率 c： G ( j c ) H ( j c ) 1
第五章 频域分析法
6
5－4 对数幅频特性与相位裕度

I型系统与II型系统相位裕度与c至1或2的距离有关
K (1 j / 1 ) G( j ) ( j )2
K G( j ) j (1 j / 2 )
2
II型系统
(c ) 180 arctg(c / 1 ) 180 (c ) arctg(c / 1 )

h 2 / 1
12
卢p119-120
结论
开环对数幅频中频段-20dB/dec的斜率穿过0dB线，系统满足稳定要求 中频段长度h ； h 到定质后， max不变 低频段斜率 ，v ，系统类型高，系统稳态指标高

高频段斜率 ，有利于抑制高频干扰，一般为-40dB/dec以上
c>1 >450 c<1 <450
1
I型系统 (c ) 90 arctg(c / 2 )
2 > c >450 2 < c <450 2 / c , ,则系统趋于不稳定
180 (c ) arctg( 2 / c )
c/1, ,则系统趋于不稳定
二阶系统 幅频特性以-20dB/dec的斜率穿过0dB线，>450 ， 1 、2 离c愈远， 幅频特性以-40dB/dec的斜率穿过0dB线, 1 、2 离c愈远，

自动控制原理_第5章_3

自动控制原理_第5章_3
5.3 控制系统的频率特性
在绘制各个典型环节频率特性的基础上， 可以绘制控制系统的频率特性。
5.3.1 控制系统开环频率特性的Nyquist图
一个控制系统的开环传递函数可以写成典型
环节的连乘积形式。
1
举例 一个开环传递函数为
K ( s 1) G( s) 2 2 s(T1s 1)(T2 s 2 T2 s 1)
27
2
对于非单位反馈系统， 在其开环频率特性幅值
G( j)H ( j) 很大的频段内， 闭环频率特性
1 ( j ) H ( j )
即近似等于反馈环节频率特性的倒数。
对于开环放大倍数 K 很大的闭环系统，在低频段
具有这个特点。
28
3
对于非单位反馈系统， 一般来说， 其开环
频率特性的高频段幅值很小。在这一频段内， 闭环
1
当 0 时，放大环节、惯性环节、振荡环节、
一阶微分环节、二阶微分环节的幅角均为 00 。
。 只有积分环节， 0 时，相角为 900 当
如果开环传递函数中含有 v 个积分环节，开环频率 特性的Nyquist图在 0 的起始处幅角为 v 900 。


6
2
当 0 时， 放大环节的幅值为 K ，
21
[例5-5] 控制系统的开环传递函数为
10( s 1) G( s) s(2.5s 1)(0.04s 2 0.24s 1)
绘制系统的渐近开环对数幅频特性和相频特性。
22
100 Magnitude (dB)
Asymptotic Bode Diagram
-20dB/dec
50
20
频率特性近似等于系统前向通道的频率特性。 一般来说，闭环系统在高频段内显示这一性质。 在工程实践中， 当开环幅频特性

闭环、开环频率特性与阶跃响应的关系

闭环、开环频率特性与阶跃响应的关系

(s)
1 s
H
2
(s)
=

2
(
s)
1 s
1(s) = H1(s)s = H2 (ns)ns = 2 (ns)
3. 频带宽度 b 与快速性的关系（一般情况）
r1(t) = 1(t)
h1 (t )
1(s)
r2 (t) = 1(t)
h2 (t)
2 (s)
h(t)
h2
h1
M ()
0.707M (0)
20log G 0
c
高频段
G( j) 1 ( j) = G( j) G( j)
1+ G(j)
闭环幅频特性近似等于开环幅频特性，因此，开环幅频特性的高频段近似反映 了系统对高频输入的抑制作用，高频段的分贝值越低，系统抵抗高频干扰的能力越强。
20log G
-20dB/dec
-40dB/dec
t→
s→0
当 M (0) = 1 时，稳态误差 ess = 0 当 M (0) 1 时，稳态误差 ess 0
M ()
2. 闭环幅频峰值 M m 与平稳性的关系
一阶系统 (s) = 1
M () = 1
Ts +1
(T)2 +1
幅频特性曲线无峰值，阶跃响应无超调，平稳性好。
二阶系统
(s)
越低，系统抵抗高频干扰的能力越强。
本章小结 • 频率特性的定义、物理意义和图示方法； • 典型环节的频率特性； • 系统的开环频率特性（开环幅相特性曲线和对数频率特性曲线）； • 频率稳定判据（Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据）； • 稳定裕度的概念及计算方法； • 闭环频率特性与系统阶跃响应的关系； • 开环频率特性与系统阶跃响应的关系。

用MATLAB分析闭环系统的频率特性

用MATLAB分析闭环系统的频率特性

用MATLAB分析闭环系统的频率特性闭环系统的频率特性指的是系统在不同频率下的响应特性。

在MATLAB中，可以通过不同的函数和工具箱来分析闭环系统的频率特性。

下面将介绍一些常用的方法。

1. 传递函数分析法（Transfer Function Analysis Method）：传递函数描述了系统的输入和输出之间的关系。

在MATLAB中，可以使用tf函数创建传递函数对象，并利用bode函数绘制系统的频率响应曲线。

例如，假设有一个传递函数G(s) = 1/(s^2 + s + 1)，可以用以下代码创建传递函数对象并绘制其频率响应曲线：```matlabG = tf([1], [1, 1, 1]);bode(G);```运行上述代码，将会显示出频率响应曲线，并且可以通过该函数的增益曲线和相位曲线来分析系统在不同频率下的响应特性。

2. 状态空间分析法（State-Space Analysis Method）：状态空间模型描述了系统的状态变量之间的关系。

在MATLAB中，可以使用ss函数创建状态空间模型，并利用bode函数绘制系统的频率响应曲线。

例如，假设有一个状态空间模型A、B、C和D分别为：```matlabA=[01;-1-1];B=[0;1];C=[10];D=0;sys = ss(A, B, C, D);bode(sys);```运行上述代码，将会显示出频率响应曲线，并且可以通过该函数的增益曲线和相位曲线来分析系统在不同频率下的响应特性。

3. 伯德图法（Bode Plot Method）：Bode图可以直观地表示系统的频率响应曲线。

在MATLAB中，可以使用bode函数绘制系统的Bode图。

例如，假设有一个传递函数G(s) =1/(s^2 + s + 1)，可以用以下代码绘制其Bode图：```matlabG = tf([1], [1, 1, 1]);bode(G);```运行上述代码，将会显示出Bode图，并且可以通过该图来分析系统在不同频率下的增益和相位特性。

5-5闭环系统的频域性能指标

5-5闭环系统的频域性能指标

10
典型二阶系统估算时域指标方法： 典型二阶系统估算时域指标方法： （1）确定相角裕度 γ ） （2）根据 γ 查P22,图5-42对应的 ） 图 对应的 （3）由 ）
ζ
t ζ 计算得到 σ % ，s
12:54
11
ϕ (ω ) = −1800 + γ (ω )
0
开环频率特性表示为： 开环频率特性表示为： G ( jω ) = A(ω )e j[ −180 +γ (ω )] = A(ω )[− cos γ (ω ) − j sin γ (ω )] 闭环幅频特性： 闭环幅频特性：
M (ω ) = G ( jω ) = 1 + G ( jω ) A(ω ) [1 + A (ω ) − 2 A(ω ) cos γ (ω )]
ωc
= arctan[2ζ ( 4ζ 4 + 1 − 2ζ 2 ) ]
−
1 2
高阶系统： 高阶系统： 开环频域指标与时域指标不存在解析关系，常用 软件计算。 开环频域指标与时域指标不存在解析关系，常用MATLAB软件计算。 软件计算 或用以下近似估算： 或用以下近似估算：
σ = 0.16 + 0.4(
5-5 闭环系统的频域性能指标 闭环系统的频域性能指标
闭环频率特性性能指标常用的有下列两项： 闭环频率特性性能指标常用的有下列两项： 常用的有下列两项 1.谐振峰值 M r：系统闭环频率特性幅值的最大值。 谐振峰值 系统闭环频率特性幅值的最大值。 闭环频率特性幅值的最大值 2.系统带宽和带宽频率ω b 。 系统带宽和带宽频率
2 1 2
= [
1 1 － cos γ (ω )]2＋sin 2 γ (ω ) A(ω )
M (ω )

闭环频率特性的基本特点

闭环频率特性的基本特点

闭环频率特性的基本特点1．在低频段Φ(jω)≈1(或Φ(jω)≈1/H(jω))通常在低频段其幅值A(ω)>>1 。

于是对于单位反馈系统，由式(5.28) 可得在低频段其闭环频率特性为上式表明：在闭环频率特性的低频段，由于这时开环幅值远大于1，故单位反馈系统的闭环频率特性Φ(jω)≈1。

一般来说：一个系统的开环频率特性保持高增益的频率范围越宽，其(闭环)输出复现输入信号就越好。

这就是所谓的“高增益原则”。

对于非单位反馈系统，由式(5.26)可得在低频段其闭环频率特性为这说明： 在低频段由于 A(ω)=|G(jω)H(jω)|>>1，故非单位反馈系统的闭环频率特性近似等于反馈通道频率特性的倒数。

2. 在高频段Φ(jω) ≈G(jω)系统的开环频率特性在高频段 |G k (jω)|<< 1 ，于是有上式表明：在高频段，由于开环频率特性的幅值很小，故反馈控制系统的闭环频率特性与前向通道的频率特性几乎重合。

3. 在中频段闭环频率特性中频段的形状对系统暂态特性的影响很大，通常用两组特征量：带宽频率ωb 和谐振峰值M r 、谐振频率ωr ，来加以刻画。

(1) 带宽频率与带宽闭环幅频特性的幅值下降到零频幅值的 0.707( 即 0.707M(0))、或闭环对数幅频特性的增益下降到零频增益值以下 3 分贝时，其对应的频率ωb 称为带宽频率 ( 或系统的截止角频率 )；闭环对数幅频特性的增益不低于 -3 分贝时所对应的频率范围，即 0 ≤ω≤ωb ，称为系统的带宽 ( 或通频带 ) 。

带宽与系统暂态响应速度之间的关系控制系统的带宽与暂态响应的速度具有密切的关系。

一般来说：系统的带宽越大，暂态响应的速度就越快；而且对于低价系统，它们之间还具有确定的函数关系。

对于一阶系统，带宽越大，即带宽频率ωb越高( 系统极点p=-1/T=- ωb离虚轴越远) ，相应的时间常数T 便越小，系统响应的速度就越快。

第六章-5-相角裕度和幅值裕度以及闭环频率特性指标

对于稳定系统
1/h < 1,
h>1
LmG(jω) ωΦ 幅值裕度, Lm (+) ) h(
Lmh Lm G ( j x ) 0
1/h -1 ωx
-90°
Φ γ(+) ω ωΦ G(jω)
-135 135° -180° -225 225° -270°
ωx 相位裕度, γ(+)
ω→
G(jω)的极坐标图 G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 9
1 h 1.25 0.8
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0



A
j
0
例6-20 的极坐标图
浙江大学控制科学与工程学系
15
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
（三）Bode图法 画出系统的Bode图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交 点频率 ，求出对应的相频特性与－ 求出对应的相频特性与 1800线的相移量，即为相角裕度 线的相移量 为相角裕度
G(jω)
ω
-225° -270°
G(jω)的极坐标图
G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 6 浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于闭环稳定系统，如果系统的开环相频特性再滞后 相角裕度γ 度，则系统将处于临界稳定状态. 滞后该角度将使得极坐标图穿越–1 1点 对于最小相位系统来说，相角裕度为正，系统稳定，负的相角裕 度表示系统是不稳定的. 相角裕度与系统阻尼比 有关，一般来讲，相角裕度在 有关 一般来讲 相角裕度在45°到 到 60°之间的系统响应是能令人满意的。

闭环系统的频率特性


G( j) P() jQ()
( j) M ( j)e
( j )
j
( )
式中 M(ω)和α(ω)分别为闭环系统的幅频和相频特性，由式
可得
G ( j ) 1 G ( j ) G P jQ M ( ) 1 G 1 P jQ
将方程两边平方，经变换得
设 即
N tan ()
Q Q N tantan1 ( ) tan1 ( ) P 1 P
依三角函数公式 由式
tan tan tan( ) 1 tan tan G ( jw) ( j ) 1 G ( jw)
Q Q Q N P 1 P 2 Q Q P P Q2 1 ( ) P 1 P
得
整理得
1 2 1 2 N 2 1 ( P ) (Q ) 2 2N 4N 2
令N为常数，上述方程表示半径 r
j (-0.5，
1 )的圆。 2N
N 1 2N
，Hale Waihona Puke 圆心为无论N等于多少，P＝Q＝0和 P＝－1，Q ＝0时，方程
G( j) P() jQ()
总成立，故每个圆都过原点和(－1，j0)点。下图是将α作为参变量的等N圆图。图
上α ＝60°和α ＝－120°，对应同一等N圆 图，这是因为tan60°＝tan(－120 °)
的原因。
利用等M图和等N图，由开环幅相曲线与等M圆和等N圆交点，可得相应频率 的M值和N
如下图所示，a和b是画在等M圆图和等N圆图上的开环幅相曲线，c是求得的闭 环频率特性曲线。 不难看出，ω＝ω1时，幅相曲线与M ＝1.1的圆相交，故闭环频率特性的幅值 为1.1。图a上，M ＝2的圆与幅相曲线相切，对应频率是ω4，因此ω＝ω4 时，闭 环频率特性幅值达到极大值2，与开环幅相曲线相切，且有最小半径的圆的M值，即 为闭环幅频特性的谐振峰值。

闭环系统的频率特性10.


② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率w。
tp 2 wd wn 1z

d%e

z
1z 2
100%
4 zw ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 zw n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
1 c( ) lim c(t ) lim s ( s ) lim (w ) M (0) t s 0 s w 0
系统的稳态误差为 当n =0时
essr 1 M (0)
essr 1 M (0) 1 1+ K
K M ( 0) 1 1+ K
K越大稳态误差越小，M(0)越接近于1
② 频率响应的高频区(远高于幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统输 出响应的起始部分；
③ 频率响应的中频区(靠近幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统的稳
定性和瞬态性能。 闭环频率特性的Mp、wp和wb 开环频率特性的wc、g、wg和Kg(Lg)
都是中频特性
（四）典型二阶系统的频域指标与瞬态性能指标的关系
2 w n 典型二阶系统开环传递函数为： Gk ( s) s( s + 2zw n ) 2 wn 开环频率特性为： Gk ( jw ) ( jw )( jw + 2zw n )
。即g 180°+ wc)，wc满足Awc)1
(2)闭环频率特性性能指标 设单位反馈系统的开环传递函数和开环频率特性为 m
G ( s)
K s
(1 + s)
i i 1 n j 1 j
(1 + T s)

闭环频率特性

180 G ( j c ) c 180 90 tg 2 n -1 c 90 - tg 2 n -1 2 n tg c tg -1 2 4 2 1 2 2
1
90 - tg -1 tg 1
1

有了γ 与ξ 之一一对应的关系，近似 ξ =0.01γ ，且ξ ～δ ﹪有一一对应的关系。
在已知M（ω ），α （ω ）前提下， 可得到|GB（jω ）|，∠GB（jω ）。
§5—7 系统频域分析
一、频域指标：
1、零频值：M（0）或A（0） 频率为0时，闭环频率特性的幅频值，零频值 M（0）与系统型别的关系。
k 1 v 0 M (0) lim G ( j ) 1 k 1 v0
1 M r 1.8 p 0.16 0.4(M r 1) 多阶：估算公式： k ts c k 2 1.5( M r -1) 2.5( M r -1) 1 M r 1.8
且
Mr 1 sin
（35°≤γ ≤90°）
三、由闭环幅频特性曲线估算时域指标
d 2 1 g ( ) 2(1 2 )( 2 2 ) 2(2 )2 0 dt n n n n
2 2 n (1 2 2 ) 2 2 g ( ) 4 (1 ) 2 n 2
2 2 g ( ) (1 2 ) (2 ) n n
ω M α
ω1
ω2
ωr Mr
2、尼柯尔斯图（以φ 为横坐标，L(ω )为纵坐标）
将等M圆和等N圆转换成对数幅值和相角坐标图上， 形成尼柯尔斯图。 P187图 5—59
绘入对数幅—相图，对应有：
ω M(db) α （ω ） ω1 ω2 ……
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( ) j (
)
M ()e j ()
闭环系统的幅频特性与相频特性为 M () ( j)
() ( j) 闭环系统对数幅频特性为 20lg M () 20lg ( j)
闭环幅频特性如下图示，其主要的频域指标有：
M ()
Mr
M (0) 1 0.707
0
r
b
▪ 闭环幅频特性的零频值M(0)
零频率振幅值M(0)即ω为零时闭环幅频特性值。它反应了 系统的稳态精度，M(0)越接近于1，系统的精度越高。M(0)≠1 时，则表示系统有稳态误差。
▪ 二阶系统
闭环系统为二阶闭环系统的闭环频率特性为
(
j )
C( R(
j ) j )
(1
2 n2
1 )
j2 n
M ( )e j ( )
闭环幅频特性、相频特性为
M ()
1
(1
2 n2
)2
(2
n
)2
2
(
)
arctg
1
n 2
n2
0 0.707 时，产生谐振
令
dM
d
0
得谐振频率r
n
1 2 2
第七节 闭环频率特性
闭环系统的时域性能，可以根据闭环频率特性来估算。 对一、二阶系统，时域指标与闭环频域指标有着确定的关系， 对于高阶系统，二者则有近似的对应关系。
一、闭环频率特性主要性能指标
闭环和开环频率特性之间的关系为：
R(s)
-
G(s)
C(s)
( j) G( j) 1 G( j)
1
A()e j A()e
▪ 高频段
高频段指开环幅相特性曲线在中频段以后的区段 10c 这部分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
在高频段 G( j) 1 由于高频段远离 c ,且幅值很低，因此对动态特性影响不大。
由于噪声的频率较控制信号的频率高得多，所以高频区段 的幅值越低，抗干扰的能力越强。
通过以上分析，可以看出系统开环对数频率特性表征了系 统的性能。对于最小相位系统，系统的性能完全可以由开环对 数幅频特性反映出来。希望的系统开环对数幅频特性归纳起来 不外乎以下几个方面：
(1)如果要求具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特 性的低频段应有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率。为保证系 统的稳态精度，低频段应有较高的增益。
(2)开环对数幅频特性以-20dB/dec斜率穿过0dB线，且具有 一定的中频宽度，这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环 系统具有一定的平稳性。
将 r 代入M(ω)表达式，得谐振峰值 M r
2
1
1 2
时域指标与二阶系统参数 ,n 有下面的关系：
% e / 12 100%
tr
d
n
1 2
tp
d
n
1 2
ts
3
n
( 0.05)
给出闭环频域指标 Mr ,r 和b 中的任何两个，可以通过解 出 ,n 计算时间域指标；同样，给出时间域指标中的任何 两个，可以确定闭环频域指标。
则，开环传递函数为
G(s)
K s2
c2
s2
对单位反馈系统，其闭环传递函数为
(s) G(s) c2 / s2 c2 1 G(s) 1 c2 / s2 s2 c2
相位裕度为0，系统处于临界稳定状态，动态过程持续振荡。
（3）通过截止频率c 的斜率为-60dB/dec 系统很难稳定
小结：如果系统通过 c 点的频率更陡，闭环系统将更难以稳定。 因此，中频段应该有较宽的[-20]斜率线，该斜线越宽， 系统的平稳性越好，c 值应该满足系统快速性的要求。
(s) G(s) c / s 1 1 G(s) 1c / s s 1 c
相位裕度约为90，幅值裕度为无穷大，超调量为零，
调节时间 ts 3 / c
c
ts
所以，系统具良好的动态品质。
（2）通过截止频率c 的斜率为-40dB/dec
假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-40dB/dec
Mr
M (0)
0 1 低
r 中频
L()
0.707M (0)
1
b 2 高
低
c 中频
2
高
▪ 低频段
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目， 通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的区段， 低频段决定了系统的稳态精度。
L( ) v0
20db/dec(v 1)
40db/dec(v 2)
0
K
K
▪ 中频段
(3)具有尽可能大的剪切频率 c ，以提高闭环系统的快速性。 (4)为了提高系统抗高频干扰的能力，开环对数幅频特性高频 段应有较大的斜率。
▪ 相对谐振峰值Mr和谐振频率ωr
相对谐振峰值Mr是指闭环幅频特性的最大值Mmax与零频 振幅值M(0)之比。
相对谐振峰值Mr表征了系统的相对稳定性，Mr越大， 则系统的稳定性越差。一般选择Mr＝1.1～1.5，系统可 以获得满意的瞬态响应特性。
出现最大值Mmax时的频率叫做谐振频率ωr。
▪ 闭环频带宽度ωb
ts
K c
K 2 1.5(M r 1) 2.5(M r 1)2
(1 M r 1.8)
（3）γ与Mr的关系
对于二阶系统，根据γ的定义可推导出
tg 1
2
2 2 4 4 1
对于高阶系统，可用下式近似计算
1
M r sin
开环对数频率特性与时域指标
开环对数幅频特性“三频段”概念
M ()
闭环幅频特性M(ω)上，对应幅值等于0.707M(0)的频率ωb称为 系统的带宽频率。0≤ω≤ ωb为系统的频宽。
b 大，表明系统能通过的信号频率很宽，反应速度快； b 小，表明系统只能通过低频信号，反应速度慢，但抑制 输入端高频噪声能力强。 b 的确定要综合地考虑跟踪输入信号和抑制噪声的能力。
二、一阶系统和二阶系统频域指标与时域指标
由
3
ts n
得
bts
3
1 2 2
2 4 2 4 4
▪ 高阶系统
对于高阶系统，难以找出频域指标与时域指标之间的确切关 系。但如果高阶系统在一对共轭闭环主导极点，可借用二阶系统 公式计算。
（1）谐振峰值Mr与的 %关系
0.16 0.4(Mr 1) (1 Mr 1.8)
（2）Mr、ωb与ts的关系
1、Mr与 %的关系
Mr
2
1
1 2
1 11/ Mr2
2
% exp
Mr
M
2 r
1
100%
Mr
M
2 r
1
2、Mr、ωb与ts的关系
由闭环带宽的定义可知
M (b )
n2
0.707
(n2 b2 )2 (2 nb )2
解出ωb与ωn 、 的关系
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
中频段指开环幅相特性曲线在截止频率c附近的区段。 下面通过两个典型情况分析中频段特性对闭环系统动态 特性的影响。
（1）通过截止频率c 的斜率为-20dB/dec
假设系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-20dB/dec 则，开环传递函数为
G(s) K css 对单 Nhomakorabea反馈系统，其闭环传递函数为
▪ 一阶系统
闭环系统为惯性环节的频率特性为 ( j) C( j) 1
R( j) Tj 1
闭环系统幅频特性、相频特性为
M () 1 T 2 2 1
() arctanT
闭环频域指标为
M (0) 1
Mr 1
阶跃响应时域指标为
r 0
b 1/T
ts
3T
3
b
(
0.05)
%0
tr 2.20T 2.20 / b