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第四章 多自由度系统振动(a)解析

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振动力学第四章

振动力学第四章
因此，只有两个坐标独立。
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年1，月1可9日选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
k3
0
k3

k3
2020年1月19日 12
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
m1
k3
P3(t) k4
m3
解： 系统的质量矩阵为：
m1 0 0
[m] 0
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r

j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2

m1 0
0
m2

位移向量为：
2020年1月19日 《振动力学》
{x}

结构动力学之多自由度体系的振动问题

结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1

0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

第四章多自由度系统

第四章多自由度系统

j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1

lr
mij
)
u jr usr

lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T

1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U

第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动

第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动


1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2

1 3
cos1t

1 3
cos2t

1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2

C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1

1 3
cos1t

2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l

2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2

多自由度振动系统分析

多自由度振动系统分析

多自由度振动系统分析引言：振动是物体在受到外力作用后，由于其固有特性而产生的周期性运动。

在实际生活和工程中，我们经常会遇到各种各样的振动现象，如桥梁的振动、机械系统的振动等。

而多自由度振动系统是一种复杂的振动系统，其分析和研究对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。

一、多自由度振动系统的基本概念多自由度振动系统是指由多个质点组成的振动系统，每个质点都可以在空间中自由运动。

在这种系统中，每个质点都有其自身的质量、刚度和阻尼等特性。

多自由度振动系统的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，其中包括了每个质点的加速度、速度和位移等信息。

二、多自由度振动系统的分析方法1. 模态分析模态分析是一种常用的多自由度振动系统分析方法。

它通过求解系统的特征值和特征向量，得到系统的固有频率和振型。

在模态分析中，我们可以利用拉格朗日方程对系统进行建模，并通过数学方法求解得到系统的模态参数。

模态分析可以帮助我们理解系统的固有特性，如共振频率、振动模态等。

2. 频域分析频域分析是一种基于傅里叶变换的多自由度振动系统分析方法。

通过将系统的运动方程转化为频域中的复数形式，我们可以得到系统在不同频率下的响应。

频域分析可以帮助我们研究系统在不同频率下的振动特性，如频率响应函数、频谱等。

3. 时域分析时域分析是一种基于时间的多自由度振动系统分析方法。

它通过求解系统的运动方程，得到系统在不同时间下的响应。

时域分析可以帮助我们研究系统的动态特性，如振动幅值、振动周期等。

三、多自由度振动系统的应用多自由度振动系统的分析和研究在工程领域有着广泛的应用。

例如，在桥梁工程中，我们需要对桥梁的振动特性进行分析，以确保桥梁在自然灾害或车流等外力作用下的安全性。

在机械工程中，我们需要对复杂机械系统的振动进行分析，以减少系统的振动噪声和提高系统的稳定性。

此外，多自由度振动系统的分析方法还可以应用于建筑结构、航空航天等领域。

结论：多自由度振动系统的分析对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。

机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)

机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
(4.19)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0

船体振动智慧树知到答案章节测试2023年华中科技大学

船体振动智慧树知到答案章节测试2023年华中科技大学

绪论单元测试1.要产生振动，需要（）。

A:时变作用B:空气C:弹性D:质量答案:ACD2.属于振动的是（）。

A:敲鼓B:钟摆C:心脏搏动D:说话时的声带答案:ABCD3.已知船体结构的动态特性，计算在输入作用下的输出。

属于（）。

A:系统识别B:响应分析C:环境预测D:系统设计答案:B4.在已知外界激励下设计合理的船体系统参数，使系统的动态响应或输出满足要求。

属于（）。

A:系统识别B:响应分析C:系统设计D:环境预测答案:C5.已知系统的输入和输出，求出船体系统的参数。

属于（）。

A:系统识别B:系统设计C:环境预测D:响应分析答案:A6.在已知系统的响应和系统参数的条件下，预测系统的输入。

属于（）。

A:系统识别B:系统设计C:环境预测D:响应分析答案:C第一章测试1.在下图所示的结构中小球质量为m，梁的质量忽略不计，梁的长度为L，截面惯性矩为I，材料的弹性模量为E。

若要使小球的自振频率ω增大，可以（）。

A:增大IB:减小EC:增大mD:增大L答案:A2.如图a所示，梁的质量忽略不计，小球的自振频率；若在小球处添加刚度为k的弹簧，如图b所示，则系统的自振频率ω1为：（）。

A:B:C:D:答案:D3.单自由度系统自由振动的幅值仅取决于系统的（）。

A:固有频率B:质量C:初速度和初位移D:刚度答案:C4.已知某单自由度系统质量为m，刚度为k，阻尼系数为c，阻尼因子为ξ。

若令系统刚度为4k，则下列说法正确的是（）。

A:新的阻尼因子为1/2 ξB:新的阻尼因子为1/4 ξC:新的阻尼系数为1/2 cD:新的阻尼系数为1/4 c答案:A5.单自由度系统只有当阻尼比时，才会产生振动现象。

（）A:ξ<1B:ξ≤1C:ξ>1D:ξ=1答案:A6.已知结构的自振周期T=0.3s，阻尼比ξ=0.04，质量m在y0=3mm，v0=0的初始条件下开始振动，则至少经过个周期后，振幅可以衰减到0.1mm以下。

（）A:14B:13C:12D:11答案:A7.速度导纳的单位是（）。

多自由度系统振动理论及应用

多自由度系统振动理论及应用
多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:

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４.１
多自由度系统的振动微分方程

或更一般地写成

该式可简单地写成

式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状

3. 与 他 人 交 往 平 淡

一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状







任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。

(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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机械振动学ppt课件

机械振动学ppt课件
第一章 绪 论
2 机械振动的研究对象和分类
2.1 研究对象——“振动系统”
振动概念（vibration）——物体经过它的静 平衡位置所做的往复运动。或者说某一物 理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变 动。 振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、 交流电、电磁波、潮水的涨落等。
第一章 绪 论
• 系统的定义：
n
k ; f n m 2
;T1 f
应用：利用“等时的 性特 ”点，座钟。
思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？
机械振动学
第2章 单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法
在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义 ，除
用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静 变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。
力矩、扭转阻尼系数和角速度 的单位分别为Nm、 Nms / rad 和rad/s
第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成
等效弹簧刚度
斜向布置的弹簧
n
并联弹簧 k e k i
i 1
传动系统的等效刚度
等效阻尼系数 并联系统
n
ce ci
i 1
传动系统的等效阻尼
kxe Fx/xkco2s
2.1 离散系统的组成
平动： Fs k x
转动： Ts kt
力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和m 。
力矩、扭转刚度和角位移的单 位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位分 别为N、N s/ m和m/s。

第四章多自由度系统

第四章多自由度系统

kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )

机械振动基础--第四章--多自由度系统PPT课件

机械振动基础--第四章--多自由度系统PPT课件

.
5
例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。
解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA,yB,y1,y2}T
各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。
.
6
(1) 求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力{f}=???
x2 ) c3 x2
[M ]{x} [C]{x} [K]{x} {F(t)}
.
1
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 3) 用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。
.
2
§4.1 运动微分方程
kij
2U xix j
2U x jxi
k ji
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度. 矩阵均是对称矩阵。 9
针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为：
ET
M 2
y A
2
yB
2
I 2
yB
L
y A
2
1 2
m1 y12
1 2
在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、 各自由度上所受到的外力关系为：
{ f } [K]{x}
——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状 态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施 加的外力就是kij。
.
4
系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。

多自由度系统振动

多自由度系统振动
有限元方法需要建立系统的离散化模型，并选择合适的单元类型和边界 条件，计算精度和计算效率取决于离散化的的传递矩阵来描述系统动态特性
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系 统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参 数和边界条件的准确性，对于复 杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值 计算方法，通过将系统的振动表示为一 系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能 够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和 模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的 非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究 多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控 制和智能控制技术，提高系统 振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用 于实际工程领域，解决重大装 备和结构的振动问题，提高其 稳定性和安全性。
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感谢您的观看
02
它涉及到多个振动子之间的相互 作用和耦合，其动力学行为比单 自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、 精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这 不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词

第四章(第1节)两自由度系统的振动介绍

第四章(第1节)两自由度系统的振动介绍


4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
◆同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动形态，
但这并不意味着耦合振动体只能做同步运动。耦合振动 体的运动形态是多种多样的。 让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在 袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两只脚做的是 位移相同的移动。但土著人在走路时，左脚与右脚所做 的却是位移相反的移动。如果将袋鼠的跳跃看成同步化 的结果的话，那么土著人的走路则是反同步化的结果。
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
由系数矩阵组成的常数矩阵 M和K分别称为质量矩阵和 刚度矩阵，向量x称为位移向量。
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 设
k1 k2 k11 , k2 k12 k21 , k2 k3 k22 (4.1-3)
则方程(4.1-1)可以写成
m1 x 1 k11x1 k12 x2 0 m2 x 2 k21x1 k22 x2 0
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
四只脚的动物： 兔子在奔跑的时候，两只前脚 移动的位移相同，但两只后脚移动 的位移却和前脚的相反。 长颈鹿，是同侧的前后两只脚 一起移动。左前脚和左后脚一起动， 右前脚和右后脚一起动。 马的走路方式有些特别，做位 移相同移动的是对角线上的两只脚， 即左前脚和右后脚一起动，而右前 脚则和左后脚一起动。

分析力学第四章

分析力学第四章

设
是系统的平衡位置，在
附近展开L ，则
注：a(q)展开到零阶小量
略去 m: 等效质量 k: 等效倔强系数
代入拉格朗日方程，得
二、自由振动方程的解
振动方程
解 积分常数：A—振幅； —初相位
由初始条件确定。
保守系能量守恒
解的复数形式（指数形式）
运用指数解的进行运算： 如果 那么
能量
？
条件：线性运算才可以先用指数解运算，最后再取实部。
2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。
二、阻尼振动方程的解
阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使
机械运动停止(无外力时)。 1.振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数； 2.办法：在运动方程中加进阻力项： 振子的弹力 受力 分析： 周期性策动力 介质阻尼 运动方程
求通解 齐次方程：
而这种组合一定是符合分子所属的对称性群的一个对称类的。
画出一个分子可能的结构，就能够根据这个结构求算出分子的 可以预测分子在红外光谱和拉曼光谱中的特征吸收峰。 /wiki/Normal_mode
简正坐标，通过考查分子的简正坐标可以了解分子内部运动的能量，
1 s 1 s 2 L m x k x x 2 1 2 1
一般性思路： 拉格朗日方程 m x
k x 0
1
s
( 1, 2, s)
设 x Re[C eit ] ( 1, 2, s) 代入运动方程得：
能量
三、受迫振动方程的解
系统处在随时间变化的外场中：
在平衡位置附近展开外场： 忽略
运动方程
运动方程
则运动方程降阶为 齐次方程 的通解
(1)

振动理论习题答案汇总

振动理论习题答案汇总

《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。

机械振动第四章

机械振动第四章

第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。

两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。

两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。

在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。

受迫简谐振动的频率与激励频率相同。

两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。

如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。

用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。

4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。

三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。

这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。

图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。

在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。

取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。

方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。

因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。

方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。

通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。

第四章多自由度系统(21-24)

第四章多自由度系统(21-24)

(1) 影响系数法
}和系统的质量 x 设各个自由度的加速度为{ 矩阵为[M]，则各个自由度上所受到的外力 为： } { f } [ M ]{ x
定义质量矩阵[M]的元素Mij：如果系统的第j个 自由度沿其坐标正方向有一个单位加速度，其 余各个自由度的加速度保持为零，为保持系统 这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其 中在第i个自由度上施加的外力就是Mij。 mij是使系统仅在第j个坐标上产生单元加速度 而相应于第i个坐标上所需施加的力
0 x 若
静力加载 K x P(t )
假定有这样一组外力，使系统只在第j个坐标上产生单位位移， 而在其他方向都不产生位移，即产生如下的单位向量：
x x1 0
0 1 0 0 T
x j1
xj
x j1 xn T
{P(t )} [ K ]{x} [ K ]{e j } k11 k12 k k 21 22 ki1 ki 2 k k n 1 n2 k1n 0 k1 j k2 j k2n 0 k 2j kij kin 1 kij k nj k nn 0 k nj k1 j
可见所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K的第j列，其中 Kij(i=1,…,n)是在第i个坐标上施加的力，Kij是使系统仅在第j 个坐标上产生单元位移而相应于第i个坐标上所需施加的力
m11 m 21 m n1
m12 m22 mn 2
1 k11 m1n x k 2 m2 n x 21 mnn x n k n1

多自由度系统振动(a)

多自由度系统振动(a)

P2(t)
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
2006年5月4日 《振动力学》 7
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
建立坐标：
x1 , x 2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 受力分析：
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
4. 1 运动微分方程
2006年5月4日 《振动力学》
6
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不记摩擦和其他形式的阻尼
P1(t) k1
m1
x1 k2
《振动力学》
18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
⎡0 ⎤ ⎢M ⎥ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡ m11 ... m1 j ... m1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ m1 j ⎤ ⎢ P t ⎥ ⎢ m ... m ... m ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ m ⎥ 21 2j 2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2j⎥ 2 ( )⎥ ⎢ ⎢ = P (t ) = 1 = ⎢M ⎥ ⎢.......... .......... . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎥ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ m nj ⎥ ⎣ Pn (t ) ⎦ ⎢ ⎣ m n1 ... m nj ... m nn ⎥ ⎦ ⎢M ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦
《振动力学》
16
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
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k 2 (1 2 ) I11 k 33
2020年10月30日 <<振动力学>>
M 2 (t)
I 22
11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
k 33
M 1 (t )
I11
M 2 (t)
I 22
建立方程： 矩阵形式：
II2112
k11 k 2 ( 2
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程 • 刚度矩阵和质量矩阵 • 位移方程和柔度矩阵 • 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 • 耦合与坐标变换
2020年10月30日
6
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k2 k2 k3
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
例2：
I1
0
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
可统一表示为： M X K X P(t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向
量
量
P2(t)
k2
k3
m2
m1 0
0
m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
k 1
M 1 (t )
k 2
M 2 (t)
I1
k 3 I2
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k 3
1
2
M 1 (t ) M 2 (t)
车、人、车轮的质量分别考 虑，并考虑各自的弹性和阻尼。
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮之间的相互耦合，模 型较为精确.
m人
k1
c1
m车
k2
c2
mm轮
k3
c3
k2
c2
m轮
k3
c3
2020年10月30日
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
4
<<振动力学>>
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2020年10月30日
的相互影响。
2
<<振动力学>>
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
k2 建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各 自的弹性和阻尼。
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；
缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。
2020年10月30日 <<振动力学>>
c2
3
多自由度系统振动
建模方法3：
P1(t)
P2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
建立方程：
m1x1
m2 x2
mm12xx12kk12x(1x1
k2 (x1 x2 )
x2 ) P1(t) k3x3 P2 (t
)
力量纲
矩阵形式：
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
• 作用力方程
几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
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7
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
n 个自由度系统:
M X K X P(t) X [x1, x2 ,..., xn ]T Rn
广义坐标列向量
m11...m1 j ...m1n
M
m21.
k 2
(1 2 ) 1 ) k33
M1 (t) M 2 (t)
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
坐标间的耦合项
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1 m1
M 2 (t)
I1
I2
试建立系统的运动微分方程
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标： 受力分析：
设某一瞬时： 角位移 1, 2
k 11
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
k 2 (2 1)
角加速度 1 ,2
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1：
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
m2
建立坐标： x1、x2 的原点分别取在 m1、m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 x1、x2
受力分析：
加速度 x1、x2
P1(t)
P2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
2020年10月30日 <<振动力学>>
m1x1
m2 x2
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
.
.m2
j
.
..m2
n
.....................
mn1...mnj ...mnn
nn
质量矩阵第 j 列
2020年10月30日 <<振动力学>>
k11...k1 j ...k1n
K
k21...k2 j ...k2n
第四章
多自由度系统振动
1
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。 m
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。 优点：模型简单；
缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
坐标间的耦合项
2020年10月30日
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<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 I1, I2
轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )