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第四章单自由度系统振动

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结构动力学4

结构动力学4
瞬态反应和稳态反应 稳态反应
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 ：
p0 1 u (t ) sin t 2 k 1 ( / n )
u0—稳态反应的振幅：
p0 1 u0 k 1 ( / n ) 2
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
p0 u st k
u0 1 Rd 2 u st 1 ( / n )
(1) 当
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
(2) 当
时， ( Rd ) max
1 2 1 2 1 。 2
, (
) 峰值 1 2 2 。 n
(3) 当 / n 1 （共振时） ， Rd (4) 当 / n
2
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
uc (t ) e
nt
( A cos Dt B sin Dt )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) C sin t D cost
p0 2 n u n u u sin t m
通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
u c (t ) A cos n t B sin n t
n k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
ku p0 sin t mu
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) C sin t D cost
待定系数A、B由初值条件确定
A u (0) (0) p0 / n u B 2 n k 1 ( / n )

单自由度系统自由振动

单自由度系统自由振动

取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴顺弹簧 变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置 时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微 分方程为
mx mg k ( st x)
mx kx
k 固有圆频率 令 ： 0 m 无阻尼自由振动微分方程 2018年9 月4日
周期 T 2
0
; 则
1 0 2 2f T
f 称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hz
0 称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2秒内振动
2018年9月4日 《振动力学》
的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。
8
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决 于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于 无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统 作非往复的衰减运动。
2018年9月4日 《振动力学》
3
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
2018年9月4日 《振动力学》
c1 A sin ,
c2 A cos
x t A sin 0 t
2018年9月4日 《振动力学》
无阻尼自由振动是简谐振动.
7
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
1.2 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
0 ( t T ) 0t 2
振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由

02单自由度系统的振动

02单自由度系统的振动
ka2 2 0 ml
ka 2 ( o ) mgl ml 2
k o a a mgl 0
l
mg
A
知识要点: 线弹性 恢复力作用下单自由度无阻尼自由振动微分方程是： 2 n x x0
(1) 振动方程的解为:
nt x A sin
如果振系中质量块的重力与弹簧静伸长力产生力矢平 衡或力矩平衡时, 以静平衡位置作为坐标原点而建立 的振动方程中不会出现重力项.
2 n 2. 方程 x x 0 的解
用特征根法 方程的解
2 2 n 0
in
A1
2 A12 A2
x A1 cos n t A2 si n n t
16/96
注意: 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用(如重力)，该常 力只影响静平衡点o的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频 率、振幅和相位等。所以, 以静平衡点为坐标原点的振动方程是标 准方程.
k
k
a
O
a
st
O
O
l

mg A l

k A
mg
x k x0 m
A
x
ka2 2 0 ml
(3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数 . (如: m、 k、J 等 )。 此外, 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力
只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动
频率、振幅和相位等。
10/96
例1. 一弹簧振子的物块重量为P, 已知在静力平衡时, 弹簧的伸 长为st . 试写出系统的振动方程.
2 x0
2 n
2 0 x

单自由度系统的自由振动

单自由度系统的自由振动

固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动

单自由度系统振动理论及应用

单自由度系统振动理论及应用


这是单自由度系统最简单的振动方程,接下来将研究它的解.
上一页
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２.２
无阻尼单自由度系统的自由振动
所谓无阻尼自由振动,是指振动系统受到初始扰动(激励)以后即不再受外
力作用,也不受阻尼的影响所做的振动.
图２-３所示为单自由度系统的自由振动,设振动体的质量为m,它所受的
重力为W ,弹簧刚度为k.弹簧挂上质量块后的静变形为δj,此时系统处于
、弹簧和阻尼器三个基本元件,在质量块上作用有随时间变化的外力.质
量块、弹簧和阻尼器分别描述系统的惯性、弹性和耗能.一个单自由度系
统模型是对实际振动系统的高度抽象和概括.例如,升降机吊篮、列车的
一节车厢、高楼的一层、弹性体上的一点在某一方向振动都可简化为该
模型.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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２.１
单自由度系统振动微分方程

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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
5. 2. 2静态显示电路的结构及原理






在单片机应用系统中，LED显示器常用的显示方式有静态显示和动态显
示两种。
静态显示是指LED显示器显示某一字符时，相应段的发光二极管处于恒
定导通或截止状态，直至需要显示下一个字符为止。静态显示又分为并
上一页 返回
[任务5.4]步进电机控制
5. 4. 1概述

步进电机是机电控制中一种常用的执行机构，它的用途是将电脉冲转化
为角位移，通俗地说:当步进驱动器接收到一个脉冲信号，它就驱动步进
字形代码比如，对于共阴LED显示器，当公共阴极接地(为低电平)，而
阳极dp, g, f, e, d, c, b, a各段分别为01110110时，显示器显示“H”

同济大学机械振动机械振动分析讲义-单自由度系统振动分析-上课

同济大学机械振动机械振动分析讲义-单自由度系统振动分析-上课

3. 典型单自由度振动系统：任何形式的单自由度振动系统都可以转 化到的一种标准形式。
2013-09-24
单自由度振动分析
4
2
单自由度振动系统
2013-09-24
单自由度振动分析
5
基本要素
典型单自由度振动系统包括四个基本要素：
• 等效质量 • 等效刚度 • 等效阻尼
me ke
m
k
ce
• 等效外界激振力
无阻尼自由振动形式
单自由度振动分析
23
固有振动特性
x (t )
系统固有(圆)频率
n
k m
kx 0 m x
2013-09-24
2 n x x0
单自由度振动分析 24
12
系统固有频率的求法
系统固有频率
n
k m k mg / g m m
n 1 2 2
2
me m2 m1
2 l2 l12
单自由度振动分析
15
分析实例
k1 l3 l1
P x 1
等效刚度（定义法）：
M Pl
1
k 2l1 k1
l3 l3 0 l1
l32 l12
x
l3 l3 l1 l1
k2 x k2
k e P k 2 k1
等效刚度（能量法）：
2013-09-24 单自由度振动分析 9
等效质量的确定
1. 等效质量 me的确定方法 • 定义法：使系统在选定的独立坐标上产生单位加速度时，而需要在该坐标上施加
的作用力，称为系统对应于该坐标的等效质量。
• 能量法：按照选定的独立坐标将系统的动能综合归纳为 T

机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法


瑞利法从单自由度振动系统固有频率计算的能量方法出 发，对于多自由度振动系统，在作无阻尼自由振动时，
Tmax Umax 响应为同步振动。系统的动能可表示为：
T 1 X&T MX& 2
系统的势能
U 1 X T KX 2
设 X {ui}sin nit
带入得最大动能
Tmax

2 ni 2
2k 2m k
=0
k k 22m
即： (2k 2m)(k 22m) k 2=0
可得固有频率
12
=0.2192
k m

22
=2.2808
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
{ui }T
M {ui}
最大势能
U max

1 2
{ui
}T
K{ui }
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
带入公式 Tmax Umax 得：
2 ni

{ui}T K{ui} {ui}T M{ui}
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前
K{u2} M {u2}
=
{1
1} k
1}
m 0
k

1
0 1 2m 1

5k 3m

1.667
k m
与精确解相比，一阶固有频率的相对计算误差 1.35%
二阶固有频率的相对计算误差 -26.92%

第四章单自由度系统振动分解PPT课件

建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律
能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法：
直线振动：
x(t)
Fs (t)
F (t )
Fd (t)
x(t)
m
F (t )
&& m x (t) F (t) Fs (t) Fd (t)
单自由度线性系统的微分方程：
&& & m x (t) cx(t) kx(t) F (t)
)
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t) Asin(nt )
（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条
件。
A
x0 2
v0
n
2
tg 1 x0n
v0
➢ 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.2 振动系统模型及其简化
4.2.1 单自由度系统的基本模型
振动系统的力学模型： 质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。
单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，
这种系统称为单自由度系统.
0
x
k mt
m
系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的 计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的 复杂程度也越高。
动
➢系统的输出
振动
简谐振动 周期性振动 瞬态振动 随机振动
振动量为 时间的正 弦或余弦
函数
振动量 为时间的 周期函数
振动量为 振动量为 时间的非 时间的随 周期函数 机函数

单自由度系统振动


齿轮减（变）速器：轴——齿轮的扭转振动 汽轮机、发电机：转子不平衡引起的扭转振动
讨论：请列举其他单自由度振动的实际例子（工程中、家用设备、相关课程中涉及到的）
1.2 单自由度系统振动
单自由度振动系统类型：



1.无阻尼自由振动 2.有阻尼自由振动 3.有阻尼受迫振动 4.MATLAB数值仿真
动拉力与静拉力之比为动力放大系数
Fmax 64268 3.2134 G 20000
结论：当紧急制动时，起重机钢丝绳中的动拉力是正常提升时的3.2134倍
2.有阻尼自由振动解
单自由度有阻尼系统振动方程为：
cx kx 0 m x
其通解为： x e


n
n t
通解为： x Ae nt sin( 1 2 n t )

ξ>1时，称为强阻尼状态
2 1 ) n t
通解为： x c1e (

c2 e (
2 1 ) n t
ξ=1时，称为临界阻尼状态
n
V0 ( 2 1)n x0 c1 2n 2 1 V0 ( 2 1)n x0 c2 2n 2 1
1.无阻尼自由振动解
单自由度无阻尼系统振动方程为：
kx 0 m x 方程的通解为： x a sin n t b cos n t
k k 令 n 则固有频率为 n m m x 0 V0 若振动的初始条件： xt 0 x0 x
2
则其解为： x sin n t x0 cos n t
钢丝绳长度为 l 16m ，钢丝绳弹性模量 E 1.78105 MPa

机械振动基础-单自由度系统振动


u(t ) C1u1 (t ) C2u2 (t ) C1 , C2
也是方程(1)的解。
为任意常数。
问题：
u(t ) C1u1 (t ) C2u2 (t ) 是齐次方程的通解么
?
机械振动基础
2014年7月14日11时7分
9
航空工程系
补充知识：二阶常系数线性微分方程的解
定理2（通解的结构定理）： 若 u1 (t ), u2 (t ) 是齐次方程(1)的 两个线性无关的特解，则
(mx) x (kx) x 0
由于 x 0，则有：
mx kx 0
此处，综合应用了达朗 贝尔原理和虚位移原理
2014年7月14日11时7分
22
航空工程系
机械振动基础
1.2.0 用其它方法建立系统的运动微分方程
3.能量守恒定律 物体在力场中运动，作用于物体的力所做 的功只和力作用点的初始位置好终了位置 有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力 场称为势力场（保守力场）。在势力场中 国，物体受到的力称为有势力（保守力） 。如：重力、弹性力、万有引力
2014年7月14日11时7分
5
航空工程系
机械振动基础
补充知识：微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,
或
,y )0
( n)
y
(n)
f ( x, y, y,
2014年7月14日11时7分
21
航空工程系
机械振动基础
1.2.0 用其它方法建立系统的运动微分方程 如图所示弹簧-质量系统。在运动过程中， 当质量块有一虚位移 x 时，弹簧力所做的 虚功为：Ws (kx) x ，惯性力所做的虚功 Wi (mx) x 。根据虚位移原理有： 为：
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单自由度系统自由振动分析的一般目标：
1、求系统的固有角频率，即固有频率； 2、求解标准方程。
3.简谐振动的表示法
1.三角函数 x A sin(nt )
（1） （2） （3）
v x n A sin(nt ) 2
2 a x n Asin(nt )
单自由度线性系统的 微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。 线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。
& & & x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
角振动：
例：圆盘转动
机械系统动力学
Dynamics of Mechanical System
太原科技大学：宁少慧
第4章 单自由度系统振动



4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
振动分类及求解步骤 振动系统模型及其简化 单自由度系统的自由振动 谐波激励下的强迫振动 周期性激励下的强迫振动 任意激励下的强迫振动 单自由度系统振动的应用
圆盘转动惯量 I k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘 产生单位转角所需的力矩 ( N m / rad )
在圆盘的静平衡位置上任意选
k
I
扭振固有频率

一根半径作为角位移的起点位置。
由牛顿第二定律：
I k 0 & & 2 0 0
《振动力学》
& &
0 k / I
& x ( 0 ) v0
x(t ) x0 cos(nt )
2
sin( nt ) A sin( t ) 0 n
2
v0
v0 A x0 n
tg
1
x0n v0
2、无阻尼自由振动的特性
（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界 干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐 振动。 x(t ) Asin(nt ) （2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条 2 件。 1 x0n v0 2 tg A x0
静平衡时：
mg k s 0
k
任意时刻由牛顿第二定律有：
& & m x (t ) k ( s x) m g
上式代入： 引用符号
x(t )
s
弹簧原长位置 静平衡位置
& & m m x kx 0 k n 运动微分方程法计算固有角频率 m
得单自由度无阻尼的自由振动标准形式：
5、等效质量
－ 求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元 件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因 此算出的固有频率是实际值的上限; － 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问 题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例 而不能忽略，采用能量法（瑞利法）分析弹性元件的等效 质量。
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
求解该方程
x C1 cos nt
或
& & 2 x (t ) n x(t ) 0
(1)
x C2 sin nt 代入式（1）均满中该方程
无阻尼系统的固 有角频率rad/s
为两个任意常数，则通解可写为：
x(t ) A1 cosnt A2 sin nt A sin(nt ) A A A
4.1 振动分类及求解步骤
离散系统是具有集中参数元件所组成的系 统，具有有限多个自由度； 连续系统是由连续参数元件组成的系统， 有无限多个自由度。在离散系统中，最简 单的最基本的是单自由度振动系统。
4.1.1 振动的分类
1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡 位置附近所做的往复性机械运动。 有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机 器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、 振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振 子示波器等。 不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转， 影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、 精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受 命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。
2014年12月14日
21
可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与
直线振动的数学描述完全相同。
如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚 度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。
& & m x kx 0
0 k / m
k
弹簧原长位置
m
0

静平衡位置
k
I

I k 0
例1 锻锤模型
锤体
砧座 弹性垫阻尼 基础 土壤阻尼 砧座和基础 土壤阻尼 土壤刚度
x1 弹性垫刚度 x2 土壤刚度
锤体
x1
4.2.2 单自由度系统模型的简化
例1 简化机床的力学模型： 机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基 础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大 的弹性变形，当弹簧来处理。 基础和机床
2 1 2 2
A1 arctan A 2
(2)
系统固有圆频率，单位是1/s
k n m
振动固有周期单位是s
1 m T 2 f k
振动固有频率单位是Hz
f
n 1 2 2
k m
零时刻的初始条件：
x(0) x0
零初始条件下的自由振动：
用两个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用多个独 立广义坐 标就能确 定的系统 用振动
用无限多 个自由度 才能确定 的系统用 振动
描述系统的微分方程
振动
线性振动 非线性振动
用线性微分方程来描 述振动
用非线性微分方程来 描述振动
4.1.2 振动问题的求解步骤
1、建立振动系统的力学模型； m-c-k系统。 2、建立振动系统的数学模型； 建立运动微分方程。用牛 顿第二定律和拉格朗日方程。 3、求解运动微分方程。用解析法。
4.3.1 单自由度线性系统的运动微分方程及 其系统特性
建立运动方程 是研究振动的核心问题。 方法有：牛顿运动定律 能量法 拉格朗日方程
1、牛顿运动定律法： 直线振动：
x(t )
Fs (t )
m
x(t )
F (t )
F (t )
Fd (t )
& & m x (t ) F (t ) Fs (t ) Fd (t )
单自由度线性系统的微分方程：
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
& & & m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )
从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微 分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反 映的是振动系统本身的自然特性，右边是 外加激励，反应系统的输入特性。
受力不等：P 1 k1
P2 k 2
P
由力平衡： P P 1P 2 (k1 k2 ) 根据定义： K e
P

k1 k 2
keq k1 k2
kn
并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。
40
例：写出下图所示转盘转动的等效扭转刚度 其中：AB是具有铝心的钢轴； BC是固体钢轴； DE是固体铝轴。
此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效刚度。 等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要 在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标 上的等效质量 。
2014年12月14日 《振动力学》 34
4、等效刚度 刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。
Fx K x
一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭 转刚度。
4.1 振动分类及求解步骤
2、分类 系统的输入 系统的输出 系统的自由度 描述系统的微分方程
系统的输入
振动
强迫振动 自激振动 参数振动
自由振动
在特定的 初始位移 和初始速 度下产生 的振动
系统在给 定的外界 激励作用 下的振动
激励受系 统振动本 身控制的 振动
通过改变 系统的物 理特性参 数实现振 动
n
v0
（3）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出 线性系统自由振动的等时性，质量愈大，弹簧愈软， 则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹 簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。 k n
m
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移 ，加 2 加速度的相位超前位移
由式（1）（2）（3）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与
2.以旋转矢量表示的简谐振动
式（ 4 ）可写为： x 式中：
2 0
A sin(nt )
2
(5)
x0 A x n
弹簧原长位置
0 k / m
k
m0Βιβλιοθήκη 静平衡位置kI

0 k / I
x
4.3.2 振动系统的线性化处理
利用泰勒级数展开作线性化处理。
4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动
1、自由振动微分方程及其解 & & & & & m x (t ) kx(t ) 0 m x (t ) cx (t ) kx (t ) F (t )