2020届广西南宁二中高三4月开学考试数学(理)试题解析

南宁三中2020届高三（考试二）数学（理科）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1. 已知集合{2}A xx =<‖∣，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，然后再求两集合的交集即可【详解】解：由2x <，得22x -<<，所以{}22x x A =-<<， 因为{1,0,1,2,3}B =-， 所以A B ={1,0,1}-，故选：C【点睛】此题考查集合的交集运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题 2. i 是虚数单位，则复数221ii i++等于（ ） A. i B. ﹣iC. 1D. ﹣1【答案】A 【解析】 【分析】根据复数四则运算法则直接求解即可得到结果.【详解】()()()2212111111i i i i i i i i i -+=-=+-=++- 故选：A【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 3. 已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4. 下列函数中，与函数y=） A. y=B. ln xy x= C. xy xe =D. sin xy x=【答案】D 【解析】【分析】 可以求出y =的定义域为{|0}x x ≠，然后求每个选项函数的定义域即可． 【详解】解：函数y =的定义域为{|0}x x ≠， y=的定义域为{|0}x x >； lnxy x=的定义域为{|0}x x >； x y xe =的定义域为R ；sinxy x=的定义域为{|0}x x ≠， ∴与函数y =定义域相同的函数为sinxy x=． 故选：D ．【点睛】考查函数定义域的定义及求法，指数函数和对数函数的定义域． 5. 已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.6. 二项式53x x ⎛- ⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A. 5B. 10C. -20D. 40【答案】D 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为0，求出r ，从而可求出展开式中常数项【详解】解：二项式展开式的通项公式为105536155()(2)rrr r r r r T C x C xx --+⎛=-=- ⎪⎝⎭， 令10506r-=，则2r ，所以展开式中的常数项为225(2)40C -=， 故选：D.【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题 7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38713,35a a S +==，则8a =（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且83713,35a a S +==，1112713767352a d a d a d +++⎧⎪∴⎨⨯+⎪⎩＝，＝ 解得18212719a d a ==∴=+⨯=，，．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用． 8. 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A. B. C. D.【答案】D 【解析】由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C. 故正确的选项为D. 故选D.9. 在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点，在所取的点恰好满足2x y +≤的概率为（ ）A.116 B.18C.14D.12【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C ．考点：古典概型．10. 下面有5个命题中，真命题的编号是（ ）①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣ ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点 ④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象 ⑤函数sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,]π上是减函数 A. ①④ B. ①③④C. ③④D. ②③⑤【答案】A 【解析】 【分析】①利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的周期公式计算可得； ②通过k 的取值，判断终边在y 轴上的角的集合；③构造函数()sin f x x x =-，利用导数可得()f x 单调性，进而得出()f x 的零点，即两函数交点的个数； ④根据三角函数的平移变换规则判断；⑤根据诱导公式，将函数化为余弦型，进而根据余弦函数的单调性，可以判断⑤的真假；进而得到答案． 【详解】解：①4422sin cos sin cos cos 2y x x x x x =-=-=-， 它的最小正周期为π，正确；②k 是偶数时，α的终边落在x 轴上，所以②错误； ③设()sin ,()1cos 0,f x x x f x x x R =-'=-≥∈恒成立， 所以()f x 在R 上单调递增，而(0)0,()f f x =存在唯一零点， 即函数sin y x =的图象和函数y x =的图象只有一个公共点， 故③错误；④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π，得到3sin 23sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故④正确；函数sin()cos 2y x x π=-=-在[]0,π上是增函数，故⑤错误故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，余弦型函数的周期性，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，是解答本题的关键，属于中档题．11. 设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 1||OP OF =（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）11【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知12OF OF OP ==，可得1290F PF ∠=︒，设2PF t =，则1PF =，进而利用双曲线定义可用t 表示出a ，根据勾股定理求得t 和c关系，从而可求出双曲线的离心率【详解】解：因为12OF OF OP ==，所以1290F PF ∠=︒， 设2PF t =，则1PF =， 因为122PF PFa +=，所以可得a =， 因为2221212PF PF F F +=，所以22234t t c +=，则t c =，所以12c e a===， 故选：D【点睛】此题考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和运用，属于基础题12. 已知函数()()3sin f x x x x R =+∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性定义可知()f x 为奇函数且()00f =，由此可得()1f x -关于()1,0对称；由()()20g x g x +-=可知()g x 关于()1,0对称且()10g =，由此可知()h x 关于()1,0对称且()10h =，由对称性可知除1x =外，()h x 其余零点关于()1,0对称，由此可求得结果.【详解】()()3sin f x x x f x -=--=- ()f x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称且()00f =()1f x ∴-图象关于()1,0对称()()20g x g x +-= ()g x ∴图象关于()1,0对称令1x =得：()()110g g += ()10g ∴=()h x ∴图象关于()1,0对称且()()()1010h f g =-= ()h x ∴有一个零点为1x =，其余零点关于()1,0对称 ()h x ∴所有零点之和为202012021+=故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性和对称性的应用，关键是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 在等比数列{}n a 中，0n a >，且11027a a ⋅=，3239log log a a += _____． 【答案】3 【解析】 【分析】由等比数列性质可知29110a a a a =，根据对数运算法则可求得结果. 【详解】()()323932931103log log log log log 273a a a a a a +=⋅=⋅== 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，涉及到对数运算法则的应用，属于基础题. 14. 若向量a ，b 的夹角为3π，且2a =，1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为________．【答案】6π 【解析】 【分析】根据题意，设向量2a b +与向量a 的夹角为θ，因为向量a ，b 的夹角为3π，且2a =，1b =，求得a b ⋅和|2|+a b ，根据(2)cos |||2|a b aa ab θ+⋅=+，即可求得夹角为θ.【详解】设向量2a b +与向量a 的夹角为θ，向量a ，b 的夹角为3π，且2a =，1b =， 则21cos13a b π⋅=⨯⨯=222|2|4412a b a a b b +=+⋅+=∴|2|23a b +=又2(2)26a b a a a b +⋅=+⋅=(2)cos 2|||2|23a b a a a b θ+⋅===+⨯0θπ≤≤∴6πθ=故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．15. 已知函数41,(,1)()2log ,(1,)xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1f x >的解集为________. 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】根据分段函数解析式，分类讨论分别计算，再取并集即可；【详解】解：当1x <时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1f x >，所以1121xx ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩解得0x <，当1x >时，4()log f x x =时，因为()1f x >，所以4log 11x x >⎧⎨>⎩，解得4x >综上可得不等式的解集为()(),04,-∞+∞故答案为：()(),04,-∞+∞【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分段函数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题. 16. 已知四面体P ABC -四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且1AC =，2AB PB ==，则球O 的表面积为______．【答案】9π 【解析】 【分析】由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC 可得四个直角三角形，可知PC 的中点O 为外接球球心，不难求解． 【详解】解：由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ， 可得图中四个直角三角形，且PC 为△PBC ，△P AC 的公共斜边， 故球心O 为PC的中点，由AC ＝1，AB ＝PB ＝2， PC ＝3， ∴球O 的半径为32， 其表面积为：9π． 故答案为9π．【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ）实验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？ （2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？【答案】（1）服用A药睡眠时间平均增加2.3；服用B药睡眠时间平均增加1.6；从计算结果来看，服用A 药的效果更好；（2）A药B药6 0．8 9 5 6 52 5 8 2 5 1．7 9 234 6 8 1 27 8 2 3 5 6 7 9 3 4 2． 4 6 1 5 72 5 0 1 3． 2从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好. 【解析】(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得：＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好． 考点：茎叶图、平均数.18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积S abc =，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求ABC ∆周长的取值范围． 【答案】（Ⅰ）23π； （Ⅱ）32324⎛+ ⎝⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式可得2sin c C =，利用正弦定理边化角可配凑出余弦定理的形式，求得cos C ，根据C 的范围可求得结果；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论可求得c ，由正弦定理得到1sin 2a A =，1sin 2b B =，将三角形周长利用三角恒等变换知识可化为13sin 234A π⎛⎫++⎪⎝⎭，根据A 的范围，结合正弦函数的图象与性质可求得13sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，即为所求周长的范围. 【详解】（Ⅰ）由1sin 2S abc ab C ==得：2sin c C = 222sin sin sin sin sin A B A B C ∴++=，由正弦定理得：222a b ab c ++=2221cos 22a b c C ab +-∴==-()0,C π∈ 23C π∴=（Ⅱ）由（Ⅰ）知：232sin sin 3c C π===3c ∴= 又1sin sin sin 2c a b C A B === 1sin 2a A ∴=，1sin 2b B = ABC ∆∴的周长()13sin sin 2L a b c A B =++=++ 即()()()1313sin sin sin sin cos cos sin 2424L A A C A A C A C =+++=+++ 113313sin cos sin 2224234A A A π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23C π=，A B C π++= 0,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭3sin ,13A π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦13323sin ,23A π⎛⎤+⎛⎫∴++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ 即ABC ∆周长的取值范围为323,24⎛⎤+ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、三角形周长取值范围的求解等知识；求解周长的取值范围时，通常利用正弦定理将边化为角，根据三角恒等变换的知识将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是忽略角所处的范围，造成求解错误. 19. 已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： （I ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值.图一图二【答案】（1）见解析（2）53333【解析】 【分析】(1)设AC 的中点为O,证明PO 垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可. 【详解】（Ⅰ）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意，得2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===.因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =，222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥.因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ， 因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， 所以BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1 tanBOBMOOM OM ∠==，所以当OM最短时，即M是PA的中点时，BMO∠最大.由PO⊥平面ABC，OB AC⊥，所以PO OB⊥，PO OC⊥，于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，则()0,0,0O，()1,0,0C，()0,1,0B，()1,0,0A-，()0,0,1P，11,0,22M⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,1,0BC=-，()1,0,1PC=-，31,0,22MC⎛⎫=-⎪⎝⎭.设平面MBC的法向量为()111,,m x y z=，则由m BCm MC⎧⋅=⎨⋅=⎩得：111130x yx z-=⎧⎨-=⎩.令11x=，得11y=，13z=，即()1,1,3m=.设平面PBC的法向量为()222,,n x y z=，由n BCn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩得：2222x yx z-=⎧⎨-=⎩，令1x=，得1y=，1z=，即()1,1,1n=.533cos,33m nn mm n⋅===⋅.由图可知，二面角P BC M--的余弦值为533.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.20. 已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点()M,9m到其焦点下的距离为10.（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点，求AP BQ ⋅的取值范围. 【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）[)2,+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到9102p+=，即可求出p ，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线l 的斜率一定存在，可设斜率为k ，直线l 为1y kx =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=可得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-，然后对214y x =求导，可得到PA 的斜率及方程表达式，进而可表示出AP ，同理可得到BQ 的表达式，然后对AP BQ ⋅化简可求出范围． 【详解】解：（Ⅰ）已知(),9M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到准线的距离为10. ∵抛物线的准线为2py =-，∴9102p+=， 解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =.（Ⅱ）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为()0,1F ，则l ：1y kx =+.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=消去y 得，2440x kx --=，∴124x x k +=，124x x =-.由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且1'2y x =，则PA ：()2111142x y x x x -=-.令0y =，解得112x x =，∴11,02P x ⎛⎫⎪⎝⎭，从而AP =同理可得，BQ =∴AP BQ ⋅===∵20k ≥，∴AP BQ ⋅的取值范围为[)2,+∞.【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题．21. 设函数()3()xf x e ax a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间[1,2]上的最小值是4，求a 的值. 【答案】（1）见解析（2）1e - 【解析】 【分析】（I ）求得函数的的导航'()x f x e a =-，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（II ）由（I ）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，此时最小值不满足题意；当0a >时，由（I ）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点，分类讨论，即可求解. 【详解】（I ）()'xf x e a =-.当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()'0f x >解得ln x a >，由()'0f x <解得ln x a <. 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减.（II ）由（I ）知，当当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增， ∴函数()f x 在[]1,2上的最小值为()134f e a =-+=， 即10a e =->，矛盾.当0a >时，由（I ）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点. 当ln 1a ≤即o a e <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，则函数()f x 的最小值为()134f e a =-+=，即1a e =-，符合条件. ②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[]1,2上单调递减，则函数()f x 的最小值为()22234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾.③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[]1,ln a 上单调递减，函数()f x 在[]ln ,2a 上单调递增，则函数()f x 的最小值为()ln ln ln 34af a ea a =-+=即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则()'ln 0h a a =-<， ∴()h a 在()2,e e上单调递减， 而()1h e =-， ∴()h a 在()2,e e上没有零点，即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解. 综上，实数a 的值为1e -.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ． （1）求2C 的参数方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB ．【答案】（1）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，根据2OP OM =得M 点的坐标，代入1C 即得2C 的参数方程； （2）先求1C ，2C 的极坐标方程，再分别代入3πθ=求A B 、极径，则可求得||AB【详解】解：（1）设(,)P x y ，则由条件2OP OM =知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭．因为点M 在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．所以2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（2）222cos (2)422sin x x y y αα=⎧∴+-=⎨=+⎩ 222404sin 04sin x y y ρρθρθ∴+-=∴-=∴=曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，224cos (4)1644sin x x y y αα=⎧∴+-=⎨=+⎩ 222808sin 08sin x y y ρρθρθ∴+-=∴-=∴=曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A的极径为14sin 3πρ== 射线3πθ=与2C 的交点B的极径为28sin3πρ==．所以21||AB ρρ=-=【点睛】本题考查转移法求轨迹方程、参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23. 设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++， 所以2221a b c b c a++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。

2020年广西壮族自治区南宁市第二高级中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用二分法求方程求函数的零点时，初始区间可选为（）A．(0,1) B．(1,2) C.(2,3) D．(3,4)参考答案：B2. 已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．3. 给出下列各函数值：①；②；③；④.其中符号为负的有（）A．① B．② C．③ D．④参考答案：C4. 函数（其中）的图像不可能是（）A．B．C. D．参考答案：C（1）当时，，其图象为选项A所示；（2）当时，．若，则图象如选项D所示；若，则图象如选项B所示．综上，选项C不正确．选C．5. 已知函数，，，则的最小值等于A． B． C． D．参考答案：A6. 已知，则tanx等于（）A. B. C. D.参考答案：D略7. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．点评：本题是古典概型问题，属于高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．8. 设函数f（x）=2x+1的定义域为[1，5]，则函数f（2x﹣3）的定义域为（）A．[1，5] B．[3，11] C．[3，7] D．[2，4]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意知1≤2x﹣3≤5，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤2x﹣3≤5，解得2≤x≤4，∴所求函数f（2x﹣3）的定义域是[2，4]．故选D．9. 已知，且则的值为（）.A. 4B. 0C. 2mD.参考答案：A10. （5分）下列能与sin20°的值相等的是（）A．cos20°B．sin（﹣20°）C．sin70°D．sin160°参考答案：D考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知cos20°=sin70°不等于sin20°，sin（﹣20°）=﹣sin20°不符合题意，sin70°≠sin20°，利用诱导公式可知sin160°=sin（180°﹣20°）=sin20°D项符合题意．解答：cos20°=sin70°，故A 错误．sin（﹣20°）=﹣sin20°，故B 错误．sin70°≠sin20°，故C 错误．sin160°=sin（180°﹣20°）=sin20°故D正确．故选D．点评：本题主要考查了诱导公式的运用．解题的过程中注意根据角的范围判断三角函数值的正负．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义：区间[m，n]、(m，n]、[m，n)、(m，n)（n>m）的区间长度为；若某个不等式的解集由若干个无交集的区间的并表示，则各区间的长度之和称为解集的总长度。

2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣104．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D ．这10天学生在线学习人数在逐日增加5．已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝2a 2，则S 6a 2=（ ）A ．4B ．162C ．9D ．126．若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．48．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．289．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√3311．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π1212．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 ． 14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 ． 15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 ．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2．∠BAC 的平分线与BC 交于点E ，且AE =√6． （1）求∠BEA 及AC ；（2）若∠ADC ＝60°，求四边形ABCD 周长的最大值．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t)25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑ n i=1(ωi −ω)(v i −v)∑ ni=1(ωi −ω)2，α=v −βω．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝120°，三角形SAB 是等边三角形，平面SAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点．（1）求证：平面SCD ⊥平面SEF ；（2）若AB ＝2，求直线SF 与平面SCD 所成角的正弦值．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】求出集合A，由此能求出A∩B．解：由集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=2+i1−i=(2+i)⋅(1+i)2=12+32i，∴z=12−32i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•（﹣2x）r，令r＝3，得（1﹣2x）5展开式中x3的系数为C53•（﹣2）3＝﹣80．故选：A．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D．这10天学生在线学习人数在逐日增加【分析】根据图象逐一进行分析即可解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误对于B：前5天的增长比例极差约为15%﹣5%＝10%，后5天增长比例极差约为40%﹣20%＝20%，故B错误；对于C：由折线图很明显，23﹣24的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5．已知各项不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝2a2，则S6a2=（）A．4B．162C．9D．12【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．解：由题S6a2=S6a2=3(a1+a6)a2=3(a2+a5)a2=3(a2+2a2)a2=9．故选：C．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象是（）A．B．C ．D ．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a ＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．解：∵|x |≥0，∴若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}， ∴0＜a ＜1，当x ＞0时，数y ＝log a |x |＝log a x ，为减函数，当x ＜0时，数y ＝log a |x |＝log a （﹣x ），为增函数，且函数是偶函数，关于y 轴对称， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．椭圆C ：x 2a +y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【分析】由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝2a ，|BF 1|+|BF 2|＝2a ，即可得出答案． 解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的焦点在x 轴上，则椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ．∴△ABF 2的周长＝|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝8＝4a ．解得a ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．8．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 n ＝1，得a ＝8， 不满足a−221∈Z ，n ＝2，得a ＝13，不满足a−221∈Z ，n ＝3，得a ＝18，不满足a−221∈Z ，n ＝4，得a ＝23，此时，满足a−221∈Z ，退出循环，输出a 的值为23．故选：C ．【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√33【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出∠MOF＝30°．然后求解双曲线的离心率即可．解：因为OF为直径，点M在圆上，所以OM⊥MF．又∠MFN＝120°，由圆的对称性，有∠MFO＝60°，所以∠MOF＝30°．由渐近线斜率tan∠MOF=ba=√33，所以离心率为e=√1+(ba)2=2√33．故选：D．【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π12【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．解：由π6−π24=2k+14T，则T=π4k+2，k∈Z，当k＝0时，T=π2．故选：B．【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．解：在平面直角坐标系中作出函数y＝f（x）（k＞0）的图象如图所示．令f[f（x）]﹣1＝0，得f[f（x）]＝1，则f（x）＝0或f（x）＝t（t＞1）．当f（x）＝0时，显然存在2个零点x1=−1k，x2＝1；当f（x）＝t（t＞1）时，存在1个零点x3．故函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为3．故选：B ．【点评】本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 150° ．【分析】根据向量a →，b →的坐标即可得出a →⋅b →，|a →|和|b →|的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞=−√32，从而可得出a →，b →夹角的大小．解：∵cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−√3−√32×2=−√32，且0≤＜a →，b →＞≤π， ∴a →与b →的夹角为150°． 故答案为：150°．【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 丁 ． 【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可． 解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故答案为：丁．【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 a n =2n ．【分析】利用数列的递推关系式，通过m ＝1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．解：数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，令m ＝1，得a n +1＝2a n ，则{a n }是首项和公比均为2的等比数列，则a n =2n ． 故答案为：a n =2n ．【点评】本小题主要考查数列以及前n 项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 2 ．【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．解：依题意，折叠后的四面体如图1， 设正方形边长为a ，内切球半径为r ， 则AG ＝a ，EG =FG =a2； 记四面体内切球球心为O ，如图2，则V A ﹣EFG ＝V O ﹣EFG +V O ﹣AEF +V O ﹣AEG +V O ﹣AFG ，即V A−EFG =13(S △EFG +S △AEF +S △ABG +S △AFG )⋅r ，即13×12×a 2×a 2×a =13×a 2×r ，所以a ＝8r ；又4πr 2=π4，即r =14，所以a ＝2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且AE=√6．（1）求∠BEA及AC；（2）若∠ADC＝60°，求四边形ABCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABE中，由正弦定理可求sin∠AEB的值，又∠AEB＜∠B，可求∠AEB＝45°，利用三角形的内角和定理可求∠BAE的值，进而可求∠ACB的值，可得BC＝AB＝2，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AC的值．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理，基本不等式可求m+n≤4√3，即可求解四边形ABCD周长的最大值．解：（1）在△ABE中，由正弦定理得：sin∠AEB=ABsinBAE=6=√22．又∠AEB＜∠B，则∠AEB＝45°，于是∠BAE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以∠BAC＝30°，∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°．所以BC＝AB＝2．在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝22+22﹣2×2×2×cos120°＝12，所以AC=2√3．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理得(2√3)2=m2+n2−2mncos60°=(m+n)2−3mn，即有(m+n)2=12+3mn≤12+3×(m+n2)2，即(m+n)24≤12，所以m+n≤4√3，当且仅当m=n=2√3时，“＝”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为4+4√3．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t) 25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑n i=1(ωi−ω)(v i−v)∑n i=1(ωi−ω)2，α=v−βω．【分析】（1）由模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，说明模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，由已知数据求得b与a的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取x＝34求得y值得结论．解：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，b=∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(x i−x)2=48.48168≈0.289，∴a=z−b x=2.89−0.289×25≈−4.34，则z关于x的线性回归方程为z=0.29x−4.34．于是有lny＝0.29x﹣4.34，∴产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.29x−4.34．当x＝34时，y＝e0.29×34﹣4.34＝e5.52≈250（个）．∴在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC ＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．（1）求证：平面SCD⊥平面SEF；（2）若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE⊥平面ABCD，进一步得到SE ⊥CD．连接BD，得BD∥EF．再证明BD⊥CD，结合BD∥EF，得CD⊥EF．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面SEF．进一步得到平面SCD⊥平面SEF；（2）过E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与SF→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ， SE ⊂平面SAB ，SE ⊥AB ，∴SE ⊥平面ABCD ． 又∵CD ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥CD ．连接BD ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BD ∥EF ． ∵AD ＝DC ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ．又∵∠BAD ＝∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝30°， ∴∠BDC ＝90°，得BD ⊥CD ． 又∵BD ∥EF ，∴CD ⊥EF ． 又SE ∩EF ＝E ，∴CD ⊥平面SEF ．又∵CD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SEF ；（2）解：过E 作EN ∥CD ，则ES ，EF ，EN 两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系．在△BDC 中，求得BD =2√3，CD ＝2，BC ＝4． 则E （0，0，0），F(0，√3，0)，S(0，0，√3)，C(52，3√32，0)，D(12，3√32，0)．故SD →=(12，3√32，−√3)，SC →=(52，3√32，−√3)，SF →=(0，√3，−√3)．设平面SCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅SD →=12x +3√32y −√3z =0n →⋅SC →=52x +3√32y −√3z =0，可取n →=(0，2，3)． 则|cos〈n →，SF →〉|=|n →⋅SF→n →|⋅|SF →||=√3√6⋅√13=√2626．故SF 与平面SCD 所成角的正弦值为√2626．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ，再利用导函数f '（x ）的正负性与函数f （x ）的单调性之间的联系即可得f （x ）的单调性，从而确定f （x ）min ＝f （1），而f （1）＝0，进而得证；（2）构造函数g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立，然后求导g '（x ），令h （x ）＝g ′（x ），再求导h '（x ），从而可确定g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，由于g ′（0）＝2﹣2a ，于是分a ≤1和a ＞1两种情形，讨论函数g （x ）的单调性，以便求证g （x ）min 与0的关系． 解：（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ， 当x ＝1时，f ′（x ）＝0；当x ∈（﹣∞，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 所以f （x ）在x ＝1时取得极小值，也是最小值．所以f （x ）≥f （1）＝0．（2）令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立．由g ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2a ，令h （x ）＝g ′（x ），则h′(x)=e 2x −1ex ≥0在[0，+∞）上恒成立，所以g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g ′（0）＝2﹣2a ，①当a ≤1时，g ′（x ）≥g ′（0）≥0，所以g （x ）在[0，+∞）上单调递增， 所以g （x ）≥g （0）＝0，即f （x ）≥f （﹣x ），满足题意．②当a ＞1时，因为g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，所以g ′（x ）min ＝g ′（0）＝2﹣2a ＜0，所以存在t ∈（0，+∞），使得当x ∈（0，t ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，t ）上单调递减，此时g （x ）＜g （0）＝0，这与g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾． 综上所述，a ≤1，故实数a 的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．【分析】（1）两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ 面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．（2）由（1）求出PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．求出直线EF 的斜率，得到直线EF 的方程，即可求解直线EF 恒过的定点． 解：（1）由题意可知两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．因为联立直线l 1与抛物线的方程，有{y =k(x −1)+1#/DEL/#x 2=2y #/DEL/#⇒x 2−2kx +2k −2=0，其中△＝4k 2+8＞0，由韦达定理，有{x 1+x 2=2kx 1x 2=2k −2．由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2)，同理|MN|=√(1+1k2)(8+4k2)，则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k2)(80+32k 2+32k2)．令k 2+1k2=t ≥2．则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40．所以，当且仅当t ＝2，即k ＝±1时，S 取得最小值12，且当t →+∞时，S →+∞． 故四边形MPNQ 面积的范围是[12，+∞）． （2）由（1）有x 1+x 2＝2k ，y 1+y 2=2k 2+2，所以PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．于是，直线EF 的斜率为k EF =k 2+1−(1k2+1)k+1k=k 2−1k 2k+1k=k −1k ，则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，所以直线EF 恒过定点（0，2）．【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，求动点P 到直线l 的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ）． 因为点P 为曲线C 1与C 2的公共点， 所以点P 同时满足曲线C 1与C 2的方程． 曲线C 1消去参数可得tanθ1=yx+2， 曲线C 2消去参数可得tanθ2=y x−2． 由tan θ1tan θ2＝﹣1，所以yx+2⋅yx−2=−1．所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝4（x ≠±2）．（2）由已知，直线l 的极坐标方程2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可化为直角坐标方程：2x﹣y+10＝0．因为P的轨迹为圆x2+y2＝4（去掉两点（±2，0）），圆心O到直线l的距离为d=5=2√5，所以点P到直线l的距离的取值范围为[2√5−2，2√5+2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；（2）将1=a+b+c3代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）(√2a+1+√2b+1+√2c+1)2=2(a+b+c)+3+ 2√(2a+1)(2b+1)+2√(2b+1)(2c+1)+2√(2c+1)(2a+1)≤2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）＝6（a+b+c）+9＝27（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．所以√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3，可得(1a−13)(1b−13)(1c−13)=(a+b+c3a−1 3)(a+b+c3b−13)(a+b+c3c−13)=b+c3a ⋅a+c3b⋅a+b3c≥127⋅2√bca⋅2√acb⋅2√abc=827（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．则(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【点评】本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。

广西壮族自治区南宁市高级中学2020-2021学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A. 【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．2. 如图是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过多少道工序（）A．6 B．5或7 C．5 D．5或6或7参考答案：B【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图．【分析】根据工序流程图，写出一件不合格产品的工序流程即可．【解答】解：由某产品加工为成品的流程图看出，即使是一件不合格产品，“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、粗加工、检验、定为废品”五道程序；或是“零件到达后经过粗加工、检验、返修加工、检验、粗加工、检验、定为废品”七道程序．所以，由工序流程图知须经过5或7道工序．故选：B．【点评】本题考查工序流程图的应用问题，解题时应认真审题，做到不漏不重，是基础题．3. 若，且，则( )A.0B.1C.D.参考答案：A略4. （x3+）10的展开式中的常数项是（）A． B． C． D．参考答案：B略5. 某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索．此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（）A．2倍以上，但不超过3倍B．3倍以上，但不超过4倍C．4倍以上，但不超过5倍D．5倍以上，但不超过6倍参考答案：D6. 下列命题是真命题的是（）A．使得 B．使得C．恒有 D．恒有参考答案：D解：故D正确7. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．【解答】解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，在Rt△ABC中，BC=AB=x，在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．∴山AB的高度为50（+1）米．故选：D．8. 已知与共线，则=A． 8 B． C．D．参考答案：B9. 已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A． B． C．D．参考答案：D10. 在下列结论中，正确的是（）①为真是为真的充分不必要条件；②为假是为真的充分不必要条件；③为真是为假的必要不充分条件；④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __参考答案：12. 设关于的不等式的解集中整数的个数为，则数列的前项和=____________.参考答案：13. 幂函数 f （x ）=x α（α∈R ） 过点，则 f （4）=．参考答案：2 略14. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________ . 参考答案： 1215. 已知点P 为双曲线右支上一点，为双曲线的左、右焦点。

绝密★启用前2020届柳州高中、南宁二中两校联考第一次考试理科数学(考试时间 120分钟满分 150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={1,0,-1}，B={y|y=2x-1，x∈A}，则A∩B=（）A.{1,0,-1}B.{1,-1}C.{0}D.∅2.已知复数z=(1+2i)(1-i)，则其共轭复数z对应的点在复平面上位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.44.5人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是（）A.12B.36C.72D.1205.如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论：①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和厦门往返机票的平均价格与去年同期相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海。

其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46.函数xx eexxf-+=3)(在[-6,6]上的图象大致为（）A. B.C. D.7.要得到函数)62cos(π-=xy的图象，只要将函数xy2sin=的图象（）A.向左平移3π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移3π个单位 D.向右平移6π个单位8.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图(也称主视图)是（）A.B.C.D.9.已知等比数列{a n }满足a 1=4，a 3a 5=4(a 4-1)，则a 2=（ ） A. 2 B. 1 C. 21 D.8110.定义在R 上的函数)(x f 满足:①)1(-=x f y 的图象关于直线x=1对称；②对任意的]0,(21-∞∈x x ，，当21x x ≠时，不等式0)()(2121>--x x x f x f 成立。

广西2024届高三下学期4月模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可.【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即.故选：C2. 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，再利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】因为，故复数的共轭复数为.故选：B.3. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）12142a 2c 242a c =⨯14c a =()i 67i -76i +76i -67i +67i--()i 67i -()2i 67i 6i 7i 76i -=-=+()i 67i -76i -()cos5f x x =15A. B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.【详解】由题意新函数解析式为.故选：A ．4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B 【解析】【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.【详解】如图，当时，与可相交也可平行， 故A 错；当时，由平行性质可知，必有，故B 对；如图，当时，或，故C 错；当时，可相交、平行，故D 错.故选：B..()cos 51y x =+1cos 55y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()cos 51y x =-1cos 55y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos5(cos(51)5y x x =+=+,l m ,αβ;l m αβ⊂⊂l m αβα βl βl m ⊥l β⊥αβ⊥l m//l m αβ//αβ//l βl m ⊥//l βl ⊆βαβ⊥,l m5. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.【详解】对于A ，，其定义域为，不符合题意；对于B ，，在上为减函数，不符合题意；对于C ，，在上单调递减，不符合题意；对于D ，，在上单调递增，符合题意；故选：D .6. 已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）A. 1 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱底面圆半径和球的半径相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.【详解】设圆柱底面圆半径为，球的半径为，则圆柱的高为，由，可得，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.故选：B7. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（）A. B. C. D. ()0,2()f x =()22f x x x=-()1f x x=()14f x x=()f x =[1,)+∞()22f x x x =-(01),()1f x x=()0,2()14f x x ==()0,2MM 'O 32MM 'O 3252MM 'r O R MM 'r O R MM '2r 2333π2334π223r r r R R ⋅==1r R=MM 'O 222222π4π334π22r r r R R +==0x =()()2f x x x a =-a (),0∞-3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得.【详解】由已知，，令得或，由题意是极小值点，则，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点，不合题意，综上，，即.故选：A .8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】由回归方程的性质求出即可.【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，0x =32()f x x ax =-2()32f x x ax '=-23()3a x x =-()0f x '=0x =23a x =0x =203a≠203a<203a x <<()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 0x =203a >203a x <<()0f x '<()f x 0x <()0f x '>()f x 0x =203a<a<0x y ()()1122,,,,x y x y ()()()55,,6,28,0,28x y 7ˆ101667yx =+()6,28()0,28ˆ4yx m =+51140i i y ==∑m =,x y ,x y ,x y ,x y ''51140ii y==∑140285y ¢==2844y m mx '--'==又这两对数据为，所以，所以，所以故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合和关系的Venn 图如图所示，则可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】根据Venn 图可知 ，依次判定选项即可.【详解】根据Venn 图可知 ，对于A ，显然 ，故A 正确；对于B ，，则，故B 错误；对于C ，，则 ，故C 正确；对于D ，，或，则 ，故D 正确.()()6,28,0,28()114056287y =⨯+=()17166310x y =⨯-=760281654x mx m ---'==⇒=M N ,M N {}{}0,2,4,6,4M N =={}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣{}{}lg ,e 5xM xy x N y y ====+∣∣(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣N M N M N M {}11,{1}M xx N x x =-<<=>-∣∣M N ⊆{}{}0,5M xx N y y =>=>∣∣N M (){,M x y y x ==∣}y x =-(){},,N x y y x ==∣N M故选：ACD10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A ，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B ，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD ．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A 错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B 正确；，当且仅当时等号成立，，C 正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D 错．故选：BC ．ABC ,,A B C ,,,a b c O ABC 1cos ,25A AO ==1144AO AB AC=+ 3AB AC ⋅≤ABC a 1133AO AB AC =+AB AC ⋅u u u r u u u rAB AC O ABC AO BC D D BC 22111()33233AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+1133AO AB AC =+ 3AB AC AO +=22229()222AO AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅≥+⋅1cos 5AB AC AB AC A AB AC ⋅==5AB AC AB AC=⋅ 225292AB AC AB AC ⨯⋅+⋅≤⨯ 3AB AC ⋅≤ AB AC = 15cos AB AC AB AC A ⋅⋅=≤ AB AC = sin A ==11sin 1522ABC S AB AC A =≤⨯= 22229()2AO AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 222362365AB AC AB AC AB AC +=-⋅=-22222442cos 2cos 3636152455a b c bc A AB AC AB AC A AB AC =+-=+-⋅==-≥-⨯= a ≥AB AC =a11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的周期为2D. 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据函数图象的变换性质判断即可；对B ，由题意计算即可判断；对C ，由A 可得，由B 可得，进而可判断C ；对D ，由结合与的对称性可得，进而，结合C 中的周期为4求得，进而可得.【详解】对A ，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A 正确；对B ，，，又，故.即，故图象关于直线对称，故B 正确；对C ，由A ，，且，的R ()f x ()()224f x f x x +--=()23f x -()2,1()00f =()f x ()1,1()()2g x f x x =-2x =()()2g x f x x =-()()()12502499f f f +++= ()()220g x g x +--=()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()224f x f x x +--=()00f =()f x ()()()()0,1,2,3f f f f ()()()()0,1,2,3g g g g ()g x ()()()1250g g g +++ ()()()1250f f f +++L ()23f x -()2,1()3f x -()4,1()f x ()1,1()()()()2222224g x f x x f x x -=---=-+-()()()()2222242g x f x x f x x +=+-+=+--()()224f x f x x +--=()()()()222240g x g x f x f x x +--=+---=()()22g x g x +=-()()2g x f x x =-2x =()()22f x f x +=--()()22f x f x -=-又因为，故，即，故，即.由B ，，故，故的周期为4，故C 错误；对D ，由，的图象关于点对称，且定义域为R ，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.【答案】200【解析】【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故答案为：200.()()224f x f x x +--=()()224f x f x x ----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4fx f x x --=()()()22f x x f x x -=---()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()()4g x g x g x =-=+()()2g x f x x =-()00f =()f x ()1,1()11f =()22f =()()224f x f x x +--=1x =()()134-=f f ()35f =()()2g x f x x =-()()000g f ==()()1112g f ==--()()2224g f ==--()()3361g f =-=-()g x ()()400g f ==()()()()()()()()()125012123412g g g g g g g g g ⎡⎤+++=⨯+++++⎣⎦ ()1241251=⨯---=-()()()12245010051f f f -+-++-=- ()()()()502100125024..100515124992f f f ⨯++++=+++-=-= ()()()()1,2,3,4g g g g ()g x 2356C C 200=13. 已知，则__________.【答案】1或-3【解析】【分析】由已知可得或，从而可求出的值.【详解】由 可得，所以 或，即 或，当时，当 时，，故答案为：1或-3.14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义求解．【详解】双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故答案为：2.2sin sin2αα=πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 0α=sin 2cos αα=πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭2sin sin2αα=2sin 2sin cos ααα=sin 0α=sin 2cos αα=tan 0α=tan 2α=tan 0α=πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭tan 2α=πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭12,F F 22:1412x y E -=M E 2F 12F MF ∠,N O ON =221412x y -=2a =2F N 1MF H 2MH MF =2NH NF =O 12F F 1121111()()2222ON F H MH MF MF MF a ==-=-==四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．【小问1详解】设的公差为，则，，又，所以，所以，．小问2详解】由（1）得，所以．16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.【{}n a 26a ={}1n n a a ++10a 2111n n n n b a a a -+=+{}n b n n S 21228n S n n <++1022a =d 1a n n S {}n a d 1212()()24n n n n n n a a a a a a d +++++-+=-==2d =26a =1624a =-=42(1)22n a n n =+-=+1022a =11114(44(1)(2)412n b n n n n n n =+=-+++++2212111(1)111()42222422284(2)8n n n n S b b b n n n n n n +=+++=-+⨯=++-<++++ [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.【答案】（1）； （2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.【小问1详解】由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；【小问2详解】从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.a [)[)30,40,80,90[)80,90X X 0.00564.5()2E X =a X 10(30.010.0150.032)1a +⨯++=0.005a =(354595)0.05(5565)0.3750.15850.164.5⨯+++++=⨯⨯⨯+[)[)30,40,80,90[)30,400.05620.050.1⨯=+[)80,90X ()212436C C 11C 5P X ===()122436C C 32C 5P X ===()632436C C 13C 5P X ===X XP 153515()131123 2.555E X =⨯+⨯+⨯=P ABCD -PAB ⊥ABCD ABCD 60ABC ∠= 2,AB E ===CD（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析． （2【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则为PBC ⊥PAE D AP E --AB O ,OP OC PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z AB O ,OP OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC ADC △E CD ,OC AB AE CD ⊥⊥OC AB ==//OC AE //CE AOAOCE AB ==222PA PB AB+=PA PB ⊥PAB112PO AB ==PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂PAB PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z (1,0,0)B (0,0,1)P C (1,0,0)A -(E -(D -(1,0,1),1),(1,0,1),(1),(1)PB PC PA PE PD =-=-=--=--=--PBC (,,)m x y z =，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；【小问2详解】设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为【解析】PB m x z PC m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =m = PAE 000(,,)n x y z =r0000000PA n x z PE n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 0=x n = 3030m n ⋅=+-= m n ⊥ PBC⊥PAE PAD (,,c)t a b =200PD t a c PA t a c ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 1b =t = D AP E --θθcos cos t θ= 2:2(0)C y px p =>F F 22:(3)1E x y ++=C O ()2,4,,P A B C P ,PA PB y ,M N O O MN AB 28y x =(0,2)-【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.【小问1详解】点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.【小问2详解】设，则方程为，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.F E 1EF +3162p ⎛⎫++=⎪⎝⎭(0,),(0,)M m N m -PA PB PA C A B AB F E 1EF +3162p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4p =C 28y x =(0,),(0,)M m N m -PA 42m y x m -=+PB 42my x m +=-PA C 21616044m y y m m -+=--()4404m y y m ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭A 44A m y m =-A ()222284A A y m x m ==-A ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭B ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪- ⎪++⎝⎭AB 2216A B A B y y m k x x m --==-B AB ()2222416244m m m y x m m m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++⎝⎭22162m y x m-=-AB (0,2)-()f x ,P Q ()y f x =P Q ,P Q ()y f x =PQ ()y f x =（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；（3）设对应切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．【小问1详解】不是，理由如下：的52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+()1e ,0,46,0,x x g x x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()y g x =()cos h x x =PQ ()y h x =PQ 12,,,n k k k ()123,4,5,,i k k k i n >>= 12158k k <2y x =+()g x '1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''22x x '<111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-1x 11112cos sin π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =1x 15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-12cos 01cos x x <<由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．【小问2详解】由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；【小问3详解】证明：设对应的切点为，，对应的切点为，2()2f x x x '=-+2()21f x x x'=-+=11x =22x =3(1)2f =-(2)2ln 22f =-3(1,2P -(2,2ln 22)Q -P 312y x +=-52y x =-Q 2ln 222y x -+=-42ln 2y x =-+52y x =-52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+12e ,0()4,0x x g x x x+⎧≤>'⎪=⎨⎪⎩1e (0)x y x +=≤24(0)y x x =>1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<P 11111e e ()x x y x x ++-=-Q 222244(6)()y x x x x --=-1112211224e 44e (1)6x x x x x x ++⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩2x 111(1)121e (1)4e 60x x x ++--+=1(1)12()e(1)4e6x x t x x ++=--+0x ≤111(1(1)1)1222()e 2e e [e 2]0x x x x t x x x ++++'=-=-<）()t x (1)0t -=()0t x =0x ≤=1x -111(1)121e(1)4e60x x x ++--+=11x =-22x =(1,1)P -11y x -=+2y x =+(2,4)Q 42y x -=-2y x =+2y x =+1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．22x x '<(cos )sin x x '=-111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=11111111111cos cos cos(π)cos 2cos (π)π2x x x x x k x x x x x '----===---'-22222222222cos cos cos(3π)cos 2cos (3π)3π2x x x x x k x x x x x '----===---'-21ππ2x x -<<<-2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-11112cos sin π2x k x x -==--22222cos sin 3π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-2223πcos ()sin 2x x x =-ππ2x -<<-sin 0x <cos 0x <cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =222222sin cos 1cos ()110sin sin sin x x xF x x x x--'=+=-+=-<()F x π(π,)2--5π5ππ(0662F -=--<15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-211cos cos 0x x -<<<12cos 01cos x x <<221122113π3π3π(π)cos 15222πππ5πcos 8()2226x x k x k x x x ----=⋅<<=----1122(,),(,)x y x y 121212()()y y f x f x x x -''==-。

绝密★启用前2020届广西南宁市第二中学高三3月模拟数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知实数集R ,集合{}|13A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =I （ ） A ．{}|12x x <≤ B ．{}3|1x x << C ．{}|23x x <<D ．{}|12x x <<答案：C求函数的定义域求得集合B ，根据交集的概念和运算求得A B I 的值. 解：由题意得{}|2B x x =>，故{}|23A B x x =<<I . 故选：C. 点评：本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．复数202020211(),1i z ii+=+-(i 是虚数单位)的共轭复数表示的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D利用复数除法、复数乘方运算化简z ，进而求得z ，由此确定正确选项. 解：由于()()()()11121112i i i ii i i i +++===-+-，所以 2020202150542021505411()111i z i i i i i i⨯⨯++=+=+=+=+-，所以1z i =-，对应的点为()1,1-在第四象限. 故选：D 点评：本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的乘方，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a >b ，则22a b >”的否命题为“若a ≤b ，则22a b ≤”；③“∃x ∈R ，211x +≥的否定是“2,11x R x ∀∈+<”；④在△ABC 中，“A >B ”是“sin sin A B >”的充要条件；其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据含有逻辑联结词命题真假性的知识，判断①的正确性.根据否命题的知识，判断②的正确性.根据特称命题的否定的知识，判断③的正确性.根据充要条件的知识，判断④的正确性. 解：对于①，由于“p 且q ”为假命题，所以p ，q 中至少有一个假命题，故①错误. 对于②，否命题否定条件和结论，故②正确.对于③，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，③正确.对于④，由正弦定理得2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>，所以“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故④正确. 综上所述，正确的命题个数是3个. 故选：C 点评：本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性，考查否命题，考查特称命题与全称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.4．如图所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P 使得AP +D 1P 取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2B 26+C ．22+D 22+答案：D试题分析：将1ABA ∆翻折到与四边形11A BCD 同一平面内，1AP D P +的最小值为1D A ，在11D AA ∆中1111131,1,4A D AA AA D π==∠=，由余弦定理可得122AD =+ 【考点】1.翻折问题；2.空间距离 5．已知函数4()lg(3)3xxf x m =++的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(-4，+∞) B ．[- 4，+∞)C ．(-∞，-4)D ．(-∞，-4]答案：D根据()f x 的值域是全体实数，以及4343x x +≥，求得实数m 的取值范围. 解： 由于44323433x xx x+≥⨯=.要使函数4()lg(3)3x x f x m =++的值域是全体实数R ，则需40m +≤，解得4m ≤-. 故选：D 点评：本小题主要考查根据对数型复合函数的值域求参数的取值范围，考查基本不等式求最值，属于基础题.6．函数()()()sin 0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A ．3B ．12-C ．12D 3答案：A由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得1256x x π+=,从而可得()12f x x +的值. 解：由函数()sin()()0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象,可得122,2236πππωω⨯=-∴=, 再根据五点法作图可得20,63ππϕϕ⨯+=∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为122,,63x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上，且()()12f x f x =， 所以()12216322x x ππ++=,1256x x π∴+=，()1254sin 2sin sin 6333f x x ππππ⎛⎫+=⨯-==-= ⎪⎝⎭，故选A. 点评：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：A根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 解：由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫⎪⎝⎭，答案选A 点评：本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功8．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足||||(),sin sin AB AB AC AC OP OA C Bλλ⋅⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ∈R .则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心答案：C利用正弦定理化简已知条件，由此判断出P 的轨迹经过重心. 解：设三角形ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==u u u ru u u r ，所以||||()sin sin AB AB AC ACOP OA C B λ⋅⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 2()OA R AB AC λ=+⋅⋅+u u u r u u u r u u u r ，2()AP R AB AC λ=⋅⋅+u u u r u u u r u u u r根据向量加法的几何意义可知：AB AC +u u u r u u u r 表示以,AB AC u u u r u u u r为邻边的平行四边形的对角线，此对角线与三角形中线重合，所以P 在三角形ABC 的中线上，也即P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的重心. 故选：C 点评：本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题. 9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1B ．32C ．12-D ．0答案：D由图知本程序的功能是执行22019cos0coscoscos 333S πππ=++++L 此处注意程序结束时2019n =，由余弦函数和诱导公式易得：2345cos0coscoscos cos cos 033333πππππ+++++=，周期为6，202033664=⨯+ 2201911cos0coscoscos 336011033322S πππ=++++=⨯++--=L . 10．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．12答案：B将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 解：。

2020届广西高三上学期模拟数学（理）试题及答案一、单选题1．设集合{}{}|2,1,0,1,2,3A x x B =<=-,则A B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}-10,1，D ．{}-10,1,2， 【答案】C【解析】首先求出集合{}|22A x x =-<<，由集合的基本运算“交”即可求解。

【详解】因为{}{}|2|22A x x x x =<=-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 所以{}1,0,1AB =-故选：C 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。

2．若复数z 满足()13i z i -=+（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 BC ．2D 【答案】D【解析】由复数的除法运算，化简复数得12z i =+，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】 由复数z 满足()13i z i -=+，则3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，则z==，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数模的计算，其中解答熟记复数的除法运算的公式，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．已知32121=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】D【解析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a 与b 的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到0c <，得到最终的结果. 【详解】由指数函数和对数函数图像可知：32121(0,1),0.31,log 202a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭， 则a b c ，，的大小关系是：b a c >>. 故选D ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．已知,a b 均为单位向量，若-23a b =，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π【答案】B【解析】由23a b -=可求出a b ⋅，再根据向量的夹角公式，即可求出a 与b 的夹角． 【详解】 因为23a b -=，所以()2221443a b a b a b -=-=-⋅+=，解得12a b ⋅=． 设a 与b 的夹角为θ，1cos 2a b a bθ⋅==，所以3πθ=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量夹角公式和向量的模的计算公式的应用，属于基础题．5．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可得413,23a a d q -====-， ∴222,2a b ==，∴221a b =．选A ．6．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( ) A ．B ．±C ．2±D ．【答案】D【解析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题．7．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（）A．年接待游客量逐年增加B．各年的月接待游客量高峰期在8月C．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】根据已知中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【详解】由已有中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：年接待游客量呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故A正确；每一年的接待量八月份的最大，故B正确；折线图中没有具体数据，中位数无法计算，故C错误；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选C.【点睛】本题主要考查了学生的读题能力和信息处理能力，属于基础题.8．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ）A ．23B ．2C ．2-D ．23-【答案】B【解析】根据产生3x 项的来源，计算出6(1)x +展开式中32,x x 的系数即可求出． 【详解】6(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3620C =，故6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为1201510a ⨯-=-，解得2a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数，属于基础题． 9．函数21()sin 2f x x x x =-的大致图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，函数()f x 的解析式，可判定函数为()f x 为偶函数，排除A 、B 项，又由()06f π<，可排除D 项，即可得到答案。

广西南宁市2020届高三第二次（4月）适应性测试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示的几何图形中，ABCD 为菱形，C 为EF 的中点，3EC CF ==，4BE DF ==，BE EF ⊥，DF EF ^，现在几何图形中任取一点，则该点取自Rt BCE ∆的概率为（ ）A ．19B ．18C ．17 D ．162．定义在R 上函数()2y f x =+的图象关于直线x=−2对称，且函数()1f x +是偶函数．若当x ∈[0，1]时，()sin 2f x x π=，则函数()()xg x f x e-=-在区间[−2018，2018]上零点的个数为( )A ．2017B ．2018C ．4034D ．40363．已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对于任意1x ，[]21,1x ∈-，12x x ≠总有()()1212f x f x x x ->-且()11f =．若对于任意[]1,1a ∈-，存在[]1,1x ∈-，使()221f x t at ≤--成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．13t ≤--或31t ≥+C ．0t ≤或2t ≥D ．2t ≥或2t ≤-或0t =4．等比数列{}n a 中，32a =-，118a =-，则7a =（ ） A ．4- B ．4 C ．4± D ．5-5．2ln ||()x f x x x=-，则函数y=f(x)的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．6．函数1()()cos f x x x x=+在[3,0)(0,3]-U 上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()πππcos 22sin cos 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，给出下列四个命题： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为1； ③函数()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的函数解析式为()sin 2g x x =． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．设非空集合P ，Q 满足P∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈PD ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q9．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 3ABCD 外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π10．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．3 C ．3 D ．611．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题1．已知集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ）{}210A x x =-≤{}20B x x a =-≥A B B ⋃=A ． B ．(],2-∞-[)2,-+∞C ．D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】求出，，根据，得到，从而得到不等式，{}11A x x =-≤≤{}2B x x a =≥A B B ⋃=A B ⊆求出实数a 的取值范围.【详解】，，{}{}21011A x x x x =-≤=-≤≤{}{}202B x x a x x a =-≥=≥因为，所以， A B B ⋃=A B ⊆故，解得：，21a ≤-12a ≤-故选：D2．若复数z 满足方程，则（ ） 2460z z -+=z =A ．B ．C ．D ．222-±2-【答案】B【分析】根据在复数范围内，实系数一元二次方程的解法求解即可．【详解】由，得，则，故． 2460z z -+=2(2)2z -=-2z -=2z =故选：B ．3．某市商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，四居室住户占.如图2，这是用分2913层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）450n =B ．被调查的所有市民中四居室住户共有150户C ．用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户D ．用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户 【答案】D【分析】根据饼图、直方图分析样本总量及四居室住户数，结合分层抽样的性质分析二居室、三居室住户数及满意度即可.【详解】因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，所以，2921004509n =÷=四居室住户有户，三居室住户有200户，故A ，B 正确；14501503⨯=用分层抽样的方法抽取的二居室住户有户，故C 正确；1000.220⨯=用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有户，故D 错误. 2000.20.520⨯⨯=故选：D4．若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系()2N nx n *⎛∈ ⎝52x 数为（ ） A ．32 B ． C ．16 D ．32-16-【答案】B【分析】运用二项式系数最大项求出n 的值，再运用二项展开式的通项公式计算即可.【详解】∵的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大， (2nx 1n +∴， 1132n ++=∴， 4n =∴的第项为，（），4(2x 1r +4134422144C (2)()C 2(1)r r r r r r r r T x x x ----+=-=-0,1,2,3,4r =∴令，解得：，35422r -=1r =∴，即：展开式中项的系数为. 551312224C 2(1)32T x x =-=-52x 32-故选：B.5．如图，在中，，则（ ） ABC A 26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==AB AD ⋅=A ．18B ．9C ．12D ．6【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数量积的定义、运算性质求解即可.【详解】，即， 2()2B D C BD BD C →→==-23BD BC →→=，22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC →→→→→→→→→→⎛⎫∴=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭.2212122π663cos 6333333123AB AD A A B AB AB AC AB C →→→→→→⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎭+⎝ 故选：D6．函数的图像大致为（ ）()e3xf x x=A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】函数为奇函数，排除BD ，计算，排除C ，得到答案. ()f x ()()21f f >【详解】由题可得，的定义域为，，()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()()e3xf x f x x-==--故函数为奇函数，排除BD ； ()f x ，，，排除C ， ()e 13f =()2e 26f =()()21f f >故选：A ．7．函数在区间上存在极值点，则整数 k 的值为()2xf x x e =(), 1.5k k +A ．，0 B ．，1 C ． D ．，03-2-31--，2-【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，列不等式求解的值即可． k 【详解】函数，可得， 2()x f x x e =22()2(2)x x x f x xe x e e x x '=+=+当和时，，当时，， (,2)x ∈-∞-(0,)+∞()0f x '>(2,0)x ∈-()0f x '<则在和上单调递增，在上单调递减． ()f x (,2)-∞-(0,)+∞(2,0)-若在上无极值点，则或或，()f x (, 1.5)k k + 1.52k +-…0k …2 1.50k k -<+……，，．时，在上无极值点， (k ∴∈-∞ 3.5][2-⋃- 1.5][0-⋃)∞+()f x (, 1.5)k k +，，时，在上存在极值点．( 3.5k ∴∈-2)( 1.5--⋃0)()f x (, 1.5)k k +因为是整数，故或， k 3k =-1k =-故选：．C 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是难题． 8．高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共123100++++L 1100101+=299101+=5051101+=有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是501015050⨯=借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探{}n a 120231a a =求：若，则（ ） 24()1f x x =+()()()122023f a f a f a +++= A ．2023 B ．4046C ．2022D ．4044【答案】B【分析】根据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】根据等比数列的下标性质由，12022024311n n a a a a -⋅=⇒⋅=∵函数，∴， 24()1f x x =+222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x 令，则，()()()122023T f a f a f a =+++ ()()()202320231T f a f a f a =+++ ∴，∴． ()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a =++++++=⨯ 4046T =故选：B9．在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且P 12,F F ，则的面积为（ ） 12120PF F ∠=︒12PF F △ABCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的几何性质，结合椭圆的定义与余弦定理即可求得各边12PF F △长，再利用面积公式即可求得的面积.12PF F △【详解】由题可知，焦距，则，又椭圆上的一点与两个焦点的距离的和1222F F c ==1c =P 12,F F 等于4，即，所以， 1224PF PF a +==2a =在中，，12PF F △12120PF F ∠=︒由余弦定理得：，()()2222211211212222cos 4424PF PF F F PF F F PF F PF PF =+-⋅∠=-++-整理得，所以，则，故的面积21028PF =2145PF =165PF =12PFF △. 1211212116sin 2225PF F S PF F F PF F =⋅⋅∠=⨯⨯=A 故选：D.10．双曲线的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线()2222:10x y C a b a b-=>>AP ，AQ 的斜率之积为，则C 的离心率为（ ）14-A BCD ．2【答案】A【分析】设，则，化简可得，结合，即00(,)P x y ()00,Q x y -2022014AP AQ y k k a x ==--224a b =2222a b e a +=可求得答案.【详解】由题意知双曲线左顶点为，设，则， (,0)A a -00(,)P x y ()00,Q x y -则有， ()()200022000AP AQy y y k k x a x a a x =⋅=+-+-又，将代入中，得， 2200221x y a b -=()2220202b x a y a -=2022014APAQ y k k a x ==--2214b a =即，所以，故 224a b =22222254c a b e a a +===e =故选：A.11．已知球O 的体积为，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面截球O 和圆锥所125π6α25πA ．2BCD ．【答案】C【分析】根据给定条件，求出球O 半径，平面截球O 所得截面小圆半径，圆锥底面圆半径，再α求出平面截圆锥所得的截面等腰三角形底边长及高即可计算作答. α【详解】球O 半径为R ，由得，平面截球O 所得截面小圆半径，由34π125π36R =52R =α1r得21128π5πS r ==1r =因此，球心O 到平面的距离，而球心O 在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平α1d r ===面所成的角为，α45 因圆锥的高为1，则球心O 到圆锥底面圆的距离为，于是得圆锥底面圆半径132d =，2r ===令平面截圆锥所得截面为等腰，线段AB 为圆锥底面圆的弦，点C 为弦AB 中点，如αPAB A 1O 图，依题意，，，，145CPO ∠=111CO PO ==PC =AB ==所以. 212AB S PC =⋅=故选：C【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.12．函数，则关于函数有下列四个结论：()31sin sin 344f x x x =+()f x①的一个周期为；②的最小值为③图像的一个对称中心为；④()f x 2π()f x ()f x π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间内为增函数．()f x π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①②④D ．②③【答案】C【分析】化简，对于①可以利用周期性定义判定；对于②④，均利用导数法()33sin sin 2f x x x =-判定其单调性得出结果；对于③，可通过判定的奇偶性得出结果.()f x 【详解】由题意可得：()()3131sin sin 3sin sin cos 2cos sin 24444f x x x x x x x x =+=++， ()()()223313sin sin 12sin 2sin 1sin sin sin 442x x x x x x x =+-+-=-显然，故①正确；()()2πf x f x +=， ()213cos sin 3cos cos cos 2f x x x x x x ⎛⎛⎫'=⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝令得，此时单调递增，；()0f x ¢>cos x ⎛⎫⎫∈ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ ()f x令得，此时单调递减；()0f x '<cos 1,x ⎛⎛∈- ⎝⎝ ()f x即在时取得极小值，此时函数值均为，()f x cos x =cos x =即②正确；而时，，此时单调递增，即④正确； π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()f x 对于，故是奇函数，关于原点中心对称，()()33sin sin 2f x x x f x -=-+=-()f x 由的周期性可得的对称中心为，事实上，即③错误，()f x ()f x ()2π,0k π03f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭综上正确的是：①②④ 故选：C【点睛】关键点睛：本题考察三角函数综合，难度较大.关键在于先化简得，()33sin sin 2f x x x =-利用导数研究其单调性及最值时注意统一变量及整体代换的意识，减小计算量.二、填空题13．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】/ 120.5【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1214．若直线与曲线相切，则___________. 2y x a =-2ln y x b =+a b +=【答案】2【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设切点坐标为，由曲线可得， ()00,x y 2ln y x b =+2y x'=则，解得，所以000002222ln x y x a y x b⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩00122x y a a b =⎧⎪=-⎨⎪-=⎩2a b +=故答案为：215．在四棱锥中，底面为梯形，，，点在侧棱上，点P ABCD -ABCD //AB DC 2AB CD =M PC 在侧棱上运动，若三棱锥的体积为定值，则_____ Q AP -M BDQ PMMC=【答案】2【分析】根据给定条件，由面积为定值，借助等体积法确定平面即可计算作答. MBD A //PA MBD 【详解】在四棱锥中，点是侧棱上的定点，则面积为定值， P ABCD -M PC MBD A 三棱锥的体积为定值，因此点到平面的距离为定值， -M BDQ M BDQ Q MBD V V --=Q MBD，MBD如图，连接，连接，平面平面，而平面， AC BD N ⋂=MN PAC MBD MN =PA ⊂PAC 因此，有，梯形中，，，则， //MN PA PM ANMC NC =ABCD //AB DC 2AB CD =2AN AB NC CD==所以. 2PMMC=故答案为：216．在平面直角坐标系中，点，满足的动点M 的轨迹为C ，若直线xOy ()6,0A :2:1MA MO =上存在点P ，在曲线C 上存在两点D ，E ，使得，则实数a 的取值范围是:60l x ay a -+=PD PE ⊥______． 【答案】[]1,7-【分析】先求出动点的轨迹方程，然后上存在两点D ，E ，使得成立,则点到圆心M C PD PE ⊥P，列式计算可求实数a 的范围. 【详解】设，因为，， (,)M x y ()6,0A ()0,0O又因为,，:2:1MA MO ==平方得，()222264()x y x y -+=+化简可得：，动点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆， ()22216x y ++=M (2,0)C -因为直线过定点，:60l x ay a -+=(0,6)若在直线上存在点，在上存在两点D ，E ，使得， :60l x ay a -+=P C PD PE ⊥当D ，E 为圆的切点时点， P所以点， P，,42670a a --≤解之可得：，17a -≤≤所以实数的取值范围是， a [1,7]-故答案为：.[1,7]-三、解答题17．为了进一步提升基层党员自身理论素养，强化基层党组织建设质量，市委组织部举办了主题为“夯实基础抓党建，心怀使命 立新功”的党建主题知识竞赛（满分120分）从参加竞赛的党员中采用分层抽样的方法，抽取若干名党员，统计他们的竞赛成绩得到下面的频率分布表： 成绩/分[)70,80 [)80,90 [)90,100 [)100,110[]110,120频率0.10.30.30.20.1已知成绩在区间内的有15人．[)90,100(1)将成绩在内的定义为“优秀”，在内的定义为“良好”．请将下面的列联表补充[]90,120[)70,9022⨯完整，并判断是否有99.9%的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关，说明你的理由．(2)若在抽取的竞赛成绩为优秀的党员中任意抽取2名党员进行党建知识宣讲，设为抽到的竞赛成ξ绩在内的人数，求的分布列及数学期望． []110,120ξ男党员 女党员 总计优秀 良好 15 总计25，．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)列联表见解析，没有，理由见解析(2)分布列见解析， ()13E ξ=【分析】（1）按条件填写二联表，依据公式计算即可；（2）先计算的所有可能取值为0，1，2，依次计算其对应概率，得出分布列，按照离散型随机变ξ量的均值计算即可.【详解】（1）设样本容量为n ，则，解得．故成绩优秀的党员人数为150.3n=50n =，成绩良好的党员人数为()0.30.20.15030++⨯=503020-=男党员 女党员 总计优秀 20 10 30 良好 5 15 20 总计 252550()225020151058.33310.82830202525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯故没有99.9%的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关．（2）因为竞赛成绩在，，内的人数分别为15，10，5，所以随机变量[)90,100[)100,110[]110,120ξ的所有可能取值为0，1，2，且，， ()225230C 200C 29P ξ===()11255230C C 251C 87P ξ===()25230C 22C 87P ξ===所以的分布列为ξ ξ01 2P20292587287故． ()2025210122987873Eξ=⨯+⨯+⨯=18．如图，在多面体中，四边形为直角梯形， ，ABCDMN ABCD //AB CD AB =， 为矩形.BC DC ⊥BC DC AM DM ====BDMN(1)求证：平面平面；ADM ⊥ABCD (2)线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加MN H H AD M --4πH 以证明.【答案】(1)见解析 (2)点为线段的中点 H MN【分析】（1）要证明平面平面，转证平面即可； ADM ⊥ABCD BD ⊥ADM （2）建立空间坐标系，利用向量法能求出存在点，利用二面角为大小为，即可得H H AD M --4π到结果.【详解】（1）由平面几何的知识得，， 2BD =2AD =又在中，满足， AB =∴ABD △222AD BD AB +=为直角三角形，且．ABD ∴A BD AD ⊥四边形为矩形，．BDMN BD DM ∴⊥由，，， BD AD ⊥BD DM ⊥DM AD D = 得平面． BD ⊥ADM 又平面，BD ⊂ABCD 平面平面．∴ADM ⊥ABCD （2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点．H H AD M --4πH AB 事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐D DA x DB y D ABCD z 标系，D xyz -则，0，，，0，，，2，，，0，，(0D 0)(2A 0)(0B 0)(1M 1)设，，，由，即，，，2，， (H x y )z MH MN DB λλ==1(-x y 1)(0z λ-=0)得，，．(1H 2λ1)设平面的一个法向量为，，，ADH (n x =y )z ，0，，，，，(2DA = 0)(1DH =2λ1)则，取，得，1，． ·20·20n DA x n DH x y z λ⎧==⎨=++=⎩1y =(0n =2)λ-平面的一个法向量为，1，．ADM (0m =0)二面角为大小为，H AD M --4π．cos|cos ,|4m n π∴=<>=解得或（舍去）．12λ=12λ=-当点为线段的中点时，二面角为大小为．∴H MN H AD M --4π19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.ABC A A B C a b c ()sin sin sin b c CB A b a-=-+（1）求； A （2）若，求的最小值. 2a =11tan tan B C+【答案】（1）；（23π【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，化简得到，再利用余弦定理，求得222b c a bc +-=cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得2bc a ≤，即可解. 22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R aR B R C B bcC ⋅⋅==⋅+【详解】（1）由，可得，()sin sin sin b c CB A b a-=-+()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+由正弦定理得，即，()()()b c c b a b a -=-+222b c a bc +-=由余弦定理，得， 2221cos 22b c a A bc +-==因为，可得.0A π<<3A π=（2）由（1）知，设三角形的外接圆的半径为，可得3A π=R 2sin a R A ==又由余弦定理得， 222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥即，当且仅当时取等号，24bc a ≤=2b c ==又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+=，()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅=≥其中是外接圆的半径， R ABC A所以11tan tan B C +20．已知动圆M 经过点，且动圆M 被y 轴截得的弦长为4，记圆心M 的轨迹为曲线C ． ()2,0N (1)求曲线C 的标准方程；(2)设点M 的横坐标为，A ，B 为圆M 与曲线C 的公共点，若直线AB 的斜率，且0x 1k =[]00,4x ∈，求的值． 0x 【答案】(1) 24y x =(2)08x =-【分析】（1）设，则点M 到y 轴的距离为，再根据圆M 被y 轴截得的弦长，即可得出(),M x y x 答案；（2）设，，直线AB 的方程为，联立方程，利用韦达定理求出211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x m =+，，设线段AB 的中点为T ，点M 的纵坐标为，则，由此可求出，再根12y y +12y y 0y MT AB ⊥m 据圆M 经过点，即可得解.()2,0N 【详解】（1）设，则点M 到y 轴的距离为， (),M x y x 因为圆M 被y 轴截得的弦长为4，所以，224MN x =+又，所以，化简可得， ()2222MN x y =-+()22242x x y +=-+24y x =所以曲线C 的标准方程为；24y x =（2）设，， 211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为直线AB 的斜率，所以可设直线AB 的方程为， 1k =y x m =+由及，消去x 可得， y x m =+24y x =2440y y m -+=则，所以，16160m ∆=->1m <所以，， 124y y +=124y y m ==设线段AB 的中点为T ，点M 的纵坐标为，则，，0y ()2,2T m -MT AB ⊥所以直线MT 的斜率为，所以， 1-()00212y x m -=---所以，00200444m x y yy ==----所以AB ==易得圆心M 到直线AB 的距离， 02d y=-由圆M 经过点，可得()2,0N AB ==所以， ()24200003234422416y y y y ⎛⎫⎡⎤+-=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦整理可得，解得4200643200y y -+=2032y =+2032y =-所以或， 08x =+08x =-又，所以．[]00,4x ∈08x =-【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标Q x y P 0x 0y P ()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；Q （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到x y x y t方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.21．已知函数，，若在处取得极小值．()()ln =-+xf x xe a x x 0x >()f x 0x x =（1）求实数的取值范围； a （2）若，求证：． ()00f x >()03002f x x x >-【答案】（1）；（2）证明见解析.()0,∞+【解析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()()()1x x xe a f x x+-'=a 在区间上的单调性，结合已知条件可得出实数的取值范围；()y f x =()0,∞+a （2）由极值点的定义可得出，由可得出，构造函数可00xx e a =()00f x >001x <<()ln 1p x x x =-+得出，构造函数可得出，进而可得出，即00ln 1x x <+()1x q x e x =--001xe x >+()()200021f x x x >-可证得结论成立.【详解】（1）依题意，，，()()ln =-+xf x xe a x x 0x >．()()()1111x x x f x x e a xe a x x +⎛⎫'=+-+=⋅- ⎪⎝⎭①当时，则，函数在上单调递增，函数无极小值， 0a ≤()0f x ¢>()y f x =()0,∞+()y f x =所以不符题意；0a ≤②若，令，，，0a >()x g x xe a =-0x >()()10xg x x e '=+>故函数在上单调递增，()y g x =()0,∞+又，，()00g a =-<()()10ag a a e =->据零点存在性定理可知，存在，使得，， ()00,x a ∈()00g x =()00f x '=且当时，，，函数在上单调递减； 00x x <<()0g x <()0f x '<()y f x =()00,x 当时，，，函数在上单调递增. 0x x >()0g x >()0f x ¢>()y f x =()0,x +∞所以在处取得极小值，所以符合题意． ()f x 0x x =0a >综上所述，实数的取值范围是；a ()0,∞+（2）由（1）可知，当时，存在，使得，即．0a >()00,x a ∈()00g x =00xx e a =又，即，所以．()00f x >()0000ln 0x x e a x x -+>()00001ln 0xx e x x -->因为，，所以，即． 00x >00x e >001ln 0x x -->00ln 10x x +-<令，，， ()ln 1h x x x =+-0x >()110h x x'=+>故函数在上单调递增，又，据，可得． ()y h x =()0,∞+()10h =()00h x <001x <<令，，， ()ln 1p x x x =-+01x <<()110p x x'=->故函数在上单调递增，()y p x =()0,1所以，故，其中．()()10p x p <=ln 1x x <-01x <<令，，．()1xq x e x =--01x <<()10x q x e '=->故函数在上单调递增，()y q x =()0,1所以，故，其中．()()00q x q >=1x e x >+01x <<所以，()()()()()0200000000001ln 11121x f x x e x x x x x x x x =-->+---=-⎡⎤⎣⎦结合，可得． 001x <<()03002f x x x >-【点睛】本题考查利用函数存在极值点求参数的取值范围，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t 为参数），以坐标原点xOy l4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为，直线经过点A ．曲线C2,6π⎛⎫⎪⎝⎭l 的极坐标方程为．2sin 4cos ρθθ=（1）求直线的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； l（2）过点作直线的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求的值． )Pl 11PD PE-【答案】（1）直线的普通方程为，曲线C 的直角坐标方程为；（2）． l 2y =-24y x =12【解析】（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出的值，再转化成普通方程；在曲线a 方程两边同时乘以，即可得到答案；ρ（2）设直线的参数方程为（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答DE 12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩案；【详解】解：（1）由题意得点A 的直角坐标为，将点A 代入得)4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩则直线的普通方程为．l 2y -由得，即． 2sin 4cosρθθ=22sin4cos ρθρθ=24y x =故曲线C 的直角坐标方程为．24y x =（2）设直线的参数方程为（t 为参数），DE 12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入得． 24y x=20t +-=设对应参数为，对应参数为．D 1tE 2t 则，．12t t +=-12t t =-10t >20t <∴． 121212*********2t t PD PE t t t t t t +-=-=+==【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 23．已知函数． ()||||(0,0)f x x a x b a b =-++>>（1）当时，解不等式； 1a b ==()2f x x <+（2）若的值域为，证明：．()f x [3,)+∞22428(1)a b b a b +++≥+【答案】（1）；（2）证明见解析． {02}xx <<∣【分析】（1）在，，三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可； 1x <-1<1x ≤-1x ≥（2），结合的值域为，可知．因此有()||||||f x x a x b a b =-++≥+()f x [3,)+∞3a b +=，从而证明出题设不等式. 22(1)8(1)2241(1)(1)a b a b a b a b ⎧++≥++≥=⎪⇒⎨≥⎪+++≥⎩⎩【详解】（1）当时，不等式为， 1a b ==|1||1|2x x x -++<+当时，不等式化为，此时不等式无解；1x <-2223x x x -<+⇒>-当时，不等式化为，故； 1<1x ≤-220x x <+⇒>01x <<当时，不等式化为，故．1x ≥222x x x <+⇒<12x ≤<综上可知，不等式的解集为． {02}x x <<∣（2），()||||||f x x a x b a b =-++≥+当且仅当与异号时，取得最小值， x a -x b +()f x ||a b +∵的值域为，且，，故．()f x [3,)+∞0a >0b >3a b +=（当且仅当时取等号），(1)22a b ++≥=12a b =+=∴．22(1)8a b ++≥又∵时取等号）， (1)a b ++≥12a b =+=∴，∴，(1)4a b +≤41(1)a b ≥+∴，224(1)9(1)a b a b +++≥+∴．22428(1)a b b a b +++≥+【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题.。

2020届广西省柳州高中、南宁二中两校联考高三上学期第一次考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{1,0,1}A =-，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．{0}D ．∅【答案】B【解析】用列举法表示集合B ，然后用集合交集的定义求出A B .【详解】因为{|21,}B y y x x A ==-∈，{1,0,1}A =-，所以{}3,1,1B =--，因此有{}1,1A B ⋂=-，故本题选B.【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B 是解题的关键.2．已知复数()()121z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先利用复数的乘法求出复数z ，再根据共轭复数的定义求出复数z ，即可得出复数z 在复平面内对应的点所处的象限。

【详解】()()2121123z i i i i i =+-=+-=+，3z i ∴=-，所以， 复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第四象限，故选：D 。

【点睛】本题考查复数的除法，考查共轭复数的概念与复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题。

3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B . 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 4．5人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A.12 B.36 C.72 D.120【答案】C【解析】由分步原理，先排除去甲、乙两人外的3人，再将甲、乙两人从4个空中选2个插入即可得解. 【详解】解:先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共33A =321⨯⨯=6种不同的排法，再将甲、乙两人从4个空中选2个插入共24A =12种不同的排法，即5人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是61272⨯=，故选C.【点睛】本题考查了排列组合中的不相邻问题，属基础题.5．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据图表逐项判定即可【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误.故选C.【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题6．函数3()x xxf xe e-=+在[6,6]-的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及()2f 与1的大小关系辨别函数()y f x =的图象。

卜人入州八九几市潮王学校高中二中二零二零—二零二壹第一学期高三数学理科联考试卷第一卷〔选择题一共60分〕参考公式：假设事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 假设事件A 、B 互相HY ，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )假设事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1．集合},14|{},,12|{},,2|{Z k k x x C Z k k x x B Z k k x x A ∈+=∈+=∈=，又B b A a ∈∈,，那么有〔〕A ．A b a ∈+B ．B b a ∈+C ．C b a ∈+D ．b a +不属于A ,B ,C 中的任意一个 2．41)4cos(=-πα,那么α2sin 的值是〔〕A ．3231B ．3231-C ．87-D ．873．奇函数)0()(≠=x x f y ,当),0(+∞∈x 时，1)(-=x x f ,那么函数)1(-=x f y 的图象为〔〕4．－7，21,a a ，－1四个实数成等差数列，1,,,,4321--b b b 五个实数成等比数列，那么212b a a -=〔〕5．函数xxx f +-=121)(2007，那么)1(1-f的值等于〔〕A ．0B ．－2C ．2212007+D ．2212007-6．假设b OB a OA ==,，那么∠AOB 平分线上和向量OM为〔〕A ．||||b aa b +B ．)||||||||(b a ba ab ++λC ．)||(b a b a ++λD ．)||||(b b a a +λ〔以上OM R 由∈λ决定〕 p ：xx 1+的最小值是2，q ：5)1(x -的展开式中第4项的系数最小，以下说法正确的选项是〔〕①“p 或者q 〞为假 ②“p 且q 〞为真 ③“非p 〞为真 ④q 为假A ．①③④B ．②④C ．②D ．③8．生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10%~20%的能量可以流动到下一个营养级〔称为能量传递率〕，在H 1→H 2→H 3→H 4→H 5→H 6这条生物链中，假设使H 6获得10kJ 的能量，那么需要H 1最多提供的能量是 〔〕A ．6000kJB ．6×106kJC ．106kJD ．107kJ9．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后HY 完成6道自我检测题，甲及格的概率为54，乙及格的概率为53，丙及格的概率为107，三人各自检测一次，那么三人中只有一人及格的概率为 〔〕A ．203 B ．12542 C ．25047D ．以上都不对10．抛物线c bx x y++-=22在点〔2,－1〕处与直线3-=x y 相切,那么c b +的值是〔〕11．)(x f y=是偶函数，当x >0时，xx x f 4)(+=,且当]1,3[--∈x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,那么n m -的最小值是〔〕A ．31 B ．32 C ．34 D ．112．数列{a n }中,n S a ,11=是其前n 2≥n 时,n n S a 3=,那么31lim 1-++∞→n n n S S 的值是〔〕A ．31-B ．－2C ．1D ．54-第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中横线上〕 13．某要把9台型号一样的电脑送给西部地区的三所希望，每所至少得到2台，不同的送法一共有. 14．在10)1)(1(x x +-的展开式中,3x 的系数为.〔用数字答题〕15．对于实数x 、y ,定义新运算1++=*by ax y x ,其中a 、b 是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.假设3*5=15,4*7=28,那么1*1=.16．定义在〔－∞,+∞〕上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+,且在[－1,0]上是增函数,下面是关于)(x f 的判断：①)(x f 是周期函数；②)(x f 是图象关于直线x =1对称；③)(x f 在[0，1]上是增函数；④)(x f 在[1，2]上是减函数；⑤).0()2(f f =其中正确的判断是〔把你认为正确的判断都．填上〕 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题总分值是12分〕设P ：关于x 的不等式：a x x <-+-|3||4|的解集是.φQ ：函数)lg(2a x ax y +-=的定义域为R .假设P 和Q 有且仅有一个正确,求a 的取值范围.18．〔此题总分值是12分〕设向量a 、b 满足7|23|1||||=-==b a b a 及.〔1〕求a 、b 所成的角的大小. 〔2〕求|3|b a +的值.19．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且,272cos 2sin 42=-+A C B 〔1〕求∠A 的度数； 〔2〕假设,3,3=+=c b a求b 和c 的值.20．〔12分〕设{a n }为公差大于0的等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项的和.S 4=24，a 2a 3=35. 〔1〕求数列{a n }的通项公式a n ；〔2〕假设,11+=n n na ab 求}{n b 的前n 项和T n .21．〔本小题总分值是12分〕一根程度放置的长方体形枕木的平安负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.〔1〕将此枕木翻转90°〔即宽度变为了厚度〕，枕木的平安负荷变大吗？为什么？〔2〕如今一根横断面为半圆〔半圆的半径为R 〕的枕木，用它来截取成长方形的枕木，其长度为枕木规定的长度， 问如何截取，可使平安负荷最大？22．〔本小题总分值是14分〕)(x f 在(－1,1)上有定义,,1)21(=f 且满足)1,1(,-∈y x 有),1()()(xyy x f y f x f --=-对数列}{n x 有).(12,21*211N n x x x x nn n ∈+==+ 〔1〕证明：)(x f 在(－1,1)上为奇函数；〔2〕求)(n x f 的表达式；〔3〕是否存在自然数m ，使得对于任意*N n ∈且48)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n 成立？假设存在，求出m 的最小值.[参考答案]二、填空题13．1014．7515．－1116．①②⑤三、解答题〔本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 17．解：使P 正确的a 的取值范围是：1≤a〔4分〕Q 正确02>--⇔a x ax a =0时,x a x ax -=+-2Q 正确214102>⇔⎩⎨⎧<-=∆>⇔a a a 〔8分〕 假设P 正确而Q 不正确，那么21≤a ， 假设Q 正确而P 不正确，那么,1>a 故所求的a 的取值范围：.121>≤a a 或〔12分〕 18．解〔1〕7)23(2=-b a 712||4||922=⋅-+b a b a而211||||=⋅∴==b a b a …………………………………………4分 21)cos(||||=⋅⋅∴b a b a a ∴、b 所成的角为3π………………6分〔2〕13139||6||9)3(222=++=+⋅+=+b b a a b a13|3|=+∴b a ………………………………………………………12分 19．解：〔1〕由272cos 2sin42=-+A C B 及A+B+C=180°， 得271cos 2)]cos(1[22=+-+-A C B ，………………………………4分∵0°<A <180°，∴A =60°……………………………………………6分〔2〕由余弦定理得：.2cos 222bca cb A -+=,212,21cos 222=-+∴=bc a c b A ………………………………8分.3)(22bc a c b =-+∴将3,3=+=c b a 代入上式得bc =2.由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+.1,2.2,123c b c b bc c b 或得 20．解：〔1〕24)(22)(432414=+=+=a a a a S ………………………2分 由5,7,7,5351232323232====⎩⎨⎧==+a a a a a a a a 或解得…………4分,7,5,032==∴>a a d 于是,3,2123==-=a a a d ……………6分 12)1(23+=-+=∴n n a n …………………………………………8分〔2〕)321121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n……………………10分96)]321121()7151()5131[(21+=+-+++-+-=∴n nn n T n …………12分 21．解〔1〕平安负荷221lad k y ⋅=(k 为正常数)，翻转90°后，.222lda k y ⋅=,21ady y =∴当0<d <a 时，21y y <，平安负荷变大； 当d a<<0时12y y <，平安负荷变小；当a =d ,y 1=y 2,平安负荷不变.…………………………………………5分 〔2〕设截取的宽为a ，高为d ，那么222)2(R d a =+，即.44222R d a =+ ∵枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，平安负荷最大.2222244d R d a d u -==令)(46242d R d u v -==那么)32(8)64(4233523d R d d R d v -=-='令,0='v 那么),0(36舍去负>=d R d 即取,36R d =取R d R a 332222=-=时 u 最大，即平安负荷最大.………………………………………………12分22．解：〔1〕当0==y x时，0)0(=f ；令x =0,得)()()0(y f y f f -=-即0)()(=-+y f y f∴对任意的0)()(),1,1(=-+-∈x f x f x故)(x f 在〔－1，1〕上为奇函数.…………………………………………3分〔2〕}{n x 满足.10.12,21211<<∴+==+n nn n x x x x x )(),12(])(1)([)()(2x f x x f x x x x f x f x f nnn n n n n n +=----=-- 在〔－1，1〕上为奇函数. )(2)(1n n x f x f =∴+；由,1)(,21,1)21(11=∴==x f x f 从而12)(-=n n x f …………………………8分 〔3〕112212122112112121211)(1)(1)(1---=--=++++=+++n nn n x f x f x f 假设存在自然数m ,使得对于任意*N n ∈,有48)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n 482121-<--m n 恒成立..16248≥≥-∴m m 解得 ∴存在自然数m ≥16，使得对于任意,*N n ∈有48)(1)(1)(121-<+++m x f x f x f n 成立.此时，m 的最小值为16.……………………………………………………14分。

2020年高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．设Z（M）表示整数集合M中的质数的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜18}，B＝{x|5＜2x ＜27}，则Z（A∩B）＝（）A．3B．4C．5D．62．设，是z的共轭复数（注：a+bi的共轭复数为a﹣bi），则z•＝（）A．﹣2i B．i C．2D．43．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝4，S9＝45，a10＝（）A．20B．10C．44D．554．已知直线x+2y+4＝0过椭圆C的两个顶点，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．5．圆O：x2+y2＝π2内的曲线y＝|sin x|与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．6．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a7．函数﹣|x|的大致图象为（）A．B．C．D．8．已知在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足，则的值是（）A．﹣1B．0C．﹣3D．69．若，＝（）A．B．C．﹣D．10．设所有棱长都为2的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．8πB．C．4πD．20π11．已知直线l1，l2经过抛物线C：y2＝x的焦点F，l1，l2互相垂直，直线l1与C交于D，E两点，直线l2与C交于A，B两点，则|AB|•|DE|的最小值为（）A．2B．4C．8D．1612．设，g（x）＝ax+3﹣2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）＝f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．B．C．[D．[4，+∞）二、填空题（共4小题）13．设等比数列{a n}满足a1+a3＝﹣5，a1﹣a3＝3，则a4＝．14．若函数为偶函数，则a＝．15．随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.234，则P（ξ＞μ﹣2）＝．16．胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用．空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是便捷、价格便宜，多适用于旅客．如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，则它的内接正四棱锥的表面积为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了10个家庭的样本，得到数据如表所示．10个家庭的月收入额与食品支出额数据（单位：百元）家庭12345678910收入（x）20303340151326383543支出（y）7981154810910参考数据：x i＝293，y i＝81，x＝9577，y＝701，x i y i＝2574．参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．（1）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．一个家庭或个人收入越少，用于购买生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大．对一个国家而言，一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购买食物的费用所占比例就越大．恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕．根据上述样本数据，请估计这个国家达到最富裕（恩格尔系数＜30%）的家庭比例；（2）建立y（支出）关于x（收入）的回归方程（系数精确到0.01），并解释及的现实生活意义．19．如图，在棱长为a的正方体．AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．（1）求证：平面AMN∥平面BEFD；（2）求直线AF与平面BEFD所成角的正弦值．20．已知椭圆C：，椭圆的长轴长为4，离心率为，若直线l：y ＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：△AOB的面积为定值，并求此定值．21．已知函数f（x）＝kx﹣lnx．（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求k的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡.上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为，椭圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）求直线l的参数方程和椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|的最小值为其中m＞0）．（1）求m的值；（2）若a2+b2+c2＝m，的最小值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设Z（M）表示整数集合M中的质数的个数，设集合A＝{x|﹣1＜x＜18}，B＝{x|5＜2x ＜27}，则Z（A∩B）＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算求出，从而可得出集合A∩B所含的质数，从而得出Z（A∩B）的值．解：∵，∴，∴集合A∩B中所含质数为：3，5，7，11，13，∴Z（A∩B）＝5．故选：C．2．设，是z的共轭复数（注：a+bi的共轭复数为a﹣bi），则z•＝（）A．﹣2i B．i C．2D．4【分析】利用商的模等于模的商求得|z|，再由求解．解：∵，∴|z|＝||＝，∴z•＝|z|2＝4．故选：D．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝4，S9＝45，a10＝（）A．20B．10C．44D．55【分析】利用等差数列{a n}的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出a1＝1，d＝1，由此能求出a10．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝4，S9＝45，∴，解得a1＝1，d＝1，∴a10＝1+9＝10．故选：B．4．已知直线x+2y+4＝0过椭圆C的两个顶点，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】求出椭圆的顶点坐标，顶点a，b，然后顶点椭圆的标准方程．解：直线x+2y+4＝0过椭圆C的两个顶点，可得a＝4，b＝2，所以椭圆的标准方程为：椭圆C．故选：A．5．圆O：x2+y2＝π2内的曲线y＝|sin x|与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y＝|sin x|与x轴围成的区域记为M的面积为S＝2∫0πsin xdx＝﹣2cos x|0π＝4，代入几何概率的计算公式可求．解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，曲线y＝|sin x|与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S＝2∫0πsin xdx＝﹣2cos x|0π＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P ＝，故选：B．6．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵0＜ln2＜1，∴0＜a＜1，∵ln3＞1，∴b＞1，∵，∴c＜0，∴c＜a＜b，故选：B．7．函数﹣|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】由f（1）＞0及x趋近于0时函数的极限值为1，即可得出正确选项．解：由f（1）＝sin1+1＞0，可排除AD；又，故排除C，选B．故选：B．8．已知在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足，则的值是（）A．﹣1B．0C．﹣3D．6【分析】将用，向量表示，通过菱形边长求解即可解：如图：；∵边长为3的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E满足，∴＝（+）•（+）＝（+）•（﹣+）＝﹣+•+＝﹣32+×3×3×cos60°+×32＝﹣3．故选：C．9．若，＝（）A．B．C．﹣D．【分析】由已知结合诱导公式及二倍角的余弦公式进行化简即可求解．解：若，则＝sin[]＝cos（）＝1﹣2＝1﹣2×＝．故选：D．10．设所有棱长都为2的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．8πB．C．4πD．20π【分析】连接上下底面的中心M，N，则MN得中点即为外接球球心，容易求得半径，面积．解：如图，M，N分别是上下底面正三角形的中心，O为MN的中点，易知O为外接球的球心，AN＝AD＝×AB＝××2＝；在直角三角形ONA中，可得半径OA＝＝＝，∴S球＝4π×＝，故选：B．11．已知直线l1，l2经过抛物线C：y2＝x的焦点F，l1，l2互相垂直，直线l1与C交于D，E两点，直线l2与C交于A，B两点，则|AB|•|DE|的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【分析】由题意可知直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为：y＝k（x﹣），所以直线l2的斜率为﹣，联立直线l1与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的定义得到，|DE|＝＝1+，|AB|＝，所以|AB|•|DE|＝＝2+，再利用基本不等式即可求出|AB|•|DE|的最小值．解：由题意可知，焦点F（，0），准线方程为：x＝﹣，显然直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为：y＝k（x﹣），∵直线l1，l2互相垂直，∴直线l2的斜率为﹣，联立方程，消去y得：，设D（x1，y1），E（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），∴，同理可得：，由抛物线的定义可知，|DE|＝＝1+，|AB|＝，∴|AB|•|DE|＝＝2+＝4，当且仅当，即k＝±1时，等号成立，∴∴|AB|•|DE|的最小值为4，故选：B．12．设，g（x）＝ax+3﹣2a（a＞0），若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）＝f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．B．C．[D．[4，+∞）【分析】先对函数f（x）分x＝0和x≠0，运用二次函数的值域求法，可得f（x）的值域，运用一次函数的单调性求出函数g（x）的值域，由题意可得f（x）的值域包含在g （x）的值域内，可得a的不等式组，解不等式可得a的取值范围．解：∵，当x＝0时，f（x）＝0，当x≠0时，f（x）＝＝，由0＜x≤1，即≥1，（+）2﹣≥2，∴0＜f（x）≤，故0≤f（x）≤，又因为g（x）＝ax+3﹣2a（a＞0），且g（0）＝3﹣2a，g（1）＝3﹣a．由g（x）递增，可得3﹣2a≤g（x）≤3﹣a，对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）＝f（x1）成立，可得[0，]⊆[3﹣2a，3﹣a]，可得，∴≤a≤．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设等比数列{a n}满足a1+a3＝﹣5，a1﹣a3＝3，则a4＝±8．【分析】利用等比数列{a n}满足a1+a3＝﹣5，a1﹣a3＝3，列出方程组，求出a1＝﹣1，q ＝±2，进而求出a4．解：∵等比数列{a n}满足a1+a3＝﹣5，a1﹣a3＝3，∴，解得a1＝﹣1，q＝±2，∴a4＝﹣1×（±2）3＝±8．故答案为：±8．14．若函数为偶函数，则a＝1．【分析】根据题意，求出f（﹣x）的表达式，结合函数奇偶性的定义可得﹣tan xln（﹣x+）＝tan xln（x+），变形分析可得答案．解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝tan（﹣x）ln（﹣x+）＝﹣tan xln（﹣x+），若函数为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即﹣tan xln（﹣x+）＝tan xln（x+），变形可得ln（a）＝0，解可得a＝1；故答案为：1．15．随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.234，则P（ξ＞μ﹣2）＝0.734．【分析】根据正态分布的密度函数图象关于直线x＝μ轴对称，即可求得P（ξ＞μ﹣2）．解：根据题意，正态分布N（μ，σ2）的密度函数图象关于直线x＝μ轴对称，∵P（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.234，∴P（ξ＞μ﹣2）＝0.5+0.234＝0.734．故答案为：0.734．16．胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用．空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是便捷、价格便宜，多适用于旅客．如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，则它的内接正四棱锥的表面积为8+8．【分析】画出图形，利用求出正四棱锥的表面积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图：正四棱锥的底面边长为：2，棱锥的高为：6．斜高为：＝，底面面积为：＝8，侧面积为：4×＝8．所以正四棱锥的表面积为：8+8．故答案为：8+8．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后结合题干根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得．∴a n＝1+（n﹣1）•1＝n，n∈N*．（2）由（1）知，S n＝，∴＝＝2（﹣）．∴T n＝b1+b2+…+b n＝2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．18．为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了10个家庭的样本，得到数据如表所示．10个家庭的月收入额与食品支出额数据（单位：百元）家庭12345678910收入（x）20303340151326383543支出（y）7981154810910参考数据：x i＝293，y i＝81，x＝9577，y＝701，x i y i＝2574．参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．（1）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．一个家庭或个人收入越少，用于购买生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大．对一个国家而言，一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购买食物的费用所占比例就越大．恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕．根据上述样本数据，请估计这个国家达到最富裕（恩格尔系数＜30%）的家庭比例；（2）建立y（支出）关于x（收入）的回归方程（系数精确到0.01），并解释及的现实生活意义．【分析】（1）根据恩格尔系数的定义算出10个家庭的恩格尔系数，其中系数低于30%的家庭有5个，从而算出最富裕家庭的比例；（2）结合表格中数据和的公式计算出回归方程的系数即可得解．解：（1）由题意可知，10个家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭12345678910恩格尔系数35%30%24.24%27.5%33.33%30.77%30.77%26.32%25.71%23.26%所以这个国家达到最富裕的家庭有5个，估计这个这个国家达到最富裕的家庭比例为．（2），，所以＝＝0.20．，所以y关于x 的回归方程为．的现实意义为收入每增加1百元，估计支出增加的值；的现实意义为用于购买生存性的食物的最少支出．19．如图，在棱长为a的正方体．AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．（1）求证：平面AMN∥平面BEFD；（2）求直线AF与平面BEFD所成角的正弦值．【分析】（1）设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，进而得到平面AMN∥平面EFBD．（2）求出平面平面EFBD的法向量，根据两个法向量夹角公式，可得直线AF与平面BEFD所成角的正弦值．解：（1）证明：如图1，连接B1D1，EN，∵M、N分别是A1B1，A1D1的中点，∴MN∥D1B1，又∵DD1∥BB1且DD1＝BB1，∴DBB1D1为平行四边形，得D1B1∥DB，∴MN∥DB，∵MN⊄平面BDEF，BD⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF，∵在正方形A1B1C1D1中，M，F分别是棱A1B1，D1C1的中点，∴MF∥A1D1且MF＝A1D1，又∵A1D1∥AD且A1D1＝AD，∴MF∥AD且MF＝AD，∴四边形ABEN是平行四边形，∴AM∥DF，又∵AM⊄平面BDEF，DF⊂平面BDEF，∴AM∥平面BDEF，∵AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，∴平面AMN∥平面DBEF．（2）如图，以B为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，则B（0，0，0），E（0，2，4），D（4，4，0），A（4，0，0），F（2，4，4），，．设平面BDFE的法向量为．⇒＝＝．∴直线AF与平面BEFD所成角的正弦值为．20．已知椭圆C：，椭圆的长轴长为4，离心率为，若直线l：y ＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：△AOB的面积为定值，并求此定值．【分析】（1）由长轴长及离心率和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）将直线与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由（1）可得的值，进而可得k，m的关系，求出弦长AB，及O到直线的距离，代入面积公式可证得面积为定值．解：（1）由题意可得2a＝4，＝，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为：+＝1；（2）由（1）得：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为＝﹣，即＝﹣，*联立直线与由的方程：，整理可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝﹣+m2＝，由*可得：＝﹣可得2m2＝3+4k2，所以弦长AB|＝＝•＝•，O但直线l的距离d＝＝，所以S△AOB＝d＝＝•4＝，所以可证：△AOB的面积为定值，且此定值为．21．已知函数f（x）＝kx﹣lnx．（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求k的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：．【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（2）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．解：（1）∵f（x）＝kx﹣lnx，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增∴f′（x）＝k﹣≥0在（1，+∞）恒成立，∴k≥，∴k≥1；（2）证明：不妨设x1＞x2＞0，∵f（x1）＝f（x2）＝0，∴kx1﹣lnx1＝0，kx2﹣lnx2＝0，可得lnx1+lnx2＝k（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝k（x1﹣x2），要证明x1x2＞e2，即证明lnx1+lnx2＞2，也就是证k（x1+x2）＞2，∵k＝，∴即证明：＞，即：ln＞，令＝t，则t＞1，于是lnt＞．令g（t）＝lnt﹣，t＞1，则g′（t）＝＞0，故函数g（t）在（1，+∞）上是增函数，∴g（t）＞g（1）＝0，即lnt＞成立．∴原不等式成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡.上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为，椭圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）求直线l的参数方程和椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．【分析】（1）根据题意，将直线的方程变形可得y＝（x﹣1），写出参数方程的形式即可，将椭圆的方程变形可得x2+（）2＝1，整理即可得答案；（2）根据题意，设A，B对应的参数分别为t1，t2，将直线的方程与椭圆的方程联立可得t2+4（1+）2﹣4＝0，求出t1、t2的值，又由|AB|＝|t1﹣t2|，即可得答案．解：（1）根据题意，已知直线l的方程为，即y＝（x﹣1），其参数方程为，（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），则有x2+（）2＝1，变形可得：+x2＝1，即椭圆C的标准方程为+x2＝1；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，设A，B对应的参数分别为t1，t2，椭圆C的标准方程为+x2＝1，变形可得y2+4x2﹣4＝0，又由直线l的参数方程为，则有t2+4（1+）2﹣4＝0，变形可得7t2+16t＝0，则t1＝0，t2＝﹣，则|AB|＝|t1﹣t2|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|的最小值为其中m＞0）．（1）求m的值；（2）若a2+b2+c2＝m，的最小值．【分析】（1）对f（x）化简，对绝对值号进行分类讨论，求出f（x）的最小值f（﹣）＝，求出m；（2）由m＝11，利用柯西不等式求出即可．解：（1）|＝|2x+1|+|x﹣m|的最小值为其中m＞0），当x∈（﹣∞，﹣）时，f（x）＝﹣3x+m﹣1，当x∈[]时，f（x）＝2x+1﹣x+m＝x+m+1，当x∈（m，+∞）时，f（x）＝3x+1﹣m，图象如下：f（﹣）＝m+，f（m）＝2m+1，m+﹣（2m+1）＝﹣m﹣＜0，故，故m＝11；（2）由a2+b2+c2＝11，由柯西不等式得，（）（a2+b2+c2+1）≥（2+3+1）2＝36，当且仅当时，取等号，故的最小值为3．。