2+b2-c2 a 5.在 △ABC 中, 若其面积 S= , 则 C=____. 30 4 3
6.在 △ABC 中, a=60, b=1, 其面积为 3 , 则 △ABC 外接圆的 2 39 直径是_______. 3
7.在 △ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 的对边, a= 3 , cosA= 1 , 3 1 , b2+c2 的最大值为 9 . 则 cos2 B+C = 2 3 2 ] (0, 8.在 △ABC 中, AB=1, BC=2, 则角 C 的取值范围是______. 6 9.设 O 是锐角三角形 ABC 的外心, 若 C=75, 且 △AOB, △BOC, △COA 的面积满足关系式 S△AOB+S△BOC= 3 S△COA, 求 A. 45 5 , 求 cosC 的值. 10.在 △ABC 中, 已知 sinA= 3 , cosB= 5 13 5 < 1, 解: ∵在 △ABC 中, cosB= 13 2 2B = 12 . 且 sinB= 1 cos ∴60º <B<90º , 13 2 又sinA= 3 < , ∴0º <A<45º 或 135º <A<180º . 2 5 4 ∵A+B<180º , ∴0º <A<45º . ∴cosA= 1-sin2A = 5 . ∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 3 12 4 5 = 16 . = 5 × 13 - 5 × 13 65
应用二: 判断三角形的形状
例1 △ABC 中, 若 sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C, 判断 △ABC 的形状. 直角三角形 sin2A+sin2B-sin2C 1+cos2C 例2 在 △ABC 中, 已知 2 = , 试判 2 2 sin A-sin B+sin C 1+cos2B 断三角形的形状. 直角三角形或等腰三角形 例3 在 △ABC 中, 已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab, sinA+sinB= 3 , 试判断三角形的形状. 正三角形 例4 在 △ABC 中, 已知 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 试判断 三角形的形状. 直角三角形或等腰三角形 例5 在△ABC中, 若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1)试判 断三角形的形状; (2)若 cosB=4(1-cosA), 求 △ABC 三边 a, b, c 的比. 直角三角形; 8:15:17
b a c (2)sinA= 2R , sinB= 2R , sinC= 2R ; (3)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC. 已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时, 务必注意可 能有两解. 2+c2-a2 b 2 2 2 3.余弦定理: a =b +c -2bccosA, cosA= 2bc 等, 常选用余 弦定理鉴定三角形的形状. 4.射影定理: a=bcosC+ccosB. 1absinC= 1r(a+b+c)(其中 r 为三角形内 5.面积公式: S= 1 ah = 2 a 2 2 切圆半径). 特别提醒: (1)求解三角形中的问题时, 一定要注意 A+B+C= 这一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC, sin A+B =cos C ; (2)求解 2 2 三角形中含有边角混合关系的问题时, 常运用正弦定理、余弦 定理实现边角互化.
应用三: 三角形的证明
例1 在 △ABC 中, 求证: (1) a-ccosB = sinB ; b-ccosA sinA (2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A); (3)a2+b2+c2≥4 3 S(S 为 △ABC 的面积). 提示: (1)法一: 边换角 (2)法一: 边换角 法三: 构造图形 (3)作差换 c2 即可. 差为: 2(a2+b2)-4absin(C+30) ≥2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0. (正三角形时取等号). 法二: 角换边 A c a b b D b C
应用举例
应用一: 解三角形
例1 设△ABC也成等差数列, 求三内角. A=B=C=60 提示: 令 A-C=2, 可得: 4cos2-3cos-1=0 得: cos=1 得: A=C. 例2 在△ABC 中, 已知 b= 3 , c=2 3 , 角 A 的平分线 AD=2, 求三角形的三内角的度数. A=60, B=30, C=90 例3 在△ABC 中, 若面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2, 求 tanC 的值. 4 3
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c,
1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=. 注 任意两角和与第三个角总互补; 任意两半角和与第三个角的半角总互余; 锐角三角形三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. c a b 2.正弦定理: sinA = sinB = sinC =2R(R 为三角形外接圆的半 径) . 注 正弦定理的一些变式: (1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 充要 条件. 2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_____ 3.在 △ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则 log2sinC= - 1 2 . 4. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= 60 .
法二: 角换边
B
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数, 而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明 sinAsinB 为有理数即可(由正弦定理可证). 或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数, 且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
