知识点一导数与函数的单调性

利用导数研究函数的单调性1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0 的根；（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例 1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，1/ 3∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例 2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的t∈[1，2]，函数푔(푥)=푥3+푥2[푓′(푥) +푚2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；푙푛2（Ⅲ）求证：2×푙푛33×푙푛44×⋯×푙푛푛1푛(푛≥2，푛∈푁∗)．＜푛解：（Ⅰ）푓′(푥) =푎(1―푥)푥(푥＞0)（2 分）当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）（Ⅱ）푓′(2) =―푎2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3 푚∴푔(푥)=푥3+(2―2푥，2+2)푥∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣22/ 3∴{푔′(푡3))＜0＞0(8 分)由题意知：对于任意的 t ∈[1，2]，g ′（t ）＜0 恒成立，푔′(1)＜0所以有：{푔′(2)＜0，∴― 푔′(3)＞0 37 3 ＜푚＜ ― 9（10 分）（Ⅲ）令 a ＝﹣1 此时 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3，所以 f （1）＝﹣2，由（Ⅰ）知 f （x ）＝﹣lnx +x ﹣3 在（1，+∞）上单调递增，∴当 x ∈（1，+∞）时 f （x ）＞f （1），即﹣lnx +x ﹣1＞0，∴lnx ＜x ﹣1 对一切 x ∈（1，+∞）成立，（12 分）∵n ≥2，n ∈N *，则有 0＜lnn ＜n ﹣1，푙푛푛 푛 ― 1∴0＜＜푛 푛푙푛2∴ 2 ⋅ 푙푛33 ⋅ 푙푛44 ⋅⋅ 푙푛푛 1 2 ⋅ ＜ 푛2 3 ⋅ 3 4 ⋅⋅ 푛 ― 1 푛 = 1 푛(푛 ≥ 2，푛 ∈ 푁 ∗) 【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使 f ′（x ）＝0，在其余的点恒有 f ′（x ）＞0，则 f （x ）仍为增函数（减函数的情形完 全类似）．即在区间内 f ′（x ）＞0 是 f （x ）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．3/ 3。

利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1. 函数的导数与函数的单调性的关系： （1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

那么在这个区间内/y ≤0。

2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。

）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ） 的任意子区间内都不恒等于0。

这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。

b第 11 讲 导数与函数的单调性◆高考导航·顺风启程◆最新考纲1.了解函数的单调性与导数的关系．2.会利用导数研究函数的单调性．3.会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).常见题型在高考中占有重要地位，常见于解答题或一部分，占 5～12 分.[知识梳理]函数的单调性如果在某个区间内，函数 y ＝f (x )的导数 f ′(x )＞ 0，则在这个区间上，函数 y ＝f (x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数 f ′(x ) ＜ 0，则在这个区间上，函数y＝f (x )是减少的．[知识感悟]导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )＞0(或 f ′(x )＜0)是 f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f ′(x )≥0(或 f ′(x )≤0)是 f (x )在(a ，)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f ′(x )＝0不恒成立)．[知识自测]1．f (x )＝x 3－6x 2 的单调递减区间为()A ．(0,4) C ．(4，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，B ．(0,2)D ．(－∞，0)由f′(x)＜0，得0＜x＜4，∴单调递减区间为(0,4)．[答案]A2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数[解析]∵f′(x)＝－sin x－1＜0.∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.[答案]D3．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________. [解析]f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.[答案]3题型一判断或证明函数的单调性(基础拿分题，自主练透)x 2(a ∈R )在 x ＝－ 处取得极值．－＝0，因为 f (x )在 x ＝－ 处取得极值，所以 f ′⎝ 3⎭3 － ＝－ ＝0，解得 a ＝ .即 3a · ＋2·⎝ 3⎭ 3 39 23 2⎫x (2)由(1)得 g (x )＝⎛⎝2x ＋x ⎭e ， 2x ＋2x e x ＋ x 3＋x 2 e x故 g ′(x )＝⎝2 ⎭⎝2 ⎭ 1⎛ ⎫( 高考重庆卷 ) 已知函数 f (x ) ＝ a x 3 ＋43(1)确定 a 的值；(2)若 g (x )＝f (x )e x ，讨论 g (x )的单调性． [解] (1)对 f (x )求导得 f ′(x )＝3ax 2＋2x ，4 ⎛ 4⎫ 16 ⎛ 4⎫ 16a 8 11 ⎛3 ⎫ ⎛1 ⎫ 5 1 ＝⎝2x 3＋2x 2＋2x ⎭e x ＝2x (x ＋1)(x ＋4)e x .令 g ′(x )＝0，解得 x ＝0 或 x ＝－1 或 x ＝－4.当 x <－4 时，g ′(x )<0，故 g (x )为减函数； 当－4<x <－1 时，g ′(x )>0，故 g (x )为增函数；当－1<x <0 时，g ′(x )<0，故 g (x )为减函数；当 x >0 时，g ′(x )>0，故 g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．方法感悟导数法证明函数 f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤1．求 f ′(x )；2．确认 f ′(x )在(a ，b )内的符号；＝(x ＋a )(x －2a )(x >0)．3．作出结论：f ′(x )＞0 时为增函数；f ′(x )＜0 时为减函数．提醒：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．【针对补偿】1．已知函数 f (x )＝－a ln x ＋ 2a 2x ＋x (a ≠0)，讨论 f (x )的单调性．[解] 依题意得函数的定义域为(0，＋∞)．a 2a 2 x 2－ax －2a 2因为 f ′(x )＝－x － x 2 ＋1＝x 2x 2①当 a >0 时，由 f ′(x )>0，及 x >0 得 x >2a ；由 f ′(x )<0，及 x >0 得 0<x <2a .所以当 a >0 时，函数 f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，在(0,2a )上单调递减． ②当 a <0 时，由 f ′(x )>0 及 x >0 得 x >－a ；由 f ′(x )<0 及 x >0 得 0<x <－a .所以当 a <0 时，函数 f (x )在(0，－a )上单调递减， 在(－a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当 a <0 时，函数 f (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增． 当 a >0 时，函数 f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，在(0,2a )上单调递减．题型二 求函数的单调区间(重点保分题，共同探讨)(2016·天津高考节选 )设函数 f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中 a ，b ∈R ，求 f (x )的单调区间．[解] 由 f (x )＝x 3－ax －b ，可得 f ′(x )＝3x 2－a .下面分两种情况讨论：f (x ) 的 单 调 递 减 区 间 为 ⎝－ ， 3 ⎭ ， 单 调 递 增 区 间 为－∞，－ 3 ， 3 ，＋∞⎭.⎪ ⎪⎩ ⎩(1)当 a ≤0 时，有 f ′(x )＝3x 2－a ≥0 恒成立，所以 f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)当 a ＞0 时，令 f ′(x )＞0，得 x ＞3a 3a令 f ′(x )＜0，得－ 3 ＜x ＜ 3 .3a 3a3 或 x ＜－ 3 ；所 以 ⎛ 3a 3a ⎫ 3⎛ ⎝3a 3a ⎫方法感悟求函数的单调区间的“两个”方法方法一1．确定函数 y ＝f (x )的定义域；2．求导数 y ′＝f ′(x )；3．解不等式 f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； 4．解不等式 f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二1．确定函数 y ＝f (x )的定义域；2．求导数 y ′＝f ′(x )，令 f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； 3．把函数 f (x )的间断点(即 f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f (x )的定义区间分成若干个小区间；4．确定 f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．【针对补偿】2．(2016·北京卷)设函数 f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线 y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y ＝(e －1)x ＋4.(1)求 a ，b 的值；(2)求 f (x )的单调区间．[解] (1)因为 f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以 f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .⎧f (2)＝2e ＋2， ⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2， 依题设，⎨ 即⎨⎪f ′(2)＝e －1. ⎪－e a －2＋b ＝e －1.解得 a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知 f (x )＝x e 2－x ＋e x .由 f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及 e 2－x >0 知，因此 f (x )在⎝－∞，－ ，⎝ ，＋∞⎭上为增函数，在⎝－ 3 ， 3 ⎭上为减函数．当 a ＞0 时，f (x )在⎝－∞，－ ，⎝ ，＋∞⎭上为增函数，在⎝－ ， 3 ⎭上为减函数．f ′(x )与 1－x ＋e x －1 同号．令 g (x )＝1－x ＋e x －1， 则 g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当 x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当 x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故 g (1)＝1 是 g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而 g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故 f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．题型三 已知函数的单调性求参数的范围(高频考点题，多角突破)考向一 函数 f (x )在 R 上单调递增(减)求参数取值范围1．已知函数 f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论 f (x )的单调性；(2)若 f (x )在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－a . ①当 a ≤0 时，f ′(x )≥0，所以 f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．3a②当 a ＞0 时，令 3x 2－a ＝0 得 x ＝± 3 ；3a 3a 当 x ＞ 3 或 x ＜－ 3 时，f ′(x )＞0；3a 3a 当－ 3 ＜x ＜ 3 时，f ′(x )＜0.⎛ 3a ⎫ ⎛ 3a ⎫ ⎛ 3a 3a ⎫ 3 ⎭ 3综上可知，当 a ≤0 时，f (x )在 R 上为增函数；⎛ 3a ⎫ ⎛ 3a ⎫ 3 ⎭ 3⎛ 3a 3a ⎫3(2)因为 f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以 f ′(x )＝3x 2－a ≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a ≤3x 2 对 x ∈R 恒成立． 因为 3x 2≥0，所以只需 a ≤0.又因为 a ＝0 时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1 在 R 上是增函数，所以 a ≤0，即 a 的取[解] 由 1 题可知，f (x )的单调递减区间为 －由 f ′(x )＝0，得 x ＝± 3(a ≥0)． 5．设 f (x )＝－ x 3＋ x 2＋2ax ，若 f (x )在⎛⎝3，＋∞⎫⎭上存在单调递增区间，则 a 的取值范[解析] f (x )＝－ x 3＋ x 2＋2ax ，由题意知 f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＞0 在⎛⎝3，＋∞⎫⎭上有解， 即 2a ＞(x 2－x )min ，令 g (x )＝x 2－x ，g (x )＞g ⎝3⎭＝－9.即 a ＞－9.所以 a 的取值范围为 ⎛－1，＋∞⎫. [答案] ⎛⎝－9，＋∞⎫⎭值范围为(－∞，0]．考向二 函数 f (x )在区间 A 上是单调递增(减)函数求参数范围2．函数 f (x )同 1 题不变，若 f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求 a 的取值范围．[解] 因为 f ′(x )＝3x 2－a ，且 f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以 f ′(x )≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－a ≥0 在(1，＋∞)上恒成立，所以 a ≤3x 2 在(1，＋∞)上恒成立，所以 a ≤3，即 a 的取值范围为(－∞，3]．考向三 函数 f (x )的单调区间是 A 求参数3．函数 f (x )同 1 题不变，若 f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求 a 的值．⎛⎝ 3a 3a ⎫ 3a 3 ， 3 ⎭，∴ 3 ＝1，即 a ＝3.考向四 函数 f (x )在区间 A 上不单调求参数范围4．函数 f (x )同 1 题不变，若 f (x )在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取值范围． [解] ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .3a∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，3a ∴0＜ 3 ＜1，得 0＜a ＜3，即 a 的取值范围为(0,3)．考向五 函数 f (x )在区间 A 上存在单调递增(递减)区间，求参数的取值范围1 123 2围为______．1 123 2⎛2⎫ 2 1⎝ 9 ⎭1方法感悟已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间3．(2018·西安模拟)已知函数 f (x )＝ln x ，g (x )＝ ax 2＋2x (a ≠0)． [解] (1)h (x )＝ln x － ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以 h ′(x )＝ －ax －2， 设 G (x )＝ 2－ ，所以只要 a ＞G (x )min 即可．x x2而G (x )＝⎝x －1⎭ －1，所以 G (x )min ＝－1.2所以 a ≥G (x )max ，而 G (x )＝⎝x －1⎭ －1，，1 ，因为 x ∈[1,4]，所以 ∈x ⎣4 ⎦ 所以 G (x )max ＝－ (此时 x ＝4)，16 ⎡⎫的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则 f ′(x )≥0；若函数单调递减，则 f ′(x )≤0”来求解．提醒：f (x )为增函数的充要条件是对任意的 x ∈(a ，b )都有 f ′(x )≥0 且在(a ，b )内的任一非空子区间上 f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【针对补偿】12(1)若函数 h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求 a 的取值范围；(2)若函数 h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求 a 的取值范围．1 12 x由于 h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，1 1 2所以当 x ∈(0，＋∞)时，x －ax －2＜0 有解，即 a ＞x 2－x 有解．1 2⎛1 ⎫所以 a ＞－1. (2)由 h (x )在[1,4]上单调递减得，1当 x ∈[1,4]时，h ′(x )＝x －ax －2≤0 恒成立，1 2即 a ≥x 2－x 恒成立．⎛1⎫ 1 ⎡1 ⎤ 77 所以 a ≥－16，7 即 a 的取值范围是⎣－16，＋∞⎭.◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(十四)[A 基础巩固练][解析] 由于 f ′(x )＝k － ，f (x )＝kx －ln x在区间(1，＋∞)单调递增 f ′(x )＝k － ≥01．(2018·九江模拟)函数 f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是()A ．(－∞，2)C ．(1,4)B ．(0,3)D ．(2，＋∞)[解析] 函数 f (x )＝(x －3)e x 的导数为 f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)·e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当 f ′(x )＞0 时，函数 f (x )单调递增，此时由不等式 f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得 x ＞2.[答案] D2．(高考课标全国卷Ⅱ)若函数 f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的取值范围是()A ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)B ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)11x x在(1，＋∞)上恒成立．1 1由于 k ≥x ，而 0＜x ＜1，所以 k ≥1.即 k 的取值范围为[1，＋∞)．[答案] D3．(2017·浙江)函数 y ＝f (x )的导函数 y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数 y ＝f (x )的图象可能是()[解析] 原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D.[答案] D4．(2018·湖南省永州市三模)已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1 在区间[0,1]上单调递减，m＝a ＋b ，则 m 的取值范围是( )A.⎛⎝－∞，－2⎤⎦B.⎡⎣－2，＋∞⎫⎭∴m 的取值范围是(－∞，－2]． ⎩因为 m <0，则 f ′(x )＝ .) ∞，0)上的函数 f (x )满足 x 2f ′(x )＋1＞0，f (1)＝6，则不等式 f (lg x )＜lg x ＋5 的解集为([解析]由 x 2f ′(x )＋1＞0，得 f ′(x )＋ 2＞0，设 g (x )＝f (x )－ －5，则 g ′(x )＝f ′(x )＋2，x3C.(－∞，－3]3D ．[－3，＋∞)[解析] 依题意，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0，在[0,1]上恒成立．⎧⎪f ′(0)＝b ≤0只需要⎨ 即可，⎪f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤03∴3＋2a ＋2b ≤0，∴m ＝a ＋b ≤－2.3[答案] A5．(2018·长治模拟)函数 f (x )＝x 2＋2m ln x (m <0)的单调递减区间为( )A ．(0，＋∞)C ．( －m ，＋∞)B ．(0， －m )D ．(0， －m )∪( －m ，＋∞)[解析] 由条件知函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)．2(x ＋ －m )(x － －m ) x当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：xf ′(x )f (x )(0， －m )－－m极小值( －m ，＋∞)＋由上表可知，函数 f (x )的单调递减区间是(0， －m )，单调递增区间是( －m ，＋∞)． [答案] B6．(2018·山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校定义在(－1 )A ．( 10，10)C ．(10，＋∞) B ．(0,10)D ．(1,10)1 1 1 x x1故 g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又 g (1)＝0，故 g (x )＜0 的解集为(0,1)，即 f (x )＜x ＋5 的解集为(0,1)，由 0＜lg x ＜1 解得 1＜x ＜10，则所求不等式的解集为(1,10)，故选 D.[答案] D7．(2018·青岛模拟 )若函数 f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为 (－1,3)，则 b ＋c ＝________ .⎤8．(2018·九江第一次统考)已知函数 f (x )＝x 2＋2ax －ln x ，若 f (x )在区间⎡⎣3，2⎦上是增函 ⎤，2 上恒成立，则 2a ≥－x ＋ 在⎡，2⎤上恒成立，[解析] f ′(x )＝x ＋2a－ ≥0 在⎡⎣3 ⎦⎣3 ⎦ －x ＋ max ＝ ，所以 2a ≥ ，即 a ≥ .因为 x ⎭⎝ 3 33⎫[答案] ⎡⎣3，＋∞⎭9．(2018·衡水中学模拟)已知函数 f (x )(x ∈R )满足 f (1)＝1，f (x )的导数 f ′(x )＜ ，则不等式 f (x 2)＜ ＋ 的解集为 ________ .2 2[解析] 设 F (x )＝f (x )－ x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－ ， 2∵f (x )＜ ＋ ，∴f (x )－ ＜f (1)－ ，2 22 22 10．已知函数 f (x )＝ ＋ －ln x － ，其中 a ∈R ，且曲线 y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂 由 f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线 y ＝ x 知 f ′(1)＝－ －a ＝－2，解得 a ＝ .2 4 4(2)由(1)知 f (x )＝ ＋ －ln x － ， [解] (1)对 f (x )求导得 f ′(x )＝ － 2－ ，4 x则 f ′(x )＝ .1[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜3 是不等式 3x 2＋2bx ＋c ＜0 的解集，∴－1,3 是 f ′(x )＝0 的两个根，∴b ＝－3，c ＝－9，b ＋c ＝－12.[答案] －121 12数，则实数 a 的取值范围为______．1 1 1 x x⎛ 1⎫ 8 8 4412x 2 11 12 21 1∵f ′(x )＜2，∴F ′(x )＝f ′(x )－2＜0，即函数 F (x )在 R 上单调递减，x 2 1 x 2 1 ∴F (x 2)＜F (1)，而函数 F (x )在 R 上单调递减，∴x 2＞1，即 x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)x a 34 x 21直于直线 y ＝2x .(1)求 a 的值；(2)求函数 f (x )的单调区间．1 a 1 x1 3 5x 5 34 4x 2x 2－4x －5 4x21．(2018·湛江一模)若函数 f (x )＝x ＋ (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则 f (x )在下[解析]由题意知，f ′(x )＝1－ 2，∵函数 f (x )＝x ＋ (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零xb A ．f (1)＞ C ．f (1)< < 2 3 4⎝ x ＋1⎭令 f ′(x )＝0，解得 x ＝－1 或 x ＝5.因为 x ＝－1 不在 f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当 x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故 f (x )在(0,5)内为减函数；当 x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故 f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[B 能力提升练]bx列区间上单调递增的是()A ．(－2,0)C ．(1，＋∞)B ．(0,1)D ．(－∞，－2)b b xb点，∴当 1－x 2＝0 时， ＝x 2，又 x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)，令 f ′(x )＞0，解得 x ＜－ b 或 x ＞ b ，即 f (x )的单调递增区间为(－∞，－ b )，( b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．[答案] D2．(2018·河南新乡三模)定义在(0，＋∞)上的函数 f (x )满足 f (x )＞2(x ＋ x )f ′(x )，其中 f ′(x )为 f (x )的导函数，则下列不等式中，一定成立的是()f (2) f (3) 2 ＞ 2f (2) f (3)2 3B.D. f (1) f (4) f (9) 2 ＞ 3 ＞ 4f (1) f (4) f (9)< <[解析] ∵f (x )＞2(x ＋ x )f ′(x )，∴f (x )＞2 x ( x ＋1)f ′(x )，1∴f (x ) ＞( x ＋1)f ′(x )．2 x1 ⎛ f (x ) ⎫∴f ′(x )( x ＋1)－f (x )2 x ＜0，∴ ⎪′＜0，设 g (x )＝f (x )，则函数 g (x )在(0，＋∞)上递减，x ＋1f (1) f (4) f (9)故 g (1)＞g (4)＞g (9)，∴ 2 > 3 ＞ 4 ，当 f (x )＝－ x ( x ＋1)时，满足 f (x )＞2(x ＋ x )f ′(x )，f (2) 2 f (3) 3 易得 f (1)＝－2， 2 ＝－1－ 2 ， 3 ＝－1－ 3 ，3．已知函数 f (x )＝ －2x 2＋ln x (a ＞0)．若函数 f (x )在[1,2]上为单调函数，则 a 的取值范[解析] f ′(x )＝ －4x ＋ ，0， ⎤∪[1，＋∞)[答案]⎛⎝ 5⎦ 5．(2018·山东省德州市四月二模文科)已知函数 f (x )＝ x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R . gf (2) f (3)∴f (1)＜ 2 ＜ 3 ，当 f (x )＝－ x ( x ＋1)时，满足 f (x )＞2(x ＋ x )f ′(x )，f (2) f (3)易得 f (1)＝－2， 2 ＝－1－ 2， 3 ＝－1－ 3，f (2) f (3)∴f (1)＞ 2 ＞ 3 ，故 A ，C ，D 都错．[答案] B3xa围是 ________ .3 1a x若函数 f (x )在[1,2]上为单调函数，3 1 3 1 3 1 3即 f ′(x )＝a －4x ＋x ≥0 或 f ′(x )＝a －4x ＋x ≤0 在[1,2]上恒成立，即a ≥4x －x 或a ≤4x1－x 在[1,2]上恒成立．1令 h (x )＝4x －x ，则 h (x )在[1,2]上单调递增，3 3 3 15 3所以a ≥h (2)或a ≤h (1)，即a ≥ 2 或a ≤3，又 a ＞0，2所以 0＜a ≤5或 a ≥1.24．若函数 f (x )＝x 2－e x －ax 在 R 上存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是______．[解析] ∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数 f (x )＝x 2－e x －ax 在 R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即 a ≤2x －e x 有解，设 g (x )＝2x －e x ，则 g ′(x )＝2－e x ，令 g ′(x )＝0，解得 x ＝ln 2，则当 x <ln 2 时，′(x )>0，g (x )单调递增，当 x >ln 2 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当 x ＝ln 2 时，g (x )取得最大值，且 g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. [答案] (－∞，2ln 2－2]12(1)当 a ＝－1 时，求函数 f (x )的极值；[解] (1)当 a ＝－1 时，f (x )＝ x 2＋2ln x －3x ， (2)当 a ＜0 时，f ′(x )＝x － ＋(a －2) m －n 2(x －2x ) min ＝－ ，∴a ≤⎣2⎦ 2 (3)是否存在实数 a ，对任意的 m ，n ∈(0，＋∞)，且 m ≠n ，有＞a 恒成立？若 f ′(x )＝x ＋ －3＝ ＝ .(3)假设存在实数 a ，对任意的 m ，n ∈(0，＋∞)，且 m ≠n ，有＞a 恒成立， 即≥0 恒成立，又 x ＞0，(2)当 a ＜0 时，讨论函数 f (x )单调性；f (m )－f (n )m －n存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由．122 x 2－3x ＋2 (x －1)(x －2) x x x当 0＜x ＜1 或 x ＞2 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当 1＜x ＜2 时，f ′(x )＜f (x )单调递减，5所以 x ＝1 时，f (x )极大值＝f (1)＝－2；x ＝2 时，f (x )极小值＝f (2)＝2ln 2－4. 2axx 2＋(a －2)x －2a (x －2)(x ＋a ) ＝ ＝ ，x x①当－a ＞2，即 a ＜－2 时，由 f ′(x )＞0 可得 0＜x ＜2 或 x ＞－a ，此时 f (x )单调递增；由 f ′(x )＜0 可得 2＜x ＜－a ，此时 f (x )单调递减；②当－a ＝2，即 a ＝－2 时，f ′(x )≥0 在(0，＋∞)上恒成立，此时 f (x )单调递增； ③当－a ＜2，即－2＜a ＜0 时，由 f ′(x )＞0 可得 0＜x ＜－a 或 x ＞2，此时 f (x )单调递增；由 f ′(x )＜0 可得－a ＜x ＜2，此时 f (x )单调递减．综上：当 a ＜－2 时，f (x )增区间为(0,2)，(－a ，＋∞)，减区间为(2，－a )；当 a ＝－2 时，f (x )增区间为(0，＋∞)，无减区间；当－2＜a ＜0 时，f (x )增区间为(0，－a )，(2，＋∞)，减区间为(－a,2)．f (m )－f (n )m －nf (m )－f (n )不妨设 m ＞n ＞0，则由 ＞a 恒成立可得：f (m )－am ＞f (n )－an 恒成立，令 g (x )＝f (x )－ax ，则 g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以 g ′(x )≥0 恒成立，2a即 f ′(x )－a ≥0 恒成立，∴x － x ＋(a －2)－a ≥0，x 2－2x －2ax∴x 2－2x －2a ≥0 在 x ＞0 时恒成立，⎡1 ⎤ 11∴当 a ≤－2时，对任意的m ，n ∈(0，＋∞)，f ′(x )＋ 在区间(t,3)上总不是单调函数，求 m 的取值范围．数g (x )＝x 3＋x 2·2 ⎦⎣(2)由(1)及题意得 f ′(2)＝－ ＝1，即 a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝ x2∴g (x )＝x 3＋⎝ 2 ＋2⎭x －2x ，－ ，－9 .即实数 m 的取值范围是⎝3 ⎭且 m ≠n ，有＞a 恒成立． 且 f ′(x )＝.⎩f (m )－f (n )m －n[C 尖子生专练]已知函数 f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数 f (x )的单调区间；(2)若函数 y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t ∈[1,2]，函 ⎡ m ⎤[解] (1)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)，a (1－x )x当 a ＞0 时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当 a ＜0 时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当 a ＝0 时，f (x )不是单调函数．a22x －2.⎛m⎫∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即 g ′(x )＝0 在区间(t,3)上有变号零点．⎧⎪g ′(t )＜0，由于 g ′(0)＝－2，∴⎨⎪g ′(3)＞0.当 g ′(t )＜0，即 3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意 t ∈[1,2]恒成立，由于 g ′(0)＜0，故只要 g ′(1)＜0 且 g ′(2)＜0，即 m ＜－5 且 m ＜－9，即 m ＜－9；37由 g ′(3)＞0，即 m ＞－ 3 .37所以－ 3 ＜m ＜－9.⎛ 37 ⎫。

第2节导数在研究函数中的应用知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.3.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.第1课时导数与函数的单调性考点一 求函数的单调区间【例1】 (经典母题)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0，解之得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4).【迁移探究1】 若本例中函数f (x )变为“f (x )＝ln x －12x 2＋x ”，试求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝ln x －12x 2＋x ，且x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52x. 令f ′(x )＝0，所以x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去).由f ′(x )>0，得0<x <1＋52；由f ′(x )<0，得x >1＋52.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.【迁移探究2】若本例的函数变为“f(x)＝x22－a ln x，a∈R”，求f(x)的单调区间.解因为f(x)＝x22－a ln x，所以x∈(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax＝x2－ax.(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当a>0时，f′(x)＝（x＋a）（x－a）x，则有①当x∈(0，a)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a).②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞). 规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.【训练】已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝1 2x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝5 4.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－ln x－32(x>0).则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.但－1∉(0，＋∞)，舍去.当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).考点二 证明(判断)函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数.【训练】 (2015·全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性.解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 考点三 导数在函数单调性中的应用【例3】 (1)(2018·武汉模拟)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，若a ＝f （e ）e ，b ＝f （ln 2）ln 2，c ＝f （－3）－3，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.c <a <b解析 设g (x )＝f （x ）x ，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2， ∵当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0.∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数.由f (x )为奇函数，知g (x )为偶函数，则g (－3)＝g (3)，又a ＝g (e)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－3)＝g (3)，∴g (3)<g (e)<g (ln 2)，故c <a <b .答案 D【训练】.已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( )A.f (2)>f (3)>f (π)B.f (3)>f (2)>f (π)C.f (2)>f (π)>f (3)D.f (π)>f (3)>f (2)(2)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x .①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围.解 ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0. ∴h ′(x )＝1x －ax －2.若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min .(*)又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1， 所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).②由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max .又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝（7x －4）（x －4）16x， ∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x≤0， 当且仅当x ＝4时等号成立.(***)∴h (x )在[1，4]上为减函数.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞. 规律方法 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围.2.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.3.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.【训练】 (2018·郑州质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________.(2018·兰州模拟)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ，则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝（x －1）（x －2）x. 当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.∴f (x )的单调增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调减区间为(1，2).(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数，∴g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0恒成立.即x 2－2x －2a x≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立. ∴x 2－2x －2a ≥0当x >0时恒成立，∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立.又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12. ∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立.又当a ＝－12，g ′(x )＝（x －1）2x当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0. 故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增.解析 因为f (x )＝1＋x －sin x ，所以f ′(x )＝1－cos x ， 当x ∈(0，π]时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π]上是增函数，所以f (π)>f (3)>f (2).答案 D9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.。

导数的应用讲义一、知识梳理1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注意:1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )题组二：教材改编2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值3．[设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点4．]函数f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为__________．5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间]2,0[ 上的最大值是__________．题组三：易错自纠6．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点7．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<2(x ∈R )，则不等式f (x )<2x ＋1的解集为____________．8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．三、典型例题（一）导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为 2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( )A ．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在)1,0(e 上单调递增D ．在)1,0(e 上单调递减3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________． 思维升华：确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二：含参数的函数的单调性典例 已知函数f (x )＝ln(e x ＋1)－ax (a >0)，讨论函数y ＝f (x )的单调区间．思维升华：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练 已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性．题型三：函数单调性的应用问题命题点1：比较大小或解不等式典例 (1)已知定义在)2,0(π上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈)2,0(π，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则( ) A.3f )4(π>2f )3(πB ．f )3(π>f (1) C.2f )6(π<f )4(π D.3f )3(π<f )3(π (2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________．命题点2：根据函数单调性求参数典例：已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)． (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．引申探究：本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．思维升华：根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练：已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 四、反馈练习1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)2．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )3．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调增区间是( )A.)0,34(-B.)34,0(C.)34,(--∞，(0，＋∞)D.)34,(--∞∪(0，＋∞) 4．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f )21(，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________.8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________________． 9．已知g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x 在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________． 10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．11．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝b ex －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．13．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 017)>e 2 017f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 017)<e 2 017f (0)14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在)32[∞+，上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 15．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．。

5.3.1函数的单调性知识点一.函数的单调性与导数的关系1.一般地，在区间（a，b）上，函数f（x）的单调性与导数f′（x）的正负有如下关系.导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)=0常函数2.一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y=f(x)的单调性∶第1步∶确定函数的定义域；第2步∶求出导数f(x)的零点；第3步∶用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.知识点二.函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系如表所示.图像导数导数为正，且绝对值越来越大导数为正，且绝对值越来越小导数为负，且绝对值越来越大导数为负，且绝对值越来越小函数值函数值变化越来越快函数值变化越来越慢函数值变化越来越快函数值变化越来越慢图像特点越来越陡峭越来越平缓越来越陡峭越来越平缓题型1求不含参函数的单调区间【例题1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数f(x)=(x−3)e x的单调递减区间是（）A．(−∞,2]B．[0,3]C．[1,4]D．[2,+∞)【答案】A【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式f′(x)<0进行求解即可.【详解】函数的导数f′x=e x+x−3e x=x−2e x由f′x<0得x−2e x<0，即x−2<0得x<2，即函数的单调递减区间为(−∞,2]，故选：A【变式1-1】1．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））设a为实数，函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，且f′(x)是偶函数，则f(x)的单调递减区间为（）A．(0,2)B．(−3,3)C．(−1,1)D．(−3,3)【答案】C【分析】求导，结合f′(x)是偶函数得到f′−x=f′x，求出a=1，从而根据f′(x)=3x2−3小于0，求出单调递减区间.【详解】因为f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，所以f′(x)=3x2+2(a−1)x−(a+2)，又因为f′(x)是偶函数，所以f′−x=f′x，即3−x2−2a−1x−a+2=3x2+2a−1x−a+2，故a−1=0，即a=1，所以f′(x)=3x2−3，令f′x<0，解得−1<x<1，所以f(x)的单调递减区间为(−1,1).故选：C．【变式1-1】2．（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数f x=x3−x2+x的单调递增区间为______.【答案】−∞,+∞【分析】求出导函数f′x，解不等式f′x≥0即可得到.【详解】由题意知，f x=x3−x2+x定义域为R，f′x=3x2−2x+1，且f′x=3x2−2x+1=3x+23>0在R上恒成立，所以，函数f x=x3−x2+x的单调递增区间为−∞,+∞.故答案为：−∞,+∞【变式1-1】3．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）己知函数f x=x2+5x+2ln x，则函数f x的单调递增区间是_____________．【答案】(0,+∞)【分析】利用导数法求单调区间即可【详解】函数f x=x2+5x+2ln x，其定义域x x>0，则f′x=2x+5+2×1x=2x2+5x+2x>0在0,+∞恒成立，所以函数f x的单调递增区间是0,+∞.故答案为：0,+∞.【变式1-1】4．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=e2x+ln x(x>0)，求f(x)的单调区间．【答案】f x的减区间为0,+∞.【分析】求出导函数f′(x)，由f′(x)>0得增区间，由f′(x)<0得减区间．【详解】f′x=−e2x2+1x=2x−e2x2，当0<x<e2，f′x<0，当x>e2，f′x>0，所以f x的减区间为0,f x+∞.【变式1-1】5．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））已知函数f(x)=x3−x2−x+2.(1)求曲线f(x)在点2,f2处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间.【答案】(1)7x−y−10=0(2)递增区间为(−∞,−13)，(1,+∞)；递减区间为−13,1【分析】（1）求出函数的导函数，再求得f'2=7与f2=4，利用点斜式可求得曲线f(x)在点2,f2处的切线方程；（2）由f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，利用导函数f'(x)与函数f(x)的单调性的关系可得答案.【详解】（1）∵f x=x3−x2−x+2，∴f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，∴f'2=7，又f2=4，∴曲线f(x)在点2,f2处的切线方程为y−4=7x−2，即7x−y−10=0；（2）∵f′x=3x2−2x−1=x−13x+1，∴当x∈−∞,−∪1,+∞时，f'(x)>0，当x∈−13,1时，f'(x)<0，∴f(x)在(−∞,−13)，(1,+∞)上单调递增，在−13,1上单调递减.∴f(x)的递增区间为(−∞,−13)，(1,+∞)；递减区间为−13,1.题型2含参函数单调区间◆类型1导数为1个根【例题2-1】（2022·上海市金山中学高二期末）已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)．若a=1，求函数y=f(x)的单调区间；【答案】答案见解析.【分析】根据题意，分b≥0和b<0两种情况讨论求解即可；【详解】解：当a=1时，f(x)=ln x+bx，定义域为0,+∞，所以，f′(x)=1x+b=1+bx x，所以，b≥0时，f′(x)≥0在0,+∞上恒成立，故f(x)在0,+∞上单调递增，当b<0时，令f′(x)=0得x=−1b，所以，当x∈0,−f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈−1b,+∞时，f′(x)<0，f(x)单调递减；综上，b≥0时，f(x)在0,+∞上单调递增；b<0时，f(x)在0,上单调递增，在−1b,+∞上单调递减.【变式2-1】1．（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数f x=ax−3ln x．讨论函数f x的单调性；【答案】当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,3a)上单调递减，在(3a,+∞)上单调递增【分析】对函数f x进行求导，然后对a进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间【详解】由f x=ax−3ln x，得f′(x)=a−3x=ax−3x，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，∴f x在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f′(x)=ax−3x=a⋅(x−3a)x，由x>3a时，f′(x)>0，f x在(3a,+∞)上单调递增，由x<3a时，f′(x)<0，f(x)在(0,3a)上单调递减，∴综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,3a)上单调递减，在(3a,+∞)上单调递增【变式2-1】2.（2007·山东·高考真题（理））设函数f x=ax−a+1ln x+1，其中a≥−1，求f x的单调区间．【答案】答案见解析【分析】求出函数f x的定义域，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数f x的增区间和减区间.【详解】函数f x=ax−a+1ln x+1的定义域为−1,+∞，f′x=a−a+1x+1=ax−1x+1.①当−1≤a≤0时，对任意的x>−1，f′x<0，此时，函数f x的减区间为−1,+∞，无增区间；②当a>0时，由f′x<0可得−1<x<1a，由f′x>0可得x>1a.此时，函数f x的减区间为−+∞.综上所述，当−1≤a≤0时，函数f x的减区间为−1,+∞，无增区间；当a>0时，函数f x的减区间为−+∞.【变式2-1】3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数f x=e x−ax−1.讨论函数f(x)的单调性；【答案】答案见解析．【分析】求出导函数f′(x)分类讨论确定f′(x)的正负得单调性；【详解】f′(x)=e x−a，a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上是增函数，a>0时，x<ln a时，f′(x)<0，f(x)是减函数，x>ln a时，f′(x)>0，f(x)是增函数，综上，a≤0时，f(x)在R上是增函数，a>0时，f(x)在(−∞,ln a)上是减函数，在(ln a,+∞)上是增函数；【变式2-1】4．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数f x=e ax−ax a∈R,a≠0,g x=b ln x−x b∈R.讨论函数f x的单调性；【答案】f x在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增【分析】由题意可得f′x=a e ax−a=a e ax−1，按a和x的取值分类讨论f′(x)的正负即可得到f x的单调性；【详解】由题意f′x=a e ax−a=a e ax−1,x∈R，令f′x=0，得x=0，当a>0时，若x>0，则ax>0,e ax>1，所以f′x>0，若x<0，则ax<0，e ax<1，所以f′x<0；当a<0时，若x>0，则ax<0,e ax<1，所以f′x>0，若x<0，则ax>0，e ax>1，所以f′x<0；综上f x在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增.【变式2-1】5．（2022·河南商丘·高三阶段练习（文））已知函数f x=x e x−ax2a∈R，g x=f′x+1−x e x，其中f′x是f x的导函数.讨论函数g x的单调性；【答案】当a≤0时，g x在R上单调递增；当a>0时，g x在−∞,ln a上单调递减，在ln a,+∞上单调递增.【分析】根据题意写出f′x，进而写出g x，对g x进行求导，根据导函数的正负判断原函数的单调性即可；【详解】f′x=x+1e x−2ax，g x=f′x+1−x e x=x+1e x−2ax+1−x e x= 2e x−2ax，g′x=2e x−2a，当a≤0时，对∀x∈R，g′x>0恒成立，故g x在R上单调递增；当a>0时，令g′x<0，解得x<ln a；令g′x>0，解得x>ln a，故g x在−∞,ln a上单调递减，在ln a,+∞上单调递增.◆类型2导数为2个根【例题2-2】（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数f x=ax2+2a−1x−ln x a∈R.讨论f x的单调性；【答案】当a≤0时，f x在区间0,+∞上单调递减；当a>0时f x在区间+∞上单调递增【分析】求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;【详解】由于f x=ax2+2a−1x−ln x a∈R，则定义域为(0,+∞)，可得：f′x=2ax+2a−1−1x==当a≤0时，∵x>0，∴f′x<0，故f x在区间0,+∞上单调递减；当a>0时，∵x>0，∴由f′x>0可得x>12a，由f′x<0得x<12a，故f x在区间+∞上单调递增.ax3a−1x2−2x−12.【变式2-2】1．（2022·山东淄博·高三期中）已知三次函数f x=1(1)当a=3时，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程，(2)讨论y=f x的单调性.【答案】(1)6x−y−5=0；(2)见解析.【分析】（1）求导可得f′x=9x2+5x−2，利用导数的几何意义，可得曲线y=f x在点1,f1处的切线斜率为f′(1)=12，f(1)=3，利用直线点斜式即可得解；（2）求导可得f′x=ax2+2a−1x−2=(ax−1)(x+2)，对参数a进行讨论即得解.【详解】（1）当a=3时，f x=x3+52x2−2x−12，f'x=3x2+5x−2，所以曲线y=f x在点1,f1处的切线斜率为f'(1)=6，又f(1)=1+52−2−12=1，y=6(x−1)+1，整理可得曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为6x−y−5=0；（2）f′x=ax2+2a−1x−2=(ax−1)(x+2)，若a=0，由f′x=−(x+2)=0可得x=−2，当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈(−2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当a>0时，f′x=(ax−1)(x+2)=0，可得x=1a或x=−2，所以f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，当a<0时，若−12<a<0，f(x)在(−∞,1a),(−2,+∞)为减函数，在(1a,−2)上为增函数，若a=−12，f′(x)≤0，f(x)在R上为减函数，若a<−12，f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为减函数，在(−2,1a)上为增函数，综上可得：若a=0，f(x)在(−∞,−2)上为增函数，在(−2,+∞)上为减函数，当a>0时，f(x)在(−∞,−2),(1a,+∞)为增函数，在(−2,1a)上为减函数，当a<0时，若−12<a<0f(x)在(−∞,1a),(−2,+∞)为减函数，在(1a,−2)上为增函数，若a=−12，f′(x)≤0，f(x)在R上为减函数，若a <−12，f (x )在(−∞,−2),(1a ,+∞)为减函数，在(−2,1a)上为增函数.【变式2-2】2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数f (x )=x 2−ax +1e x (a ∈R ).讨论f (x )的单调性；【答案】答案见解析【分析】根据f (x )的导函数零点间的大小关系进行分类讨论求解即可；【详解】由f ′(x )=−x 2+(a +2)x −a −1e x =−(x −1)(x −a −1)e x ，①当a +1=1，即a =0时，因为f ′(x )=−(x −1)2e x ≤0恒成立，故f (x )在(−∞，+∞)上为减函数；②当a +1>1，即a >0时，由f '(x )<0得，x <1或x >a +1；由f ′(x )>0得，1<x <a +1，所以f (x )在(−∞，1)和(a +1，+∞)上为减函数，在(1，a +1)上为增函数；③当a +1<1，即a <0时，由f ′(x )<0得，x <a +1或x >1；由f ′(x )>0得，a +1<x <1，所以f (x )在(−∞，a +1)和(1，+∞)上为减函数，在(a +1，1)上为增函数.综上：当a =0时，f (x )在(−∞，+∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在(−∞，1)和(a +1，+∞)上为减函数，在(1，a +1)上为增函数；当a <0时，f (x )在(−∞，a +1)和(1，+∞)上为减函数，在(a +1，1)上为增函数.【变式2-2】3．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数f (x )=x 3−a +32x 2+ax +b 讨论f x 的单调性；【答案】答案见解析；【分析】对二次函数f ′(x )=(3x −a )(x −1)零点分布情况分类讨论即可求解；【详解】因为f (x )=x 3−a +32x 2+ax +b ，∴f ′(x )=3x 2−(a +3)x +a =(3x −a )(x −1)．①若a >3，当1<x <a 3时，f ′x <0,当x <1或x >a 3时，f ′x >0，即f x 在(1,a 3)上单调递减，在(−∞,1)和(a 3,+∞)上单调递增；②若a =3，恒有f ′x ≥0．即f x 在定义域R 上单调递增；③若a <3，当a 3<x <1时，f ′x <0,当x <a 3或x >1时，f ′x >0，即f x 在(a 3,1)上单调递减，在(−∞,a 3)和(1,+∞)上单调递增.【变式2-2】4．（2022·山东聊城·高三期中）已知函数f x =x −a +2ln x −a +1x ．讨论函数f x 的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求导函数f ′x ，讨论a 的范围，求解f ′x >0和f ′x <0的解集，写出单调区间．【详解】（1）f x =x −a +2ln x −a +1x 定义域为0,+∞，f′x =1−a +2x +a +1x 2=令f ′x =0，得x =1或x =a +1．当a +1≤0即a ≤−1时：x ∈0,1，f ′x <0，函数f x 在0,1上单调递减；x ∈1,+∞，f ′x >0，函数f x 在1，+∞单调递增；当0<a +1<1，即−1<a <0时：x ∈0,a +1，f ′x >0，函数f x 在0，a +1单调递增；x ∈a +1,1，f ′x <0，函数f x 在a +1,1上单调递减；x ∈1,+∞，f ′x >0，函数f x 在1，+∞上单调递增；当a +1=1即a =0时：x ∈0,+∞，f ′x ≥0，函数f x 在0，+∞单调递增；当a +1>1即a >0时：x ∈0,1，f ′x >0，函数f x 在0,1单调递增；x ∈1,a +1，f ′x <0，函数f x 在1,a +1上单调递减；x ∈a +1,+∞，f ′x >0，函数f x 在a +1,+∞上单调递增；综上：当a ≤−1时，单调递减区间有0,1，单调递增区间有1,+∞；当−1<a<0时，单调递减区间有a+1,1，单调递增区间有0,a+1，1,+∞；当a=0时，单调递增区间有0,+∞，无单调递减区间；当a>0时，单调递减区间有1,a+1，单调递增区间有0,1，a+1,+∞．【变式2-2】5．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数f x=x2e ax−1a≠0，g x=ln x+ bx+1.求函数f x的单调区间；【答案】答案见解析【分析】求得f'x，对a进行分类讨论，由此求得函数f x的单调区间.【详解】函数f x的定义域为R，f′x=x ax+2e ax，令f′x=0得x1=0，x2=−2a，①当a>0时，若x∈−∞,∪0,+∞，则f′x>0；若x∈−2a,0，则f′x<0，故f x在−∞,−0,+∞上单调递增，在−2a,0上单调递减；②当a<0时，若x∈0,则f′x>0；若x∈−∞,0∪−2a,+∞，则f′x<0，故f x在0,−∞,0，−2a,+∞上单调递减.◆类型3不能因式分解【例题2-3】（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数f x=mx3−mx−x ln x m∈R.若f x的导函数为g x，试讨论g x的单调性；【答案】答案见解析【分析】由f x可求g x，再根据g x的导函数，讨论参数的范围即可得出g x的单调性；【详解】解：由已知g x=f′x=3mx2−m−ln x−1，则g′x=6mx−1x=6mx2−1x(x>0)，①当m≤0时，g′x<0，得g x在0,+∞单调递减；②当m>0时，g′x=6mx2−1x=<0⇒0<x<得g x在0,+∞单调递增，综上：当m≤0时，函数g x在0,+∞单调递减；当m>0时，函数g x在+∞单调递增.【变式2-3】1．（2022·广西·桂林市第五中学高三阶段练习（文））已知函数f x=ln x−12ax2+ x,a∈R.(1)当a=2时，求函数y=f x在点1,f1处的切线方程；(2)求函数f x的单调区间.【答案】(1)y=0(2)答案见解析.【分析】（1）分别求f′(x)、f(1)、f′(1)，由点斜式方程可得切线方程；（2）先求f(x)的定义域再求导f′(x)，分类讨论a≤0与a>0时导数的正负来研究原函数的单调性.【详解】（1）当a=2时，f(x)=ln x−x2+x，则f(1)=0，∴f′(x)=1x−2x+1，∴f(x)在点(1,0)处的切线斜率k切线=f′(1)=0，∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为y−0=0×(x−1)，即：y=0.（2）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−ax+1=−ax2+x+1x，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间.②当a>0时，−ax2+x+1=0，Δ=1+4a>0，两根分别为x1=1−1+4a2a<0，x2=1+1+4a2a>0∴f′(x)>0⇒0<x<1+1+4a2a，f′(x)<0⇒x>1+1+4a2a∴f(x)的单调递增区间为(0,1+1+4a2a)，单调递减区间为(1+1+4a2a,+∞).综述：①当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；②当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为+∞).【变式2-3】2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数f x=12x2−2x−a ln x．讨论f x的单调性；【答案】答案见解析；【分析】根据一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可；【详解】f x=12x2−2x−a ln x(x>0)⇒f′x=x−2−a x=x2−2x−a x，设x2−2x−a=0的判别式Δ=(−2)2+4a=4+4a，当Δ≤0时，即当a≤−1时，x2−2x−a≥0⇒f′(x)≥0，函数f x在(0,+∞)上单调递增；当Δ>0时，即当a>−1时，设方程x2−2x−a=0的两根为：1−1+a,1+1+a，当a≥0时，1−1+a≤0，当0<x<1+1+a时，f′x<0,f x单调递减，当x>1+1+a时，f′x>0,f x单调递增；当−1<a<0时，1−1+a>0当0<x<1−1+a时，f′x>0,f x单调递增，当1−1+a<x<1+1+a时，f′x<0,f x单调递减，当x>1+1+a时，f′x>0,f x单调递增，综上所述：当a≤−1时，函数f x在(0,+∞)上单调递增；当a≥0时，函数f x在(0,1+1+a)单调递减，在(1+1+a,+∞)单调递增；当−1<a<0时，函数f x在(0,1−1+a)，(1+1+a,+∞)单调递增，在(1−1+a,1+ 1+a)单调递减；【变式2-3】3．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数f x=e x ax2+x+ a a≥0.求函数f x的单调区间；【答案】见解析【分析】求导得到f′(x)=(ax+a+1)(x+1)e x，考虑a=0和a>0两种情况，根据导函数的正负判断函数的单调区间即可.【详解】函数f x的定义域为R，且f′(x)=(ax+a+1)(x+1)e x，当a=0时，f′(x)=e x(x+1)，当x>−1时，f′x>0，当x<−1时，f′x<0，所以函数f x 的单调递增区间为−1,+∞，单调递减区间为−∞,−1.当a >0时，f ′(x )=a (x +1)x +e x ，f ′x =0有两根－1，−a +1a，且−1>−a +1a，f′(x )=a (x +1)x +e x >0，则x ∈−∞,∪−1,+∞；f′(x )=a (x +1)x +e x <0，则x ∈−a +1a,−1；故函数f x 的单调递增区间为−∞,−−1,+∞，单调递减区间为−a +1a,−1.综上可知：当a >0时，函数f x 的单调递增区间为−∞,−1,+∞，单调递减区间为−a +1a,−1；当a =0时，函数f x 的单调递增区间为−1,+∞，单调递减区间为−∞,−1.【变式2-3】4．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））函数f x =a ln x −x 2+x ，g x =x −2⋅e x −x 2+m ．当a <0时，讨论函数y =f x 的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求得f ′x ，对a 进行分类讨论，由此求得f x 的单调区间.【详解】函数f x =a ln x −x 2+x 定义域是0,+∞，f ′x =a x −2x +1=−2x 2+x +ax，①当a ≤−18时，Δ=1+8a ≤0，当x ∈0,+∞时，f ′x ≤0，即函数y =f x 的减区间为0,+∞，无递增区间；②当−18<a <0时，Δ=1+8a >0，令f ′x >0<x <又∵−18<a <0>0>0，此时函数y =f x 的减区间为+∞，综上所述，①当a ≤−18时，函数y =f x 的减区间为0,+∞，无递减区间；②当−18<a <0时，函数y =f x 的减区间为0,+∞，增区间为题型3已知单调区间求参数◆类型1已知单增单减求取值范围【例题3-1】若函数f x=x2−ax+ln x在区间1,e上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．3,+∞B．−∞,3C．3,e2+1D．−∞,e2+1【答案】B【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【详解】依题意f′x=2x−a+1x≥0在区间1,e上恒成立，即a≤2x+1x在区间1,e 上恒成立.<x<e，则g′x=2−1x2=2x2−1x2>0，所以g x在1,e上单调递增，令g x=2x+则g x>3，所以a≤3.故选:B.【变式3-1】1．若函数f x=x3−3kx+1在区间1,+∞上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．−∞,1B．−∞,1C．−1,+∞D．1,+∞【答案】B【分析】利用函数f x在区间(1,+∞)上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得k的取值范围.【详解】由题意得，f′(x)=3x2−3k=3(x2−k)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，即k≤x2在区间(1,+∞)上恒成立，又函数y=x2在(1,+∞)上单调递增，得x2>1，所以k≤1，即实数k的取值范围是(−∞,1].故选：B【变式3-1】2．（多选）已知函数f x=12x2−a ln x+x在1,+∞上单调递增，则实数a 的所有可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【分析】由f′(x)≥0在1,+∞上恒成立，参变分离得a≤x2+x，结合二次函数求出最小值即可求解.【详解】由题意得f′(x)≥0在1,+∞上恒成立，即f′x=x−a x+1≥0，整理得a≤x2+x，即a≤x2+x min，又x2+x=x+−14在1,+∞上单调递增，则最小值为1+1=2，故a≤2，结合选项知，a可取0，1，2.故选：ABC.【变式3-1】3．若函数f(x)=12sin2x+a cos x在区间(0,π)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[−1,+∞)C．(−∞,−1)D．[1,+∞)【答案】A【分析】依题意f′(x)=cos2x−a sin x≥0在(0,π)上恒成立，根据二倍角公式得到1−2sin x2−a sin x≥0，令t=sin x，即−2t2−at+1≥0，t∈0,1恒成立，参变分离可得a≤−2t+1t，再构造函数g t=−2t+1t，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】解：∵f(x)=12sin2x+a cos x在区间(0,π)上是增函数，∴f′(x)=cos2x−a sin x≥0在(0,π)上恒成立，∴1−2sin2x−a sin x≥0，因为x∈(0,π)，所以sin x∈0,1令t=sin x，则t∈0,1，即−2t2−at+1≥0，t∈0,1，∴a≤−2t+1t，令g t=−2t+1t，t∈0,1，则g′t=−2−1t2<0，∴g t在0,1上单调递减，∴a≤g1=−1，即a∈−∞,−1，故选：A．【变式3-1】4．“函数y=ax−sin x在R上是增函数”是“a>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求导，根据导数恒大于等于0可得a的范围，然后判断可得.【详解】因为函数y=ax−sin x是增函数，所以y′=a−cos x≥0恒成立，即a≥cos x恒成立，所以a≥1>0反之a>0，函数的导数不一定大于0.故“函数y=ax−sin x在R上是增函数”是“a>0”的充分不必要条件.故选：A【变式3-1】5．若函数f(x)=ln(x+1)−mx在区间(0,+∞)上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．(−∞,−1)C．(1,+∞)D．[1,+∞)【答案】D【分析】函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，则导函数f′(x)≤0在区间(0,+∞)上恒成立,分离参数，即可求解.【详解】解：f(x)=ln(x+1)−mx,f′(x)=1x+1−m，则f′(x)=1x+1−m≤0在0,+∞上恒成立，即m≥1x+1恒成立，又y=1x+1在0,+∞上单调递减，故1x+1<1，所以m≥1，当m=1时，导数不恒为0，故选：D.【变式3-1】6．若函数f(x)=bx+2sin x在x∈则实数b的取值范围是（）A．b≥0B．b>0C．b≥−2D．b>−2【答案】A【分析】由f′(x)≥0【详解】由题意f′(x)=b+2cos x≥0b≥−2cos x，x∈y=−2cos x是增函数，y max=0（x=π2时取得），所以b≥0．【变式3-1】7．已知函数f x=13x3+a2x2+x+1上−∞,0，3,+∞单调递增，在1,2上单调递减，则实数a的取值范围为______.【答案】−103,−【分析】求导得到f′x=x2+ax+1，根据f x在−∞,0，3,+∞上单调递增，在1,2上单调递减，可得方程f′x=0的两个根分别位于区间0,1和2,3上，进而根据数形结合，列出相应的不等式组，即可求出实数a的取值范围【详解】由f x=13x3+a2x2+x+1，得f′x=x2+ax+1，因为f x在−∞,0，3,+∞上单调递增，在1,2上单调递减，所以方程f′x=0的两个根分别位于区间0,1和2,3上，所以f′0≥0f′1≤0f′2≤0f′3≥0，即1≥02+a≤02a+5≤03a+10≥0解得−103≤a≤−52故答案为：−103,◆类型2存在单增单减区间问题【例题3-2】已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x.（1）若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（2）若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.【答案】（1）(－1，＋∞)；（2）[−716,+∞).【分析】（1）由函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2−2x有解，构造函数G(x)=1x2−2x，求出其最小值即可；（2）由h(x)在[1，4]上单调递减，可得当x∈[1，4]时，ℎ'(x)=1x−ax−2≤0恒成立，则a≥1x2−2x恒成立，构造函数G(x)=1x2−2x，求出其最大值即可【详解】h(x)＝ln x－12ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝1x－ax－2.（1）若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2−2x有解.设G(x)=1x2−2x，所以只要a>G(x)min.又G(x)=(1x−1)2−1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞).（2）由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，ℎ'(x)=1x−ax−2≤0恒成立，则a≥1x2−2x恒成立，设G(x)=1x2−2x，所以a≥G(x)max.又G(x)=(1x−1)2−1，x∈[1，4]，因为x∈[1，4]，所以1x∈[14,1]，所以G(x)max＝−716(此时x＝4)，所以a≥−716.又当a＝−716时，ℎ'(x)=1x+716x−2=(7x−4)(x−4)16x，∵x∈[1，4]，∴ℎ'(x)=(7x−4)(x−4)16x≤0，当且仅当x＝4时等号成立.∴h(x)在[1，4]上为减函数.故实数a的取值范围是[−716,+∞).【点睛】此题考查导数的应用，注意函数的单调区间和在某区间上单调的区别，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题【变式3-2】1．若函数f(x)=ln x−12ax2−2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.【答案】(−1,+∞)【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.【详解】f′(x)=1x−ax−2=1−2x−ax2x，由题意知，f′(x)<0在(0,+∞)上有实数解，即ax2+2x−1>0有实数解，当a≥0时，显然满足，当a<0时，只需Δ=4+4a>0∴−1<a<0综上所述a>−1故答案为：(−1,+∞)【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.【变式3-2】2．设f(x)=−13x3+12x2+ax.（1）若f(x)+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）若f(x)+∞上单调递减，求a的取值范围.【答案】（1）a>−29；（2）a≤−29【分析】（1）f(x)+∞上存在单调递增区间，即f'(x)>0+∞上有解，只要f'(x)max>0即可；（2）f(x)+∞上单调递减，即f'(x)≤0+∞上恒成立，只要f'(x)max≤0即可；【详解】解：（1）f'(x)=−x2+x+a=−x+14+a，当x∈+∞时，f'(x)max=f'=29+a，则当x∈+∞时，令29+a>0，得a>−29，所以，当a>−29时，f(x)+∞上存在单调递增区间；（2）由（1）得当x∈+∞时，f'(x)max=f'=29+a，则当x∈+∞时，令29+a≤0，得a≤−29，所以，当a≤−29时，f(x)+∞上单调递减.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，正确理解导数与函数单调性的关系及准确求导是解决问题的基础.【变式3-2】3．已知函数f(x)=ln x−12ax2−2x+1,a∈R（1）若f(x)在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直，求a的值；（2）若f(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【答案】（1）−1（2）(−1,+∞).【分析】（1）根据导数的几何意义，再利用两直线垂直的充要条件即可求解；（2）根据函数f(x)存在单调递减等价f′(x)<0在(0,+∞)上有解，转化为a>1−2x x2在(0,+∞)上有解，求g(x)=1−2x x2在(0,+∞)的最小值即可求解．【详解】（1）因为f(x)=ln x−12ax2−2x+1,a∈R，所以f'(x)=1x−ax−2,∴f′(2)=−2a−32,所以f(x)在x=2处的切线的斜率为k=f′(2)=−2a−32，因为f (x )在x =2处的切线与直线2x +y =0垂直，所以(−2a −32)×(−2)=−1，即−2a −32=12，解得a =−1．（2）因为f (x )=ln x −12ax 2−2x +1,所以f ′(x )=1x−ax −2，因为f (x )存在单调递减区间等价于f ′(x )=1x−ax −2<0在(0,+∞)上有解．即a >1−2xx 2在(0,+∞)上有解．令g (x )=1−2xx 2,(x >0),所以只需a >g (x )min ．因为g (x )=1−2xx 2=(1x)2−2(1x)=(1x−1)2−1≥−1,即g (x )min =−1,所以实数a 的取值范围为(−1,+∞)．【变式3-2】4．已知函数f (x )=−13x 3+12x 2+2ax ．(1)若函数f (x )+∞上存在单调增区间，求实数a 的取值范围．(2)若函数f (x ),1上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】(1)a >−19(2)a ≥0【分析】（1）即f ′x >0有解，参变分离得a >，最后根据二次函数性质求最值，即得实数a 的取值范围．（2）即f ′x >0恒成立，参变分离得a >，最后根据二次函数性质求最值，即得实数a 的取值范围．（1）f ′x =−x 2+x +2a ，由于f (x )+∞上存在单调增区间，故∃x 0∈+∞，f ′x 0>0，∴a >，由于y =x 2−x 2在+∞单调递增，且当x =23时，x 2−x2=−19∴a >−19（2）∀x ∈,1f ′x ≥0，由于y =x 2−x 2在+∞单调递增，故y =x 2−x 2在,1单调递增，当x =1时，x 2−x2=0a ≥，∴a ≥0．◆类型3已知单调区间问题【例题3-3】已知函数f x =ln x +x 2+ax ,1，则（）.A ．a ∈−∞,−3B ．a =−3C ．a =3D ．a ∈−∞,3【答案】B【分析】根据f x 得到f ′x ，再根据f x ,1，得到12和1是方程f ′x =0的两个根，代入解方程即可.【详解】由f x =ln x +x 2+ax 得f′x =2x 2+ax +1x，又f x ,1，所以12和1是方程2x 2+ax +1x=0的两个根，代入得a =−3.经检验满足题意故选：B.【变式3-3】1．已知函数f x =mx 3+3m −1x 2−m 2+1m >0的单调递减区间是0,4，则m =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】B【分析】利用导数结合韦达定理得出m 的值.【详解】函数f x =mx 3+3m −1x 2−m 2+1m >0，则导数f ′x =3mx 2+6m −1x令f ′x <0，即3mx 2+6m −1x <0，∵m >0，f x 的单调递减区间是0,4，∴0，4是方程3mx 2+6m −1x =0的两根，∴0+4=0×4=0，∴m =13故选：B.【变式3-3】2．已知函数f (x )=2x 3−mx 2+2(m >0)的单调减区间为(a ,b )，若b −a ≤2，则m 的最大值为______．【答案】6【分析】根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系即可求解.【详解】由f(x)=2x3−mx2+2(m>0)，得f′(x)=6x2−2mx(m>0)．令f′(x)<0,即6x2−2mx<0，解得0<x<m3，所以函数f(x)=2x3−mx2+2(m>0)的单调减区间为(0,m3)，所以b−a=m3≤2，解得m≤6，所以m的最大值为6．故答案为：6.【变式3-3】3．已知函数f x=ln x+x2+ax,1，则a的值为________．【答案】−3【分析】分析可知不等式2x2+ax+1<0,1，利用韦达定理可求得实数a的值.【详解】函数f x的定义域为0,+∞，且f′x=1x+2x+a=2x2+ax+1x，由题意可知，不等式2x2+ax+1<0,1，所以，12+1=−a2，解得a=−3.故答案为：−3.【变式3-3】4．（多选）若函数f x=ax3−3x2+x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（）A．−3B．−1C．0D．3【答案】AB【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解.【详解】当a=0时，f x=−3x2+x+1，显然不满足题意；当a≠0时，f′x=3ax2−6x+1，因为f x恰好有三个单调区间，所以f′x=3ax2−6x+1有两个零点，即Δ=36−12a>0，解得a<3，综上，a的取值范围为(−∞,0)∪(0,3).故选：AB◆类型4不单调问题【例题3-4】已知函数f x=1−x ln x+ax在1,+∞上不单调，则a的取值范围是（）A．0,+∞B．−∞,0C．0,+∞D．−∞,0【答案】A【分析】因为f (x )在1,+∞上不单调，故利用f ′x 在1,+∞上必有零点，利用a =ln x −1x+1，构造函数z (x )=ln x −1x +1，通过z (x )的范围，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意f ′x =−ln x +1x+a −1，故f ′(x )在1,+∞上有零点，令g (x )=−ln x +1x+a −1，令g (x )=0，得a =ln x −1x +1，令z (x )=ln x −1x +1，则z ′(x )=1x +1x 2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )单调递增，又由z (1)=0，得z (x )>0，故a =z (x )>0，所以，a 的取值范围0,+∞故选：A【变式3-4】若函数()()11xf x e a x =--+在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是（）A ．()2,1e +B ．[]2,1e +C ．(][),21,e -∞⋃++∞D ．()(),21,e -∞⋃++∞【答案】A 【解析】()(1)1x f x e a x =--+，()1x f x e a '∴=-+，若()f x 在(0,1)上不单调，则()'f x 在(0,1)上有变号零点，又()f x '单调递增，()()010f f ''∴<，即(11)(1)0a e a -+-+<，解得21a e <<+．a ∴的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．题型4单调性与图象【例题4-1】函数()()22xf x x x e =-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()()22x f x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为AD ，且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ，即只有B选项符合要求，故选：B.【变式4-1】1.函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（）.A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题得，()1(0)f x x x x'=->，当(0,1)时，()0f x '>，函数()f x 为增函数，当(1,)+∞时，()0f x '<，函数()f x 为减函数，则当1x =时，()f x 取最大值，()112f =-，则B 选项正确.故选：B 【变式4-1】2.已知函数f (x )＝e x －(x ＋1)2(e 为2.71828…)，则f (x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数()2(1)x f x e x ＝－+，当1x =-时，()1=110f ee -->＝，故排除A 、D ，又()22()20ln2x x f x e x f x e x '''=--=-=⇒=，，当0ln2x <<时，()(0())00f f f x x ''<''<∴<，，所以()f x 在()0,ln 2为减函数，故排除B,故选：C【变式4-1】3．函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，则函数y =ax 2+32bx +c3的单调递增区间是()A ．−∞,−2B ．[12,+∞)C ．−2,3D ．[98,+∞)【答案】D【分析】由题可得d ＝0，不妨取a ＝1，求导，由题图可得f ′−2=f ′3=0，可求b ，c 的值，从而可求单调区间.【详解】解:由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f x=x3+bx2+cx，∴f′x=3x2+2bx+c.由图可知f′−2=f′3=0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b=−32，c=−18.∴y=x2−94x−6，y′=2x−94.当x＞98时，y′>0，∴y=x2−94x−6的单调递增区间为[98,+∞).故选:D.【变式4-1】4．已知函数f x的图象如图所示，则下列说法中错误的是A．f x在区间上单调递减B．f x在区间上单调递增C．当时，f′x>0D．当时，f′x=0【答案】C【详解】试题分析：由图像可知增区间为(1,4)，此时，减区间为(−∞,1),(4,+∞)此时f'(x)<0，所以x=1,x=4是极值点考点：函数单调性与极值【例题4-2】如图是y=f′x的图像，则函数y=f x的单调递减区间是（）A．−2,1B．−2,0,2,+∞C．−∞,−1D．−∞,−1,1,+∞【答案】B【分析】由导数与单调性的关系判断．【详解】由图象知−2<x<0或x>2时，f′(x)<0，因此减区间是(−2,0)，(2,+∞)．故选：B．【变式4-2】1．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值点；③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当x∈−∞,−3时，f′x<0，在x∈−3,1时，f′x≥0，∴函数y=f x在−∞,−3上单调递减，在−3,1上单调递增，故③正确；则−3是函数y=f x的极小值点，故①正确；∵在−3,1上单调递增，∴−1不是函数y=f x的最小值点，故②不正确；∵函数y=f x在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确．故选：C．【变式4-2】2．已知函数f x与其导函数f′x的图象的一部分如图所示，则函数g x=的单调性（）A．在1,1单调递减B．在−1,2−3单调递减C．在2−3,1单调递减D．在1,2上单调递减【答案】B【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得g′x在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果.【详解】∵f′x<0时，f x单调递减；f′x>0时，f x单调递增，∴已知图象中在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，且有两个零点x=−1和x=1的是f′x，∵g′x=f′x−f x e x，由图象可知：当x∈−1,2−3时，f x>f′x；当x∈2−3,2时，f′x>f x；∴当x∈−1,2−3时，g′x<0；当x∈2−3,2时，g′x>0；∴g x在−1,1上不单调，A错误；在−1,2−3上单调递减，B正确；在2−3,1，1,2上单调递增，CD错误.故选：B.【变式4-2】3．已知f x是定义在R上的可导函数，y=e f′x的图象如下图所示，则y=f x的单调减区间是A．−∞,−1B．−∞,2C．0,1D．1,2【答案】B【详解】分析：先根据图像求出e f′(x)≤1，即得f′(x)≤0，也即得结果.详解：因为当x≤2时，e f′(x)≤1，所以当x≤2时，f′(x)≤0，所以y=f(x)的单调减区间是(−∞,2)，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.题型5利用导数图象解不等式【例题5】定义域为R的可导函数的导函数y=f x为f′x，满足f x>f′x，且f0=1，则不等式f x<e x的解集为（）A．−∞,2B．2,+∞C．−∞,0D．0,+∞【答案】D【分析】根据条件构造函数F x=<1⇔F x<F0利用函数的单调性解不等式，即可得到结果．【详解】设F x=则F′x==f x>f′x，所以F′x<0，即函数F x在定义域上单调递减，因为f(0)=1，所以不等式f x<e x<1，等价于F(x)<F(0)，解得x>0，故不等式的解集为0,+∞.故选：D．【变式5-1】1．已知定义在R上的函数f x的导函数为f′x，若f′x<e x，且f2=e2+2，则不等式f ln x>x+2的解集是（）A．0,e2B．0,2C．−∞,e2D．−∞,2【答案】A【分析】设g x=f x−e x+2，求导可得g x在R上单调递减，再根据f ln x>x+2转化为g ln x>4，再结合g x的单调性求解即可.【详解】设g x=f x−e x+2，则g′x=f′x−e x.因为f′x<e x，所以f′x−e x<0，即g′x<0，所以g x在R上单调递减.。

函数的单调性与导数一、知识点1．函数的单调性与其导数的关系在某个区间(,)a b内，如果___________，那么函数()=在y f x 这个区间内单调递增；如果___________，那么函数()=在y f x 这个区间内单调递减．注意：在某个区间内，()0'>f x（()0f x'<）是函数()f x在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数()f x在(,)a b内单调递增（减）的充要条件是()0f x'≥（()0f x'≤）在(,)a b内恒成立，且()f x'在(,)a b的任意子区间内都不恒等于0．'之间的关系2．函数图象与()f x一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．二、课前练习1．函数3y x=的单调递增区间是A．(,0)-∞B．(0,)+∞C．RD．(,0]-∞2．函数()lnx=-在区间(1,)+∞上单调递f kx x增，则实数k的取值范围是A．(,2]-∞-B．(,1]-∞-C．[2,)+∞D．[1,)+∞3．函数()y f x=的图象如图，则导函数()y f x'=的图象可能是5．若函数2l=-在其定义域内的()2nf x x x一个子区间(1,1)-+内不是单调k k函数，则实数k的取值范围是A．[1,)+∞B．3[1,)2C．[1,2)D．3[,2)26．函数cos=-为R上的减函数，则y ax x实数a的取值范围为______________．二、例题选讲例1.求下列函数的单调区间：（1）3()23=-．f x x x=-；（2）2()lnf x x x练习1．函数()(23)e x=-的单调递增区f xx间是A．1(,)2-∞B．(2,)+∞C．1(0,)2D．1(,)2+∞2._______________．例2.已知函数322=+-+-∈R其中()4361,,f x x t x t x t xt∈R．（1）当1t=时，求曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）当0t≠时，求()f x的单调区间．练习．已知函数3221()313f x ax x a x =+-+，a ∈R．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,()2)f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(2,3)-上是减函数，求实数a的取值范围．例3.设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数'()y f x =可能为A B C D练习.已知函数()=⋅的图象如图y x f x'所示，则函数()f x的图象可能是例4.已知函数2f x x x ax=++，a∈R．若函()ln数()f x在其定义域上为增函数，求a 的取值范围．练习．已知0a>，若函数3()f x a=-在区x x间1[,)2+∞上为增函数，则实数a的取值范围是______________．例5（2016北京）设函数32f x x ax bx c=+++．()（1）求曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）设4a b==，若函数()f x有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：230->是()f x有三个不同a b零点的必要而不充分条件．四、课后练习1．函数3()f x a=-为R上增函数的一个x x充分不必要条件是A ．0a ≤ B ．0a < C ．0a ≥D ．0a >2．函数1()f x axx =+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a的取值范围是A ．[1,)+∞ B ．(,0)(0,1]-∞ C ．(0,1]D ．(,0)[1,)-∞+∞3．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则A ．a b c<< B ．c a b<< C ．c b a<<D ．b ac << 4．若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a的取值范围是 A ．),3(+∞ B ．),3[+∞- C ．),3(+∞- D ．)3,(--∞5．已知函数21()(1)ln 2f x a x x a x =-+-．（1）若2a =，求函数()f x 的图象在点(1,()1)f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间．6．函数y=f(x)的导函数()y f x'=的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是7．函数2f x x x=--的单调递增区间()ln(28)是A．(,2)-∞-B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．(4,)+∞8．已知函数()ln ln(2)=+-，则f x x xA．()f x在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y f x =的图像关于直线x =1对称 D ．()y f x =的图像关于点（1，0）对称9．已知函数2e e ()()x x f x a a x =--，讨论()f x 的单调性10．已知函数2ln )1(()2x ax f x a x =+++，讨论()f x 的单调性．。