北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i 2i-+的虚部是(A) i - (B) 3i 5-(C) –1 (D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A)(B)(C) 2 (D) 43．由曲线1y x=与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是(A)3132(B)2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n ≤ (B) 7n >(C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2数恰为3次的概率是(A) 18125 (B) 36125(C)44125(D)811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD ⋅ (A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A，22)A，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2(B) 4 (C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7x ym mm +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______． 11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当PBA函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =--．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b （Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （Ⅱ）若二面角D -AP -C 3，求PF 的长度．PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列． （Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{b n }满足2n n nb a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211ni i x ==∑，证明：21ln ln 2nni i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10411，712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =--2sin cos x x x --=1cos 21)sin 222xx +--＝12sin 2222x x --＝cos(2)62x π+-．（Ⅰ）()cos(2)3362f πππ=⨯+-=22--= ……………………7分 （Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．由 806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，OBACDEFP所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2B E =- ，1(1,1,)2C P =-- ，所以cos ,15||||BE C P BE C P BE C P ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)A P t t =- ，(1,2,0)A C =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以121212||cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅，解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131nn n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =． 依题意，1231n n n a a +=+⋅+， 所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+，11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3nn a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以 3nn a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3nn a n =+，所以 22(3)3n nnnn b n n==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n nn n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则12n +>，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =，所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5， 所以点P 到准线2p y =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得12p =，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分 即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x yy x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+，即A B 的中点为(4,8)Q m +．所以 A B 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l 的方程为 210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1x f x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln x f x x a x a x'=--=-．所以当2a x =时，函数()f x 有最小值．∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x x x x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221kx x x +++= ，则112222ln ln ln ln 2k k kx x x x x x +++≥- ．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以 若211ni i x ==∑，则21ln ln 2nn ii i xx =≥-∑ *(,)i n ∈N． ……………………13分（证法二）若1221nx x x +++= ，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
