复变函数与积分变换b卷

海南大学2015-2016学年度第1学期试卷科目：《复变函数与积分变换》试题(B 卷)学院： 专业班级： 姓名： 学 号：成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写）阅卷教师： 年 月 日考试说明：本课程为闭卷考试。

一、 判断题(每题1分，共5分)（说明：对的，打上“√”号；错的，打上“×”号。

）（ ）1、扩充复平面与复球面上的点一一对应。

（ ）2、如果()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 处必可导。

（ ）3、如果 ，则z =0。

（ ）4、z =0是 的一级极点。

（ ）5、如果 在区域D内处处为零，则()f z 在D 内为一常数。

二、 填空题(每题3分，共15分)1、 。

2、设f(z)=z cos z ，则 。

)('z f =)0()2016(f 0=z e =⎰dz z z 20sin )1sin()(z z f =3、 的收敛半径= 。

4、如果0z 是函数f(z)在有限复平面内的可去奇点，则Res [f(z), 0z ]= 。

5、 。

三、 计算题(共20分) （注意：要有运算步骤。

）1、将下列复数化为三角表示式和指数表示式：2、求3、求).31(i Ln -4、求函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=.3,0,31,2,10,1)(t t t t f 的Laplace 变换. 四、解答题（共60分）1、计算积分 dz z z z z C ⎰++-)4(2)1(sin ）（，其中C 为正向圆周：|z|=3. （10分） 2、 利用留数定理计算其中C 为正向圆周：|z|=2. （10分）3、解微分方程 其中，f (t )为已知函数。

(10分)4、设函数 (1)把函数 f(z) 在内展开成洛朗级数。

（10分） (2)求积分 （5分） 5、如果函数f(z)=u+iv 在区域D 内解析，且arg f (z )在D 内是一个常数，=⎰+∞∞dt )(-t δnn n z i ∑∞=+0)43(.522i i i -+.)33(31i ++∞<<||1z .)(3||dz z f z ⎰=,1)/1sin()(-=z z z z f ).()()(44t f t y t y dt d =+⎰+-C dz z z z ，)1()1(34(1)写出f 满足的柯西-黎曼方程。

复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。

2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。

3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。

10125212131i i i i i +-=+-=-。

4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。

5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。

6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。

7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。

8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。

1224(4)2i i -==±。

9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。

11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。

1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。

1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz

C. L{cos(at)} = s/(s²+a²)
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
（）
6.对于傅里叶变换，以下表述正确的是（）
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
（）
7.以下关于复变函数积分变换的表述，正确的是（）
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
（）
16.以下关于积分变换的表述，正确的是（）
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。（）
9.在复变函数中，任何连续函数的积分都是路径无关的。（）
10. Z变换是复变函数积分变换的一种，常用于控制理论。（）
五、主观题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1. (10分)请说明复变函数解析的概念，并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念，并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析，但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析，积分路径包围了奇点
（）
13.以下哪些是复变函数的应用领域？（）
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
（）
14.关于积分变换的性质，以下哪些是正确的？（）