广西苍梧中学2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版缺答案

广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考2015届百所示范性中学高三年级第一次大联考数学（文史类）试题部分评分细则一、选择题1．B 【解析】∵B ＝{x |0<x <2}，A ＝{0，1}，∴A ∩B ＝{1}，选B.2．C 【解析】∵(1＋2i)(1－2i)＝1＋22＝5，∴a ＝2.3．D 【解析】A ，B ，C 正确，D 中，p 是真命题，q 是真命题，故p ∧q 为真命题，选D.4．B 【解析】y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋1，x <－1x 2－1，x ＝－1x ，x >－1x ＝－1时，y ＝0，选B.5．C 【解析】y ＝x ＋1的定义域为：{x |x ≥－1}，P ＝35，选C. 6．B7．C 【解析】l 1∥l 2时，m ＝32，l 2：3x ＋4y ＋8＝0，d ＝|8＋2|32＋42＝105＝2，选C. 8．D9．C 【解析】f (x )＝0⇒log 4x ＝|x －4|，画图可知，选C.10．B 【解析】由三视图知余下的几何体如图示(下部分)：∵E 、F 都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V ＝12×23＝4. 11．C 【解析】法一：如图，设∠AOF ＝α，由(AO →＋AF →)·OF →＝0得，AO →·OF →＋AF →·OF→＝0，|AO →|·|OF →|cos (π－α)＋|AF →|·|OF →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝0，|AO →||AF →|＝tan α⇒|AO →||AF →|＝|AF →||AO →|，即|AO →|＝|AF →|⇒α＝45°， ∴a ＝b ，e ＝ 2.法二：取OF 中点H .由(AO →＋AF →)·OF →＝0，有2AH →·OF →＝0，即AH ⊥OF .又点A 在以OF 为直径的圆上，∴OA ⊥AF ，故△OAF 为等腰直角三角形．∴AH ＝12OF ，即b a ·c 2＝c 2⇒a ＝b ， ∴该双曲线为等轴双曲线，故e ＝ 2.12．A 【解析】AD →＝DC →⇒D 是AC 的中点⇒BD →＝12(BA →＋BC →) BD →·AC →＝－12⇒12(BA →＋BC →)·(BC →－BA →)＝－12BC →2－BA →2＝－1⇒BA →2＝5⇒|BA →|＝ 5.cos B ＝15.CE →·AB →＝(BE →－BC →)·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →·(－BA →)＝BC →·BA →－23BA →2＝2·5·15－23×5＝2－103＝－43.二、填空题13．－3414．－1 【解析】由题作出可行域如图，y ＝x －z ，当x ＝1，y ＝2时，z min ＝－1.15.81π416．m ≥12 【解析】f (－x 0)＝－f (x 0)⇒0000114242x x x x m m --++-=--g g （）00004422x x x x m --+=+（2）设0022x x t -+=，则t ≥2,t 2－2＝2mt ，2m ＝t －2t 在[2，＋∞)上递增，∴2m ≥1⇒m ≥12.17题评分细则（共12分)17．【解析】(1)设公差为d ，公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 1＋b 1＝5，a 2＋b 2＝9，a 3＋b 3＝15，解得b 1＝2，d ＝2，q ＝2，………………4分∴a n ＝2n ＋1，b n ＝2n.……………………6分(2)S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n )＝n （3＋2n ＋1）2＋2（1－2n）1－2……………………9分＝n 2＋2n ＋1＋2n －2.…………………… 12分18题评分细则（共12分)18．【解析】(1)设演讲比赛小组中有x 名男同学，则1768＝x 4，x ＝1，故演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．……………………1分把3名女生和1名男生分别记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取2名同学的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b )，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)，共12个．…………………………3分其中恰有1名女同学的情况有6种，所以选出的2名同学恰有1名女同学的概率为P ＝612＝12.……………………5分 (2)第一个同学演讲的平均成绩为x 1＝15×(69＋71＋72＋73＋75)＝72(分)．…………6分第二个同学演讲的平均成绩x 2＝15×(70＋71＋71＋73＋75)＝72(分)，…………7分 s 21＝15×[(69－72)2＋(71－72)2＋(72－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝4，…………9分 s 22＝15×[(70－72)2＋(71－72)2＋(71－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝3.2.……………11分因此第二个同学的演讲成绩更稳定．……………… 12分19题评分细则（共12分)19．【解析】(1)证明：∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD ∥AB .………………1分又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB .…………3分同理，EG ∥平面PAB ，…………4分∴平面EFG ∥平面PAB .又∵AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG .………… 6分(2)由∠PCD ＝45°，得PD ＝BC ＝CD ＝2…………8分 ∴11111.222CEF S EF DF =⨯=⨯⨯=V ………………10分∴V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC ＝13×12×1＝16.………………12分20题评分细则（共12分)20．【解析】(1)直线AB 的方程为y ＝－3x ＋ 3.………………2分令y ＝0得右焦点为(1，0)，令x ＝0得上顶点为(0，3)．……………………3分 ∴a 2＝b 2＋c 2＝4，故得所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.…………………… 5分 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0 Δ＝64k 2m 2－4()3＋4k 2()4m 2－12＝0即m 2＝3＋4k 2……………………6分x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m ……………………7分 又因为M (t ，0)，Q (4，4k ＋m )则MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ，3m ，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )………………9分 若存在点M ，则：MP →·MQ →＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0 恒成立 故⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0， ∴t ＝1………………11分存在点M (1，0)符合题意．………………12分21题评分细则（共12分)21．【解析】(1)由已知得f ′(x )＝e x ＋a, …………1分当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数．……………………2分 当a <0时，由f ′(x )>0，得x >ln(－a )，f (x )在(ln(－a )，＋∞)上是单调增函数；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，f(x)在(－∞，ln(－a))上是单调减函数．……………………4分综上可得：当a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调减区间是(－∞，ln(－a))．………………5分(2)当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，即得e x＋ax≥e－x－ax恒成立，即得e x－e－x＋2ax≥0恒成立．令h(x)＝e x－1e x＋2ax(x≥0)，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立．………………6分又h′(x)＝e x＋e－x＋2a，且h′(x)≥2e x·e－x＋2a＝2＋2a，当x＝0时等号成立．………………7分①当a>－1时，h′(x)>0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．②当a＝－1时，若x＝0，h′(x)＝0，若x>0，h′(x)>0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．………………9分③当a<－1时，方程h′(x)＝0的正根为x1＝ln(－a＋a2－1)，此时，若x∈(0，x1)，则h′(x)<0，故h(x)在该区间为减函数．所以，x∈(0，x1)时，h(x)<h(0)＝0，与x≥0时，h(x)≥0恒成立矛盾．……………………11分综上，满足条件的a的取值范围是[－1，＋∞)．……………………12分22题评分细则（共10分)22．【解析】(1)由弦切角定理知∠DBE＝∠DAB，……………………2分由∠DBC＝∠DAC，∠DAB＝∠DAC，……………………3分所以∠DBE ＝∠DBC ，即BD 平分∠CBE . …………………………4分(2)由(1)可知BE ＝BH ，……………………5分所以AH ·BH ＝AH ·BE ，……………………6分因为∠DAB ＝∠DAC ，∠ACB ＝∠ABE ，所以△AHC ∽△AEB ，……………………8分所以AH AE ＝HC BE，即AH ·BE ＝AE ·HC ，……………………9分即AH ·BH ＝AE ·HC .………………………… 10分23题评分细则（共10分)23．【解析】(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，……………………1分结合极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得x 2＋y 2＝4x ，……………………3分 即(x －2)2＋y 2＝4. ……………………4分(2)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋3t y ＝t(t 为参数)化为普通方程得，x －3y －a ＝………7分结合圆C 与直线l 相切，得|2－a |1＋3＝2，…………………………9分解得a ＝－2或6.…………………… 10分24题评分细则（共10分)24．【解析】(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（x ≥3），－3x ＋5（1<x <3），x ＋1（x ≤1）.……………2分。

2015年广西钦州市、柳州市、北海市高考数学模拟试卷（文科）（1月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•钦州模拟）设集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：由A与B，求出A与B的交集即可．【解析】：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•钦州模拟）已知i为虚数单位，复数，则复数z的实部为（）A．B．C．D．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解析】：解：复数===﹣，则复数z的实部为﹣．故选：D．【点评】：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．（5分）（2015•钦州模拟）某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：分别根据分层抽样，系统抽样和简单抽样的定义进行判断即可．【解析】：解：①由于四个城市销售点是数量不同，可能存在差异比使用较明显，故①应用分层抽样．②由于丙成立销售点比较比较少，可以使用简单随机抽样即可．故选：B．【点评】：本题主要考查随机抽样的应用，利用三种抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2015•钦州模拟）已知向量，，且，则的值为（）A．B．13 C． 5 D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：首先由向量平行得到x，然后利用坐标运算解答．【解析】：解：因为向量，，且，所以2×6=﹣3x，解得x=﹣4，所以=（﹣2，3），所以=；故选A．【点评】：本题考查了向量平行的性质以及向量加法、模的坐标运算；属于基础题．5．（5分）（2015•钦州模拟）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．【考点】：定积分的简单应用．【分析】：画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．【解析】：解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．【点评】：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．6．（5分）（2015•钦州模拟）若，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】：二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解析】：解：∵由已知得：cos2α=sin（﹣α），∴cos2α﹣sin2α=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=﹣，或者sinα﹣cosα=0（舍去）∴两边平方，可得：1+sin2α=，∴从而可解得：sin2α=﹣．故选：A．【点评】：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2015•钦州模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=2x﹣2y的最小值为（）A．B．C．D．【考点】：简单线性规划．【专题】： 不等式的解法及应用．【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，设m=x ﹣2y ，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】： 解：设m=x ﹣2y 得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A 时，直线y=距最大，此时m 最小， 由，解得，即A （2，2），此时m 最小为m=2﹣2×2=﹣2，则z=2x ﹣2y 的最小值为2﹣2= 故选：B ．【点评】： 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及指数函数的性质是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．8．（5分）（2015•钦州模拟）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）A ． 10πB ． 11πC ． 12πD ． 13π【考点】： 由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．【解析】：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．所以球的表面积为4π×12=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为2π×12=2π，所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π．故选C．【点评】：本题考查由三视图求面积，考查学生的空间想象能力．9．（5分）（2015•钦州模拟）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：先求出第一次取得号码为奇数的概率，再求出第二次取得号码为偶数球的概率，根据概率公式计算即可．【解析】：解：1、2、3、4、5大小相同的5个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数的概率为，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故选：D．【点评】：本题考查了条件概率的求法，属于基础题．10．（5分）（2015•钦州模拟）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间，即可得到答案．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[﹣2，﹣1]故选：A．【点评】：本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查．11．（5分）（2015•钦州模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求出c，利用抛物线的定义求出m，再由双曲线的定义求出a，进而求得b，从而求得两条渐近线方程．【解析】：解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，∴c=2．设P（m，n），由抛物线的定义得|PF|=5=m+2，∴m=3．由双曲线的定义得=，∴=，∴a=1，∴b=，∴两条渐近线方程为x±y=0，故选D．【点评】：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a值是解题的关键．12．（5分）（2015•钦州模拟）已知函数y=f（x）满足下列条件：（1）对∀x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立；（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（﹣2，0）对称；对∀x、y∈R 有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立．则当0＜x＜4时，x2+y2的取值范围为（）A．（3，7）B．（9，25）C．[9，41）D．（9，49）【考点】：导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由（1）可得函数f（x）在R上单调递减；由（2）可得函数f（x）为减函数；已知对∀x、y∈R有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立，化为f（x2﹣8x+21）＞﹣f（y2﹣6y）=f（6y﹣y2）．可得x2﹣8x+21＜6y﹣y2，化为（x﹣4）2+（y﹣3）2＜4．圆心C（4，3），半径R=2．可得x2+y2≥（|OC|﹣R）2=9．直线x=4与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于点P（4，1），Q（4，5）．x2+y2＜|OQ|2=41．即可得出．【解析】：解：由（1）对∀x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立，可得函数f（x）在R上单调递减；由（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（﹣2，0）对称，∴函数f（x）为奇函数；∴对∀x、y∈R有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立，化为f（x2﹣8x+21）＞﹣f（y2﹣6y）=f（6y﹣y2）．∴x2﹣8x+21＜6y﹣y2，化为（x﹣4）2+（y﹣3）2＜4．圆心C（4，3），半径R=2．∴x2+y2＞（|OC|﹣R）2=9．直线x=4与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于点P（4，1），Q（4，5）．∴x2+y2＜|OQ|2=41．∴则当0＜x＜4时，x2+y2的取值范围为（9，41）．故选：C．【点评】：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（2015•钦州模拟）已知的展开式中，常数项为14，则a=2（用数字填写答案）．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：利用二项式定理的通项公式，通过x的指数为0，求出常数项，然后解出a的值．【解析】：解：因为的展开式中T r+1=，令21﹣3r﹣=0，可得r=6当r=6时展开式的常数项为7a=14，解得a=2．故答案为：2．【点评】：本题是基础题，考查二项式定理通项公式的应用，考查二项式定理常数项的性质，考查计算能力．14．（5分）（2015•钦州模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，若bcosC+（2a+c）cosB=0，则内角B的大小为．【考点】：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】：运用正弦定理，将边化为角，由两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，结合特殊角的三角函数值，即可得到B．【解析】：解：由正弦定理，bcosC+（2a+c）cosB=0，即为sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，即（sinBcosC+sinCcosB）=﹣2sinAcosB，即sin（B+C）=﹣2sinAcosB，即有sinA=﹣2sinAcosB，则cosB=﹣，由于0＜B＜π，则B=，故答案为：．【点评】：本题考查正弦定理及运用，考查两角和的正弦公式和诱导公式，考查特殊角的三角函数值，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）（2015•钦州模拟）设经过点（﹣4，0）的直线l与抛物线y=的两个交点为A、B，经过A、B两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线l的斜率等于．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=得：x2﹣2kx﹣8k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．【解析】：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=得：x2﹣2kx﹣8k=0，设两个切点是A（x1，y1），B（x2，y2），若PA与PB垂直，则x1•x2=﹣8k=﹣1，∴k=，故答案为：．【点评】：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．16．（5分）（2015•钦州模拟）已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，则三棱锥的外接球体积为．【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：求出△ABC的外接圆的半径，三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．【解析】：解：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥的外接球的半径为R，则∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，∴2r==4，∴4R2=16+4，∴R=，∴三棱锥的外接球体积为=，故答案为：．【点评】：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2015•钦州模拟）已知递增的等比数列{a n}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）记b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：（1）设等比数列前三项分别为a1，a2，a3，则a1+1、a2+2、a3+2又成等差数列．依题意得：，即，解之得，或（数列{a n}为递增等比数列，舍去），∴数列{a n}的通项公式：．（2）由b n=a n+2n得，，∴T n=b1+b2+…+b n=（20+2×1）+（21+2×2）+（22+2×3）+…+（2n﹣1+2n）=（20+21+22+…+2n﹣1）+2（1+2+3+…+n）=．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2015•钦州模拟）某学校有120名教师，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分组，其频率分布直方图如右图所示．学校为了适应新课程改革，要求每名教师都要参加甲、乙两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．年龄分组甲项培训成绩优秀人数乙项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60）4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全校教师的平均年龄；（2）随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，求这两人中至少有一人在甲、乙两项培训结业考试成绩为优秀的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据频率分布直方图和频率分布表和分层抽样的方法即可求出各年龄段应分别抽取的人数，并可估计全校教师的平均年龄；（2）根据互斥事件的概率公式即可求出答案．【解析】：解：（1）由频率分布直方图知，年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）的人数的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10…1分∵0.35×40=14，0.40×40=16，0.15×40=6，0.10×40=4…3分∴年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）应取的人数分别为14、16、6、4…4分∵各年龄组的中点值分别为25、35、45、55．对应的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10．则…5分由此估计全校教师的平均年龄为35岁．…6分（2）因为年龄段[20，30）的教师人数为120×0.35=42人，…7分年龄段[30，40）的教师人数为120×0.40=48人，…8分从年龄段[20，30）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为A、B；两项都为优秀的事件记为M．从年龄段[30，40）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为C、D；两项都为优秀的事件记为N．由表知.，，则…9分，，则…10分记这两人中至少有1人在甲、乙两项培训考试成绩为优秀的事件为E．则…12分．【点评】：本题考查频率分布直方图和率以及互斥事件的概率公式，属于中档题．19．（12分）（2015•钦州模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求三棱锥C1﹣ABA1的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）取AC中点O，连A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A1OB，由此能证明AC⊥A1B．（2）由，利用等积法能求出三棱锥C 1﹣ABA1的体积．【解析】：（1）证明：取AC中点O，连A1O，BO．∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分又A1B⊂平面A1OB，…4分∴AC⊥A1B…5分（2）解：由条件得：…6分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，∴，，…9分∴=…10分=．…12分【点评】：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2015•钦州模拟）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．【解析】：解：（1）由题意知，…1分所以．即a2=2b2．…2分又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴，…3分，则a2=2．…4分故椭圆C的方程为．…6分（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分且，．∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．当t=0时，不满足；当t≠0时，解得x==，y===，∵点P在椭圆上，∴，化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分∵＜，∴，化简得，∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分∴或，∴实数取值范围为…12分【点评】：本题考查椭圆的方程、性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，以及平面向量的知识，考查化简、计算能力和分类讨论思想，属于中档题．21．（12分）（2015•钦州模拟）设函数f（x）=﹣x+1，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的极大值；（2）若x∈[1﹣a，1+a]时，恒有﹣a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极大值；（2）求出导数，对a讨论，当0＜a＜时，当≤a＜1时，判断f′（x）的单调性，求得最值，得到a的不等式组，即可解得a的范围．【解析】：解：（1）∵函数f（x）=﹣x+1，0＜a＜1．f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，且0＜a＜1，当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；f（x）的单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞）．故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（2）∵f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2，当0＜a＜时，1﹣a＞2a，∴f′（x）在区间[1﹣a，1+a]内是单调递减．∴f′（x）max=f′（1﹣a）=﹣8a2+6a﹣1，f′（x）min=f′（1+a）=2a﹣1，∵﹣a≤f′（x）≤a，∴此时，a∈∅．当≤a＜1时，f′（x）max=f′（2a）=a2，∵﹣a≤f′（x）≤a，∴即，此时≤a≤．综上可知，实数a的取值范围为[，]．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性的运用：求最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•钦州模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H，求证：（1）C，D，F，E四点共圆；（2）GH2=GE•GF．【考点】：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【专题】：立体几何．【分析】：（1）连接BC，由已知得∠ACB=90°，∠AGE=90°，∠FDC+∠CEF=180°，由此能证明C，D，F，E四点共圆．（2）由切割线定理得GH2=GC•GD，由C，D，F，E四点共圆，得△GCE∽△GFD，由此能证明CH2=GE•GF．【解析】：选修4﹣1：几何证明选讲证明：（1）连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．…1分∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．…2分又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG．…3分∴∠FDC+∠CEF=180°．…4分∴C，D，F，E四点共圆．…5分（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2=GC•GD．…6分由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．∴△GCE∽△GFD．…7分∴=，即GC•GD=GE•GF，…8分∴CH2=GE•GF．…10分．【点评】：本题考查四点共圆的证明，考查等式相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•钦州模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】：直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【专题】：选作题；坐标系和参数方程．【分析】：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，可得求曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y ﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，利用参数的几何意义求的值．【解析】：解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，…2分∴直角坐标方程是x2+y2=2y+2x，…4分即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2…5分（2）直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，…7分∴…8分∴==…10分．【点评】：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．选修4-5：不等式选讲24．（2015•钦州模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【考点】：其他不等式的解法．【专题】：计算题．【分析】：（1）由函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，知当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）对∀x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=，f（x）min=a﹣1．同理，得当a＜1时，f（x）min=1﹣a，由此能求出a的取值范围．【解析】：解：（1）∵函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，∴当a=﹣1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义：|x﹣1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点﹣1的距离之和大于或等于3，则点x到点1和点﹣1的中点O的距离大于或等于即可，∴点x在﹣或其左边及或其右边，即x≤﹣或x≥．∴不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）对∀x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=，∴f（x）min=a﹣1．同理得，当a＜1时，f（x）min=1﹣a，∴或，解得a≥3，或a≤﹣1，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，合理运用函数恒成立的性质进行等价转化．。

广西南宁市2015届高考数学一模试卷（文科） 一.选择题 1．复数z=的实部是( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．集合A={x|﹣1＜x＜3}．B={﹣3，﹣1，0，1，2}则A∩B等于( ) A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，3} C．{0，1，2} D．{0，1} 3．已知sin（）=则cos（x）等于( ) A．﹣B．﹣C．D． 4．已知λ∈R，=（1，2），=（﹣2，1）则“λ=2015”是“（λ）⊥”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．即不充分也不必要条件 5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于( ) A．﹣11 B．11 C．331 D．﹣31 6．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是( ) A．y=lnx B．y=x2 C．y=cosx D．y=2﹣|x| 7．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( ) A．B．C．D． 8．设x，y满足，则z=x+y的最小值为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 9．如图所示的程序图中输出的结果为( ) A．2 B．﹣2 C．D．﹣ 10．设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为( ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 11．双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( ) A．B．C．D． 12．f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈，存在x0∈，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是( ) A．B．C． 二.填空题 13．某班某次数学考试成绩好，中，差的学生人数之比为3：5：2，现在用分层抽样方法从中抽取容量为20的样本，则应从成绩好的学生中抽取__________名学生． 14．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为__________． 15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥A1C1，B1C⊥AC1，AB=2，AC=1则该三棱柱的体积为__________． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+3Sn?Sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=，则数列{an}的通项公式an=__________． 三.解答题 17．在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cos=， （1）求cosC的值； （2）若acosB+bcosA=2，a=，求sinA的值． 18．某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是0﹣9的某个整数 （1）若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为谁去比较合适？ （2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100]之间的概率． 19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：AC⊥PD； （Ⅱ）在线段PA上，是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx． （1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间； （2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围． 21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS 与直线l：x=分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值． 四.选做题 22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC． （1）求证：∠BAC=∠CAG； （2）求证：AC2=AE?AF． 23．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0． （1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程； （2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|． 24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a． （1）当a=1时，求函数f（x）的最小值； （2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围． 广西南宁市2015届高考数学一模试卷（文科） 一.选择题 1．复数z=的实部是( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解答：解：∵z==， ∴复数z=的实部是﹣1． 故选：B． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．集合A={x|﹣1＜x＜3}．B={﹣3，﹣1，0，1，2}则A∩B等于( ) A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，3} C．{0，1，2} D．{0，1} 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：由A与B，找出两集合的交集即可． 解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}．B={﹣3，﹣1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1，2}， 故选：C． 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 3．已知sin（）=则cos（x）等于( ) A．﹣B．﹣C．D． 考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：由诱导公式化简后即可求值． 解答：解：cos（x）=sin=sin（﹣x）=． 故选：D． 点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题． 4．已知λ∈R，=（1，2），=（﹣2，1）则“λ=2015”是“（λ）⊥”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．即不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据向量垂直的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解答：解：若（λ）⊥，在（λ）?=0， 即λ（1，2）?（﹣2，1）=0恒成立， 则“λ=2015”是“（λ）⊥”的充分不必要条件， 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量垂直的等价关系是解决本题的关键． 5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于( ) A．﹣11 B．11 C．331 D．﹣31 考点：等比数列的前n项和． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由题意可得数列的公比，代入求和公式计算可得． 解答：解：∵等比数列{an}中a1=1，a4=﹣8， ∴公比q==﹣2， ∴S5==11 故选：B 点评：本题考查等比数列的求和公式，属基础题． 6．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是( ) A．y=lnx B．y=x2 C．y=cosx D．y=2﹣|x| 考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 专题：综合题；函数的性质及应用． 分析：排除法：根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可． 解答：解：y=lnx不是偶函数，排除A； y=cosx是周期函数，在区间（0，+∞）上不单调递减，排除C； y=x2在区间（0，+∞）上单调递增，排除B； 故选D． 点评：本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，定义是解决该类问题的基本方法，属基础题． 7．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( ) A．B．C．D． 考点：简单空间图形的三视图． 专题：空间位置关系与距离． 分析：正确画出几何体的直观图，进而分析其三视图的形状，容易判断选项． 解答：解：由题意该四棱锥的直观图如下图所示： 则其三视图如图： ， 故选：C． 点评：本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题． 8．设x，y满足，则z=x+y的最小值为( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值． 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时， 直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小． 由，解得，即B（2，0）， 代入目标函数z=x+y得z=2+0=2． 即目标函数z=x+y的最小值为2． 故选：D． 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 9．如图所示的程序图中输出的结果为( ) A．2 B．﹣2 C．D．﹣ 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案． 解答：解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示： a i 条件i≥4？ 循环前 2 1 否 第1圈﹣1 2 否 第2圈 3 否 第3圈 2 4 是 可得，当i=4时，a=2．此时应该结束循环体并输出a的值为2． 故选：A． 点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题． 10．设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为( ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 考点：不等式比较大小． 专题：不等式的解法及应用． 分析：化为a==，b==，c=，即可比较出大小． 解答：解：∵a==，b==，c=， 36e2＞49e＞64， ∴a＜b＜c． 故选：C． 点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题． 11．双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( ) A．B．C．D． 考点：双曲线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用条件可得A（）在双曲线上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论． 解答：解：∵双曲线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F， ∴A（）在双曲线上，=c ∴（c，2c）在双曲线上， ∴ ∴c4﹣6a2c2+a4=0 ∴e4﹣6e2+1=0 ∴ ∵e＞1 ∴e=故选B． 点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 12．f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈，存在x0∈，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是( ) A．B．C． 考点：函数的值域；集合的包含关系判断及应用． 专题：计算题；压轴题． 分析：先求出两个函数在上的值域分别为A、B，再根据对任意的x1∈，存在x0∈，使g （x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a＞0． 解答：解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在上的值域分别为A、B， 由题意可知：A=，B=∴ ∴a≤ 又∵a＞0， ∴0＜a≤ 故选：A 点评：此题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， 二.填空题 13．某班某次数学考试成绩好，中，差的学生人数之比为3：5：2，现在用分层抽样方法从中抽取容量为20的样本，则应从成绩好的学生中抽取6名学生． 考点：分层抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可． 解答：解：由题意得应从成绩好的学生中抽取的人数为人， 故答案为：6 点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 14．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为4x﹣y﹣3=0． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定；直线的一般式方程． 专题：计算题． 分析：欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决． 解答：解：与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l与为：4x﹣y+m=0， 即y=x4在某一点的导数为4， 而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4， 故方程为4x﹣y﹣3=0． 点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥A1C1，B1C⊥AC1，AB=2，AC=1则该三棱柱的体积为1． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：连结A1C，由已知条件推导出四边形AA1C1C是正方形，AA1=AC=1，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． 解答：解：连结A1C， ∵A1B1⊥A1C1，∴A1B1⊥平面A1C， ∵B1C⊥AC1，∴A1C⊥AC1， ∴四边形AA1C1C是正方形， ∴AA1=AC=1， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V==1． 故答案为：1． 点评：本题考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+3Sn?Sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=，则数列{an}的通项公式an=，． 考点：数列递推式． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：根据数列的递推关系构造等差数列，利用an与Sn的关系即可求出数列的通项公式． 解答：解：由an+3Sn?Sn﹣1=0得an=﹣3Sn?Sn﹣1， 当n≥2时，an=﹣3Sn?Sn﹣1=Sn﹣Sn﹣1， ∵a1=，∴Sn?Sn﹣1≠0， 等式两边同时除以Sn?Sn﹣1得﹣=3， 即{}是以3为首项，3为公差的等差数列， 则=3+3（n﹣1）=3n， 即Sn=，则an=﹣3Sn?Sn﹣1=，n≥2， ∵a1=不满足an=，n≥2， ∴数列的通项公式an=， 故答案为：． 点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系结合an与Sn的关系是解决本题的关键． 三.解答题 17．在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cos=， （1）求cosC的值； （2）若acosB+bcosA=2，a=，求sinA的值． 考点：余弦定理；正弦定理． 专题：三角函数的求值；解三角形． 分析：（1）由二倍角的余弦公式代入已知即可求cosC的值． （2）由已知及余弦定理可得a×+b×=2，从而解得c的值，求得sinC的值，即可由正弦定理求得sinA的值． 解答：解：（1）∵cos=， ∴cosC=2cos2﹣1=2﹣1=． （2）∵acosB+bcosA=2， ∴由余弦定理可得：a×+b×=2， ∴从而解得：c=2， 又∵a=，cosC=， ∴sinC==， ∴由得sinA===． 点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 18．某机械厂今年进行了五次技能考核，其中甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，成绩统计情况如茎叶图所示（其中a是0﹣9的某个整数 （1）若该厂决定从甲乙两人中选派一人去参加技能培训，从成绩稳定性角度考虑，你认为谁去比较合适？ （2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，在抽取的两次成绩中，求至少有一次成绩在（90，100]之间的概率． 考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，可得a值，求出方差比较后，可得结论； （2）先计算从甲的成绩中任取两次成绩的抽法总数，和至少有一次成绩在（90，100]之间的抽法数，代入古典概型概率计算公式可得答案． 解答：解：（1）由已知中的茎叶图可得： 甲的平均分为：（88+89+90+91+92）=90， 由甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等， 故乙的平均分：（84+88+89+90+a+96）=90， 解得：a=3， 则==2，==17.2， ∵甲、乙两名技术骨干得分的平均分相等，但＞， ∴从成绩稳定性角度考虑，我认为甲去比较合适， （2）若从甲的成绩中任取两次成绩作进一步分析，共有=10种不同抽取方法， 其中至少有一次成绩在（90，100]之间有：=7种方法， 故至少有一次成绩在（90，100]之间的概率P=点评：本题考查了平均数与方差以及概率的计算问题，难度不大，属于基础题，解答时要注意第二问范围不包括90在内． 19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：AC⊥PD； （Ⅱ）在线段PA上，是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（I）利用面面垂直的性质定理即可证明； （II）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF．由平行线分线段成比例定理在三角形中的应用，即可得到EF∥AD，．利用已知条件即可得到，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明． 解答：（Ⅰ）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥平面PCD， ∵PD?平面PCD， ∴AC⊥PD． （Ⅱ）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．下面给出证明： ∵AD=3， ∴在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF． ∵，∴EF∥AD，． 又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD， ∴BE∥平面PCD． 点评：熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键． 20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx． （1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间； （2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围． 考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）求出函数f（x）的导数，利用导数的正负性判断单调性，从而求函数的极值； （2）求出g（x）的导数，化简构造函数h（x），求出h（x）的导数，讨论函数h′（x）正负性，判断h（x）的单调性，根据h（x）的正负性，判断g（x）的单调性，从而求出参数a 的取值范围． 解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=2x+1﹣==， ∴当0＜x＜，时f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， （2）g（x）==，定义域为（0，+∞）， g′（x）=， 令h（x）=，则h′（x）=﹣2x++2﹣a， h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在区间（0，1]上单调递减， 从而对（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a ①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，∴y=h（x）在区间（0，1]上单调递增， ∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0， ∴y=F（x）在区间（0，1]上是减函数，a≤2满足题意； ②当2﹣a＜0，即a＞2时，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1， 且y=h′（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线， ∴y=h′（x）在区间（0，1]有唯一零点，设为x0， ∴h（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，1]上单调递减， ∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0， 且y=h（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线， y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′， 即y=F′（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′， 又F（x）在区间（0，x′）上单调递减，在（x′，1）上单调递增， 矛盾，a＞2不合题意； 综上所得：a的取值范围为（﹣∞，2]． 点评：本题考查的是利用导数求函数的单调区间，同时考查了利用导数解决参数问题，利运用了二次求导，是一道导数的综合性问题．属于难题． 21．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS 与直线l：x=分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），可得，解得a，b即可． （2）设直线AS的斜率为k＞0，利用kAS?kBS=﹣，可得．直线AS，BS的方程分别为：y=k（x+2），y=．令x=，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）， ∴，解得a=2，b=1． ∴椭圆C的方程为：． （2）设直线AS的斜率为k＞0， ∵kAS?kBS=﹣， ∴． ∴直线AS，BS的方程分别为： y=k（x+2），y=． 令x=，则M，N． ∴|MN|==，当且仅当k=时取等号． ∴线段MN长度的最小值为． 点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四.选做题 22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC． （1）求证：∠BAC=∠CAG； （2）求证：AC2=AE?AF． 考点：与圆有关的比例线段． 专题：证明题；立体几何． 分析：（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG； （2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE?AF． 解答：证明：（1）连接BC， ∵AB为⊙O的直径… ∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°… ∵GC与⊙O相切于C， ∴∠ECB=∠BAC ∴∠BAC+∠ACG=90°… 又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90° ∴∠BAC=∠CAG… （2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF ∵GE与⊙O相切于C， ∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB ∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90° ∴∠AFC=∠ACE… ∵∠FAC=∠CAE ∴△FAC∽△CAE… ∴ ∴AC2=AE?AF… 点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形． 23．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0． （1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程； （2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|． 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程． 专题：计算题；直线与圆． 分析：（1）参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程； （2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出． 解答：解：（1）由曲线C的参数方程为为参数）， 消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0； ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0， ∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0． （2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆， 则圆心到直线C的距离为， 故|AB|==． 点评：本题考查直角坐标系与极坐标之间的互化，熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=是解题的关键． 24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a． （1）当a=1时，求函数f（x）的最小值； （2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围． 考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题：函数的性质及应用． 分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值； （2）?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+?a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围． 解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4． 所以函数f（x）的最小值为4． （2）对任意的实数x恒成立?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立?a+≤4对任意实数x恒成立． 当a＜0时，上式显然成立； 当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立． 综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}． 点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决．。

绝密★启用前2015年高考桂林市、防城港市第一次联合模拟考试数学试卷（文科）考生注意：1. 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2. 考试前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．．．．．．．．。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0,2,3,4,5}A =，集合2{|60}B x x x =--=，则A B 等于（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{2,3} D ．∅2. 复数212i i+=-（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3. 已知4a =lg x a =，则x =（ ）A ．10B ．100CD ．14104. 已知向量(1,3)a =，向量b 满足5a b ⋅=，且||35a b +=，则||b =（ ）A B ． C ．5 D ．15 5. 设R α∈，则“2πα=”是“()sin()f x x α=+”为偶函数的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 某几何体在网格纸上的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π7. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，若1110a b =，则（ ）A ．139146a a b b +=B ．139146a a b b +=+C ．139146a a b b +≥+D ．139146a a b b +≤+8. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA l ⊥，垂足为A ，若||4PF =，则直线AF 的倾斜角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 9. 如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框应该填入（ ） A ．4M P N =B ．4N P M= C ．M P N = D ．N P M = 10. 下列函数中，当1201x x <<<时，满足 2112()()x f x x f x <的函数是（ ）A ．3()f x x =-B ．()ln f x x =C ．2()1f x x =+D ．1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11. 若直线40kx y ++=上存在点P ，过点P 作圆2220x y y +-=的切线，切点为Q ，若||2PQ =，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[2,)+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞12. 已知数列{}n a 满足12a =，1(1)0n n na n a -++=，*n N ∈，且2n ≥，则数列(21)(23)n a n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前10项和为（ ）A ．569 B ．1069 C ．2069 D ．2569第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

广西柳州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在复平面内，复数z=对应的点位于下列哪个象限( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设命题p：∀x∈R，|x|+1＞0，则￢p为( )A．∃x0∈R，|x0|+1＞0 B．∃x0∈R，|x0|+1≤0 C．∃x0∈R，|x0|+1＜0 D．∀x∈R，|x|+1≤03．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为( )A．12 B．13 C．14 D．154．某程序框图如图所示，若a=3，则该程序运行后，输出的x的值为( )A．33 B．31 C．29 D．275．设g（x）是将函数f（x）=cos2x向左平移个单位得到的，则等于( ) A．1 B．C．0 D．﹣16．若一个圆锥的正视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是( )A．πB．2πC．3πD．4π7．在区间（0，）上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是( ) A．B．C．D．8．已知与是两个互相垂直的单位向量，若满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值为( )A．2 B．C．3 D．9．若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( ) A．B．C．D．10．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A．3 B．6 C．36 D．911．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为( )A．3 B．4 C．5 D．612．过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l的斜率等于( )A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|2x＜}，则A∩B=__________．14．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为__________．15．已知点P是双曲线﹣y2=1（a＞0，b＞0）上的动点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|=|PF2|+2，则此双曲线的渐近线方程是__________．16．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1成立，则f（2）的值为__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=+2a n﹣1，（n∈N*）求数列{b n}的前n项和S n．18．某市为了了解市民对本市文明建设的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如表：学生在职人员退休人员满意x y 78不满意 5 z 12若在职人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32．（1）求x的值；（2）若y≥70，z≥2，求市民对市政管理满意度不小于0.9的概率．（注：满意度=）19．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．20．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=2．（1）求实数a，b的值；（2）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣2x2+m（x﹣1）的最小值为0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l的方程．四、选做题，请考生在第22，23，24三题中任选一题作答.选修4-1：几何证明选讲22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（1）若EA=2ED，EB=3EC，求的值；（2）若EF∥CD，求证：线段FA，FE，FB成等比数列．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．广西柳州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．在复平面内，复数z=对应的点位于下列哪个象限( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z所对应的点的坐标得答案．解答：解：∵z===，∴复数z=对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．设命题p：∀x∈R，|x|+1＞0，则￢p为( )A．∃x0∈R，|x0|+1＞0 B．∃x0∈R，|x0|+1≤0 C．∃x0∈R，|x0|+1＜0 D．∀x∈R，|x|+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，|x|+1＞0，则￢p为：∃x0∈R，|x0|+1≤0．故选：B．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为( )A．12 B．13 C．14 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n，由751≤a n≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．解答：解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000 解得38.2≤n≤50.6．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．某程序框图如图所示，若a=3，则该程序运行后，输出的x的值为( )A．33 B．31 C．29 D．27考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤3，计算输出x的值．解答：解：由程序框图知：当a=3时，第一次循环x=2×3+1=7，n=1+1=2；第二次循环x=2×7+1=15，n=2+1=3；第三次循环x=2×15+1=31，n=3+1=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出x=31．故选：B．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．5．设g（x）是将函数f（x）=cos2x向左平移个单位得到的，则等于( ) A．1 B．C．0 D．﹣1考点：函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据函数图象的平移首先得到函数g（x）的解析式，然后直接把代入即可得到答案．解答：解：将函数f（x）=cos2x向左平移个单位得：f（x+）=，即g（x）=，所以g（）=．故选D．点评：本题考查了函数图象的平移问题，函数图象在x轴上的平移遵循左加右减的原则，是基础题．6．若一个圆锥的正视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的表面积是( )A．πB．2πC．3πD．4π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：圆锥的底面直径为2，母线为3，根据圆锥的表面积=底面直径为2的圆的面积+圆锥的侧面积计算即可．解答：解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为3，则这个圆锥的表面积是×2π×3+π•12=4π．故选：D．点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解此类题的关键．7．在区间（0，）上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是( ) A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：求出满足0＜tanx＜1，x∈（0，）的x的范围，以长度为测度，即可求得概率．解答：解：∵0＜tanx＜1，x∈（0，）∴0＜x＜以区间长度为测度，可得所求概率为=故选C．点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定以长度为测度是关键．8．已知与是两个互相垂直的单位向量，若满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值为( )A．2 B．C．3 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：可作，根据已知条件，容易说明点C在以AB为直径的圆上，所以||的最大值，即||的最大值便是该圆的直径，而直径容易得到为．解答：解：如图，设=，=，=；∵；∴；∴AC⊥BC；∴点C在以AB为直径的圆上；∴OC为该圆直径时||最大，即最大；∴最大为．故选B．点评：考查单位向量的概念，两非零向量垂直的充要条件，以及向量减法的几何意义，直径所对的圆周角为直角．9．若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是( )A．B．C．D．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：根据三角形为钝角三角形，得到三角形的最大角的余弦值也为负值，分别设出3和x 所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为钝角，得到其值小于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x 的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．解答：解：由题意，，∴x的取值范围是，故选D．点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题．学生在做题时应注意钝角三角形这个条件．10．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为( )A．3 B．6 C．36 D．9考点：球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：三棱锥扩展为四棱柱（长方体），两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．解答：解：三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：=6，所以该三棱锥的外接球的半径为：3．故选A．点评：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力．11．已知函数，则方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：函数与方程的综合运用．专题：压轴题；数形结合．分析：先画出y=f（x）与y=2x2+x的图象，结合两个函数图象，利用分类讨论的数学思想讨论f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根数即可．解答：解：画图，和y=2x2+x图象，结合两个函数的图象可知或a＞3，4个根，，5个根，，6个根．故选A．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于难题之列．12．过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l的斜率等于( )A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线与圆．分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．解答：解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|2x＜}，则A∩B=（﹣∞，﹣2）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中不等式解得：x＜﹣2或x＞2，即A=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），由B中不等式变形得：2x＜=2﹣2，即x＜﹣2，∴B=（﹣∞，﹣2），则A∩B=（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．解答：6解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．已知点P是双曲线﹣y2=1（a＞0，b＞0）上的动点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|=|PF2|+2，则此双曲线的渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a，由条件可得a=1，再由双曲线的渐近线方程，即可得到所求．解答：解：由双曲线﹣y2=1的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a，若|PF1|=|PF2|+2，即有|PF1|﹣|PF2|=2，即2a=2，解得a=1，即双曲线的方程为x2﹣y2=1，则有渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查渐近线方程的求法，运用双曲线的定义是解题的关键．16．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1成立，则f（2）的值为e2+1．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用已知条件求出函数的解析式，然后求解函数值即可．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件f[f（x）﹣e x]=e+1等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（2）=e2+1．故答案为：e2+1．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=+2a n﹣1，（n∈N*）求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件得2a n=2S n﹣2S n﹣1=2n，从而得到a n=n（n≥2），又n=1时，a1=1适合上式．由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）b n=+2a n﹣1=（）+（2n﹣1），由此能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n2+n，n≥2时，2S n﹣1=（n﹣1）2+（n﹣1），…∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=2n∴a n=n（n≥2）…又n=1时，a1=1适合上式．∴a n=n……∴…=．…点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．某市为了了解市民对本市文明建设的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如表：学生在职人员退休人员满意x y 78不满意 5 z 12若在职人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32．（1）求x的值；（2）若y≥70，z≥2，求市民对市政管理满意度不小于0.9的概率．（注：满意度=）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）抽到学生的概率可得学生数，从而得x值；（2）根据学生数和退休人员人数得在职人员人数，再条件y≥70，z≥2，且y+z=80下，写出所有基本事件，再根据市民对市政管理满意度不小于0.9的概率可得y≥72，从中找出y≥72的基本事件，利用个数比求概率解答：解：（1）依题意可得=0.32，解得x=75．（2）∵学生人数为80，退休人员人数为90∴在职人员人数为：250﹣80﹣90=80，由y≥70，z≥2，且y+z=80，则基本事件（y，z）为（70，10），（71，9），（72，8），（73，7），（74，6），（75，5），（76，4），（77，3），（78，2）．共有9组．由≥0.9，得y≥72，所以满足条件的基本事件共有7组，故所求的概率P=．点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．19．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设BD交AC于M，连接ME．利用正方形的性质可得：M为AC中点，利用三角形的中位线定理可得：ME∥A′C．利用线面平行的判定定理即可证明．（2）V E﹣ABD====V A′﹣ABCD，即可得出．解答：（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，又∵E为A′A的中点，∴ME为△A′AC的中位线，∴ME∥A′C．又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，∴A′C∥平面BDE．（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．点评：本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=2．（1）求实数a，b的值；（2）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣2x2+m（x﹣1）的最小值为0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）求函数的导数，利用函数的最小值，建立条件关系即可得到结论．解答：解：（1）f′（x）=2ax﹣（x＞0），依题意可得解得a=2，b=4；（2）∵g（x）=f（x）﹣2x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣4ln x，x∈（0，1]，∴g′（x）=m﹣=，①当m≤0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．②当0＜m≤4时，g′（x）=≤0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．③当m＞4时，g′（x）＜0在（0，）上恒成立，g′（x）＞0在（，1]上恒成立，∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，1]上单调递增，∴g（\frac{4}{m}）＜g（1）=0，∴g（x）min≠0．综上所述，存在m满足题意，其范围为（﹣∞，4]．点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性，最值与函数导数之间的关系，综合性较强，有一定的难度．21．已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件得c=2，，a2=b2+c2，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．∴c=2，，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2．∴椭圆方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，．则|AB|=||==．设AB的中点为M（x0，y0）．可得，．直线MP的斜率为，又x P=3，所以．当△ABP为正三角形时，|MP|=，∴，解得k=±1．∴直线l的方程为x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．四、选做题，请考生在第22，23，24三题中任选一题作答.选修4-1：几何证明选讲22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（1）若EA=2ED，EB=3EC，求的值；（2）若EF∥CD，求证：线段FA，FE，FB成等比数列．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）根据圆内接四边形的性质，可得∠CDE=∠ABE，∠DEC=∠BEA，从而△ABE∽△CDE，所以有==，利用比例的性质可得的值；（2）由EF∥CD，得∠AEF=∠CDE，∠AEF=∠EBF，结合公共角可得△BEF∽△EAF，于是=，即可证明结论．解答：（1）解：由A，B，C，D四点共圆，得∠CDE=∠ABE，又∠DEC=∠BEA，∴△ABE∽△CDE，于是==．①设DE=a，CE=b，则由=，得3b2=2a2，即b= a代入①，得==．（2）证明：由EF∥CD，得∠AEF=∠CDE．∵∠CDE=∠ABE，∴∠AEF=∠EBF．又∠BFE=∠EFA，∴△BEF∽△EAF，于是=，故FA，FE，FB成等比数列．点评：本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明线段FA，FE，FB成等比数列，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．考点：直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：本题考查直线与圆的位置关系问题，直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加以求解解答：解：（1）由曲线C：ρ2cos2θ=ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，得ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=1，化成普通方程x2﹣y2=1．①（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程，②把②代入①，整理，得t2﹣4t﹣6=0，设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1•t2=﹣6，．从而弦长为．（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为，代入x2﹣y2=1，得2x2﹣12x+13=0，．设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴．点评：方法一：利用了直线参数方程中参数的几何意义方法二：利用了直线被圆所截得的弦长公式选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a（其中a＞0）．（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式，求出f（x）的最小值为，则由，解得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2，当时，不等式为﹣x﹣2≤2，解得．当时，不等式为3x≤2，解得．当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．综上，不等式的解集为．（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|﹣|x﹣1|=，故，即f（x）的最小值为．所以，当f（x）≤log2a有解，则有，解得，即a的取值范围是．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2015年广西钦州市、柳州市、北海市高考数学模拟试卷（文科）（1月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•钦州模拟）设集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：由A与B，求出A与B的交集即可．【解析】：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015•钦州模拟）已知i为虚数单位，复数，则复数z的实部为（）A．B．C．D．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解析】：解：复数===﹣，则复数z的实部为﹣．故选：D．【点评】：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．（5分）（2015•钦州模拟）某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：分别根据分层抽样，系统抽样和简单抽样的定义进行判断即可．【解析】：解：①由于四个城市销售点是数量不同，可能存在差异比使用较明显，故①应用分层抽样．②由于丙成立销售点比较比较少，可以使用简单随机抽样即可．故选：B．【点评】：本题主要考查随机抽样的应用，利用三种抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2015•钦州模拟）已知向量，，且，则的值为（）A．B．13 C． 5 D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：首先由向量平行得到x，然后利用坐标运算解答．【解析】：解：因为向量，，且，所以2×6=﹣3x，解得x=﹣4，所以=（﹣2，3），所以=；故选A．【点评】：本题考查了向量平行的性质以及向量加法、模的坐标运算；属于基础题．5．（5分）（2015•钦州模拟）求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（）A．B．C．D．【考点】：定积分的简单应用．【分析】：画出图象确定所求区域，用定积分即可求解．【解析】：解：如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO，故选：B．【点评】：用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，本题属于基本运算．6．（5分）（2015•钦州模拟）若，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】：二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解析】：解：∵由已知得：cos2α=sin（﹣α），∴cos2α﹣sin2α=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=﹣，或者sinα﹣cosα=0（舍去）∴两边平方，可得：1+sin2α=，∴从而可解得：sin2α=﹣．故选：A．【点评】：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2015•钦州模拟）设变量x、y满足约束条件，则z=2x﹣2y的最小值为（）A．B．C．D．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，设m=x﹣2y，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】：解：设m=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=距最大，此时m最小，由，解得，即A（2，2），此时m最小为m=2﹣2×2=﹣2，则z=2x﹣2y的最小值为2﹣2=故选：B．【点评】：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义以及指数函数的性质是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．8．（5分）（2015•钦州模拟）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）A．10π B．11π C．12π D．13π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．【解析】：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．所以球的表面积为4π×12=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为2π×12=2π，所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π．故选C．【点评】：本题考查由三视图求面积，考查学生的空间想象能力．9．（5分）（2015•钦州模拟）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：先求出第一次取得号码为奇数的概率，再求出第二次取得号码为偶数球的概率，根据概率公式计算即可．【解析】：解：1、2、3、4、5大小相同的5个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数的概率为，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故选：D．【点评】：本题考查了条件概率的求法，属于基础题．10．（5分）（2015•钦州模拟）阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间，即可得到答案．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[﹣2，﹣1]故选：A．【点评】：本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查．11．（5分）（2015•钦州模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求出c，利用抛物线的定义求出m，再由双曲线的定义求出a，进而求得b，从而求得两条渐近线方程．【解析】：解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，∴c=2．设P（m，n），由抛物线的定义得|PF|=5=m+2，∴m=3．由双曲线的定义得=，∴=，∴a=1，∴b=，∴两条渐近线方程为x±y=0，故选D．【点评】：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a值是解题的关键．12．（5分）（2015•钦州模拟）已知函数y=f（x）满足下列条件：（1）对∀x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立；（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（﹣2，0）对称；对∀x、y∈R 有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立．则当0＜x＜4时，x2+y2的取值范围为（）A．（3，7）B．（9，25）C．[9，41）D．（9，49）【考点】：导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由（1）可得函数f（x）在R上单调递减；由（2）可得函数f（x）为减函数；已知对∀x、y∈R有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立，化为f（x2﹣8x+21）＞﹣f（y2﹣6y）=f（6y﹣y2）．可得x2﹣8x+21＜6y﹣y2，化为（x﹣4）2+（y﹣3）2＜4．圆心C（4，3），半径R=2．可得x2+y2≥（|OC|﹣R）2=9．直线x=4与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于点P（4，1），Q（4，5）．x2+y2＜|OQ|2=41．即可得出．【解析】：解：由（1）对∀x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立，可得函数f（x）在R上单调递减；由（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（﹣2，0）对称，∴函数f（x）为奇函数；∴对∀x、y∈R有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立，化为f（x2﹣8x+21）＞﹣f（y2﹣6y）=f（6y﹣y2）．∴x2﹣8x+21＜6y﹣y2，化为（x﹣4）2+（y﹣3）2＜4．圆心C（4，3），半径R=2．∴x2+y2＞（|OC|﹣R）2=9．直线x=4与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于点P（4，1），Q（4，5）．∴x2+y2＜|OQ|2=41．∴则当0＜x＜4时，x2+y2的取值范围为（9，41）．故选：C．【点评】：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（2015•钦州模拟）已知的展开式中，常数项为14，则a=2（用数字填写答案）．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：利用二项式定理的通项公式，通过x的指数为0，求出常数项，然后解出a的值．【解析】：解：因为的展开式中T r+1=，令21﹣3r﹣=0，可得r=6当r=6时展开式的常数项为7a=14，解得a=2．故答案为：2．【点评】：本题是基础题，考查二项式定理通项公式的应用，考查二项式定理常数项的性质，考查计算能力．14．（5分）（2015•钦州模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，若bcosC+（2a+c）cosB=0，则内角B的大小为．【考点】：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】：运用正弦定理，将边化为角，由两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，结合特殊角的三角函数值，即可得到B．【解析】：解：由正弦定理，bcosC+（2a+c）cosB=0，即为sinBcosC+（2sinA+sinC）cosB=0，即（sinBcosC+sinCcosB）=﹣2sinAcosB，即sin（B+C）=﹣2sinAcosB，即有sinA=﹣2sinAcosB，则cosB=﹣，由于0＜B＜π，则B=，故答案为：．【点评】：本题考查正弦定理及运用，考查两角和的正弦公式和诱导公式，考查特殊角的三角函数值，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）（2015•钦州模拟）设经过点（﹣4，0）的直线l与抛物线y=的两个交点为A、B，经过A、B两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线l的斜率等于．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=得：x2﹣2kx﹣8k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．【解析】：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=得：x2﹣2kx﹣8k=0，设两个切点是A（x1，y1），B（x2，y2），若PA与PB垂直，则x1•x2=﹣8k=﹣1，∴k=，故答案为：．【点评】：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．16．（5分）（2015•钦州模拟）已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，则三棱锥的外接球体积为．【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：求出△ABC的外接圆的半径，三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．【解析】：解：设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥的外接球的半径为R，则∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC==2，∴2r==4，∴4R2=16+4，∴R=，∴三棱锥的外接球体积为=，故答案为：．【点评】：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2015•钦州模拟）已知递增的等比数列{a n}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）记b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：（1）设等比数列前三项分别为a1，a2，a3，则a1+1、a2+2、a3+2又成等差数列．依题意得：，即，解之得，或（数列{a n}为递增等比数列，舍去），∴数列{a n}的通项公式：．（2）由b n=a n+2n得，，∴T n=b1+b2+…+b n=（20+2×1）+（21+2×2）+（22+2×3）+…+（2n﹣1+2n）=（20+21+22+…+2n﹣1）+2（1+2+3+…+n）=．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2015•钦州模拟）某学校有120名教师，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分组，其频率分布直方图如右图所示．学校为了适应新课程改革，要求每名教师都要参加甲、乙两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．年龄分组甲项培训成绩优秀人数乙项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60）4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全校教师的平均年龄；（2）随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，求这两人中至少有一人在甲、乙两项培训结业考试成绩为优秀的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据频率分布直方图和频率分布表和分层抽样的方法即可求出各年龄段应分别抽取的人数，并可估计全校教师的平均年龄；（2）根据互斥事件的概率公式即可求出答案．【解析】：解：（1）由频率分布直方图知，年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）的人数的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10…1分∵0.35×40=14，0.40×40=16，0.15×40=6，0.10×40=4…3分∴年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）应取的人数分别为14、16、6、4…4分∵各年龄组的中点值分别为25、35、45、55．对应的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10．则…5分由此估计全校教师的平均年龄为35岁．…6分（2）因为年龄段[20，30）的教师人数为120×0.35=42人，…7分年龄段[30，40）的教师人数为120×0.40=48人，…8分从年龄段[20，30）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为A、B；两项都为优秀的事件记为M．从年龄段[30，40）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为C、D；两项都为优秀的事件记为N．由表知.，，则…9分，，则…10分记这两人中至少有1人在甲、乙两项培训考试成绩为优秀的事件为E．则…12分．【点评】：本题考查频率分布直方图和率以及互斥事件的概率公式，属于中档题．19．（12分）（2015•钦州模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥A1B；（2）求三棱锥C1﹣ABA1的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）取AC中点O，连A1O，BO，由已知得A1O⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面A1OB，由此能证明AC⊥A1B．（2）由，利用等积法能求出三棱锥C 1﹣ABA1的体积．【解析】：（1）证明：取AC中点O，连A1O，BO．∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC，…1分又AB=BC，∴BO⊥AC，…2分∵A1O∩BO=O，∴AC⊥平面A1OB，…3分又A1B⊂平面A1OB，…4分∴AC⊥A1B…5分（2）解：由条件得：…6分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，∴，，…9分∴=…10分=．…12分【点评】：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2015•钦州模拟）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．【解析】：解：（1）由题意知，…1分所以．即a2=2b2．…2分又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴，…3分，则a2=2．…4分故椭圆C的方程为．…6分（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分且，．∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．当t=0时，不满足；当t≠0时，解得x==，y===，∵点P在椭圆上，∴，化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分∵＜，∴，化简得，∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分∴或，∴实数取值范围为…12分【点评】：本题考查椭圆的方程、性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，以及平面向量的知识，考查化简、计算能力和分类讨论思想，属于中档题．21．（12分）（2015•钦州模拟）设函数f（x）=﹣x+1，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的极大值；（2）若x∈[1﹣a，1+a]时，恒有﹣a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极大值；（2）求出导数，对a讨论，当0＜a＜时，当≤a＜1时，判断f′（x）的单调性，求得最值，得到a的不等式组，即可解得a的范围．【解析】：解：（1）∵函数f（x）=﹣x+1，0＜a＜1．f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，且0＜a＜1，当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；f（x）的单调递减区间为（﹣∞，a）和（3a，+∞）．故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（2）∵f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣2a）2+a2，当0＜a＜时，1﹣a＞2a，∴f′（x）在区间[1﹣a，1+a]内是单调递减．∴f′（x）max=f′（1﹣a）=﹣8a2+6a﹣1，f′（x）min=f′（1+a）=2a﹣1，∵﹣a≤f′（x）≤a，∴此时，a∈∅．当≤a＜1时，f′（x）max=f′（2a）=a2，∵﹣a≤f′（x）≤a，∴即，此时≤a≤．综上可知，实数a的取值范围为[，]．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性的运用：求最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•钦州模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD 是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G 作⊙O的切线，切点为H，求证：（1）C，D，F，E四点共圆；（2）GH2=GE•GF．【考点】：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【专题】：立体几何．【分析】：（1）连接BC，由已知得∠ACB=90°，∠AGE=90°，∠FDC+∠CEF=180°，由此能证明C，D，F，E四点共圆．（2）由切割线定理得GH2=GC•GD，由C，D，F，E四点共圆，得△GCE∽△GFD，由此能证明CH2=GE•GF．【解析】：选修4﹣1：几何证明选讲证明：（1）连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．…1分∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．…2分又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG．…3分∴∠FDC+∠CEF=180°．…4分∴C，D，F，E四点共圆．…5分（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2=GC•GD．…6分由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．∴△GCE∽△GFD．…7分∴=，即GC•GD=GE•GF，…8分∴CH2=GE•GF．…10分．【点评】：本题考查四点共圆的证明，考查等式相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•钦州模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】：直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【专题】：选作题；坐标系和参数方程．【分析】：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，可得求曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y ﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，利用参数的几何意义求的值．【解析】：解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，…2分∴直角坐标方程是x2+y2=2y+2x，…4分即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2…5分（2）直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，…7分∴…8分∴==…10分．【点评】：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．选修4-5：不等式选讲24．（2015•钦州模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【考点】：其他不等式的解法．【专题】：计算题．【分析】：（1）由函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，知当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）对∀x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=，f（x）min=a﹣1．同理，得当a＜1时，f（x）min=1﹣a，由此能求出a的取值范围．【解析】：解：（1）∵函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，∴当a=﹣1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义：|x﹣1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点﹣1的距离之和大于或等于3，则点x到点1和点﹣1的中点O的距离大于或等于即可，∴点x在﹣或其左边及或其右边，即x≤﹣或x≥．∴不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）对∀x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=，∴f（x）min=a﹣1．同理得，当a＜1时，f（x）min=1﹣a，∴或，解得a≥3，或a≤﹣1，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】：本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，合理运用函数恒成立的性质进行等价转化．。

2015届广西普通高中数学学业水平考试模拟考一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}2,1{},3,2,1{==N M ，则N M 等于A ．}2,1{B ．}3,1{C ．}3,2{D ．}3,2,,1{ 2．函数)2lg()(-=x x f 的定义域是A ．),2[+∞B ．),2(+∞C ．),3(+∞D ．),3[+∞ 3．0410角的终边落在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．抛掷一枚骰子，得到偶数点的概率是A ．61 B ．41 C ．31 D ．215．在等差数列}{n a 中，11=a ，公差2=d ，则8a 等于 A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 6．下列函数中，在区间),0(+∞内单调递减的是 A ．2x y = B ．xy 1=C ．x y 2=D ．x y 2log = 7．直线0=-y x 与02=-+y x 的交点坐标是A ．)1,1(B ．)1,1(--C ．)1,1(-D ．)1,1(-8．命题甲“sin 0x >”，命题乙“0x >”，那么甲是乙的（ ） （A ）充分而不必要条件 （ B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件（第16题图）正（主）视图侧（左）视图俯视图9．圆0622=-+x y x 的圆心坐标和半径分别是A ．9),0,3(B ．3),0,3(C ．9),0,3(-D ．3),0,3(- 10．313tanπ的值是 A ．33- B ．3- C ．33 D ．311．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知0120,2,1===C b a ，则c 等于 A ．2 B ．5 C ．7 D ．4 12．在等比数列}{n a 中，44=a ，则62a a ⋅等于 A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 13．将函数)3sin(2π+=x y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为A ．321sin(2π+=x yB ．)621sin(2π+=x yC ．32sin(2π+=x y D ．)322sin(2π+=x y 14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若B c b si n 2=，则C sin 等于 A ．1 B ．23 C ．22 D ．21 15．曲线x x x y 223-+=在1-=x 处的切线斜率是（ ）(A) 1 (B) －1 (C) 16．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是 A ．4π B ．2πC ．πD ．π2甲 乙85 0 1 2 3 2 2 8 8 95 2 3 5 第25题图17．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0111y x y x 表示的平面区域面积是A ．21B ．41C ．1D ．218．容量为100的样本数据被分为6组，如下表第3组的频率是 A ．15.0 B ．16.0 C ．18.0 D ．20.0 19．若c b a >>，则下列不等式中正确的是A ．bc ac >B ．c b b a ->-C ．c b c a ->-D ．b c a >+ 20．如图所示的程序框图，其输出的结果是 A ．11 B ．12 C ．131 D ．132 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21．已知函数⎩⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x x x f ，则=)3(f ____________．22．过点)1,0(且与直线02=-y x 垂直的直线方程的一般式是____________． 23．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．已知36=a ，则=11S ___________．24、甲、乙两名篮球运动员在六场比赛中得分的茎叶图如图所示，记甲的平均分为a ，乙的平均分为b ，则=-a b ___．2015届学业水平考试模拟考（二）数学科答题卡MCV ABD第27题图一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）21 22 23 24 三、解答题（本大题共4小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25.（本题满分6分）已知抛物线的焦点和双曲线224520x y -=的一个焦点重合，求抛物线的标准方程.26．（本小题满分6分）已知向量a =)3,sin 1(x +，b =)3,1(．设函数=)(x f b a ⋅，求)(x f 的最大值及单调递增区间． 27．（本小题满分8分）已知：如图，在四棱锥ABCD V -中，底面ABCD 是 平行四边形，M 为侧棱VC 的中点．求证：//VA 平面BDM 28．（本小题满分8分）已知函数)(5)1(23)(2R k k x k x x f ∈++-+=在区间)2,0(内有零点，求k 的取值范围．参 考 答 案一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）21 9 22 x+2y-2=0 23 33 24 0.5三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）25、抛物线的标准方程为：x y 122±=26函数f(x)=a·b=1+sinx+3= sinx+4，所以最大值是5.增区间是[2kπ-π/2，2kπ+π/2],k ∈Z.27、连结AC 交BD 于O 点，连结OM.底面ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，又因M 为侧棱VC 的中点，所以VA ∥OM,因为OM ⊂平面BDM,VA ⊄平面BDM, 所以//VA 平面BDM .28、f(x)=3x2＋2(k －1)x ＋k ＋5在区间(0，2)内有零点， 等价于方程3x2＋2(k －1)x ＋k ＋5=0在(0，2)内有实数根，则：(1)判别式△=4(k －1)2－12(k ＋5)=0时，得：k=7或者k=－2，此时方程的根分别是： k=7时，根是：x1=x2=－2；k=－2时，根是：x1=x2=1. 因为方程在(0，2)内有实数根，所以k=-2.（k=7舍去） (2)若判别式大于0，则：k>7或k<－2.此时：①若两根都在(0，2)内，则：对称轴x=-(k-1)/3在(0，2)内、f(0)>0、f(2)>0，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-+=>+=<--<>+--=05)1(412)2(05)0(23100)5(12)1(42k k f k f k k k △解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<<>513-5-15-2-7k k k k k 或得：2-513-<<k . ②若在(0，2)内存在一个根，则：f(0)×f(2)<0，得：－5<k<－13/5. (3)当f(2)=0时，即12+4(k-1)+k+5=0,k=-13/5.此时f(0)=k+5=12/5>0,所以k=-13/5符合题意.当f(0)=k+5=0时，k=-5,此时f(2)= 12+4(k-1)+k+5=-12<0,不符合题意，舍去.得：k=513-.综上可得：－5<k ≤-2.。

广西梧州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=( )A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}2．复数（2﹣z）（1+i）=4+2i，则=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则它的一条渐近线经过点( ) A．（1，2）B．（2，1）C．（1，）D．（，1）4．根据如下样本数据：X 34 5 6 78y 42 ﹣1 1﹣2 ﹣3得到的回归方程为=x+，则( )A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＜0 D．＜0，＞05．下列说法中，正确的是( )A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”6．已知实数x，y满足，则z=x﹣y的最小值为( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣27．如图所示，该程序框图的运算结果是( )A．﹣4 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣138．在数列{a n}中，a n a n+1=，a1=1，则a98+a101=( )A．6 B．1 C．2 D．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．48﹣B．C．64﹣D．10．设三次函数f（x）的导函数f′（x），函数y=xf′（x）的图形的一部分如图所示，则( )A．f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣）B．f（x）的极大值为f（0），极小值为f（﹣3）C．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（0）11．已知α∈（，π），且tan（）=﹣，则sin（2α﹣π）=( )A．﹣B．C．﹣D．12．已知奇函数f（x）和偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=﹣x2+4x﹣4（x≥0），若存在实数a，使得f（a）＜g（b）成立，则实数b的取值范围是( ) A．（﹣1，1）B．（﹣，）C．（﹣3，﹣1）∪（1，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（x，2），若（﹣）⊥，则，的夹角为__________．14．某校学生在一次学业水平测试中的数学成绩制成如图所示频率分布直方图，60分以下的人要补考，已知90分以上的有80人，则该校需要补考的人数为__________．15．函数f（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则当函数f（x）在上取得最小值时，x=__________．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=n2cos（n∈N*），则S3n=__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=，A=，D为AC延长线上一点，且CD=+1．（1）求∠BCD的大小；（2）求BD的长．18．随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式，某商家在网上新推出A，B，C，D四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价，以下为四款商品销售情况的条形图和分层抽样法选取100份评价的统计表：好评中评差评A款80% 15% 5%B款88% 12% 0C款80% 10% 10%D款84% 8% 8%（1）在被选取的100份评价中，求对A，B，C，D四款商品评价的人数；（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位是对同一款商品进行评价的概率．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别为PD，AC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求点F到平面ABE的距离．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），A，B分别是椭圆的长轴和短轴的端点，且原点到直线AB的距离为b．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l与圆O：x2+y2=b2相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2，求椭圆C的标准方程．21．已知函数f（x）=x2+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠﹣1．（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为，求f（x）的极值；（2）若a∈（1，e]，F（x）=f（x）﹣g（x），求证：当x1，x2∈时，|F（x1）﹣F（x2）|＜1恒成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22．已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（1）求证：=；（2）若⊙O的直径AB=+1，求tan∠CPE的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，设A点的极坐标为（2，）．（1）求直线OA及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线OA与曲线C的一个交点为P（不是原点O），过点P作直线OA的垂线l，求直线l的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥++；（2）a2+b2+c2≥++．广西梧州市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=( ) A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即A=，∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}，故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数（2﹣z）（1+i）=4+2i，则=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由（2﹣z）（1+i）=4+2i得2﹣z=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵（2﹣z）（1+i）=4+2i，∴2﹣z==，∴z=2﹣3+i=﹣1+i．∴故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则它的一条渐近线经过点( ) A．（1，2）B．（2，1）C．（1，）D．（，1）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由离心率公式可得c=2a，由a，b，c的关系可得b==a，可得渐近线方程，代入点的坐标计算即可得到答案．解答：解：由题意可得e==2，即c=2a，b===a，双曲线﹣=1的渐近线方程为 y=x，即为y=±x．代入点（1，2），（2，1），（1，），（，1），只有（1，）满足渐近线方程．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，属于基础题．4．根据如下样本数据：X 3 4 5 6 7 8 y 4 2 ﹣1 1 ﹣2 ﹣3 得到的回归方程为=x+，则( )A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＜0 D．＜0，＞0考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，、的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2）附近，所以＞0．故选：A．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．下列说法中，正确的是( )A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”考点：特称命题；命题的否定．专题：证明题．分析：根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，先写出原命题的逆命题，然后判断出其真假；由命题p⇒q，则p是q的充分条件，q是p必要条件，可判断出B错误；当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，据此可知C错误；命题“∃x∈R，结论p成立”的否定是“∀x∈R，结论p的反面成立”，因此D正确．解答：解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，∵m=0时，am2=bm2，故其逆命题是假命题．B．我们知道：当x∈R时，由“x＞2”⇒“x＞1”；而由“x＞1”不一定得到“x＞2”，故“x＞1”是“x＞2”的必要而不充分条件．C．我们知道：当命题p或q中有一个为真命题时，则命题“p∨q”为真命题，故C错误．D．由命题“∃x∈R，结论p成立”的否定是“∀x∈R，结论p的反面成立”，据此可知D正确．故选D．点评：此题综合考查了命题的逆命题、充要条件、“或”命题及命题的否定的真假．准确把握上述有关知识是解决好本题的关键．6．已知实数x，y满足，则z=x﹣y的最小值为( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3），此时z min=2﹣3=﹣1．故选：B点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．7．如图所示，该程序框图的运算结果是( )A．﹣4 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，S的值，当S=﹣18时满足条件S≤﹣10，退出循环，输出x的值为﹣10．解答：解：模拟执行程序，可得S=2，x=2S=4，不满足条件S≤﹣10，x=﹣1，S=3不满足条件S≤﹣10，x=﹣4，S=﹣1不满足条件S≤﹣10，x=﹣7，S=﹣8不满足条件S≤﹣10，x=﹣10，S=﹣18满足条件S≤﹣10，退出循环，输出x的值为﹣10．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x，S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．在数列{a n}中，a n a n+1=，a1=1，则a98+a101=( )A．6 B．1 C．2 D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件利用递推公式依次求出数列的前4项，从而得到，由此能求出a98+a101．解答：解：∵在数列{a n}中，a n a n+1=，a1=1，∴，∴，=1，a4=，…∴，∴a98+a101=．故选：D．点评：本题考查数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A．48﹣B．C．64﹣D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，几何体为正方体挖去两个圆锥，利用体积公式可求几何体的体积．解答：解：由题意，几何体为正方体挖去两个圆锥，则几何体的体积为43﹣﹣=64﹣，故选：C．点评：本题考查体积的计算，考查学生的计算能力，确定直观图是关键．10．设三次函数f（x）的导函数f′（x），函数y=xf′（x）的图形的一部分如图所示，则( )A．f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣）B．f（x）的极大值为f（0），极小值为f（﹣3）C．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（0）考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算．专题：数形结合；导数的综合应用．分析：观察图象知，x＜﹣3时，f′（x）＜0．﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，yf′（x）＞0．x＞3时，f′（x）＜0．由此知极大值为f（3）．解答：解：观察图象知，x＜﹣3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减；当﹣3＜x＜0时，y=x•f′（x）＜0，∴f′（x）＞0，f（x）递增．由此知f（x）的极小值为f（﹣3）；当0＜x＜3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞3时，y=x•f′（x）＜0，∴f′（x）＜0，f（x）递减．由此知f（x）的极大值为f（3）．故选：C．点评：本题考查函数的极值的性质和应用，解题时要仔细观察图象，注意数形结合思想的合理运用．11．已知α∈（，π），且tan（）=﹣，则sin（2α﹣π）=( ) A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的正切函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正切函数求出tanα，通过诱导公式化简所求表达式，利用万能公式求解即可．解答：解：tan（）=﹣，α∈（，π），可得：=﹣，解得tanα=．sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣=﹣=．故选：B．点评：本题考查两角和的正切函数，诱导公式的应用，考查三角函数的化简求值，12．已知奇函数f（x）和偶函数g（x）分别满足f（x）=，g（x）=﹣x2+4x﹣4（x≥0），若存在实数a，使得f（a）＜g（b）成立，则实数b的取值范围是( )A．（﹣1，1）B．（﹣，）C．（﹣3，﹣1）∪（1，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：由f（x）、g（x）的奇偶性，画出它们的图象，求出x＜0时，f（x）的最小值，以及g （x）=﹣x2+4|x|﹣4，由存在实数a，使得f（a）＜g（b）成立，只需g（b）＞f（﹣1），即可得到b的取值范围．解答：解：∵f（x）为奇函数，且f（x）=，∴f（x）的图象关于原点对称，如右图，当x＞0时，f（1）取最大值，且为1；当x＜0时，f（﹣1）最小，且为﹣1．∵g（x）为偶函数，且g（x）=﹣x2+4x﹣4（x≥0），∴g（x）的图象关于y轴对称，如图，且g（x）=﹣x2+4|x|﹣4，∵存在实数a，使得f（a）＜g（b）成立，∴g（b）＞﹣1，即﹣b2+4|b|﹣4＞﹣1，∴b2﹣4|b|+3＜0，即1＜|b|＜3，∴1＜b＜3或﹣3＜b＜﹣1．∴b的取值范围是（1，3）∪（﹣3，﹣1）．故选：C．点评：本题考查函数的奇偶性和应用，以及函数的最值，同时考查存在性问题的解决方法，存在x，a＞f（x）成立，只需a＞f（x）的最小值，本题属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（x，2），若（﹣）⊥，则，的夹角为45°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过已知的向量垂直得到关于x的等式，求出x，然后利用向量的数量积公式求向量的夹角．解答：解：由已知向量=（﹣1，1），=（x，2），（﹣）⊥，所以（﹣）•=（﹣1﹣x，﹣1）•（﹣1，1）=x=0，所以向量=（0，2），所以，的夹角的余弦值为，所以，的夹角为45°；故答案为：45°．点评：本题考查了向量垂直的性质以及利用向量的数量积公式求向量的夹角，属于基础题．14．某校学生在一次学业水平测试中的数学成绩制成如图所示频率分布直方图，60分以下的人要补考，已知90分以上的有80人，则该校需要补考的人数为120．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出90分以上的频率，计算出样本容量是多少，再求出60分以下的频率与频数．解答：解：根据频率分布直方图，得；90分以上的频率是0.010×10=0.10，对应的频数为80，∴样本容量是=800；∴60分以下的频率为（0.005+0.010）×10=0.15，∴对应的频数为800×0.15=120．∴该校需要补考的人数为120．故答案为：120．点评：本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．15．函数f（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则当函数f（x）在上取得最小值时，x=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ+，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．得到函数解析式即可得解．解答：解：函数f（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后得到的函数解析式是：y=cos=cos（2x++φ），∵函数图象关于原点对称，∴可得+φ=kπ+，k∈z，∵|φ|＜，∴可解得：φ=，即有：f（x）=cos（2x+）．由题意x∈，得2x+∈，∴cos（2x+）∈，即有当2x+=π即x=时，函数f（x）=cos（2x+）在区间的取最小值为﹣1．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，考查了余弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握余弦函数的性质，能根据函数的性质求最值，属于基本知识的考查．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=n2cos（n∈N*），则S3n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求出a3n﹣2+a3n﹣1+a3n，然后由S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）采用分组求和得答案．解答：解：∵a n=n2cos，∴=．∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）=（9﹣）+（9×2﹣）+…+（9n﹣）=9（1+2+…+n）﹣=．故答案为：．点评：本题考查了数列和的求法，考查了数列的分组求和，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=，A=，D为AC延长线上一点，且CD=+1．（1）求∠BCD的大小；（2）求BD的长．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，把AB，BC，以及sinA的值代入求出sin∠ACB的值，确定出∠ACB度数，即可求出∠BCD度数；（2）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，把CB，DC，以及cos∠BCD代入计算即可求出BD的长．解答：解：（1）在△ABC中，AB=2，A=，BC=，由正弦定理可得=，即=，∴sin∠ACB=，∵∠ACB为钝角，∴∠ACB=，则∠BCD=；（2）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即BD2=2+（+1）2﹣××（+1），整理得：BD=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式，某商家在网上新推出A，B，C，D四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价，以下为四款商品销售情况的条形图和分层抽样法选取100份评价的统计表：好评中评差评A款80% 15% 5%B款88% 12% 0C款80% 10% 10%D款84% 8% 8%（1）在被选取的100份评价中，求对A，B，C，D四款商品评价的人数；（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位是对同一款商品进行评价的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（1）由条形图可得，选择A，B，C，D四款商品的会员共有2000人，由此利用分层抽样法能求出在被选取的100份评价中，对A，B，C，D四款商品评价的人数．（2）由分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20，25，30，25人，其中差评的人数分别为1，0，3，2人，共6人，由此利用等可能事件的概率计算公式能求出这2位是对同一款商品进行评价的概率．解答：解：（1）四款商品销售情况的条形图知A款商品销售400件，B款商品销售500件，C款商品销售600件，D款商品销售500件，四款产品合计销售：400+500+600+500=2000件，分层抽样法选取100份评价，则在被选取的100份评价中，对A款商品评价的人数为：400×=20人，对B款商品评价的人数为：500×=25人，对C款商品评价的人数为：600×=30人，对D款商品评价的人数为：500×=25人．（2）在被选取的100份评价中，评价为差评的会员人数为：对A款商品评价为差评的人数为：20×5%=1，对C款商品评价为差评的人数为：30×10%=3，对D款商品评价为差评的人数为：25×8%=2，∴差评会员共有6位，从中取2位，基本事件总数n==15，这2位是对同一款商品进行评价包含的基本事件个数m==4，∴这2位是对同一款商品进行评价的概率P==．点评：本题考查条形图的运用、分层抽样方法以及古典概型的计算，关键是根据条形图，得到相关的数据信息．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别为PD，AC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）求点F到平面ABE的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，利用线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；（2）F到平面ABE的距离等于D到平面ABE的距离的一半且DE=，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=AD，ME∥AD，且ME=AD，所以NF∥ME，且NF=ME，所以四边形MNFE为平行四边形；所以EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB；（2）解：因为四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PD的中点，所以PD⊥AE，因为PD⊥AB，AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE，即DE为D到平面ABE的距离，因为F到平面ABE的距离等于D到平面ABE的距离的一半且DE=，所以F到平面ABE的距离等于．点评：本题考查点到平面的距离，考查线面平行的判定定理，正确运用线面平行的判定定理是关键．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），A，B分别是椭圆的长轴和短轴的端点，且原点到直线AB的距离为b．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l与圆O：x2+y2=b2相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2，求椭圆C的标准方程．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对于（1），由A，B两点的坐标，得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，得a，b 的关系式，联立b2=a2﹣c2，可得离心率e．对于（2），当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，联立l与圆O的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，根据△=0，得k与m的关系式，再联立l与椭圆C的关系式，消去y，得到另一个关于x的一元二次方程，根据韦达定理、弦长公式及前面所得k与m的关系，写出弦长的表达式，用b表示弦长的最大值；当直线l的斜率不存在时，易得弦长的表达式，于是可根据弦长的最大值为2，得b的值，由（1）中所得a，b的关系，即可得椭圆C的标准方程．解答：解：（1）不妨设椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，则直线AB的方程为，即bx+ay﹣ab=0，依题意，原点O到直线AB的距离，化简，得a2=4b2，结合b2=a2﹣c2，得，即离心率．（2）设直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）．（i）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，联立x2+y2=b2，消去y，整理，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣b2=0．由于直线l与圆O相切，所以△1=（2km）2﹣4（1+k2）（m2﹣b2）=0，得m2﹣b2=k2b2．由，消去y，整理，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4b2=0，由韦达定理，得，且△2=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4b2）＞0，从而|PQ|===，结合m2﹣b2=k2b2，整理，得|PQ|==．又设，易知，k≠0，∴0＜t＜1，则|PQ|=，当即时，得|PQ|max=b，（ii）当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=b，易知P（b，），Q（b，），此时|PQ|=b＜2b，|PQ|不是最大，综合（i）、（ii）知，|PQ|max=2b=2，∴b2=1，得a2=4b2=4，故椭圆C的标准方程为．点评：本题考查了椭圆的几何性质，圆与椭圆的相交弦问题等．求椭圆的标准方程，除了条件“b2=a2﹣c2”外，还需寻找关于a，b，c的另外两个独立的关系式．21．已知函数f（x）=x2+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠﹣1．（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为，求f（x）的极值；（2）若a∈（1，e]，F（x）=f（x）﹣g（x），求证：当x1，x2∈时，|F（x1）﹣F（x2）|＜1恒成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）由对数函数的定义得到函数的定义域为x大于0，求出f′（x），根据曲线在（2，f（2））处切线的斜率为，得到f′（2）=，代入导函数得到关于a的方程，求出a的解即得到函数的解析式，可令f′（x）=0求出x的值，在定义域内利用x的范围讨论导函数的正负即可得到函数的增减区间，利用函数的增减性得到函数的极值即可；（2）求出函数f（x）在区间上的最大值和最小值，然后利用不等式恒成立的条件进行求参数a的取值范围．．解答：解：（1）由已知x＞0，f′（x）=x+由于曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为，所以f′（2）=，即2+=，解得a=﹣3所以f（x）=x2﹣3lnx，f′（x）=x令f′（x）=0，则x=或x=﹣（舍）当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．故x=是f（x）的极大值点，且f（x）的极大值为f（）=；（2）证明：由于F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x（x＞0），则F′（x）=x+﹣（a+1）==，由于x＞0，a∈（1，e]，故当0＜x＜1或x＞a时，F′（x）＞0，当1＜x＜a时，F′（x）＜0，故函数F（x）在上为单调递减函数．所以F min=F（a）=a2+alna﹣（a+1）a=﹣a2+alna﹣a，F max=F（1）=﹣a﹣故对∀x1，x2∈，|F（x1）﹣F（x2）|max=F（1）﹣F（a）=a2﹣alna﹣，又因为a∈（1，e]，所以a2﹣alna﹣≤e2﹣e﹣＜1，所以当x1，x2∈时，|F（x1）﹣F（x2）|＜1恒成立．点评：本题考查导数在研究函数中的应用：要求学生会求曲线上过某点的切线方程的斜率，会利用导数研究函数的极值．研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值．要使不等式恒成立，只要1大于等于最大值与最小值之差即可．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22．已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（1）求证：=；（2）若⊙O的直径AB=+1，求tan∠CPE的值．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）由弦切角定理得∠CAP=∠APC，又∠C=∠C，从而△APC∽△FAC，由此能证明=．（2）由切割线定理得AC2=CP•CF=CP（CP+PF），由PF=AB=AC=2，得CP=，由此能求出tan∠CPE=tan∠F=．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，∴∠CAP=∠APC，又∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，∴，∴=．（2）解：∵AC切⊙O于点A，CPE为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP（CP+PF），∵PF=AB=AC=2，∴CP（CP+2）=4，解得CP=﹣1，∵CP＞0，∴CP=，∵∠OAF=∠F，∠B=∠F，∴OAF=∠B，∴FA∥BE，∴∠CPE=∠F，∵FP为直径，∴∠FAP=90°，由（1）得，∴在Rt△FAP中，tan=．∴tan∠CPE=tan∠F=．点评：本题考查线段比值相等的证明，考查角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，设A点的极坐标为（2，）．（1）求直线OA及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线OA与曲线C的一个交点为P（不是原点O），过点P作直线OA的垂线l，求直线l的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，利用即可得出直角坐标方程．由A点的极坐标为（2，），可得直角坐标为，利用点斜式可得可得直线OA的方程．（2）把直线OA的方程与曲线C的方程联立可得P（﹣1，1）．利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率，利用点斜式可得直角坐标方程，利用即可得出直线l 的极坐标方程．解答：解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2y．由A点的极坐标为（2，），可得直角坐标为，化为A，可得直线OA的方程为y=﹣x．（2）联立，x≠0，解得，∴P（﹣1，1）．∵直线OA的斜率为﹣1，OA⊥l，∴k l=1．∴直线l的方程为：y﹣1=x+1，化为x﹣y+2=0．∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0．点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的交点、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：（1）a+b+c≥++；（2）a2+b2+c2≥++．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用；推理和证明．分析：利用均值不等式，结合abc=1，即可证明结论．解答：证明：∵a，b，c∈R+∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1，∴a+b+c≥++；（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，∵ab+bc+ac=≥=++，∴a2+b2+c2≥++．点评：此题主要考查均值不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2015年高三文科数学第一次模拟试题本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数11z i =-，23z i =+，则复数12z z z =⋅在复平面内对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2．已知集合2{|10},{|560}M x x N x x x =-<=-+>，则MN =A. {|1}x x <B.{|12}x x <<C.{|3}x x >D. ∅ 3. 命题“(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<”的否定是( )A. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<B. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++≥C. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥D. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++>4．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图1的条形图表示。

根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为Ａ．（小时） Ｂ．（小时） Ｃ．（小时） Ｄ．（小时） 5．已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()lg(1)lg(1)g x x x =--+，则 A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数 6.已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为 A ．1 B 5 C.5 D ．557．已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且4VA =，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是A. 12B.24C.278．已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是A.6-B.1-C.4D.69.已知函数()y f x =，将()f x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是1sin 2y x =的图象，那么函数()y f x =的解析式是 A.1()sin 222x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. 1()sin 222f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. 1()sin 222x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 1()sin 222f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 10．观察下图2，可推断出“x ”应该填的数字是A ．171B ．183C ．205D ．268二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．高三某班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是 ▲ ; 根据上表可得回归方程的斜率为3.53，截距为13.5,若某同学每周用于数学学习的时间为18 小时，则可预测该生数学成绩是 ▲ 分（结果保留整数）.12.已知椭圆的方程是125222=+y ax (5a >),它的两个焦点分别为12,F F ,且12||8F F =,弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点1F ,则2ABF ∆的周长为 ▲ 13．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=,那么xy的最大值是 ▲（ ） ▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线(sin cos )2ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为 ▲15.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,2AC =，则BD 等于 ▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-.（I ）求{}n a 的通项n a 和前n 项和n S ；（II ）设52n n a c -=，2n cn b =,证明数列{}n b 是等比数列. 17. （本题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 6B π=，4cos ,35A b ==. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin(2)A B -的值；18.（本小题满分13分）2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。