全变差有界函数列的一致(R)可积性

第一章：集合与实数集(8)设是上的实函数，假若存在M>0,使得对于任何有限个两两不等的实数x1,...,x n,⃒⃒⃒n∑︁k=1f(x k)⃒⃒⃒≤M.证明:{x:f(x)=0}是至多可数集。

证明:令A+={x:f(x)>0},A−={x:f(x)<0}.则{x:f(x)=0}=A+∪A−.所以，只要证明A+,A−都是至多可数集。

我们仅考虑A+.注意到A+=∪∞n=1A n,+,其中A n,+={x:|f(x)|>1/n}.这样问题就归结为证明对于任意的n,A n是至多可数集.由假设条件知道：A n是一个有限集合，其中的点的个数不超过[nM]+1个.(9)证明：R上单调函数的间断点是至多可数的.证明：设f是R上的单增函数，我们首先证明：对于任意的x0∈R,lim x→x0−0f(x),limx→x0+0f(x)都是存在有限的.为简单起见，我们仅考虑左极限的存在性.我们只要证明：(a)对于任意的{x n},x n→x0,x n<x0,lim n→∞x n都存在有限(b)对于任意的{x n},x n→x0,x n<x0,{y n},y n→x0,y n<x0,lim n→∞x n=lim n→∞y n.结论(a)是明显的，至于结论(b),我们只要注意到对于任意的n,一定存在N>n使得当m>N时y m>x n,从而f(x m)>f(x n),这依次隐含着lim n→∞f(x n)≤limm→∞f(y m).2同理可证lim n→∞f(x n)≥limm→∞f(y m).现在回到要证明的结论.假如f在x0不连续，则f(x0−0)<f(x0+0),这样我们就得到一个区间(f(x0−),f(x0+)).对于f的任意两个不连续点x1,x2,区间(f(x1−0),f(x1+0))和(f(x2−0),f(x2+0))相互不交(事实上，我们假设x1<x2.注意到f(x1−0)≤f(x1+0)≤f(x2−0)≤f(x2+0),则(f(x1−0),f(x1+0))和(f(x2−0),f(x2+0))相交当然是不可能的),这样我们就知道：从集合{x0:f在x0不连续}到集合{所有开区间但这些开区间两两相互不交}之间存在一一映射.而后者是一个至多可数集，这就证明了我们的结论.(10)设f是[a,b]上的单调增加的函数，并且f([a,b])在[f(a),f(b)]中稠密。

谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.【关键词】柯西准则，一致收敛，级数Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.【Key words】cauchy criterion, uniform convergence, series目录1 引言 (1)2数列的柯西收敛准则 (1)3函数极限存在的柯西准则 (2)4级数收敛的柯西准则 (3)4.1 级数的定义 (3)4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)5函数列一致收敛的柯西准则 (5)5.1 函数列的定义 (5)5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)6.1 函数项级数定义 (7)6.2 函数项级数的一致收敛 (7)7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)7.1 含参量反常积分的定义 (8)7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)8 柯西准则在数学分析中的作用 (11)9参考文献 (13)1 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.na bb b =的n 位不足近似(1,2,)n =所组成的数列1121222,,,,101010101010nn b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，.证 记122101010nn n b b b a =+++.不妨设n m >,则有 1212101010m m nn m m m nb b b a a ++++-=+++ 11911(1)101010m n m +--≤+++1111(1)101010m n m mm -=-<<. 对任给的0ε>，取1N ε=，则对一切n m N >>有n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2nn k k kx ==∑，求证lim n n x →∞存在. 证明：设n m >，11sin 122nnn m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑11111(1)222m n m +--=+++1111112212m m m +≤⋅=<-.所以10,{}N εε∀>∃=，当n m N >>时，1n m x x mε-<<，由柯西收敛准则，所以lim n n x →∞存在.3 函数极限存在的柯西准则定理 3.1(柯西准则) 设函数f 在00(;')U x δ内有定义.0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")f x f x ε-<.证 必要性 设0lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00(;)x U x δ∈有()2f x A ε-<.于是对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")(')(")22f x f x f x A f x A εεε-≤-+-<+=.充分性 设数列00{}(;)n x U x δ⊂且0lim n n x x →∞=.按假设，对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈，有(')(")f x f x ε-<.对上述的0δ>，存在0N >，使得当,n m N >时有00,(;)n m x x U x δ∈，从而有 ()()n m f x f x ε-<.于是，按数列的柯西准则，数列{()}n f x 的极限存在，记为A ，即lim ()n n f x A →∞=.按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在00ε>，对任何0δ>(无论δ多么小)，总可以找到00',"(;)x x U x δ∈，使得0(')(")f x f x ε-≥.例3 证明极限01lim sin x x→不存在.证 取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令11',"2x x n n πππ==+ 则有00',"(;)x x U x δ∈，而011sin sin 1'"x x ε-==.于是按柯西准则，极限01lim sin x x →不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++(2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中n u 称为数项级数(2)的通项 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m>N 以及对任意的正整数p ，都有 12m m m p u u u ++++++<ε根据定理4.2，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何正整数N ，总存在正整数0m (>N)和0p ，有 0000120m m m p u u u ε++++++≥ (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论 若级数(2)收敛，则l i mn n u →∞=0. 例4讨论调和级数1+11123n++++的敛散性解 这里调和级数显然满足推论的结论，即1l i m l i m 0n n n u n→∞→∞==. 但令p=m 时，有 122111122m m m u u u m m m+++++=+++++ ≥111222m mm+++=12.因此，取0ε=12，对任何正整数N ，只要m>N 和p=m 就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n∑收敛.证 由于12m m m p u u u ++++++=222111(1)(2)()m m m p ++++++ <111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p +++++++-+=11m m p -+ <1m. 因此，对任给正数ε，取N=1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使当m>N 及对任意正整数p ，由上式就有12m m m p u u u ++++++<1m<ε. 依定理4.2推得级数21n∑是收敛的. 例6 设11111!2!!n x n =++++，证明{}n x 收敛.证明 ,n p N ∀∈，111111(1)!(2)!()!(1)(1)(2)(1)()n p n x x n n n p n n n n n p n p +-=+++<++++++++++-+ 1111111111121n n n n n p n p n np n=-+-++-=-<++++-++. 0ε∀>，11,n n εε<>，取1[]N ε=，于是0ε∀>，1[]N ε∃=，,n N p N ∀>∀∈，有n p n x x ε+-<，故{}n x 收敛.5函数列一致收敛的柯西准则5.1 函数列收敛的定义设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有 ()()n f x f x ε-<， 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()N ε(即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有|()()n f x f x ε-<.由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的数列{}n f ，在D 上不一定收敛. 5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列{n f }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m>N 时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<. (4)证 [必要性] 设()()n f x f x ⇒ (n →∞)，x D ∈，即对任给0ε>，存在正数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有()()2n f x f x ε-<. (5)于是当n ，m>N ，由(5)就有()()()()()()n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-<22εε+=ε.[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为()f x ，x D ∈.现固定式中的n ，让m →∞，于是当n>N 时，对一切x D ∈都有()()n f x f x ε-≤. 由定义可得，()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈. 根据一致收敛定义可推出下述定理：函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：l i m s u p ()()0n n x Df x f x →∞∈-=. (6) 证 [必要性] 若()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有 ()()n f x f x ε-<，x D ∈. 由上确界的定义，亦有sup ()()n x Df x f x ε∈-≤.这就证得(6)式成立.[充分性] 由假设，对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有s u p ()()n x Df x f x ε∈-<. (7)因为对一切x D ∈，总有 ()()s u p ()()n n x Df x f x f x f x ∈-≤-. 故由(7)式得()()n f x f x ε-<.于是{}n f 在D 上一致收敛于f .在判断函数列是否一致收敛上定理 5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由, 所以在(,)-∞+∞上，sin 0nxn ⇒()n →∞. 例7 证明：若对,0,n n N a x I ∀∈∃>∀∈，有1()()n n n f x f x a +-≤，且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{()}n f x 在区间I 上一致收敛. 证明： ,,n p N x I ∀∈∀∈，111()()()()()()n p n n p n p n n n p n f x f x f x f x f x f x a a +++-++--≤-++-≤++(,)sin 1lim sup 0lim 0n n x nx nn →∞→∞∈-∞+∞-==因为1n n a ∞=∑收敛，故0,,n N p N ε∀>∃∈∀∈，有1n p n a a ε+-++<.于是，0,,,n N p N x I ε∀>∃∈∀∈∀∈，有 11()()n p n n p n n p n f x f x a a a a ε++-+--≤++=++<.所以{()}n f x 在区间I 上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++，x E ∈ (8)称为定义在E 上的函数项级数，简记为1()nn k u x =∑或()n u x ∑.称1()()nn k k S x u x ==∑， x E ∈，n=1，2，(9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设{()}n S x 是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列.若{()}n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛于函数()S x ，或称()n u x ∑在D 上一致收敛. 6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈和一切正整数p ，都有()()n p n S x S x ε+-<,或 12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<.此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{()}n u x 在D 上一致收敛于零.设函数项级数()n u x ∑在D 上的和函数为()S x ，称()()()n n R x S x S x =- 为函数项级数()n u x ∑的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,),}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，无穷积分(,)cf x y dy +∞⎰(10)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当记这个函数为()I x 时，则有 ()(,)cI x f x y d y +∞=⎰，[,]x a b ∈， (11)称(10)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分. 如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义 若含参量无穷积分(10)与函数()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N>c ，使得当M>N 时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y d yI x ε-<⎰，即(,)Mf x y d y ε+∞<⎰，则称含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简单地说含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,A A M >时，对一切[,]x a b ∈，都有21(,)A A f x y d y ε<⎰. (12)例8 证明含参量无穷积分s i n xydy y+∞⎰(13) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>)，但在(0,)+∞内不一致收敛. 证 作变量代换u xy =，得s i n s i n AA x x y u d y d u yu +∞+∞=⎰⎰， (14)其中A>0.由于0sin udu u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，当'A M >时，就有's i n A udu uε+∞<⎰. 取A M δ>，则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由(14)式有s i n Axydy yε+∞<⎰， 所以(13)在0x δ≥>上一致收敛.现在证明(13)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数M(>c)，总相应地存在某个A M >及某个[,]x a b ∈，使得0(,)Af x y d y ε+∞≥⎰.由于非正常积分0sin udu u+∞⎰收敛，故对任何正数0ε与M ，总存在某个(0)x >，使得00s i n s i n Mxu u du du u uε+∞+∞-<⎰⎰，即0000sin sin sin Mx uu u du du du u u uεε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (15) 现令001sin 2udu uε+∞=⎰，由(14)及不等式(15)的左端就有000s i n s i n 2MM x x y u d y d u yu εεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(13)在(0,)+∞内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A (其中1A c =)，函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰(16)在[,]a b 上一致收敛.证 [必要性]由(10)在[,]a b 上一致收敛，故对任给的0ε>，必存在M c >，使当m n A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有"'(,)A A f x y d y ε<⎰. (17)又由()n A n →+∞→∞，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m n M >>时，就有m n A A M >>.由(17)对一切[,]x a b ∈，就有 11()()(,)(,)m n mnA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰=1(,)m nA A f x y dy ε+<⎰.这就证明了级数(16)在[,]a b 上一致收敛.[充分性] 用反证法.假如(10)在[,]a b 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M c >，存在相应的"'A A M >>和'[,]x a b ∈，使得"0'(',)A A f x y d y ε≥⎰.现取1max{1,}M c =，则存在211A A M >>及1[,]x a b ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰.一般地，取2(1)max{,}(2)n n M n A n -=≥，则有221n n n A A M ->>及[,]n x a b ∈，使得2210(,)n n A n A f x y dy ε-≥⎰. (18)由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且lim n n A →∞=+∞.现考察级数111()(,)n nA n A n n u x f x y dy +∞∞===∑∑⎰.由(18)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n M >，就有某个[,]n x a b ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰.这与级数(16)在[,]a b 上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.例9 若无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，函数()f x 在[,)a +∞单调，则lim ()0x xf x →+∞=.证 不妨设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，已知无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，我们有()0f x ≥，[,)x a ∈+∞.由已知条件无穷积分()a f x dx ∞⎰收敛，根据柯西收敛准则0,ε∀>..1p A ∀>和2p A >，有12()p p f x dx ε<⎰.于是122,,2xx A p p x ∀>==取，因为()f x 单调递减，得到2122()()()()02p xxx x p xf x dx f t dt f x dt f x ε>=≥=≥⎰⎰⎰. 即lim ()0x xf x →+∞=.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法. 8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必收敛. 证 0ε∀>{}n a 收敛，由柯西准则',,N N m n N ∴∃∈∀>，有m n a a ε-< 从而m n m n a a a a ε-<-<，由柯西准则数列{}n a 收敛.例11 设函数列{()}n f x 在D 上一致收敛，则函数级数11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛.证 设1()()()n n n u x f x f x +=- 0ε∀>因为 {()}n f x 在D 上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则： 所以 'N N ∃∈，当n N >时，',p N x D ∀∈∀∈，有()()n p n f x f x ε+-< 从而 11()()()()()n n n p n p n u x u x u x f x f x ε++-++++=-<.由函数级数的柯西一致收敛准则得：11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛 。

实变函数与泛函分析要点说明实变函数与泛函分析概要第⼀章集合基本要求：1、理解集合的包含、⼦集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求已知集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断⼰知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第⼆章点集基本要求：1、理解n维欧⽒空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握点、聚点的概念、理解外点、界点、孤⽴点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求⼰知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握⼀批例⼦。

6、会判断⼀个集合是⾮是开（闭）集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：⼀、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点? P0的任⼀邻域，⾄少含有⼀个属于E⽽异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A?B，则A?B，·Ａ?·Ｂ，－Ａ?－Ｂ。

T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。

（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。

T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是⼀个有界闭集，?是⼀开集族{Ui}i?I它覆盖了F（即Fс∪ｉ?ＩUi），则?中⼀定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I）4、开（闭）集类、完备集类。

函数列的几种收敛性王佩（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.关键词：函数列；收敛；Several kinds of convergence for the sequence of funcationsWang pei(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou730070,China)Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations.Key words: the sequence of funcations; convergence;一、几种收敛的定义1、收敛的定义定义1：设{}n a为数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有ε<-ana,则称数列{}n a收敛于a，定数a称为数列{}n a的极限，并记作limn→∞an=a,或()∞→→naan.定义2：设f为定义在[)+∞,a上的函数，A为定数.若对任给的ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f当x趋于+ ∞时以A 为极限，记作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(x→+ ∞).用c.表示.2、一致收敛的定义设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有| fn(x)- f(x)|<ε,则称函数列{fn (x)}在E上一致收敛于f(x)，记作fn(x)→ f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.表示.3、几乎处处收敛的定义设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作limn→∞ fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn→fa.e.于E.用a.c.表示.4、几乎处处一致收敛设函数列{fn (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn (x)−→−uc f(x)）=0，（其中“−→−uc”表示不一致收敛于），则称{fn (x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作limn→∞fn(x)= f(x)a.e.于E，或fn−→−uc f a.e.于E.用a.u.c.表示.5、依测度收敛设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系：对任意σ>0有limnmE [|f n-f|≥σ]=0，则称函数列{f n}依测度收敛于f,或度量收敛于f记为：fn(x)⇒ f(x).6、近乎收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,且f n(x)−→−c f(x) (在E- Eσ上)，则称函数列{fn (x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为fn(x)−→−c n. f(x)或简记为fn−→−c n. f.用n.c.表示.7、近乎一致收敛若νδ>0,∃ Eσ⊂E,使得m Eσ< δ,，且f n(x)−→−c u. f(x)在E- Eσ上），则称函数列{fn (x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为fn(x)−−→−c u n.. f(x)或f n−−→−c u n.. f.用n.u.c.表示.8、强收敛设fn (x)，f(x)属于L p,若fn(x)，f(x)得距离)()(f xfxn-敛于0（当n→+ ∞）,则称fn (x)强收敛于f(x),简记为：fn−→−强 f.二、几中收敛的关系1 一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系若{fn(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.2 处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.例1 依测度收敛而处处不收敛的函数.取E=(]1,0,将E等分，定义两个函数：f（1）1(x)=⎧⎨⎩⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈1,21x,0,21,01x，f（1）2(x)=⎧⎨⎩.1,21,1,21,0x⎥⎦⎤⎝⎛∈⎥⎦⎤⎝⎛∈x，然后将(]10，四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数：f（n）j (x)=⎧⎨⎩.2,21,0,2,21x1⎥⎦⎤⎝⎛-∉⎥⎦⎤⎝⎛-∈nnnnjjxjj，j=1,2,…,2n.把{ f（n）j，j=1,2,…,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列：f（1）1(x)，f（1）2(x)，…，f（n）1(x)，f（n）2(x)，…，f（n）2n(x), (1)f（n）j(x)在这个序列中是第N=2n-2+j个函数.可以证明这个序列是依测度收敛于零的.这是因为对任何σ>0,E[|f（n）j -0|≥σ]或是空集（当σ＞1），或是⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j（当0<σ≤1），所以m(E[|f（n）j -0|≥σ])≤n21(当σ＞1时，左端为0).于是当N=2n-2+j（j=1,2,…,2n）趋于∞时，n→∞.由此可见lim N→∞ m(E[|f（n）j-0|≥σ])=0,即f（n）j(x)⇒0.但是函数列（1）在(]1,0上的任何一点都不收敛.事实上，对任何点x0∈(]1,0,无论n多么大，总存在j,使x0∈⎥⎦⎤⎝⎛-nnj2,21j,因而f（n）j (x)=1，然而f（n）j+1(x)=0或f（n）j-1(x)=0，换言之，对任何x0∈(]1,0，在{f（n）j (x)}中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为零，所以序列（1）在(]1,0上任何点都是发散的.2．2反过来，一个a.e，收敛的函数列也可以不是依测度收敛的.例2 取E=(0,+∞),作函数列：f（n）(x)=⎧⎨⎩(](),,,0,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,….显然fn (x)→1(n→+∞),当x∈E.但是当0<σ<1时，E[|fn-1|≥σ]=（n, +∞),且m(n, +∞)=∞.这说明{ fn}不依测度收敛于1.2.3尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的.定理1（黎斯F.Riesz）设在E上{fn }测度收敛于f,则存在子列{ fni}在E上a.e.收敛于f.定理2(勒贝格Lebesgue) 设（1） mE<∞;（2） {fn}是E上a.e.有限的可测函数列；（3） {fn }在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数f,则 fn（x）⇒f(x).定理3设fn（x）⇒f(x)， f n（x）⇒g（x）,则f(x)=g(x)在E上几乎处处成立.3 几乎处处收敛与近一致收敛3.1 在有限可测集上，几乎处处收敛一定近一致收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理：设mE<+∞,f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若limn→∞f n(x)=f(x)，a.e.于E，则对任何σ>0,存在可测集Eσ⊂E,使得m Eσ<σ,且在E-Eσ上{ f n(x)}一致收敛于f(x).3.2 在一般可测集上（mE=+∞），几乎处处收敛不一定近一致收敛Eτopob定理中mE<+∞的条件不可少.例如考虑可测函数例fn (x)=Χ(0,n)(x),n=1,2,…, x∈(0, ∞).它在(0, ∞)上处处收敛于f(x)≡1,但在(0, ∞)中的任一个有限测度集外均不一致收敛于f(x)≡1.又如取E= (0,+ ∞)，则mE=+∞，作E上函数列：fn (x)=⎧⎨⎩[)().,,0;,0x1+∞∈∈nxn，n=1,2,…, limn→∞fn(x)= f(x)≡1 (0<x<∞)取δ=1, 则对任何可测集Eδ⊂E，若m Eδ<δ=1，故m(E-Eδ)= ∞,于是集E-Eδ无界.取ε=1/2,对任意N存在n=N+1和x0>N+1,且x∈E-Eδ时，| fn(x)-f(x0)|=|0-1|>ε.所以在E-Eδ上{ fn(x)}不一致收敛于f(x).3.3 不论在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定几乎处处收敛叶果洛夫（Eτopob ）定理的逆定理成立可说明这一结论.设可测集E上可测函数列fn (x) 近一致收敛于f(x)，则fn(x)几乎处处收敛于f(x).4 近一致收敛与依测度收敛4.1 无论是在有限还是一般可测集上，近一致收敛一定依测度收敛设f和f1,f2,…,fn,…都是E上几乎处处有限的可测函数，若{ fn(x)}在E上近一致收敛于f(x)，则fn(x)⇒ f(x).证明由条件对任意δ>0及σ>0,存在N=N(σ,δ)及E的可测子集Eδ，且m Eδ=δ,当n≥N时，对一切x∈E-Eδ，| fn(x)- f(x)|<σ，因此，对任意x 0∈E-Eδ，x∈()()∞=<-NnxfxfEn,σE-Eδ()∞=<-⊂NnnfxfE.x)(σ于是对任何x∈E- ∞=<-NnffEnσ= ∞=≥-NnnffEσ,必有x∈Eδ,即∞=≥-Nn nf fE σ⊂E δ综上所述，对δ>0，σ>0，存在N=N(σ,δ)，当n ≥N 时，m( ∞=≥-Nn n f f E σ)≤m E δ<δ,从而mE[|f n -f|≥σ]<δ.由依测度收敛的定义可知，f n (x)⇒ f(x). 4.2 不论在有限可测集还是一般可测集上，依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.5 几乎处处收敛与强收敛5.1几乎处处收敛不一定强收敛例 f n (x) =⎧⎨⎩.110,0,10,n ≤≤=<<x n x n x 及，显然在[]1,0上f n 处处收敛于f=0,然而并不强收敛于f.事实上f n -f ={dx n n ⎰12}21=n →∞（n →∞）. 5.2 强收敛不一定几乎处处收敛例 )(f k i = ⎧⎨⎩.,1,0,,1,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∉⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i x令Φn (x)= )(f k i,Φ(x)=0.则：()()x x n φφ-={()⎰1x n φ}21=k1→0(n →∞),Φn (x)−→−强 Φ(x),而Φn (x)在任一点都不收敛.6 依测度收敛与强收敛6.1强收敛一定依测度收敛可证明，对任何ε>0,设E n (ε)=E{x:|f n (x)-f(x)|≥0},),(|)()(|)(|)()(f|22εεεn n n nmE dx x f x f E dx x f x E ≥-≥-⎰⎰f n →f,∴mE n (ε)→0,即f n (x)⇒f(x). 6.2 依测度收敛不一定强收敛例 E=[]10，，在E 上作函数列如下： f 1(1)(x)=1 x ∈[)10，, f 1(2)(x)= ⎧⎨⎩01 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,2121,0x x … f i (k)(x)= ⎧⎨⎩01[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈k i k i x k i k i ,11,0,1x (i=1,2…,k) 上述的函数列记为Φ1（x ）, Φ2（x ）, Φ3（x ）,…, Φn （x ）,…,可证Φn （x ）⇒Φ（x ）≡0，但却处处不收敛于Φ（x ）.证明 若ε>1, E n (ε)为空集，显然lim n →∞E n (ε)=0；若0<ε≤1,则E n (ε)=E{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=⎪⎭⎫⎢⎣⎡k i k ,1-i ,所以mE{x:| Φn （x ）-Φ（x ）|≥ε}=k1，于是当n →∞,显然k →∞.故lim n →∞E n (ε)=0，从而Φn （x ）⇒Φ（x ），而对任x 0∈[)10，,Φn （x 0）中总有无穷个1，无穷个0，即{Φn （x ）}处处不收敛.三、相关命题及证明命题1 f n ..a c E −−→ f ⇔ f n ..n c E−−→ f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E−−→ f ，则∀K ，∃E k ⊂E,使得m E k <k1,且 f n .kc E E -−−−→f 记 E 0= ∞=1k k E ，则m E 0=0,E- E 0= ∞=-1)(k k E E∴ f n .kc E E -−−−→f 且m E 0=0 即f n ..a c E −−→ f 证毕命题 2 f n ...n u c E −−−→f ⇔f n ..n c E−−→f 证明 “⇒” 由定义立得“⇐” 设f n ..n c E −−→f ，则由命题1知 f n ..a c E−−→ f 而 m E<∞,故由叶果洛夫定理有 f n ...n u c E−−−→ f 证毕命题 3 若f n ...n u c E−−−→f ，则f n ⇒f命题 4 若f n ⇒f ，则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证明 任取定{εk }→0,{δk }→0,且∑∞=1k k δ<∞，则由“⇒” 的定义知：可取定 n 1>N(ε1, δk )，使得 m E(|1f n -f|≥ε1)< δ12n > n 1, 2n > N(ε2, δ2), 使得 m E(|1f n -f|≥ε2)< δ2… … …∀ δ>0,由∑∞=1k k δ<∞知，∃K 1，使得∑∞=1k k δ<δ记 E δ=)|(|1k k k n f f E k ε≥-∞= 则 m E δ<δ又∀ δ>0，由{εk }→0，知∃K 2，使得εk 2<ε,于是当k ≥k 0=max{k 1,k 2},且x ∈(E- E δ)时，有 |k n f （x ）-f(x)|< εk <ε∴k n f （x ）..u c E Eδ-−−−→f (k →∞) 且m E δ<δ 即 k n f ...n u c E−−−→f (k →∞) 证毕命题 5 f n ⇒f ⇔ {k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）证明∀ σ>0,记a n=m E(|f n -f|≥σ) (n=1,2,…)∀ δ>0, f n ⇒f,则由“⇒”的定义有 lim n →∞a n =lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0故∀ {k n a }⊂{a n },∃ {i n a }⊂{k n a },使得 lim n →∞k n a =0即∀{kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得lim n →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0 亦即1f k n ⇒f （i →∞）“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得lim i →∞i n a =lim i →∞m E （|1f k n -f|≥σ）=0∴ lim n →∞a n =0 即 lim n →∞m E(|f n -f|≥σ)=0亦即 f n ⇒f 证毕命题 6 ∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则有{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 证明“⇒”设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ⇒f （i →∞）则由命题4知：{1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 综上所述，结论成立.“⇐” 设∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则由命题3知： 1f k n ⇒f （i →∞）综上述，结论成立.命题7 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ...n u c E−−−→f （m →∞）命题8 若∀{k n f }⊂{f n }，∃{k n f }⊂{f n }，使得1f k n ..a c E−−→ f （i →∞） 则∃{m n f }⊂{f n }，使得m n f ..a c E−−→ f （m →∞）. 命题7和命题8的结论是容易证明的，不再叙述.命题9 若f n ..n c E −−→f,则∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→f(k →∞）命题10 ∃{k n f }⊂{f n }，使得k n f ...n u c E−−−→f （k →∞）⇔{k n f }⊂{f n }，使得k n f ..a c E−−→ f （k →∞）命题11∀{k n f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{k n f }，使得 1f k n ...n u c E−−−→f （i →∞） ⇔ {kn f }⊂{f n }，∃ {1f k n }⊂{kn f }，使得 1f k n ..a c E−−→ f （i →∞）. 由命题1和命题2可立得命题9、命题10和命题11的结论.经上所述可测函数各种收敛性的关系的关系图如下：从上图清楚你地看出，一致连续这个条件最强，所得到的结果也最多.参考文献[1] 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，2003. [2] 周明强. 实便函数论[M]. 北京：北京大学出版社，2007. [3] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社,2001. [5] 赵焕光. 实变函数[M]. 成都：四川大学出版社,2004.。

各种函数列收敛的总结利用余项准则证明函数列一致收敛1. 证明Sn(x)=xn,n=1,2,..., 在[0,b](0<b<1) 上一致收敛.2. 证明函数列fn(x)=(1−x)xn,n=1,2,⋯, 在[0,1] 一致收敛.利用余项准则证明函数列非一致收敛1. 证明Sn(x)=xn,n=1,2,..., 在[0,1] 上非一致收敛.2. 函数列gn(x)=(1−xn)x,n=1,2,⋯, 在[0,1] 上非一致收敛.3. 证明函数列fn(x)=xn−x2n, n=1,2,⋯, 在[0,1] 上非一致收敛.4. 设函数列fn(x)=nx(1−x)n,n=1,2,⋯, 证明: (1) 在[0,1] 上收敛; (2) 在[0,1] 上非一致收敛,但在[α,1](α>0 上非一致收敛,但在[α,1) 上一致收敛 ;(3)limn→∞∫01fn(x)dx=∫01limn→∞fn(x)dx.5. 设函数列fn(x)=n(xn−x2n),n=1,2,⋯,x∈[0,1]. (1) 求函数列fn(x) 的极限函数;(2)证明fn(x) 非一致收敛;(3)验证极限运算与积分运算不能交换顺序.含有参数函数列一致收敛1. 设fn(x)=ncx(1−x2)n,n=1,2,⋯, 讨论函数列fn(x) 在[0,1] 上的一致收敛性.2. 讨论函数列fn(x)=ncxe−nx,n=1,2,⋯,x∈[0,1] 的一致收敛性.3. 讨论函数列在指定区间上的一致收敛性:fn(x)=x(ln⁡n)αnx,n=1,2,⋯,x∈[0,+∞).4. 讨论函数列在指定区间上的一致收敛性:fn(x)=cnx1+ncnx2(c>0) ,n=1,2,⋯(1)x∈(−∞,+∞),(2)x ∈(−∞,)(,+∞)已知f(x) 连续利用闭区间连续则有界或可积必有界证明{gn(f(x)) }一致收敛1. 设f(x) 在[0,1] 上连续, f(1)=0. 证明： {f(x)xn } 在[0,1] 上一致收敛.2. 设f(x) 在[12,1] 上连续.证明：收敛的充要条件是f(1)=0.3. 设f(x) 在[0,π2] 上连续.证明： (2) {sinn⁡xf(x)} 在[0,π2] 上一致收剑的充要条件是f(π2)=0.4. 若f(x) 在[a,b] 连续, f(x)>0,gn(x)=f(x)n,n=1,2,⋯. 证明 :gn(x) 在[a,b] 上一致收敛于 1.5. 设函数f0(x) 在[a,b] 上可积,且fn(x)=∫axfn−1(t)dt, x∈[a,b],n=1,2,⋯, 证明 :{fn(x)} 在[a,b] 上一致收剑于0.6. 设u0(x) 在[a,b] 上连续,G(x,t) 在闭X 域[a,b]×[a,b] 上连续, 对∀x∈[a,b], 设un(x)=∫axG(x,y)un−1(y)dy,n,证明：{un(x)} 在[a,b] 上一致收剑于0.已知{fn(x)}递推式证明一致收敛1. 设x⩽f1(x)⩽x,fn(x)=xfn−1(x),x∈[0,1], n=1,2,⋯. 证明:(1) {fn(x)} 为单调有界数在(2)$fn(x)$在[0,1]$ 上一致收敛.与cosx 有关的函数列一致收敛求解下列各题.1. 设fn(x)=cosn⁡x,n=1,2,⋯,x∈[0,π2]. (1) 求极限函数f(x); (2) fn(x) 在[0,π2] 上是否一致收敛? (3) 是否有limn→∞∫0π2fn(x)dx=∫0π2f(x)dx.2. 设fn(x)=cos⁡x+cos2⁡x+⋯+cosn⁡x,n=1,2,⋯, 当x∈(0,π2) 时 , 求limn→∞fn(x) ,并讨论{fn(x)} 在[0,π2] 上的一致收敛性利用f(x) 连续则一致连续证明函数列一致收敛1. 设f(x) 在[0,1] 连续,令fn(t)=∫0Tf(xn)dx,t∈[0,1], n=1,2,⋯, 证明函数列 {fn(t)} 在[0,1] 上一致收敛于g(t)=tf(0)函数列为差商形式且极限函数与导数有关1. 设函数f(x) 在(a,b+1) 上有连续导数(ab), 令fn(x)=n(f(x+1n)−f(x)),x∈(a,b+1)n=1,2,⋯证明：(1) 函数列内闭一致收敛于f′(x) ,(2)2. 设f∈C1(I), I 是有界闭区间, Fn(x)=n[f(x+1n)−f(x)]. 证明:函数列 {Fn(x)} 在I 上一致收敛.如果I 是有界开区间,问 {Fn(x)} 在I 上是否一致收敛？3. 设函数f(x) 在(−∞,+∞) 上有连续导函数f′(x), 且fn(x)=en(f(x+e−n)−f(x))n=1,2,⋯.证明:函数列{fn(x)}在任一有限区间区间(a,b) 内一致收敛于f′(x) .4. 设函数f(x) 在(a,b) 上有连续导函数,定义Fn(x)=n2[f(x+1n)−f(x−1n)]x∈[a,b], n=1,2,⋯. 证明:函数列 {fn(x)}在(a,b) 处处收敛且内闭一致收敛.5. 设函数f(x) 在[0,M+1] 上连续, 记fn(x)=n(∫0x+1nf(t)dt−∫0xf(t)dt)x∈[0,M]. .证明:函数列{fn(x)} 在[0,M] 上一致收敛于f(x) .6. 设函数f(x) 在(−∞,+∞) 上连续,定义fn(x)=n2∫−1n1nf(x+t)dt,n=1,2,⋯,x∈[a,b] n=1,2⋯. 证明:函数列{fn(x)}在任何闭区间[a,b] 一致收敛于f(x) .分段函数非一致收敛的证明1. 设fn(x)=1−nx,0 证明函数列在(0,1) 上非一致收敛，但limn→∞∫01fn(x)dx=∫01limn→∞fn(x)dx.利用函数列一致收敛Cauchy 收敛准则证明复合函数列一致收敛1. 设f(x) 在[0,1] 连续, fn(t)=∫0tf(xn)dx,t∈[0,1], n=1,2,⋯, 证明函数列 {fn(t)} 在[0,1] 一致收敛于g(t)=tf(0).2. 设函数f(x,y) 在闭区域[a,A]×[b,B] 上连续,函数列{φn(x)} 在[a,A] 上一致收剑,且b⩽φn(x)⩽B. 证明:函数列Fn(x)=f(x,φn(x)),n=1,2,⋯, 在[a,A] 上一致收敛.3. 设函数f(x,y) 在闭区域[a,b]×[c,d] 上连续, 函数列{φn(x)} 在 [a, b] 上一致收剑,且a⩽φn(x)⩽b, 函数列{ψn(x)} 在[a,b] 上一致收敛,且c⩽ψn(x)⩽d. 证明 : 函数列Fn(x)=f(φn(x),ψn(x)),n=1,2,⋯, 在[a,b] 上一致收剑.4. 设函数f(x,y) 在闭X 域[x0−a,x0+a]×[y0−b,y0+b] 上连续，函数列 {φn(x)} 在[x0−a,x0+a] 上一致收剑φ(x), 且y0−b⩽φn(x)⩽y0+b. 证明：limn→∞∫x0xf(t,φn(t))dt=limn→∞∫x0xf(t,φ(t))dt.已知函数列一致收敛且每一项一致收敛证明极限函数一致连续1. 设函数列 {fn(x)} 在区间I 上一致收签于f(x) .证明:若每个fn(x) 在I 上一致连续,则f(x) 在I 上一致连续.2. 设函数项级数∑n=1∞un(x) 在I 上一致收签于s(x), 如果每个un(x) 在I 上一致连续,证明s(x) 在I 上一致连续.3. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上连续,在(a,b) 上一致收剑于f(x) .证明: f(x) 在[a,b] 上一致连续.4. 设un(x) 在[a,b] 上连续,∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上一致收签于s(x). 证明: (1)∑n=1∞un(x) 在x=a,x=b 收剑;(2)∑n=1∞un(x) 在[a,b] 连续 ; (3)f(x)=∑n=1∞un(x) 在[a,b] 上一致连续.5. 设fn(x),n=1,2,⋯, 为R 上的一致连续函数,且limn→∞fn(x)=f(x), ∀x∈R1, 问 :f(x) 是否为连续函数？若答案为“是”,请给出证明;若答案为“否”,请给出反例.等度连续6. 设函数列{fn(x)}在区间[a,b] 上连续, {fn(x)} 在[a,b] 上一致收剑于f(x) .证明: {fn(x)} 在[a,b] 上等度连续 (即∀ε>0,∃δ>0, 当∀x′,x′′∈[a,b], |x′−x′′|<δ时, 对任意自然数n 有|fn(x′)−fn(x′′)|<ε利用反证法证明1. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x) ,且每个函数连续,假定每个fn(x) 在[a,b] 上不处处为负.证明f(x) 在[a,b] 上不处处为负.2. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续,若每个fn(x) 在[a,b] 上均有零点.证明f(x) 在[a,b] 上至少有一个零点.3. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续,若∫abfn(x)dx⩾0n=1,2,⋯, 证明至少存在一点x0∈[a,b] 使得f(x0)⩾0.与零点有关的问题1. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续,若f(x) 在[a,b] 上无零点,证明:(1) 当n 充分大时, fn(x) 在[a,b] 也无零点. (2) 证明: {1fn(x)} 在[a,b] 一致收敛于1f(x). {xn}与函数列复合得到新函数列证明1. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续, {xn}⊂[a,b] 且limn→∞xn=x0 . 证明: limn →∞fn(xn)=f(x0).(2) 设{Sn(x)}是函数项级数∑k=1∞uk(x) 的前n 项部分和函数列,每个Sn(x) 在[a,b] 上连续,且. ∑k=1∞uk(x) 在[a,b] 上一致收剑于S(x). 又{xn} ⊂[a,b] 且limn→∞xn=x0. 证明: limn→∞Sn(xn)=S(x0).3. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x) ,且每个函数连续,若存在xn∈[a,b] 有limn→∞fn(xn)=A.证明:存在x0∈[a,b] 使f(x0)=A.已知函数列{fn(x)}一致收敛且函数列极限是数列{an}证明数列{an}收敛1. 设连续函数列 {fn(x)} 在U(x0,δ)(δ>0) 内一致收敛,且limx→xnfn(x)=an,n∈N. 证明 {an}收敛.(南开大学 2002)利用反证法证明函数列在闭区间端点发散导致闭区间非一致收敛1. 设fn(x) 在[a,b] 上连续,且{fn(b)} 发散.证明: {fn(x)} 在[a,b] 上非一致收敛.2. 设un(x) 在[a,b] 连续,且∑n=1∞un(x) 在x=b 发散.证明∑n=1∞un(x) 在[a,b) 非一致收敛.3. 设 {Sn(x)} 在x=c 上左连续,且 {Sn(c)} 发散.证明:在任何开区间(c−δ,c)(δ>0) 内 {Sn(x)} 非一致收敛.4. 设每个un(x) 在x=c 连续,但∑n=1∞un(x) 在x=c 发散,则∀δ>0,∑n=1∞un(x) 在(c,c+δ) 上均非一致收敛.讨论∑n=1∞1(sin⁡x+cos⁡x)n 在(0,π2) 内是否一致收敛.5. 设un(x) 在(a,b] 上连续, ∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上收敛,根据∑n=1∞un(b) 的敛散性, 讨论∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上的一致敛散性.6. 设hn(x) 在[a,b) 连续,且fn(x)⩽hn(x)⩽gn(x),∀x ∈[a,b). 若级数∑n=1∞fn(x) 和∑n=1∞gn(x) 在(a,b) 上收敛,级数∑n=1∞hn(a) 发散,证明: (1) 级数∑n=1∞hn(x) 在(a,b) 上收敛; (2) 级数∑n=1∞hn(x) 在(a,b) 上非一致收敛.7. 设un(x) 在[a,b] 上连续,∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上一致收敛,证明: ∑n=1∞un(a),∑n=1∞un(b) 收敛.已知函数列一致收敛且每个函数列有界证明极限函数有界和函数列一致有界1. 设函数列 {fn(x)} 在[a,b] 上一致收敛于f(x), 且.每个fn(x) 在[a,b] 有界.证明: 回极限函数f(x) 在[a,b] 有界;(2) 函数列 {fn(x)} 在[a,b] 一致有界,且limn→∞supa∈x<bfn(x)=supa<x<bf(x)2. 设函数列{fn(x)} 在区间[a,b] 上连续,且一致收敛于f(x), 若∀x∈[a,b],f(x)>0. 证明: ∃N,δ>0, 使得∀x∈[a,b],n>N 时有fn(x)>δ.3. 设函数列 {fn(x)} 在I 上一致收敛于f(x), 且存在数列{an }使得∀x∈I, 总有|fn(x)|⩽an 证明:f(x) 在I 上有界.复合函数一致收敛1. 设fn(x),n=1,2,⋯, 在[a,b] 上连续,且{fn(x)} 在[a,b] 上一致收敛于f(x) ,证明:(1) ∃M>0, 使得∀n⩾1,∀x∈[a,b] 有|fn(x)|⩽M,|f(x)|⩽M;(2) 若g(x) 在(−∞,+∞) 内连续,则g(fn(x)) 在[a,b] 上一致收敛于g(f(x)) .2. 设f(x)=∑n=0∞anxn 的收敛半径为R=+∞, 令fn(x)=∑k=0nakxk, 证明: {f(fn(x)) }在[a,b] 上一致收敛于f(f(x)) ,其中[a,b] 为任一有穷闭区间.3. 设f(u) 在区间J 上一致连续,函数列 {gn(x)} 在 I 上一致收敛于 g(x), 当x∈I 时, g(x)∈J ,且存在正整数N,使得n>N 及x∈I 时gn(x)∈J ,证明{f(gn(x))} 在I 上一致收敛于f(g(x)) .已知两个函数列分别一致收敛且极限函数有界证明函数列之积一致收敛1. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在区间I 上分别一致收敛于f(x),g(x). 假定f(x) 与g(x) 都在I 上有界,证明: (1){fn(x)gn(x)} 在区间I 上一致收敛于f(x)g(x) (2) 如果 {f∗n(x)} 与 {g∗n(x)} 在区间 I 上分别收敛于f(x) 与g(x) ,能否保证必有f∗n(x)g∗n(x)} 在区间I 上一致收敛于 f(x)g(x),请说明理由. (3) 举例说明:对(1) 中的结论，“f(x) 与g(x) 在I 上有界”条件不可去.2. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在(−∞,+∞) 上有界连续,且分别一致收敛于f(x) 与g(x) 证明: {fn(x)gn(x)} 在(−∞,+∞) 上一致收敛于f(x)g(x) .如果{fn(x)},{gn(x)} 在(−∞,+∞) 上不是有界函数列,举例说明上述结论不一定成立.3. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在区间[a,b] 上分别一致收敛于f(x) 与g(x), 假定存在正数{Mn} 使|fn(x)|⩽Mn,|gn(x)|⩽Mn,x∈[a,b],n=1,2,3,⋯, 证明: {fn(x)gn(x)} 在区间I 上一致收敛于f(x)g(x) .4. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在区间[a,b] 上分别一致收敛于f(x) 与g(x) . 证明:函数列max {fn(x),gn(x)} 在区间I 上一致收敛于max {f(x),g(x)}.与反常积分结合1. 设fn(x),n=1,2,⋯, 在[a,+∞) 上连续,且反常积分∫a+∞fn(x)dx 关于n 一致收签.又对任意M>a,{fn(x)}在[a,M] 上一致收敛于f(x),证明：(1)∫a+∞f(x)dx 收敛(2) limn→∞∫a+∞fn(x)dx=∫a+∞f(x)dx.与二重积分结合1. 设连续函数序列 {fn(x,y)} 在有界闭区域 D 上一致收剑于f(x,y), 证明: ∬Df(x,y)dxdy=limn→∞∬Dfn(x,y)dxdy。

巴拿赫空间理论巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)⼀⼿创⽴的，数学分析中常巴拿赫空间⽤的许多空间都是巴拿赫空间及其推⼴，它们有许多重要的应⽤。

⼤多数巴拿赫空间是⽆穷维空间，可看成通常向量空间的⽆穷维推⼴。

编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是⼀种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之⼀。

数学分析各个分⽀的发展为巴拿赫空间理论的诞⽣提供了许多丰富⽽⽣动的素材。

从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐⼈们久已⼗分关⼼闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的⼀致收敛性。

甚⾄在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上⼀族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来⼗分成功地⽤于常微分⽅程和复变函数论中。

巴拿赫空间1909年⾥斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重⼤事件。

还有⼀个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。

在1910～1917年﹐⼈们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表⽰﹐则照亮了通往对偶理论的道路。

⼈们还把弗雷德霍姆积分⽅程理论推⼴到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算⼦的概念。

当然还该想到希尔伯特空间。

正是基于这些具体的﹑⽣动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独⽴地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成⼀部本⾝相当完美⽽⼜有着多⽅⾯应⽤的理论。

编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。

是⽤波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。

巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建⽴了其上的线性算⼦理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。

这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应⽤上都有重要价值。

第十六讲 函数列的一致收敛性
定义 设函数列}{n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的0>ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有.|)()(|ε<-x f x f n ，则称函数列}{n f 在D 上一致收敛于f
教学目的：
让学生理解函数列的一致收敛性；
教学思想：函数列的极限形式是表示函数的一种重要方法，但要探讨这种函数的分析性质需要函数列的一致收敛性。

教学分析：
1. 函数列的一致收敛是函数列与函数项级数的一个重要概念；
2. 难点在于函数列的一致性用了数集中的点去刻画，但却与所用的点无关，而只与函数列、和数集有关；
3. 函数列的一致收敛定义时用到了极限函数，而极限函数是函数列通过点态收敛获得，这使得学生很容易将一致收敛与函数列的点态收敛混淆。

教学方法与策略：在引入或回顾时强化“函数列收敛与给定的点有关”，在定义时强调函数列的一致收敛没有脱离区间上的点来定义，用任意的点，这也表明与具体的点本身无关，点可以在数集中任意选取，从而一致收敛性与数集有关。

例子的讲解时需要分散难点。

教学安排：
1. 回顾函数列的点态收敛、收敛域；
2. 函数列一致收敛的定义；
3. 例子。