有界变差函数

n
V f ( x0 , L x n ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) = ∑ ( f ( xi ) − f ( xi −1 )) = f (b) − f (a.).
i =1 i =1
n
n
因此 V ( f ) = f (b) − f ( a ). 所以 f ∈ V [ a, b].
x
则 p ( x) 和 n( x) 都是单调增加的, 并且满足 (6)
我们称(6)式为 f 的标准分解.分别称 p ( x) 和 n( x) 为 f 的正变差函数和负变差函数. 定理 5 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 V ( f ) 在 [a, b] 上是右连续的(或左连续
a x
n−2 b a
(令k = n − i )
令 n → ∞ 知道 V ( f ) = +∞. 因此 f 在 [0,1] 不是有界变差函数. 定理 2 有界变差函数具有如下性质:
(i). 若 f ∈ V [a, b], 则 f 是有界函数. (ii). 若 f ∈ V [a, b], α ∈ R1 , 则 α f ∈ V [a, b], 并且 V (α f ) ≤ α V ( f ). a a (iii). 若 f , g ∈ V [a, b],
因此
x1 x2
x2
x1
V ( f ) + f ( x1 ) ≤ V ( f ) + f ( x 2 ). a a
这表明 g ( x1 ) ≤ g ( x 2 ). 即 g 是单调增加的.类似可证 h 也是单调增加的. 推论 4 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则 (1) (2) (3)
f ( x) − f ( x0 ) < ε . 取 区 间 [ x0 , x0 + δ ] 的 一 个 分 割
x0 +δ
0
x0 = t 0 < t1 < L < t n = x0 + δ , 使得
∑
i =1 n
n
f (t i ) − f (t i −1 ) > V ( f ) − ε. x
(7)
由于 {t i }i =1 是区间 [t1 , x0 + δ ] 的一个分割, 因此
f 的不连续点的全体至多是一可数集. f 在 [a, b] 上是 Riemann 可积的. f 在 [a, b] 上几乎处处可导并且 f ′ 是 Lebesgue 可积的.
每个有界变差函 数可以分解成两个单调增加函数
证明 由 5.1 单调函数的相应性质直接可得. 由定理 3,
之差. 但这种分解显然不是唯一的. 例如, 若 f = g − h 是一个这样的分解, 则对任意 常数 c , f = ( g + c) − ( h + c) 也是 f 的一个分解. 为避免这种不唯一性, 我们令
的)当且仅当 f 在 [a, b] 上是右连续的(相应地, 左连续的). 证明 我们只证右连续的情形. 左连续的情形证明是类似的. 必要性. 设 V ( f ) 在 [a, b] 上是右连续的, x0 ∈ [ a, b). 则对任意 x0 < x ≤ b, 利用
a x
定理 2 ( v) , 我们有
151
由 ε > 0 的任意性得到
c b
b
V (f ) ≤V ( f ) +V ( f ). a a c
综合(3),(4)两式得到(2)式. 因此结论 ( v) 得证. 设 f 是 [a, b] 上的有界变差函数. 则对任意 x ∈ [ a, b],
x
b
c
b
(4)
由定理 2 ( v) 知道 f 也是
[a, x] 上的有界变差函数. 因此 V ( f ) 是 [a, b] 上的实值函数, 称之为 f 的变差函数. 由 a
x0 = 0, x n = 1, xi = [(n − i )π +
则
π −1 ] , i = 1, L , n − 1. 2
V f ( x0 , L x n ) = ∑ xi sin
i =1 n −1
n
1 1 − xi −1 sin xi −1 xi
1 1 >∑ + π π i=2 (n − i )π + (n − i − 1)π + 2 2 1 1 = ∑ + π kπ + π k =1 (k − 1)π + 2 2 n−2 1 >∑ k =1 ( k + 1)π
i =1
n
≤ ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) + ∑ g ( xi ) − g ( xi −1 ) ≤V ( f ) +V ( g ). a a
因此 f + g 是 [a, b] 上的有界变差函数, 并且(1)式成立. 故 (iii) 得证. 往证 ( v) 成立. 对 [a, c] 的任一分割 {xi }i =0 和 [c, b] 的任一分割 {xi′}i =0 , 将它们合并
于是当 x ∈ [ x 0 , t1 ] 时,
i =1 i =2
n
n
V ( f ) −V (f ) =V (f ) ≤V ( f ) < 2ε . a a x x
i =1 i =1
n
m
′ ) ≤ V ( f ). = V f ( x0 ,L , x m a
分别对 [a, c] 的分割和 [c, b] 的分割取上确界得到
b
V ( f ) +V (f ) ≤V ( f ). a c a
另一方面, 对任意 ε > 0, 存在 [a, b] 的一个分割 {xi }i =0 , 使得
5.2 有界变差函数
教学目的 本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的 Jordan 分解定理. 教学要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan 分解定 理.
定义 1 设 f 是定义在区间 [a, b] 上的实值函数. 对 [a, b] 的任一分割 P = {xi }i =0 , 其
f ( x) − f ( x0 ) = V f ( x0 , x) ≤ V (f ) =V ( f ) −V ( f ). x a a
0
x
x
x0
由此知道 f 在 x0 点是右连续的. 充分性. 设 f 在 [a, b] 上是右连续的, x0 ∈ [ a, b). 对任意 ε > 0, 存在 δ > 0, 使 得 当 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时 ,
称 V ( f ) 为 f 在 [a, b] 上的全变差. 若 V ( f ) < +∞, 则称 f 是 [a, b] 上的有界变差函数.
a a b b
b
[a, b] 上的有界变差函数的全体记为 V [a, b].
例 1 区间 [a, b] 上的单调函数是有界变差函数. 事实上, 不妨设 f 在 [a, b] 上是单调增加. 则对 [a, b] 的任一分割 {xi }i =0 , 我们有
a
b
148
下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数. 例3 设
1 x sin x f ( x) = 0 [0,1] 的分割 {xi }in=0 使得
若0 < x ≤ 1, 若x = 0.
则 f 是 [0,1] 上的连续函数. 但 f 在 [0,1] 上不是有界变差函数. 事实上, 对任意 n ≥ 1, 作
n
V ( f ) − ε < V f ( x0 ,L, x n ) ≤ V f ( x0 , L, x k −1 , c, x k , L, x n ) a = V f ( x 0 , L, x k −1 , c) + V f (c, x k , L , x n ) ≤ V ( f ) +V ( f ). a c
n b
c
b
b
(3)
( f )−ε. V f ( x0 , L, x n ) > V a
设 x k −1 < c ≤ x k . 则 {x 0 , x1 , L , x k −1 , c} 和 {c, x k , L , x n } 分别是 [a, c] 和 [c, b] 的分割. 注 意到在 {xi }i =0 中增加一个分点 c 后, f 关于新的分割的变差不会减小. 因此我们有
n
中 {xi }i =0 满足 a = x 0 < x1 < L < x n = b, 作和式:
n
V f ( x0 , L x n ) = ∑ f ( xi ) − f ( xi −1 ) .
i =1
n
称 V f ( x 0 , L x n ) 为 f 关于分割 {xi }i =0 的变差. 令
n
V ( f ) = sup{V f ( x0 , L , x n ) : {x0 , L, x n }是[a, b]分割}. a
则 f + g ∈ V [ a, b], 并且
b b b b b
V ( f + g) ≤ V ( f ) +V ( g ). a a a (iv). 若 f , g ∈ V [a, b], 则 f g ∈ V [a, b]. ( v). 若 f ∈ V [a, b], 则对任意 c, a < c < b, 成立 V (f ) =V ( f ) +V ( f ). a a c
p ( x) =
1 x 1 x (V ( f ) + f ( x ) − f ( a )), n ( x ) = (V ( f ) − f ( x) + f (a)). 2 a 2 a f ( x) − f (a ) = p ( x) − n( x). V ( f ) = p( x) + n( x). a