19春福师《实变函数》在线作业一

【奥鹏大连理工大学】19秋《实变函数》
在线作业1答卷
奥鹏大连理工大学 19秋《实变函数》在
线作业1答卷
作业要求
本次作业为奥鹏大连理工大学19秋学期《实变函数》的在线
作业1。

作业要求学生回答一系列关于实变函数的问题。

作答内容
以下是我对本次作业的回答：
1. 什么是实变函数？
实变函数是指定义在实数集上的具有连续性的函数。

它的定义
域和值域都是实数集。

2. 实变函数的性质有哪些？
实变函数的一些常见性质包括连续性、可导性、极值点和最值、奇偶性、周期性等。

3. 实变函数的图像可以如何描述？
实变函数的图像可以用曲线来描述。

曲线的形状和特点能反映函数的性质，比如上升与下降趋势、凹凸性等。

4. 什么是实变函数的导数？
实变函数的导数表示函数在某一点处的变化率。

它是刻画函数变化速度的重要工具，可以用来求函数的极值、判断函数的增减性等。

5. 实变函数的导数有哪些性质？
实变函数的导数具有线性性和乘法性、链式规则、柯西定理等性质，这些性质能够方便我们进行函数的求导运算。

以上是我对《实变函数》在线作业1的回答，希望能够满足作业要求。

谢谢！
参考资料。

【奥鹏】19秋福师《实变函数》在线作业一
试卷总分:100 得分:100
一、判断题（共37题，74分
1、有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
2、若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
3、集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
4、若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
5、不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
6、若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
7、若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]。

(单选题)1: &nbsp; 函数在区间（-10，10）内满足（）A: 单调上升B: 先单调下降再单调上升C: 先单调上升再单调下降D: 单调下降标准解答:(单选题)2: 设函数,则不定积分A:B:C:D:标准解答:(单选题)3: 设,求dy=( &nbsp; )A:B:C:D:标准解答:(单选题)4: =( &nbsp; &nbsp;)A:B:C:D:标准解答:(单选题)5:A:B:C:D:标准解答:(单选题)6: 函数的极小值为（ &nbsp;）A: 0B: 1C: -2D: 3标准解答:(单选题)7: &nbsp;设时，是等价无穷小，则k=A: 1B: 2C: 3D: 0标准解答:(单选题)8: &nbsp;&nbsp;&nbsp; 若则函数f（x）在x=2处A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)9: &nbsp;&nbsp; 当时，1-x是比( )A: 高阶无穷小B: 低阶无穷小C: 等价无穷小D: 同阶但不等价无穷小标准解答:(单选题)10:A: 0B: 1C: 2D: 3标准解答:(单选题)11: &nbsp; 若变量为无穷小量，则x的变化趋势是_____________ A:B:C:D:标准解答:(单选题)12: 题面见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)13: 设函数f(x)的一个原函数为,则f'(x)=( )A:B:C:D: &nbsp; &nbsp; &nbsp;6x标准解答:(单选题)14: 已知,则=( &nbsp; )A: -2B: 0C: 2D: 4标准解答:(单选题)15: &nbsp;设F（x）是f（x）的一个原函数，则A:B:C:D:标准解答:(单选题)16: 曲线的拐点坐标是（ &nbsp;）A: （0,0）B: （0,1）C: （1,0）D: （1,1）标准解答:(单选题)17: &nbsp; 设,则f(x)=( &nbsp; )A: lnx+1B: lnxC: xD: xlnx标准解答:(单选题)18: 函数y=lnsinx的导数为（ &nbsp; ）A: sinxB: cosxC: tanxD: ctanx标准解答:(单选题)19: &nbsp; 下列函数中f(x)=( )是偶函数A:B: x+sinxC:D:标准解答:(单选题)20:A: 0B:C: 1D: 3标准解答:(单选题)21: &nbsp;函数的所有无穷间断点为A:B:C:D:标准解答:(单选题)22: =( &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;) A: -2B: 0C: 2D: 4标准解答:(单选题)23: 求积分A: xlnx-xB: xlnx+cC: xlnx-x+cD: -x+c标准解答:(单选题)24: &nbsp; 设,则I=A:B:C:D:标准解答:(单选题)25: &nbsp; 极限_____________A: 1B: 2C: 0D: 不存在标准解答:(单选题)26: &nbsp;B: BC: CD: D标准解答:(单选题)27: &nbsp; 下列排序正确的是A: 0)">B: 0)">C: 0)">D: 0)">标准解答:(单选题)28: &nbsp; 的奇偶性。

福师《实变函数》在线作业一试卷总分：100 测试时间：--判断题单选题多选题一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。

）V1. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.A. 错误B. 正确满分：2 分2. 若f∈BV,则f有界。

A. 错误B. 正确满分：2 分3. 若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A. 错误B. 正确满分：2 分4. 测度为零的集称为零测集.A. 错误B. 正确满分：2 分5. f,g∈M(X),则fg∈M(X).A. 错误B. 正确满分：2 分6. 若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].A. 错误B. 正确满分：2 分7. 绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

A. 错误B. 正确满分：2 分8. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.A. 错误B. 正确满分：2 分9. 无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.A. 错误B. 正确满分：2 分10. 若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

A. 错误B. 正确满分：2 分11. 可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.A. 错误B. 正确满分：2 分12. 设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.A. 错误B. 正确满分：2 分13. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.A. 错误B. 正确满分：2 分14. 若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

A. 错误满分：2 分15. 若f广义R可积且f不变号，则f L可积.A. 错误B. 正确满分：2 分16. 若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).A. 错误B. 正确满分：2 分17. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.A. 错误B. 正确满分：2 分18. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.A. 错误B. 正确满分：2 分19. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

《实变函数》综合训练题（一）及解答《实变函数》综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若nE R ?是开集，则（ B ）（A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集（B ）P 是开集（C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数5、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =?，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每一点都是聚点（D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零（B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集（D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是（A 、B 、C ）（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数（C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积（B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积（D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数（B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数（C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续（D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ? 。

1.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].A.错误B.正确【参考答案】: B2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.A.错误B.正确【参考答案】: B3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

A.错误B.正确【参考答案】: A4.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.A.错误B.正确【参考答案】: B5.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

A.错误B.正确【参考答案】: B6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

A.错误B.正确【参考答案】: B7.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

A.错误B.正确8.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.A.错误B.正确【参考答案】: B9.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

A.错误B.正确【参考答案】: B10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

A.错误B.正确【参考答案】: B11.测度为零的集称为零测集.A.错误B.正确【参考答案】: B12.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .A.错误B.正确【参考答案】: B13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.A.错误B.正确14.若f可测，则|f|可测，反之也成立.A.错误B.正确【参考答案】: A15.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

A.错误B.正确【参考答案】: B16.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).A.错误B.正确【参考答案】: A17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.A.错误B.正确【参考答案】: B18.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞A.错误B.正确【参考答案】: A19.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.A.错误B.正确20.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.A.错误B.正确【参考答案】: B21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。