习题1-3
★ 1．观察一般项
n x 如下的数列{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：
（1）n
n x 31=
； （2）()
n x n
n
11-=； （3）312n
x n +=； （4）2
2
+-=
n n x n
； （5）()n x n
n
1-=
知识点：数列定义。
思路：写出前几项，观察规律。 解：（1） 81
1
,271,91,
31
0→； （2）0,5
1,41,31,21,1→--- ； （3）2,1251
2,6412,2712,812,12→+++++ ；
（4）1
,100
1
1,541,441,341241→----⇒+-= n x n ；
（5）∞→-- ,4,32,
1 。
★★2．利用数列极限定义证明：
（1） 01lim
=∞→k n n （k 为正常数）； （2）431431lim =-+∞→n n n ； （3）0sin 2
2
lim 2=-+∞→n n n n 。 知识点：极限定义。 思路：按定义即可。
证明：（1） 01
lim
=∞→k
n n ：对任意给定的正数ε，要使＊
ε<-01
k n
，即n k
<⎪⎭
⎫
⎝⎛11ε，只要取 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛=k N 1
1ε，则对任意给定的0>ε，当N >n 时，就有ε
<-01k n ，即01
lim
=∞→k
n n
（注，只要保证N 的取值能够让N 以后的所有项的值满足＊式即可，因此N 可取大于或等于⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛k 1
1ε
的整数）； （2）4
3
1431lim
=-+∞→n n n ：对任意给定的正数ε
，要使＊
3137
4144(41)
n n n ε+-=<--，只要
7416n εε
+>
，∴取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=εε1647N
，则对任意给定的0>ε，当n N >时，就有
ε<--+431413n n ，
∴4
3
1431lim
=-+∞→n n n
（3） 0sin 2
2
lim 2=-+∞→n n n n
证明：由于
21
2
20sin 2222-=
-+<--+n n n n n n ，
因此对任意给定的正数ε，要使
ε<--+0sin 222n n n ，只要ε<-21n ，即12n ε
>+
（计算时为方便不妨设2n >，因为前面的有限项对极限无影响）
取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=21εN
，则对任意给定的0>ε，当n N >时，就有ε<--+0sin 222n n n ，
∴ 0sin 2
2
lim
2=-+∞→n n n n
★ 3．设数列
{}n x 的一般项2
cos
1π
n n x n
=
。问?lim =∞→n n x 求出N ，使得当n N >时，n x 与其极 限之差的绝对值小于正数ε。当0010⋅=ε时，求出N 。
知识点：数列极限定义 思路：按极限定义即可 解： 观察可得： 02
cos 1lim
=∞→πn n n ，证明该结果如下：
由于
n n n 1
02cos 1<-π，因此对任意给定的正数ε，要使
επ
<-02
cos 1n n ，只要
ε1
，即
1
n ε
>
，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N
（N 取大于或等于⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ε1的整数都可以），则对任意给定的0>ε，当N
n >时，就有επ<-02cos 1n n ，∴02
cos 1lim
=∞→π
n n n 。
当0010⋅=ε
时，可取1000=N 。
★ 4．设2sin
11πn n a n
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=，证明数列
{}n a 没有极限。
知识点：判定数列极限不存在的方法
思路：若某数列极限为A ，则其任意子列的极限都为A ，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列
极限不存在。
证明：令N k k n ∈=,
2，则得子列22sin 2112πk k a k ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+=，当∞→n 时，∞→k ；
则∞→k lim
2
2sin
211πk k ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+0=； 取另一个子列N k k n ∈+=,14，
得2)14(sin 14111
4π+⎪⎭⎫ ⎝⎛
++=+k k a k ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22sin 1411ππk k ，
当∞→n
时，∞→k ，则∞→k lim ()214sin
1411π+⎪⎭⎫ ⎝⎛
++k k ∞→=k lim 1
411++k 1=； 综上，原极限不存在。
★ 5．设数列
{}n x 有界，又0lim =∞
→n n y ，证明：0lim =∞
→n n n y x 。
知识点：数列有界及数列极限定义
思路：有条件可知n x M <；1ε②0lim
=∞
→n n y ，则对任意正数1ε，存在N ，当n N >时，有1ε则对于任意正数ε，取1M εε=
,由②可知：存在自然数N ，当N n >时，有1n y M
ε
ε≤=
，
从而有：n n x y M M
ε
ε
<⨯
=，
∴0lim
=∞
→n n n y x
★ 6．对数列
{}n x ，若a x k k =-∞→12lim ，a x k
k =∞
→2lim ，证明a x n n =∞
→lim 。
知识点：子列极限和原数列极限的对应关系；
思路：对0>∀ε，根据条件，寻找使n x a ε-<成立的n 的范围。
证明：对于0>∀ε，由a x k k =-∞
→12lim ，则存在1N ，当1N 1-2k >时，ε<--a x k 12；
由a x k k =∞
→2lim ，则存在2N ，当2N 2k >时，ε<--a x k 12；
取{}21,m ax N N N
=，当n N >时，（无论12-=k n 还是k n 2=）
