平面直角坐标系和极坐标

数学公式知识：极坐标系的定义与性质极坐标系是一种在平面直角坐标系下，用极径和极角两个参数来描述平面点坐标的方式。

极坐标系的定义与性质对于理解极坐标系的使用与应用非常重要。

本文将会详细介绍极坐标系的定义和性质，以帮助读者更好地理解和应用极坐标系。

极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系，由极轴和极角两个参数描述点的位置。

极轴是一个固定的直线，通常选择平面上与x轴正方向交点为起点的线段，极角是该点和极轴之间的夹角，取值范围一般为0到360度或者-180度到180度之间。

在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以表示为(x，y)的形式，其中x和y分别代表该点到x轴和y轴的距离，而在极坐标系中，点的坐标用(r，θ)表示，其中r为该点到极点的距离，即该点的极径，而θ为该点到极轴的夹角，即该点的极角。

极坐标系的性质极坐标系具有以下性质：1.点的极坐标系有唯一性每一个点都有唯一的极坐标系表示方法。

因为每个点到极点的距离和到极轴的夹角都是唯一的，所以用(r，θ)表示一个点的坐标时具有唯一性。

2.点的平面直角坐标系与极坐标系之间的联系一个点的坐标可以用平面直角坐标系和极坐标系两种方式表示。

平面直角坐标系表示时，一个点的坐标可以表示为(x，y)的形式，而在极坐标系表示时，则用(r，θ)来表示同一个点的坐标。

两种表示方式之间具有以下关系：x = rcosθ，y = rsinθr² = x² + y²，tanθ = y/x在使用极坐标系进行计算时，可以通过这些公式将极坐标系的坐标转换为平面直角坐标系的坐标。

同样，我们也可以通过将平面直角坐标系的坐标转换为极坐标系的坐标来进行计算。

3.数学公式的简化在某些情况下，使用极坐标系可以使公式的计算更简便。

与平面直角坐标系存在的复杂公式不同，极坐标系中的公式通常非常简单而容易推导。

例如，圆的极坐标公式为r = a，其中a为圆的半径。

在平面直角坐标系下，圆的公式是(x-a)² + (y-b)² = a²，其中a和b分别是圆心的坐标。

第二节平面直角坐标系和极坐标为了需要，温习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一平面直角坐标系1．平面直角坐标系的成立为了确信平面上点的位置：（1）在平面上选定两条相互垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；如此，咱们就说在平面上成立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条相互垂直的直线叫做坐标轴，适应上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。

2. 平面上点的坐标成立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就能够够确信了，方式是如此的：由P 点别离作y轴和x轴的平行线，交点别离是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，咱们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），如此的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。

反过来，易知任意一对实数（a，b），都能够确信平面上的一个点.由上面的分析，能够取得下面的结论：在给定的直角坐标系下，关于平面上的任意一点P，咱们能够取得唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，关于任何有序实数对，在平面上就能够确信唯一的点，那个点的坐标是（a，b）。

确实是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间成立了一一对应得关系。

咱们在代数里已经明白坐标轴把平面分成了四个部份，每一部份是一个象限。

依照数轴上有向线段的数量，能够明白得第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（—，+），第III象限内的是（—，—），第IV象限内的是（+，—）。

坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。

同理，在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。

点的坐标的知识点总结一、概念点是几何中最基本的元素之一，它是没有大小和形状的，只有位置的概念。

在平面几何中，一个点的位置可以由其和参考坐标系中的两个坐标值来确定。

这两个坐标值分别叫做横坐标和纵坐标，通常用小括号分别括起来，中间用逗号隔开表示。

例如，点A的坐标为（x,y）。

其中，x是横坐标，y是纵坐标。

横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。

二、表示方法在平面直角坐标系中，点的位置是由两个坐标值确定的。

横坐标和纵坐标的取值范围可以是实数，也可以是整数，具体取决于所使用的坐标系和具体问题的要求。

通常，我们可以使用平面直角坐标系、极坐标系和球面坐标系来表示点的位置。

1、平面直角坐标系：平面直角坐标系是最常用的表示点的坐标的方法之一。

在平面直角坐标系中，x轴和y轴互相垂直，起始于原点O，并且正方向分别被定义为正的方向。

点的坐标表示为（x,y），其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。

2、极坐标系：极坐标系是另一种表示点的坐标的方法。

在极坐标系中，点的位置不是由横纵坐标确定，而是由极径和极角确定。

极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点在极轴上的极角。

点的坐标表示为（r,θ），其中r是点到原点的距离，θ是点在极轴上的极角。

3、球面坐标系：球面坐标系用来描述三维空间中点的位置。

在球面坐标系中，点的坐标表示为（r,θ,φ），其中r是点到原点的距离，θ是点在xz平面上的极角，φ是点与z轴的夹角。

球面坐标系能够描述点在球面上的位置，适用于球面上的问题。

三、坐标系坐标系是用来描述点的位置的基础工具之一。

在平面几何中，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和其他特殊的坐标系。

每种坐标系都有其独特的特点和适用范围。

1、直角坐标系：直角坐标系是最基本，也是最常用的坐标系。

在直角坐标系中，点的位置是由横坐标和纵坐标表示的。

横坐标和纵坐标的取值范围都是实数。

直角坐标系可以用于描述平面上的点的位置，以及平面上的图形和问题。

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． {x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），)将4x 2＋9y 2＝36变形为＋＝1， x 29y 24比较系数得λ＝，μ＝． 1312所以将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x ′＝13x ，y ′＝12y ．)1312可得到圆x ′2＋y ′2＝1． 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为＋＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2{x ′＝x 3，y ′＝y 2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y极坐标(),ρθ 互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ 已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0y x xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用转化，最后整理化简即可。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。

例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 ρ cos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．03．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。

极坐标系与平面极坐标系在数学中，极坐标系是一种用极径和极角来描述平面上点的坐标系。

它与我们常见的直角坐标系有着不同的表示方式和应用场景。

本文将介绍极坐标系以及它在数学和物理学中的应用。

一、极坐标系的定义与表示方法极坐标系由两个参数构成，即极径和极角。

极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

在极坐标系中，我们可以通过极径和极角来唯一地确定一个点的位置。

在平面直角坐标系中，我们用(x,y)来表示一个点的坐标，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。

而在极坐标系中，我们用(r,θ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与极轴的夹角。

二、极坐标系的转换与应用极坐标系与直角坐标系之间可以相互转换。

对于给定的直角坐标系中的点(x,y)，我们可以通过以下公式将其转换为极坐标系中的点(r,θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)同样地，对于给定的极坐标系中的点(r,θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标系中的点(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)极坐标系在数学和物理学中有着广泛的应用。

在数学中，它常用于描述极限、曲线的方程和曲线积分等问题。

在物理学中，极坐标系常用于描述圆形运动、天体运动和电磁场等问题。

三、平面极坐标系的特点与优势平面极坐标系相比于直角坐标系具有一些独特的特点和优势。

首先，平面极坐标系能够更直观地描述圆形和极坐标对称的问题。

对于圆形运动或者具有极坐标对称性的问题，使用极坐标系可以简化计算和分析过程。

其次，平面极坐标系能够更好地描述极限和无穷远点。

在直角坐标系中，当一个点趋于无穷远时，其坐标值会趋于无穷大。

而在极坐标系中，当一个点趋于无穷远时，其极径会趋于无穷大，而极角则可以保持不变。

最后，平面极坐标系在描述圆形区域和环形区域时更加简洁明了。

在直角坐标系中，我们需要使用多个方程来描述一个圆形或环形区域。

3大常用坐标系摘要：一、坐标系简介1.坐标系的定义2.坐标系的作用二、3大常用坐标系1.笛卡尔坐标系（直角坐标系）a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域2.极坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域3.球坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域三、坐标系的转换1.不同坐标系之间的转换方法2.转换过程中的注意事项四、总结1.各种坐标系的优缺点2.选择合适的坐标系进行问题分析正文：坐标系是数学中用来表示位置的一种工具，它有助于将复杂的空间关系简化为有序的数值关系，便于研究和计算。

在众多坐标系中，有3大常用坐标系，分别是笛卡尔坐标系（直角坐标系）、极坐标系和球坐标系。

首先，我们来了解一下笛卡尔坐标系。

它是一种平面直角坐标系，由两条互相垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y轴表示。

在笛卡尔坐标系中，一个点的位置可以通过其横坐标和纵坐标来表示。

这种坐标系在平面几何、解析几何等领域有着广泛的应用。

其次，我们来介绍一下极坐标系。

极坐标系是一种基于极点的坐标系，由一个极径和一个极角组成。

极径表示点到原点（极点）的距离，极角表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。

极坐标系在行星运动、电磁学等领域具有较高的实用价值。

最后，我们来探讨一下球坐标系。

球坐标系是一种三维坐标系，由一个径向坐标和一个球面坐标组成。

径向坐标表示点到原点（球心）的距离，球面坐标表示从球心到该点的球面弧所对应的圆心角。

球坐标系在地球物理学、天文学等领域应用广泛。

在实际问题分析中，我们需要根据问题的性质和需要解决的问题类型来选择合适的坐标系。

例如，在平面几何问题中，我们通常会选择笛卡尔坐标系；而在研究行星运动时，极坐标系则更为方便。

当然，在某些情况下，可能需要将一种坐标系转换为另一种坐标系，以便于问题的分析和解决。

在进行坐标系转换时，需要注意坐标系的转换公式及其适用范围，避免出现错误。

总之，这3大常用坐标系各有优缺点，适用于不同的领域和问题。