§9.2 二重积分-----2教学目的：了解二重积分的极坐标计算公式导出的方法；熟练掌握极坐标系下的二重积分公式；熟练掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；并能根据条件选择合适的方法计算积分.重点及难点：能熟练正确地进行极坐标系下的二重积分的计算；掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；根据条件选择合适的方法计算积分.教学方法:直观教学，启发式讲授（续：在极坐标系下二重积分的计算）四、利用极坐标计算二重积分 1．极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x 轴重合时有 直角坐标与极坐标的互化公式cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩或222tan y x r x y θ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（3）常见曲线的极坐标方程3πθ=（从极点出发的射线）；4,33ππθθ==（直线3y x =）；3r =（圆229x y +=）；6cos r θ=（圆22(3)9x y -+=）； 6sin r θ=（圆22(3)9x y +-=）.2．极坐标系中的面积元素 d rdrd σθ=. 见图知:2211()22i i i i i i r r r σθθ∆=+∆∆-∆ODriσ∆ii θθ∆+iθi r ii r r ∆+21()2i i i i i r r r θθ=∆∆+∆∆.上式取0,0i i r θ∆→∆→，略去高阶无穷小量21()2i i r θ∆∆，推出 d rdrd σθ=.3．用极坐标系计算二重积分(,)(cos ,sin )DD f x y d f r r rdrd σθθθ'=⎰⎰⎰⎰.其中: {(,)|cos ,sin ,(,)}D x y x r y r r D θθθ'===∈1212{(,)|,()()}r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤.结论：即极坐标系下的二重积分也要化成二次累次积分才能计算.4．用二次累次积分公式计算二重积分(1)若12{(,)|()(),}D r r θϕθϕθαθβ'=≤≤≤≤[极扇环，极点在扇环外], 则(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ'⎰⎰21()()(cos ,sin )d f r r rdr βϕθαϕθθθθ=⎰⎰.O Da βαb rαrθO βa bD 'αrθO βD ')(2θϕ=r )(1θϕ=r(2) 若{(,)|0(),}D r r θϕθαθβ'=≤≤≤≤(极点在边界上 的极扇形),则(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ'⎰⎰()(cos ,sin )d f r r rdr βϕθαθθθ=⎰⎰.(3) 若{(,)|0(),02}D r r θϕθθπ'=≤≤≤≤ (极点在内部的极扇形),则(cos ,sin )D f r r rdrd θθθ'⎰⎰2()(cos ,sin )d f r r rdr πϕθθθθ=⎰⎰.例1（1）计算22x y DI edxdy --=⎰⎰，其中D 是由中心在原点，半径 为R 的圆周所围成的闭区域222x y R +≤.（此积分无法用直角坐标积分计算）. 解 利用极坐标积分，积分区域为{(,)|02,0}D r r R θθπ=≤≤≤≤, 则rθOD ')(θϕ=r π2y xODr θaO)(1θϕ=r βαr)(2θϕ=r D αrθOβ)(2θϕ=r )(1θϕ=r D 'e d 22()xy DI σ-+=⎰⎰e d d d e d 2220Rr r Dr r r r πθθ--==⎰⎰⎰⎰e d e e 2222(1)Rr rR R r r πππ---==-=-⎰.（2） 计算二重积分221Dd x y σ++⎰⎰， 其中区域D 是由221x y +≤ 所围成的圆域.解：{}(,)|02,01D r r θθπ=≤≤≤≤2122200111Dd d rdr x y r πσθ=+++⎰⎰⎰⎰ 2221200001ln 2ln 2ln(1)|[]ln 2222r d d πππθθθπ=+===⎰⎰. （3）计算22DI x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是圆周222x y y +=所围成的闭区域.解：圆222x y y +=的极坐标方程为2sin r θ=， 积分区域 {}(,)|0,02sin D r r θθπθ=≤≤≤≤22DI x y dxdy =+⎰⎰2sin 0d r rdr πθθ=⋅⎰⎰32sin 300018[]sin 33r d d ππθθθθ==⎰⎰ 208sin cos 3d πθθ=-⎰208(1cos )cos 3d πθθ=--⎰308132[cos cos ]339πθθ=-=. y xODrθa（4）计算积分 arctan Dd x σ⎰⎰，D 为圆环2219x y ≤+≤与直线,0y x y ==所围城的第一象限内的区域.解 (,)|0,134D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭， 3401arctan 8Dy d d rdr x ππσθθ==⎰⎰⎰⎰. (5)(00.6) 计算二重积分d 222224Dx y a x yσ+--⎰⎰,其中D 是由曲线22(0)y a a x a =-+->和y x =-围成的区域.解 积分区域D 可表示为{(,)|0,02sin }4D r r a πθθθ=-≤≤≤≤-, 于是d 222224Dx y I a x yσ+=--⎰⎰d d 202sin 2244-a θr r a rπθ-=-⎰⎰,5. 重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为22(),(),()x y f x y f f y x+时. （前面讲过的例9）（1）求由0z =,圆柱面221x y +=及抛物面 222z x y =--所围成的曲顶柱体体积. 解 22(2)DV x y d σ=--⎰⎰200(2)2d r rdr θπ=-=⎰⎰. 例3 化下列二重积分为极坐标形式 （1）2232223cos 004()()x x I dx f x y dy d f r rdr πθπθ=+=⎰⎰⎰⎰.（2）2114cos 000tan sec ()(tan )x y I dx f dy d f rdr x πθθθθθ⋅==⎰⎰⎰⎰.（3）22101(arctan )x x yI dx f dy x--=⎰⎰ 1210sin cos ()d f rdr πθθθθ+=⎰⎰.（4）21221()x x I dx f dy x y=+⎰⎰tan sec 4201()d f rdr rπθθθ⋅=⎰⎰. （5）110(,)I dx f x y dy =⎰⎰sec 40(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰sc 204(cos ,sin )c d f r r rdr πθπθθθ+⎰⎰（6）2112201()x xI dx f x y dy --=+⎰⎰1210sin cos ()d f r rdr πθθθ+=⎰⎰(7)222220()aax x I dx x y dy -=+⎰⎰2cos 320a d r dr πθθ=⎰⎰4442034cos 4ad a πθθπ==⎰.6. 极坐标系下积分区域的面积为 DDd rdrd σσθ==⎰⎰⎰⎰.提问(96.3) 累次积分d d cos 2(cos ,sin )θf r r r r πθθθ⎰⎰可以写成 (A)d d 2100(,)y y y f x y x -⎰⎰(B)d d 21100(,)y y f x y x -⎰⎰(C)d d 11(,)x f x y y ⎰⎰(D)d d 21(,)x x x f x y y -⎰⎰答(D).因为积分区域D 的边界θcos =r 可以表示成θcos 2r r =⇒41)21(2222=+-⇔=+y x x y x 且0y ≥于是 }cos 0,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D2{(,)|01,0}x y x y x x =≤≤≤≤-2211111{(,)|0,},22424x y y y x y =≤≤--≤≤+-故累次积分可写成y y x f x x x ⎰⎰-21d ),(d 或x y x f y y y ⎰⎰-+--224121412121d ),(d .例4（1）(04.8) 求d 22()D x y y σ++⎰⎰, 其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围成的平面区域(如图138-).提示 将积分区域D 分为大圆221{(,)|4}D x y x y =+≤,与小圆222{(,)|(1)1}D x y x y =++≤之差.由对称性知d 0Dy σ=⎰⎰.d d 122222D D x y x y σσ=+-+⎰⎰⎰⎰d d d d 3222cos 2222r r r r ππθπθθ-=-⎰⎰⎰⎰163216(32)399ππ=-=-, （2）(05.9) 计算二重积分d 221Dx y σ+-⎰⎰,其中 {(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤. 提示 将D 分成1D 与2D 两部分,其中1{(,)|0,01}2D r r πθθ=≤≤≤≤,22{(,)|01,11}D x y x x y =≤≤-≤≤则d 221Dxy σ+-⎰⎰()d ()d 12222211D D x y x y σσ=--++-⎰⎰⎰⎰2d (1)d d ()d 2111222011xr r r x x y y πθ-=-++-⎰⎰⎰⎰推出d 22123118331643Dx y πππσ+-=-+⋅=-⎰⎰. 五、广义二重积分（无界区域上的反常二重积分）无界区域上的反常二重积分是概率统计中广泛应用的积分形式。
