用拉普拉斯变换方法解微分方程

拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。

它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。

在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。

因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。

本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。

一、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。

分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。

分数阶微分方程的形式一般为：$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。

$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。

一般情况下，分数阶微分方程无法通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。

下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。

二、拉普拉斯变换方法简介拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。

它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\s=x+jy\in R $$其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。

当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。

通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。

下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。

拉普拉斯解微分方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。

而解微分方程则是求解这些规律所遵循的方程的过程。

在解微分方程的方法中，拉普拉斯变换是一种常用的技巧，它将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解的过程。

拉普拉斯变换是由法国数学家拉普拉斯在18世纪末提出的。

它是一种将一个函数f(t)转化为另一个函数F(s)的方法，其中s是一个复变量。

具体而言，拉普拉斯变换将函数f(t)表示为积分的形式：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是一个指数函数，s是复变量，t是自变量。

通过拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转化为一个代数方程，从而更容易求解。

利用拉普拉斯变换求解微分方程的过程可以分为以下几步：1. 对给定的微分方程进行拉普拉斯变换，得到一个代数方程。

2. 解代数方程，得到变量F(s)的表达式。

3. 对变量F(s)进行逆变换，得到原函数f(t)的表达式。

这种方法的优点是可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解的过程。

但是，拉普拉斯变换的使用也需要注意一些问题。

拉普拉斯变换只适用于一些特定的函数，例如指数函数、幂函数、三角函数等。

对于其他类型的函数，可能需要使用其他方法进行求解。

拉普拉斯变换的逆变换并不唯一，即可能存在多个函数满足同一个变量的拉普拉斯变换。

因此，在进行逆变换时需要根据具体问题确定合适的逆变换。

由于拉普拉斯变换的计算过程较为繁琐，对于复杂的微分方程，可能需要进行多次变换和逆变换。

因此，在使用拉普拉斯变换求解微分方程时，需要具备一定的数学基础和计算能力。

除了求解微分方程外，拉普拉斯变换还具有其他的应用。

例如，在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便对信号进行分析和处理。

在控制理论中，拉普拉斯变换可以用来描述线性时不变系统的动态特性。

此外，拉普拉斯变换在概率论、微分几何等领域也有广泛的应用。

拉普拉斯求解微分方程拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用于工程和科学领域。

在微分方程的求解中，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。

本文将以拉普拉斯求解微分方程为主题，介绍拉普拉斯变换的原理和应用。

一、拉普拉斯变换的原理拉普拉斯变换是一种从时域到频域的变换方法，可以将一个函数从时域转化为复数域。

对于一个函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，t是时间变量，e^(-st)是拉普拉斯变换中的核函数。

通过拉普拉斯变换，我们可以将一个函数从时域转化为频域，从而可以更方便地进行分析和求解。

二、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程拉普拉斯变换在求解微分方程时非常有用。

通过将微分方程转化为代数方程，可以简化求解过程。

例如，考虑一个线性常系数微分方程：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = f(t)其中，y是未知函数，f(t)是已知函数，a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0是常数。

我们可以对方程两边同时进行拉普拉斯变换，得到：a_n [s^n Y(s) - s^(n-1) y(0) - s^(n-2) y'(0) - ... - y^(n-1)(0)] + a_(n-1) [s^(n-1) Y(s) - s^(n-2) y(0) - ... - y^(n-2)(0)] + ... + a_1 [s Y(s) - y(0)] + a_0 Y(s) = F(s)其中，Y(s)是y(t)的拉普拉斯变换，y(0), y'(0), ..., y^(n-1)(0)是y(t)在t=0时的初始条件，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。

通过求解上述代数方程，可以得到Y(s)，然后再进行拉普拉斯逆变换，即可得到y(t)的解。

例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt这个积分在p> a时收敛,所以有L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p >a) (1)例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt)=-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt根据罗必达法则, 有lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt2 -pt +m 2=-[a/p e p ]o =a/p (p >(2)0)例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt2 2 -pt +m=[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 022 2=3 /(P +3 ) (p > 0）⑶用同样的方法可求得2 2L[cos 3t]=p/(p+3 ) (p >0)二拉普拉斯变换的基本性质三拉普拉斯变换的逆变换四 拉普拉斯变换的应用2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。

这样就使方程求解问题大为简化。

拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。

微分积分方程利用拉普拉斯变换
微分积分方程利用拉普拉斯变换是指使用拉普拉斯变换来对微分积分方程进行解决。

无论是线性或非线性都可以采用这种方法。

拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数的变换，它通常用于解决常微分方程（ODE）、求解积分方程等问题。

运用拉普拉斯变换求解微分积分方程，是将微分积分方程变换为一个关于新变量的线性方程组，解决线性系统，从而求解原问题的方法。

通常，拉普拉斯变换求解微分积分方程的过程如下: 首先，将微分积分方程写成常微分方程的形式，然后将常微分方程用拉普拉斯变换变换为线性的方程组；再求解该线性方程组，最后倒换回原来的变量得到解决方案，称之为拉普拉斯变换求解微分积分方程。

拉普拉斯变换求解微分积分方程的优势在于：其过程更加简单，不需要计算复杂的积分，因此可以极大地缩短求解时间；其次，可以易于定位问题，如将微分积分方程中的隐藏模式转换为明显的模式；第三，可以实现快速迭代求解，从而有效地避免采用数值方法的结果的不精确性和可能的精度损失。

拉普拉斯变换求解微分积分方程的本质是，将原问题从时域转换到频域，以提高求解效率，这使用拉普拉斯变换求解微分积分方程成为数值计算中的一种有效技术。

Laplace 变换在微分方程(组)求解例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011n nn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰ （*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1n n nn d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即()()()1nnn n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1nnn m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1） 对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s d L tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++= 由此得()32331s s s X s s+++= 把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271s s Y s s s -+=+-+ 于是 ()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+- 2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dx x ydt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解. 解 设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0st Y s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333t t t x t te y t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例 4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦ 对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()212100s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t t y t t=⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦ 则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s ==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y du s y dy s u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++ 例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s +=求解得()()()1,1s x u x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111t x u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410s s Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13t y t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d d s X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f te dt +∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有 ()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得 ()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为 ()sin t x t t=。

拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。

由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。

利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。

最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。

不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L−1[F(s)]=f(t)表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：L[1]=1sL[tm]=m!sm+1L[eat]=1s−aL[cos⁡at]=ss2+a2L[sin⁡at]=as2+a2L[eatf(t)]=F(s−a)拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[αf(t)+βg(t)]=αL[f(t)]+βL[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。

对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L−1[L[1]]=L−1[1s] ，整理一下就能得到 L−1[1s]=1 .微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−...−s0f(n−1)(0)式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。

百闻不如一见，来看例题。

先来一个简单的例题。

例1：求解微分方程 yt′=t,y(0)=1解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[yt′]=L[t] 得到 sY(s)−y(0)=1s2 .第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)−1=1s2 .第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=1s3+1s 。