常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程

§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。

例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种.一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。

有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。

二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。

现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。

(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49) 且(2-50)所以(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。

设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。

当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。

在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。

由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。

因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。

由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。

所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。

为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为 (2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。

(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 ( 2-56) 为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58) 拉氏变换为 (2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。

拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。

因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。

拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。

通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。

一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。

根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。

唯一性的证明从略。

二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。

解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。

四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。

五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。

课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。

常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。

8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。

教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。

拉氏(laplace)逆变换的几种适用解
法
拉氏(laplace)逆变换是一种常用的数学工具，用于求解常微分方程的解析解。

它可以将一个复杂的微分方程转换为一个简单的拉氏变换，从而解决复杂的微分方程。

拉氏逆变换的解法有很多，其中最常用的有四种：
1. 分部积分法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行积分，最后将结果组合起来，得到最终的解。

2. 分部级数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行级数展开，最后将结果组合起来，得到最终的解。

3. 分部函数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行函数求解，最后将结果组合起来，得到最终的解。

4. 分部积分变换法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每
个部分进行积分变换，最后将结果组合起来，得到最终的解。

以上就是拉氏逆变换的几种适用解法，它们都可以有效地解决复杂的微分方程，但是每种方法都有其优缺点，因此在实际应用中，应根据具体情况选择最合适的解法。

精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。

为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

线性定常微分方程求解拉氏变换即拉普拉斯变换。

为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。

对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

复习拉普拉斯变换有关内容（1）1 复数有关概念（1）复数、复函数复数复函数ωσj s +=()()()x y F s F s jF s =+例1 ωσj s s F ++=+=22)(（2）模、相角()22yx FF s F +=()xyF F s F arctan=∠（3）复数的共轭yx jF F s F −=)(（4）解析若F(s)在s 点的各阶导数都存在，则F(s)在s 点解析。

模相角复习拉普拉斯变换有关内容（2）2 拉氏变换的定义0[()]()()stL f t F s f t e dt∞−==⋅∫（1）阶跃函数⎩⎨⎧)()(t f s F 像原像3 常见函数的拉氏变换⎩⎨⎧<≥=0001)(t t t f ()[][]()s s e s dt e t L st st110111100=−−=−=⋅=∞−∞−∫（2）指数函数ate tf =)(()dtedt e e t f L ta s stat∫∫∞−−−∞=⋅=0)]([[]as )(a s e as a)t(s −=−−−=−−=∞−−110110复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）正弦函数⎩⎨⎧≥<=0sin 00ωt t t f(t)[][]dte e e j dt e t f(t)L stt j t j st−∞−∞−⋅−=⋅=∫∫0021sin ωωω[]d te e j )tj (s )t -(s-j ∫∞+−−=021ωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=∞+−∞−−001121)t j (s )tj (s e j s e j s j ωωωω22222211121ωωωωωω+=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=s s j j j s j s j复习拉普拉斯变换有关内容（4）（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理[](s)F b (s)F a (t)f b (t)f a L 2121±=±()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()()∫∫∞−−∞=⋅′=00左t df e dt e t f stst()()[]()()()()()()()00001221−−−−′−−=n n-n-n-nn f sff sf ss F s t f "()[]()dt e t f s -f st−∞∫+=000()()右0=−=f s sF ()[]()st-st de t f t f e −∞∞∫−=00证明：0初条件下有：()()[]()s F s t fL nn =复习拉普拉斯变换有关内容（5）例2 求[]?)(=t L δ解. ()()t 1t ′=δ()[]()[]t L t δL 1′=例3 求[]?)cos(=t L ω解. []t tωωωn si 1cos ′=[][]t L t L ωωωn si 1cos ′=()−−⋅=01δss 101=−=221ωωω+⋅⋅=s s 22ω+=s s复习拉普拉斯变换有关内容（6）（3）积分定理()[]()()()0111-f s s F s dt t f L +⋅=∫零初始条件下有：()[]()s F sdt t f L ⋅=∫1进一步有：N ()()()()()()()()010*******n n n n n n fs f s f s s F s dt t f L −−−−++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫∫""个例4 求L [t]=?解. ()dtt t ∫=1[]()[]∫=dt t L t L 1例5 求解. dt t t ∫=220222111=⋅+⋅=t t s s s ?22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t L 0111=+⋅=t t ss s 21s =[][]∫=dt t L t L 2231s=复习拉普拉斯变换有关内容（7）（4）实位移定理证明：例6解.)(1)(1)(a t t t f −−=[][])(1)(1)(a t t L t f L −−=[])()(00s F et f L sτ⋅=−⋅−τ()F(s),a t 0a t 0 10t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<=s e s as11⋅−=−se as−−=1dtet f st ∫∞⋅−⋅−=00)(τ左令ττ=−0t τττττd ef s ∫∞−+−⋅=00)()(τττττd ef ess∫∞−−−⋅=00)(右=复习拉普拉斯变换有关内容（8）（5）复位移定理证明：[])()(A s F t f eL tA −=⋅dt et f e st At∫∞⋅−⋅=0)(左令sA s=−dt et f ts ∫∞⋅−⋅=0)( )(s F=右=dt e t f tA s ∫∞⋅−−⋅=0)()()(A s F −=[]at e L []t e L t -5cos 3⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−)πt (e L t 35cos 2222155+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=s s s π-s s e例7例8例9()22533+++=s s 3225+→+=s s s s ()[]ate t L ⋅=1a s s s −→= 1⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−)π(t e L t 155cos 2()()22215522+++⋅=+−s s e s πa s −=1复习拉普拉斯变换有关内容（9）（6）初值定理证明：由微分定理)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=∞→→)0()()(0f s F s dt e dtt df ts −⋅=⋅∫∞−21)(ss F =例10[])0()(lim )(lim 0f s F s dt e dtt df s ts s −⋅=⋅∞→∞−∞→∫0lim )(0=⋅=∫∞−∞→+dt e dt t df t s s 左[]0)0()(lim =−⋅⇒+∞→f s F s s )(lim )(lim )0(0s F s t f f s t ⋅==∞→→+()tt f =)(lim )0(s F s f s ⋅=∞→01lim 2=⋅=∞→ss s复习拉普拉斯变换有关内容（10）（7）终值定理证明：由微分定理)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=→∞→)0()()(0f s F s dt e dtt df ts −⋅=⋅∫∞−))((1)(b s a s s s F ++=例11（终值确实存在时）[])0()(lim )(lim 000f s F s dt e dtt df s ts s −⋅=⋅→∞−→∫dt e dtt df t s s ∫∞−→⋅=00lim )(左∫∞=0)(t df ∫∞→=t t t df 0)(lim [])0()(lim f t f t −=∞→[])0()(lim 0f s F s s −⋅==→右()()()abb s a s s sf s 11lim 0=++=∞→()22ωs ωs F +=()∞→=∞t ωt f sin 例120lim 220=+≠→ωs ωs s复习拉普拉斯变换有关内容（11）用拉氏变换方法解微分方程)(1)()()(21t t y a t y a t y =⋅+′⋅+′′ss Y a s a s 1)()(212=⋅++L 变换)0()0(=′=y y )(1)(212a s a s s s Y ++=()[])(1s Y L t y −=系统微分方程L -1变换课程小结(1)1 拉氏变换的定义∫∞−⋅=0)()(dte tf s F ts（2）单位阶跃2 常见函数L 变换)(t f s1（5）指数函数ate −)(1a s +)(s F )(1t （1）单位脉冲1)(t δ（3）单位斜坡21s t （4）单位加速度31s22t （6）正弦函数t ωsin )(22ωω+s （7）余弦函数tωcos )(22ω+s s课程小结(2)（2）微分定理3 L 变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理[](s)F b (s)F a (t)f b (t)f a L 2121±=±()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()[]()()()0111-f ss F s dt t f L +⋅=∫[])()(0s F e t f L sτ⋅=−⋅−τ[])()(A s F t f eL tA −=⋅)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=∞→→)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=→∞→复习拉普拉斯变换有关内容（12）5 拉氏反变换∫∞+∞−⋅=j j st dse s F j tf σσπ)(21)(（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法a)s(s a)-s (s a F(s)++⋅=1a)s(s F(s)+=1例1 已知，求?)(=t f 解.[]ateaf(t)−−=11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=a s s a 111复习拉普拉斯变换有关内容（13）ca c a c a ca n n n n 01)1(1)(...+′+++−−用L 变换方法解线性常微分方程0 初条件n>m:L )()...(0111s C a s a s a s a n n nn ++++−−)(......)(01110111s R a s a s a s a b s b sb s b s C n n n n m m mm ++++++++=−−−−011011)()(......)(a s a s a b sb s b s C n n n n m m m m t t r ++++++=−−−−=δn n s C s C s C λλλ−+−+−="2211tn ttn eC eC eC s C L t c λλλ+++==−"21211)]([)(: 特征根（极点）i λ: 相对于的模态tie λi λ:1−L rb r b r b r b m m m m 01)1(1)(...+′+++=−−)()...(0111s R b s b s b s b m m m m ++++=−−复习拉普拉斯变换有关内容（14）用留数法分解部分分式一般有其中：)(......)()()(011011m n a s a s a b sb s b s A s B s F n n n n m m m m >++++++==−−−−设)())((...)(21011n n n n n p s p s p s a sa s a s A −−−=+++=−−"0)(=s A I. 当无重根时∑=−=−++−+−=ni ii n n p s C p s C p s C p s C F(s)12211"∑==+++=ni tp i tp n tp tp i n eC eC eC eC t f 12121)(").F(s)p (s C i p s i i−=→lim ip s i (s)A B(s)C =′=复习拉普拉斯变换有关内容（15）342)(2+++=s s s s F 例2 已知，求?)(=t f 解.3131221+++=+++=s C s C ))(s (s s F(s)2131213121lim 11=+−+−=++++=−→))(s (s s )(s C s 2113233123lim 32=+−+−=++++=−→))(s (s s )(s C s 321121+++=s s F(s)tt ee f(t)32121−−+=3455)(22++++=s s s s s F 例3 已知，求?)(=t f 解.34)2()34(22++++++=s s s s s F(s))3)(1(21++++=s s s tt ee t f(t)32121)(−−++=δ复习拉普拉斯变换有关内容（16）223)(2+++=s s s s F 例4 已知，求?)(=t f 解一.jjj)j)(s (s s j)(s C j s 221131lim 11+=++−++−+=+−→jij)j)(s (s s j)(s C j s 221131lim 12−−=++−++++=−−→t j t j e jj e j j f(t))1()1(2222−−+−−−+=解二：js C -j s C j)-j)(s (s s F(s)++++=++++=1111321[]jtjt t e j e j e j −−−−+=)2()2(21[]t t j e jt sin 4cos 221+⋅=−[]t t e t sin 2cos +⋅=−22113+++=)(s s F(s)te t e f(t)t t sin 2cos −−+=22221112111++++++=)(s )(s s 221121++++=)(s s复习拉普拉斯变换有关内容（17）0)()()(1=−−=n p s p s s A "II. 当有重根时nn m m m-m-m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C 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3121lim !112211)(s )s(s s s.C s 312lim 203+++=→31121132114311212++++−+−=s .s .s .)(s .F(s)tt t ee te f(t)3121324321−−−++−−=)(s )s(s s s C s 312)3(lim 234++++=−→2131121−=+−−+−=))((221)3(]3)[2()3(lim ++++−+=−→s s s s s s s s 43−=32=121=。

拉氏变换求解微分方程拉氏变换是求解微分方程的有效方法，它在求解一些比较复杂的微分方程时，发挥了重要作用，因此，在求解微分方程的过程中，拉氏变换也成为必不可少的方式之一。

一、拉氏变换的定义拉氏变换：是指将一阶常系数微分方程的求解通过一次的变换，从原来的形式转变为差分方程的过程，而这种变换被称为拉氏变换。

二、拉氏变换的基本思想拉氏变换有着一般性、简洁性和有效性的特点，它的基本思想就是将一阶常系数微分方程转换为其相应的差分方程，从而可以把原来复杂的、难以求解的微分方程变换到简单的、容易求解的差分方程中。

三、拉氏变换的具体方法1、对于一阶常系数微分方程对于针对一阶常系数的微分方程，我们可以定义拉氏变量$u(x)=y′(x)$，这样可以把原来的微分方程转换成相应的差分方程：$u(x)−f(x)u(x−a)$，在此$a$为常数。

2、对于二阶常系数微分方程同样，对于针对二阶常系数的微分方程，也可以定义若干拉氏变量来完成拉氏变换，即对于二阶常系数微分方程，可以定义$u(x)=y(x)$和$v(x)=y′(x)$，这样可以将原来的微分方程转化成差分方程：$u(x+a)−u(x−a)=av(x+b)−bv(x−b)−c(v(x+b)+v(x−b))$，在此$a$、$b$和$c$均为常数。

四、拉氏变换的优缺点1、优点(1)拉氏变换能够有效地将微分方程转换为差分方程，并且只需要进行一次变化。

(2)拉氏变换使得微分方程的求解更简单，更有效，可以提高求解效率。

2、缺点(1)无法求解高阶常系数微分方程，只适用于一、二阶常系数微分方程。

(2)拉氏变换不能用来求解非线性微分方程。

拉氏变换1. 简介拉氏变换（Laplace Transform）是一种用于解决常微分方程（ODE）的数学工具。

它将一个随时间变化的函数转换为一个复数域中的函数，使得常微分方程可以转化为代数方程来求解。

通过拉氏变换，我们可以将时域中的问题转化到频域中，从而简化问题的分析和求解。

拉氏变换的应用非常广泛，在控制系统、通信系统、信号处理等领域中起着重要的作用。

通过拉氏变换，我们可以分析系统的稳定性、阻尼特性、频率响应等性能指标。

2. 定义与性质拉氏变换是对一个函数f(t)的积分变换。

给定一个函数f(t)和复数s，拉氏变换可以用如下公式来表示：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e是自然常数，s是复变量。

拉氏变换有许多重要的性质。

以下是一些常见的性质：•线性性质：即拉氏变换满足线性运算。

对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有 L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)。

•积分性质：对于函数f(t)的导数，有L{f’(t)} = sF(s) - f(0)，其中f(0)为f(t)在t=0时的初始值。

类似地，对于f(t)的n阶导数，有 L{f^(n)(t)} = s^n F(s) - s^(n-1) f(0) -s^(n-2) f’(0) - … - f^(n-1)(0)。

•初值定理：初值定理指出，当s趋于无穷大时，拉氏变换是函数f(t)的初始值的一阶逼近。

即lim(s→∞) sF(s) = f(0)。

•终值定理：终值定理指出，当s趋于零时，拉氏变换是函数f(t)的稳态值的一阶逼近。

即lim(s→0) sF(s) =lim(t→∞) f(t)。

3. 拉氏变换的应用3.1. 控制系统在控制系统中，拉氏变换被广泛应用于系统的稳定性分析、阻尼特性分析等。

通过将系统的微分方程转化为拉氏域的代数方程，可以求解系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性。

§13.5常微分方程、拉氏变换与级数实验[学习目标］1. 会用Mathematica 求解微分方程（组）；2. 能用Mathematica 求微分方程(组）的数值解；3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换;4. 能进行幂级数和傅里叶级数的展开.一、 常微分方程（组)Mathematica 能求常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。

但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。

另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。

在本节中，使用Laplace 变换解常微分方程（组）的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法如今可以轻而易举的实现了.求准确解的函数调用格式如下：DSolve ［eqn ，y ［x ］，x ］ 求方程eqn 的通解y （x )，其中自变量是x 。

DSolve[｛eqn ，y[x 0］= =y 0｝，y[x ］,x ］ 求满足初始条件y （x 0）= y 0的特解y （x ）。

DSolve[{eqn1,eqn2,…｝,｛y 1[x ］，y 2［x ］，…}，x] 求方程组的通解. DSolve[｛equ1，…，y 1［x 0］= =y 10，…｝，｛y 1［x]，y 2［x ］,…}，x] 求方程组的特解。

说明：应当特别注意,方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。

微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚.例1 解下列常微分方程（组)：（1)25)1(12+++='x x yy ,（2）y x x y y )(132++=', （3） ⎩⎨⎧-='='yz z y , (4）⎩⎨⎧-='='yz zy 的通解及满足初始条件y (0）=0，z （0）=1的特解。

解：In ［1］：=DSolve ［y ′［x ］= =2y[x ］/(x+1)+（x+1）^（5/2）, y ［x]，x ］Out ［1］=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[)1()1(32][22/7c x x x yIn ［2］：=DSolve ［y ′[x]= =（1+y ［x ］^2）/（（x+x^3）y[x ］)，y[x]，x]Out ［2]={{2211]1[11][x c x x y ++---→}， {2211]1[11][xc x x y ++--→}｝ In[3]：=DSolve ［{y ′［x]= =z ［x ］，z ′[x]= = —y ［x ］｝， {y ［x]，z[x ］}，x ］Out[3]={｛y[x ］→C[1］Cos[x]+ C ［2]Sin ［x ］， z ［x ］→C[2]Cos[x ］— C ［1]Sin[x]}｝In ［4］:=DSolve ［｛y ′［x]= =z ［x],z ′［x ］= = —y[x]，y[0］= =0,z ［0］= =1｝， {y[x]，z ［x ］}，x]Out[4］={｛y ［x ］→Sin ［x ］,z[x]→Cos[x]}｝提示：认真观察上例，可以从中学习输入格式,未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错!导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数，这与习惯相同。

拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。

用拉氏变换法解线性微分方程一 基本定义若函数f(t)，t 为实变量，线积分∫ f(t)e -st dt (s 为复变量)存在，则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e -st dt常称：F(s)→f(t)的象函数；f(t) →F(s)的原函数。

二 基本思路用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算三10 F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e -st dt =∫ 1 e -st dt =1/s2、单位斜坡函数 f(t)=t1(t)= t t ≥00 t<0F(s)=£[f(t)]=∫ t e -st dt =1/s ²3、等加速度函数∞∞0 ∞0 ∞0 ∞tf(t)= 1/2 t ² t ≥0 0t<0F(s)=∫1/2 t²e -st dt =1/s ³ 4、指数函数t ≥0t<0F(s)=∫1/2 t ²e -st dt =1/(s-α) 5、正弦函数f(t)= sinwt t ≥0 0 t<0F(s)=∫sinwte -st dt=w/(s ²+w ²) 四 拉氏变换的几个法则对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：1、线性定理若：£[f 1(t)]=F 1(s) ，£[f 2(t)]=F 2(s)(a 、b 为常数) 则 £[a f 1(t)+bf 2(t)]=aF 1(s)+bF 2(s)2、微分定理 若：£[f(t)]=F(s)则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ]=sⁿF(s) - ∑s n-i-1 f (i) (0)t∞0 t∞∞ 0n-1i=0式中f (i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值 若 f (i) (0) = 0 （a=1，2，…n ）则 £[dⁿf(t)/dtⁿ] =sⁿF(s)3、积分定理若：£[f(t)]=F(s) ， 在零初始条件下： 则 £[∫…∫f(t)dtⁿ]=1/sⁿF(s)4、位移定理（延时定理） 若：£[f(t)]=F(s)则 时域：£[f(t-t 0)1(t-t 0)]=F(s)eS 域：£[f(t)e ] = F(s+α)5、初值与终值定理若：£[f(t)]=F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在， 则 f(0)=limf(t)=lim sF(s) f(∞)=limf(t)=lim sF(s) 例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解：F(s)=£[A1(t)]= A £[1(t)]=A1/s 例：求脉冲函数δ(t) 的象函数 解： ∵δ(t) = d1(t)/dt ∴应用微分定理（初零）得：F （s ）=£[d1(t)/dt]=sF(s)=s 1/s=1-αt-st o-αtt →0 t →∞s →∞ s →0例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换 解：应用位移定理，F （s ）=£ [e sinwt] =w/[(s+α)²+w ²] 五 拉普拉斯反变换定义：若£-¹[F(s)]=f(t)=1/（2πj ）∫F(s)edt ，则称上式为F(s)的拉氏反变换。