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Laplace 变换在微分方程(组)求解范例引言Laplace 变换就是由复变函数积分导出得一个非常重要得积分变换,它在应用数学中占有很重要得地位,特别就是在科学与工程中,有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛得应用、为了研究本文提出得各种问题,我们给出了Laplace 变换得概念以及一些性质、Laplace 变换得定义 设函数f(x)在区间上有定义,如果含参变量s 得无穷积分对s 得某一取值范围就是收敛得、则称为函数得Laplace 变换,称为原函数,称为象函数,并记为、性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数在区间上逐段连续,且存在数,,使得对于一切有,则当时,存在、性质2 (线性性质)设函数与满足Laplace 变换存在定理得条件,则在它们象函数定义域得共同部分上有其中与就是常数、性质3 (原函数得微分性质)如果,,,均满足Laplace 变换存在定理得条件,则或更一般地,有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦、性质4 (象函数得微分性质)如果,则或一般地有、主要结论及推导对于Laplace 变换式,在积分号下对s 求导,得到(*)即再对(*)式求导,可得在一般情况下,对于任一正整数n,有即从而(1)对性质3及(1)式,可得()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例1 求方程得满足初始条件得解、解 对方程两端进行Laplace 变换得由此得把上式右端分解成分式对上式两端各项分别求出其原函数,再求与、即得原微分方程得解为例2 求微分方程满足初始条件,得特解、解 设,对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得于就是对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于就是得到方程得解为2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题得解、解 设,对方程组取Laplace 变换,得到即从而有对上面方程组取Laplace 逆变换,得原方程组得解为例4 求微分方程组满足初始条件得解、解 设,对微分方程组取Laplace 变换得考虑到初始条件得由上面方程组解得对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组得解为3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求得定解、解 首先将定解问题取Laplace 变换,并记则有,,这样,就将原来得问题转化为含有参数得常微分方程得边值问题 以求得其解为对上式取Laplace 逆变换,得到原偏微分方程得解为例6 求方程得解、解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有求解得由条件得,从而,代入上式并应用Laplace 逆变换,有()()()()111111111,,1111t x u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4、 利用Laplace 变换求解变系数得微分方程例7 求变系数微分方程满足初始条件得解、解 对方程两端同时施行Laplace 变换,利用Laplace 变换得微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦结合初始条件,化简有解得,c 为任意常数、取Laplace 逆变换,则有例8 求解二阶变系数微分方程满足初始条件为常数)得解、 解 设,对方程两端取Laplace 变换,得即亦即()()()()()()200200d d s X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得而由在积分号下对s 求导得,可知所以有对上式取Laplace 逆变换得即得原变系数方程得解为。
拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。
拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。
2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。
3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。
4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。
在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。
将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。
特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。
拉普拉斯变换与微分方程引言微分方程是数学中重要的一门学科，广泛应用于物理学、工程学等领域。
而拉普拉斯变换则是一种常用于解微分方程的工具，它能够将微分方程转化为代数方程，更便于求解。
本文将深入探讨拉普拉斯变换与微分方程的关系，以及如何利用拉普拉斯变换解微分方程。
拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种由法国数学家拉普拉斯在19世纪提出的数学工具，用于将一个函数或信号在时间域上的表达转换为在复平面上的表达。
对于一个定义在半无穷区间上的函数f(t)，它的拉普拉斯变换被定义为：+∞F(s)=∫e−stf(t)dt0−其中，s是复平面上的复变量，常被称为拉普拉斯变换变量。
拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有许多有用的性质，这些性质为解微分方程提供了便利。
以下是一些常见的拉普拉斯变换性质：线性性质如果f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意的实数a和b，af(t) + bg(t)的拉普拉斯变换为aF(s) + bG(s)。
平移性质如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉普拉斯变换为F(s + a)，其中a为正实数。
初值定理如果f(t)是一个连续函数，且存在极限lim(t->0) f(t) = L，那么L就是f(t)在t=0的初值，在拉普拉斯变换中，F(s) = L/s。
终值定理如果f(t)是一个连续函数，且存在极限lim(t->∞) f(t) = L，那么L就是f(t)在t趋向于无穷时的终值，在拉普拉斯变换中，lim(s->0) sF(s) = L。
拉普拉斯变换与微分方程的关系微分方程是描述自然现象中变化的数学方程，可以分为常微分方程和偏微分方程。
拉普拉斯变换可以通过转化微分方程为代数方程，从而更容易求解。
普通微分方程的解法对于给定的普通微分方程，我们可以通过Laplace变换将其转换为一个代数方程来求解。
具体的步骤如下：1.对于已知的微分方程，我们首先对方程的两边取拉普拉斯变换。
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
拉普拉斯(laplace)变换法解常微分方程的初值问题要求：拉普拉斯变换是求解微分方程和求解初值问题的有力工具。
本文将讨论拉普拉斯变换及其在求解常微分方程初值问题中的应用。
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将函数从时域变换到频域。
它是以18世纪法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的名字命名的。
函数f(t)的拉普拉斯变换定义为F(s) = L{f(t)} = ∫_0^∞ f(t) exp(-st) dts是复数。
拉普拉斯逆变换由f(t) =L^-1 {F(s)}=∫_\infty^s F(s) exp(st) ds拉普拉斯变换是求解常微分方程的有力工具。
基本思想是通过拉普拉斯变换将给定的ODE从时域转换到频域。
然后我们可以解变换后的方程用拉普拉斯逆变换将解变换回时域。
ode的初值问题也可以用拉普拉斯变换来解决。
假设我们想解初值问题y'(t) + ay(t) = g(t)y(0) = y_0其中a y_0和g(t)是已知的。
我们可以对方程两边做拉普拉斯变换得到sY(s) - y_0 + aY(s) = ∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt或者Y(s) = [1/(s+a)]∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt + {y_0/ (s+a)}然后我们就可以解出Y(s)并进行拉普拉斯逆变换来得到初值问题的解y(t) = L^-1 {Y(s)}= ∫_\infty^s {[1/(s+a)]∫_0^∞ g(t) exp(-st) dt + {y_0/ (s+a)}}exp(st) ds这给了我们初值问题的解，以卷积积分的形式。
总之，拉普拉斯变换是求解常微分方程初值问题的有力工具。
它不仅方便，使用起来相对简单，而且为我们提供了一个精确的通用解。
此外，拉普拉斯变换还可用于求解偏微分方程的初值问题，使其更加实用。
精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。
拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。
由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。
利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。
最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。
不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L−1[F(s)]=f(t)表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：L[1]=1sL[tm]=m!sm+1L[eat]=1s−aL[cosat]=ss2+a2L[sinat]=as2+a2L[eatf(t)]=F(s−a)拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[αf(t)+βg(t)]=αL[f(t)]+βL[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。
对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L−1[L[1]]=L−1[1s] ，整理一下就能得到 L−1[1s]=1 .微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−...−s0f(n−1)(0)式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。
百闻不如一见，来看例题。
先来一个简单的例题。
例1：求解微分方程 yt′=t,y(0)=1解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[yt′]=L[t] 得到 sY(s)−y(0)=1s2 .第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)−1=1s2 .第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=1s3+1s 。
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程引言：微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了自然界和工程中许多现象的变化规律。
求解微分方程是数学中的一个重要问题，有许多不同的方法可以解决，其中之一就是使用拉普拉斯变换。
本文将介绍使用拉普拉斯变换求解微分方程的过程。
第一部分：拉普拉斯变换的概念和基本性质在介绍求解微分方程的具体过程之前，首先需要了解拉普拉斯变换的概念和基本性质。
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数转换为一个复变量函数。
它的定义如下：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt其中，f(t)是输入函数，F(s)是拉普拉斯变换后的函数，s是复变量。
第二部分：拉普拉斯变换的性质和定理拉普拉斯变换具有很多重要的性质和定理，这些性质和定理可以简化求解微分方程的过程。
其中一些重要的性质和定理包括：- 线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)- 积分性质：L{∫[0,t] f(u) du} = 1/s F(s)- 初值定理：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)- 终值定理：lim_(t→∞) f(t) = lim_(s→0) sF(s)通过这些性质和定理，可以将微分方程转化为一个代数方程，从而更容易求解。
第三部分：拉普拉斯变换求解微分方程的具体步骤1. 对于给定的微分方程，首先将方程两边取拉普拉斯变换。
2. 根据拉普拉斯变换的性质和定理，将微分方程转化为一个代数方程。
3. 解代数方程得到拉普拉斯变换后的函数。
4. 根据拉普拉斯变换的反变换，将代数方程的解转化为原始函数的解。
5. 检验解是否满足原始微分方程，并根据初值条件确定特定的解。
第四部分：举例说明为了更好地理解使用拉普拉斯变换求解微分方程的过程，下面举一个例子进行说明。
例子：求解微分方程y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 0，y(0) = 1，y'(0) = 0。
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程拉普拉斯变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的方法，它在求解微分方程中有着广泛的应用。
下面将介绍用拉普拉斯变换求解微分方程的过程。
首先，我们需要将微分方程转换为代数方程。
假设我们要求解的微分方程为：y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = f(t)其中，y(t)为未知函数，f(t)为已知函数。
我们可以将该微分方程转换为拉普拉斯域中的代数方程：(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(s Y(s) - y(0)) + 5Y(s) = F(s)其中，Y(s)为y(t)的拉普拉斯变换，y(0)和y'(0)分别为y(t)在t=0时的初值和初导数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
接下来，我们需要解出Y(s)。
将上式变形可得：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)这样，我们就得到了y(t)的拉普拉斯逆变换：y(t) = L^-1{Y(s)} = L^-1{(s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)}其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换。
最后，我们需要求出y(t)的具体表达式。
这可以通过分解分母的根来实现。
我们可以将分母的根表示为：s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4因此，我们可以将Y(s)表示为：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]接下来，我们需要求出Y(s)的部分分式分解。
假设分解结果为：Y(s) = A / (s + 1) + B / (s + 1)^2 + C / (s^2 + 4)将Y(s)代入上式，可以得到：A = lim(s->-1) [(s + 1) Y(s)] = lim(s->-1) [(s + 1) (s y(0) + y'(0) +F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]B = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 Y(s))] = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4])] = y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]C = lim(s->0) [s^2 Y(s)] = lim(s->0) [s^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]最终，我们可以得到y(t)的表达式：y(t) = (y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]) e^(-t) + (y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]) t e^(-t) + lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]] sin(2t)其中，e^(-t)和sin(2t)是拉普拉斯逆变换的结果。
