用拉普拉斯变换方法解微分方程

拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。

它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。

在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。

因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。

本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。

一、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。

分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。

分数阶微分方程的形式一般为：$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。

$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。

一般情况下，分数阶微分方程无法通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。

下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。

二、拉普拉斯变换方法简介拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。

它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\s=x+jy\in R $$其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。

当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。

通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。

下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。

拉普拉斯解微分方程微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。

而解微分方程则是求解这些规律所遵循的方程的过程。

在解微分方程的方法中，拉普拉斯变换是一种常用的技巧，它将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解的过程。

拉普拉斯变换是由法国数学家拉普拉斯在18世纪末提出的。

它是一种将一个函数f(t)转化为另一个函数F(s)的方法，其中s是一个复变量。

具体而言，拉普拉斯变换将函数f(t)表示为积分的形式：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是一个指数函数，s是复变量，t是自变量。

通过拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转化为一个代数方程，从而更容易求解。

利用拉普拉斯变换求解微分方程的过程可以分为以下几步：1. 对给定的微分方程进行拉普拉斯变换，得到一个代数方程。

2. 解代数方程，得到变量F(s)的表达式。

3. 对变量F(s)进行逆变换，得到原函数f(t)的表达式。

这种方法的优点是可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解的过程。

但是，拉普拉斯变换的使用也需要注意一些问题。

拉普拉斯变换只适用于一些特定的函数，例如指数函数、幂函数、三角函数等。

对于其他类型的函数，可能需要使用其他方法进行求解。

拉普拉斯变换的逆变换并不唯一，即可能存在多个函数满足同一个变量的拉普拉斯变换。

因此，在进行逆变换时需要根据具体问题确定合适的逆变换。

由于拉普拉斯变换的计算过程较为繁琐，对于复杂的微分方程，可能需要进行多次变换和逆变换。

因此，在使用拉普拉斯变换求解微分方程时，需要具备一定的数学基础和计算能力。

除了求解微分方程外，拉普拉斯变换还具有其他的应用。

例如，在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便对信号进行分析和处理。

在控制理论中，拉普拉斯变换可以用来描述线性时不变系统的动态特性。

此外，拉普拉斯变换在概率论、微分几何等领域也有广泛的应用。

用laplace变换求解微分方程Laplace变换是求解微分方程的重要工具之一。

它将微分方程转换为代数方程，进而利用代数方法进行求解。

下面将介绍Laplace变换的定义、性质和用法，并以一个例子来说明如何用Laplace变换求解微分方程。

一、Laplace变换的定义和性质Laplace变换将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，表示如下：F(s) = L[f(t)] = ∫_0^∞e^(-st)f(t) dt其中，s是复数变量，f(t)是一定条件下的函数。

Laplace变换具有以下性质：1. 线性性：若f(t)和g(t)是两个函数，a和b是常数，则有L[af(t)+bg(t)] = aL[f(t)]+bL[g(t)]。

2. 移位性：若F(s)是函数f(t)的Laplace变换，则有L[e^(at)f(t)] = F(s-a)。

3. 导数定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则f'(t)的Laplace变换为sF(s)-f(0)。

4. 积分定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则∫_0^t f(t) dt的Laplace变换为1/(sF(s))。

二、Laplace变换的用法1. 用Laplace变换求解微分方程：将微分方程转换为代数方程进行求解。

具体而言，可将微分方程左右两边同时进行Laplace变换，然后利用Laplace变换的性质进行消元求解。

2. 利用Laplace变换求解初值问题：即给定f(0)和f'(0)的初值条件下，求解微分方程的解。

可将初值条件施加于代数方程中，通过消元得到解F(s)，再对其进行反演Laplace变换即可得到解f(t)。

三、例题解析求解微分方程y''+2y'+y = t, y(0)=0, y'(0)=1。

1. 进行Laplace变换：对两边同时进行Laplace变换，得到(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)) +2(sY(s)-y(0)) + Y(s) = 1/s^2化简得到：Y(s) = 1/(s^2+2s+1) + s/(s^2+2s+1)2. 分解代数式：将分母因式分解，得到Y(s) = 1/[(s+1)^2] + s/[(s+1)^2]3. 反演Laplace变换：分别对两项进行反演Laplace变换，得到y(t) = t*e^(-t)因此，原微分方程的通解为y(t) = c1*e^(-t) + c2*t*e^(-t)，带入初值条件y(0)=0和y'(0)=1可得到c1=0和c2=1，因此，原微分方程的解为y(t) = t*e^(-t)。

拉普拉斯变换微分方程拉普拉斯变换是数学中广泛使用的一种算法，用于研究各类微分方程，特别是线性时不变系统的稳定性和动态行为。

在本文中，我们将了解到拉普拉斯变换微分方程的基本原理和应用。

一、拉普拉斯变换的定义和性质拉普拉斯变换是一种复杂的算法，可以将给定的函数f(t)转换为一个复函数F(s)，其中s是复变量。

拉普拉斯变换的定义如下：L{f(t)} = F(s) = ∫_0^∞ e^(-st)f(t)dt其中，s是复变量，e^(-st)是指数函数，t是实变量。

f(t)是一个连续函数，可以是实函数或复函数。

拉普拉斯变换有一些基本性质，如下所示：1. 线性性：L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + bG(s)，其中，a和b是任意常数，f(t)和g(t)是任意函数。

2. 位移性：L{f(t-a)} = e^(-as) F(s)，其中，a是任意常数。

3. 拉普拉斯变换与导数的关系：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)，其中，f'(t)表示f(t)的导数，f(0)表示f(t)在t=0时的值。

二、拉普拉斯变换微分方程的基本原理拉普拉斯变换可用于求解线性常系数微分方程，例如：a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y =f(t)其中，a_n、a_(n-1)、...、a_0是常数，f(t)是给定的函数，y表示未知函数。

将上式两边同时取拉普拉斯变换，得到：L{a_n y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_0 y} = L{f(t)}根据拉普拉斯变换和导数的关系，上式等价于：a_n s^n Y(s) - a_(n-1) s^(n-1) y(0) - ... - a_0 y(0) = F(s)其中，Y(s)表示y(t)的拉普拉斯变换。

将y(0)、y'(0)、...、y^(n-1)(0)带入上式，可得到Y(s)的表达式，从而求解y(t)。

拉普拉斯（Laplace）变换法解常微分方程的初值问题
n 阶常系数线性微分方程y（n）+a1y（n-1）
+…+an-1y′+any=f（t）的通解结构与求解方法在高等数学中讲解得比较详细，但是在实际问题中往往要求满足初始条件y（0）=y0，y′（0）=y′ 0，…，y（n-1）（0）=y0（n-1）的特解，为此，当然可以先求出原方程的通解，然后再由已知的初始条件来确定其中的任意常数，但这种方法计算量大，过程冗长.本文介绍的拉普拉斯变换法求解初值问题，是直接求出常微分方程的特解，过程得到了很大的简化，其基本思想是：先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程，求出代数方程的解，再通过拉普拉斯变换便可得到所求初值问题的解.
一、拉普拉斯变换
定义设函数f（t）在区间 0，+∞ 上有定义，如果含参变量s的无穷积分。

精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。

为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

Laplace 变换在微分方程(组)求解例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011n nn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰ （*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1n n nn d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即()()()1nnn n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1nnn m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1） 对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s d L tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++= 由此得()32331s s s X s s+++= 把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271s s Y s s s -+=+-+ 于是 ()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+- 2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dx x ydt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解. 解 设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0st Y s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333t t t x t te y t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例 4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦ 对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()212100s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t t y t t=⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦ 则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s ==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y du s y dy s u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++ 例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s +=求解得()()()1,1s x u x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111t x u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410s s Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13t y t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d d s X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f te dt +∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有 ()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得 ()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为 ()sin t x t t=。

拉普拉斯变换求解微分方程拉普拉斯变换可以把微分方程转化为代数方程。

由于现在是在利用拉氏变换求解微分方程，所以我们暂时不关注拉普拉斯变换中比较细节的方面。

利用拉氏变换解微分方程的基本方法就是把以 t 为变量的函数变换到以 s 为变量的代数函数，而这个过程会把微分项转换为代数式，这样我们就可以求解不含微分项的方程了。

最后再利用拉普拉斯逆变换，把关于 s 的函数变换回关于 t 的函数，就完成了微分方程的求解。

不过我们要先有几样趁手的工具——常用函数的拉普拉斯变化对以及微分的拉普拉斯变换：L[f(t)]=F(s) 表示对 f(t) 进行拉普拉斯变换的结果是 F(s) ，反之， L−1[F(s)]=f(t)表示的是对 F(s) 进行拉普拉斯逆变换得到了函数 f(t) .常用函数的拉普拉斯变换（对应的逆变换也成立）：L[1]=1sL[tm]=m!sm+1L[eat]=1s−aL[cos⁡at]=ss2+a2L[sin⁡at]=as2+a2L[eatf(t)]=F(s−a)拉普拉斯变换是具有线性性质的，也就是说， L[αf(t)+βg(t)]=αL[f(t)]+βL[g(t)] . 逆变换也具有线性性质。

对公式两侧同时进行拉普拉斯逆变换就可以得到逆变换的公式，比如第一个式子： L−1[L[1]]=L−1[1s] ，整理一下就能得到 L−1[1s]=1 .微分的拉普拉斯变换（需要知道原函数已经各阶导数在0处的值）：L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−...−s0f(n−1)(0)式中的 F(s) 是一个未知的函数，是需要我们解出来的。

百闻不如一见，来看例题。

先来一个简单的例题。

例1：求解微分方程 yt′=t,y(0)=1解：第一步，对方程两侧同时进行拉普拉斯变换，即 L[yt′]=L[t] 得到 sY(s)−y(0)=1s2 .第二步，带入初值 y(0)=1 ，得到 sY(s)−1=1s2 .第三步，求解 Y(s) .这时候我们把第二步得到的式子看成一个普通的代数式就可以，很容易解得 Y(s)=1s3+1s 。

拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解.一拉普拉斯变换的概念定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)].若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)].例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换.解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt这个积分在p＞a时收敛,所以有L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1)例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换.解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt)=-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt根据罗必达法则,有lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt=-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2)例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换.解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt=[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞=ω/(p2+ω2) (p＞0)(3)用同样的方法可求得L[cosωt]=p/(p 2+ω2) (p ＞0) (4) 二 拉普拉斯变换的基本性质三 拉普拉斯变换的逆变换四 拉普拉斯变换的应用2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用学生姓名：岳艳林班 级：物电系物本0801班学 号：0036 指导老师：韩新华摘要通过对拉普拉斯变换在求解常微分方程、典型偏微分方程中的应用举例，综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词拉普拉斯变换 常微分方程 偏微分方程 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足很强的条件，于是人们将傅里叶变换进行改造便得到在物理和工程等领域有着广泛应用的拉普拉斯变换。

本文通过具体例子，重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。

应用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤如下：1、对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为s 的代数方程；2、解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；3、用拉氏反变换得到微分方程的时域解。

微分方程的解 取拉普拉斯逆变换解代数方程取拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换以及性质。

1．拉普拉斯变换的定义。

傅里叶变换要求满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等十几应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在t<0时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。

为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换。

设函数f(t)(t ≥0)满足下列条件：⑴在区间[0，∞)上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及它的导数)('t f 处处连续，即函数f(t)分段连续；⑵存在常数M ＞0和δ≥0，使对任何t 值(t ≥0)，有| f(t)| ＜M ｔδe ，即随着t 的增大，函数| f(t)|的增大不比某个指数函数快，其中δ为其增长指数。

此时积分⎰+∞->+=0)0,(,)(c i c s dt et f stω在半平面Re(s)>c 上一定存在,在c c s >≥1)Re(上绝对且一致收敛。

则此积分所确定的函数⎰+∞-=)()(dt e t f s F st (t ≥0 )(在半平面Re(s)>c 内，F(s)为解析函数)称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或像函数，而f(t) 称为F(s)的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换）或原函数。

用拉普拉斯变换求解微分方程的过程拉普拉斯变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的方法，它在求解微分方程中有着广泛的应用。

下面将介绍用拉普拉斯变换求解微分方程的过程。

首先，我们需要将微分方程转换为代数方程。

假设我们要求解的微分方程为：y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = f(t)其中，y(t)为未知函数，f(t)为已知函数。

我们可以将该微分方程转换为拉普拉斯域中的代数方程：(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(s Y(s) - y(0)) + 5Y(s) = F(s)其中，Y(s)为y(t)的拉普拉斯变换，y(0)和y'(0)分别为y(t)在t=0时的初值和初导数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。

接下来，我们需要解出Y(s)。

将上式变形可得：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)这样，我们就得到了y(t)的拉普拉斯逆变换：y(t) = L^-1{Y(s)} = L^-1{(s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)}其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换。

最后，我们需要求出y(t)的具体表达式。

这可以通过分解分母的根来实现。

我们可以将分母的根表示为：s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4因此，我们可以将Y(s)表示为：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]接下来，我们需要求出Y(s)的部分分式分解。

假设分解结果为：Y(s) = A / (s + 1) + B / (s + 1)^2 + C / (s^2 + 4)将Y(s)代入上式，可以得到：A = lim(s->-1) [(s + 1) Y(s)] = lim(s->-1) [(s + 1) (s y(0) + y'(0) +F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]B = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 Y(s))] = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4])] = y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]C = lim(s->0) [s^2 Y(s)] = lim(s->0) [s^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]最终，我们可以得到y(t)的表达式：y(t) = (y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]) e^(-t) + (y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]) t e^(-t) + lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]] sin(2t)其中，e^(-t)和sin(2t)是拉普拉斯逆变换的结果。

拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用微分方程是自然界中各种问题的数学表达式。

其中最常见的为线性微分方程，它们可以用拉普拉斯变换法求解。

拉普拉斯变换法不仅使求解微分方程变得容易，而且还具有广泛的应用。

一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种函数变换方法，它能够将一个函数从时间域变换到频率域。

设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，并且成立：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中s为复变量，s可以取任意值。

函数F(s)就是函数f(t)的拉普拉斯变换。

二、拉普拉斯变换法的应用1.求解线性微分方程对于线性微分方程Lu(t)=f(t)（其中L为微分算子，u为未知函数，f为已知函数），可以将其转化为代数方程Lu(s)=F(s)。

因此，对于已知f(t)，只需要求出它的拉普拉斯变换F(s)，再求出L的逆变换L^-1，即可得到解u(t)。

2.求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程具有形式为ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)的特定形式，其中a、b、c为常数。

利用拉普拉斯变换法，可以将它们转化为关于变量s的代数方程，可以更方便地求解。

3.求解偏微分方程偏微分方程是一类多元函数的微分方程，包括了一些重要的物理和工程问题。

利用拉普拉斯变换法将其转化为关于s的代数方程，再求出逆变换，可以得到偏微分方程的解。

三、总结拉普拉斯变换法是求解微分方程的一种常用方法，它可以将微分方程转化为代数方程来求解。

特别是对于常系数线性微分方程和偏微分方程，应用拉普拉斯变换法可以更方便地获得解析解。

因此，它在物理，工程学和应用数学中都有极为丰富的应用。

拉普拉斯变换求解微分方程典型范例Laplace 变换在微分方程(组)求解范例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值范围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011nnn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰.主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰（*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1nnnn dL f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦即()()()1nnnn d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1n nnmmn d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1）对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦ ()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s dL tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d dL tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程例1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++=由此得()32331s s s X s s+++=把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++例2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271ss Y s s s -+=+-+ 于是()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t tt y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+-2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dxx y dt dyx y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解.解设()()()0stX s L x t e x t dt+∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0stY s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333tt tx t tey t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()21210s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t ty t t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、 利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y ==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解 首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y dus y dys u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解 对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s+=求解得()()()1,1sxu x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111tx u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4、 利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解 对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410ss Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13ty t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解 设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d ds X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f t e dt+∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为()sin t=x tt。

非零初始条件拉氏变换求解微分方程拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。

在实际应用中，我们经常会遇到非零初始条件的微分方程，这时候就需要用到非零初始条件拉普拉斯变换来求解。

首先，我们需要了解什么是非零初始条件。

在微分方程中，初始条件是指在某个时刻或某个状态下，未知函数及其导数的值。

如果初始条件中存在非零项，即未知函数或其导数在初始时刻不为零，那么我们就需要用到非零初始条件拉普拉斯变换。

接下来，我们以一阶线性微分方程为例，来介绍如何使用非零初始条件拉普拉斯变换求解微分方程。

假设我们有一个一阶线性微分方程：y' + ay = f(t)其中，a为常数，f(t)为已知函数，y为未知函数。

我们可以将其转化为拉普拉斯域中的代数方程：sY(s) - y(0) + aY(s) = F(s)其中，Y(s)为y(t)的拉普拉斯变换，y(0)为初始条件，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。

将上式整理可得：Y(s) = [y(0) + F(s)] / (s + a)这就是非零初始条件下的一阶线性微分方程的拉普拉斯变换解。

我们可以通过反演拉普拉斯变换，得到y(t)的解析式。

需要注意的是，在实际应用中，我们需要先对f(t)和y(0)进行拉普拉斯变换，然后再代入上式中求解Y(s)，最后再反演拉普拉斯变换得到y(t)的解析式。

总之，非零初始条件拉普拉斯变换是求解微分方程的重要工具之一。

通过将微分方程转化为代数方程，我们可以简化求解过程，得到更加精确的解析式。

在实际应用中，我们需要注意对初始条件和已知函数进行拉普拉斯变换，并正确代入求解。

拉普拉斯变换是一种数学变换方法，常用于解决微分方程问题。

对于线性常系数微分方程组，可以通过拉普拉斯变换转换为代数方程组来求解。

以下是一般的步骤：
1. 将微分方程组转换为代数方程组：将微分方程组中的导数项用拉普拉斯变量s表示，并将初始条件用初始值的拉普拉斯变换形式表示。

2. 对每个方程进行拉普拉斯变换：对于每个方程，将其变换为代数方程，即将微分方程的左侧利用拉普拉斯变换表中的公式进行变换，右侧保持原样。

3. 构建代数方程组：将每个方程的变换结果组合成一个代数方程组。

4. 求解代数方程组：对代数方程组进行求解，可以使用代数方法，如消元法、矩阵运算等。

5. 对结果进行逆变换：得到代数方程组的解后，将其进行逆变换，即将解的拉普拉斯变换表达式转换为时间域的解。

需要注意的是，拉普拉斯变换解微分方程组的基本思路是将
微分方程转化为代数方程，将微分方程的复杂计算转化为代数方程的简单计算。

具体的计算步骤和方法会根据每个具体的微分方程组而有所不同。

因此，在具体求解时，建议参考相关的数学教材或专业文献，或者使用数学软件来辅助计算。