实数的概念及数的开方

平方根与实数在数学中，平方根是一个常见且重要的概念。

它常用于解方程、计算各种物理量以及分析各种数学问题。

与平方根相关的实数也是数学中一个重要的概念。

本文将深入探讨平方根与实数的关系，并介绍相关的性质和应用。

平方根是指一个数的平方等于这个数的非负实数解。

例如，数字4的平方根是2，因为2的平方等于4。

在数学符号中，平方根通常用符号√表示。

例如，√4=2。

实数是包括有理数和无理数的数集。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数是无法被有理数表示的数。

平方根通常是一个无理数，因为大多数数的平方根无法通过有限的小数或者分数来精确表示。

平方根有一些重要的性质。

首先，对于任何非负数a，a的平方根都是非负数。

其次，平方根可以进行运算。

例如，如果a和b是非负实数，那么a和b的平方根之和的平方等于a加b的平方根。

即(√a + √b)² = a + b。

同样地，a和b的平方根之差的平方等于a减b的平方根。

即(√a- √b)² = a - b。

这些性质可以用来简化计算和化简表达式。

平方根在实际应用中也有广泛的用途。

例如，在物理学中，平方根被用来计算运动物体的速度、加速度以及力等。

在工程学和建筑学中，平方根被用来计算各种测量值和距离。

在金融学中，平方根被用来计算一些金融指标的波动性和风险。

除了平方根外，数学中还有其他类型的根，如立方根、四次根等。

不同类型的根也有各自的性质和应用。

但是，平方根是最常用和最基础的根之一，其他类型的根也可以通过平方根来表示和计算。

总之，平方根是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

它与实数有密切的关系，并具有一些重要的性质和应用。

通过深入研究平方根和实数的特点，我们可以更好地理解和应用它们，同时也能够在解决各种数学和实际问题中更加灵活和高效地运用它们。

根据实数知识点总结，解释实数的平方根
和立方根的概念。

根据实数知识点总结，解释实数的平方根和立方根的概念
实数是指包括有理数和无理数在内的所有数，它们可以在数轴
上表示。

在实数中，平方根和立方根是两个重要概念。

平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。

我们用符
号√来表示平方根。

例如，对于正数a来说，√a表示一个非负数x，使得x² = a。

如果一个数是负数，那么它没有实数的平方根。

平方
根运算是一个单值函数，因此每个正数都有唯一的平方根。

例如，
√9 = 3，因为3的平方等于9。

立方根是指一个数的立方等于给定数的解。

我们用符号³√来表
示立方根。

类似地，对于正数a来说，³√a表示一个实数x，使得x³= a。

类似于平方根，如果一个数是负数，它也没有实数的立方根。

立方根运算也是一个单值函数，因此每个正数都有唯一的立方根。

例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。

需要注意的是，实数的平方根和立方根可能是有理数或无理数。

例如，√4 = 2和³√27 = 3是有理数，因为它们可以写成整数的比例。

然而，√2和³√5是无理数，因为它们不能表示为有理数的比例。

总结起来，实数的平方根和立方根是数学中重要的概念。

它们
可以帮助我们计算和理解现实生活中的各种问题。

人教版八年级上册数学的知识点主要包括以下几个方面：
一、数的开方与实数
1. 数的开方：了解平方根、算术平方根的概念以及求一个数的平方根的估算方法。

2. 实数：认识实数的概念，实数与数轴上的点一一对应的关系，实数的分类（有理数和无理数）。

二、整式的乘除与因式分解
1. 整式的乘除：掌握单项式、多项式的乘法，幂的运算性质，整式的除法等。

2. 因式分解：理解因式分解的概念和方法，如提取公因式法、公式法等。

三、一元一次方程与不等式
1. 一元一次方程：掌握一元一次方程的解法，包括合并同类项、移项、系数化为1等步骤。

2. 不等式：了解不等式的基本性质，掌握一元一次不等式的解法。

四、图形和几何
1. 平面几何图形的初步认识：了解点、线、面、角等基本概念，掌握基本图形的性质和判定（如线段的中垂线、角的平分线等）。

2. 三角形：掌握三角形的分类（等腰、直角、不等边等），认识三角形的基本性质（如内角和定理等）。

3. 空间几何：了解几何图形的三维模型和计算，如长方体、圆柱、圆锥等的体积和表面积。

五、概率初步
1. 概率的基本概念：了解概率的定义和计算方法，如频率估计概率等。

2. 生活中的概率问题：通过实例了解概率在生活中的应用，如彩票中奖的概率等。

以上是八年级上册数学的一些主要知识点，通过学习这些内容，学生可以掌握基本的数学知识和技能，为后续的学习打下坚实的基础。

思源个性化学习讲义学生姓名 在读年级 初一 辅导课目 数学 辅导日期 任课老师班主任课次课程主题实数的概念和数的开方教学目标1、通过实际问题，认识到数的扩充的必要性2、了解无理数和实数的概念，3、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力4、了解平方根、开平方根的概念，立方根和开立方的概念 教学安排一览 事项 时间 实数 15分钟 平方根 25分钟 立方根 10分钟 n 次方根 10分钟 夹逼法 10分钟 课堂巩固练习 30分钟课堂小结10分钟【知识精要】 一、实数1. __________无限不循环__________叫做无理数。

____有理数_____和_无理数________统称为实数2. 实数的分类{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数二、平方根1. 平方根定义： 一个数的平方等于a ，那么我们把这个数叫做a 的平方根2. 平方根的性质：○1一个正数的平方根有 2 个，它们 ； ○20只有 1 个平方根，就是 0 ； ○3负数 没有 平方根。

3. 算术平方根（1）定义： 一个数的正平方根 （2）正数a 的算术平方根表示为： a （3）算术平方．．．．根的性质．．．．：a 具有双重非负性：（1） （2）0的算术平方根是0；一个非负数的算术平方根有且仅有．．．．一个 三、立方根1. 立方根的定义： 一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根 记作： ，读作 2．立方根的性质．．．．．．： （1）（2）33a = a ；()=33a a ；（3）立方根等于本身的数是 0,1，-1 ； 四、n 次方根1.概念：如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根2.性质：○1实数a 的奇次方根有且只有一个，用“na ”表示. ○2正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“-n a ”表示（a >0，n 是正偶数）○3负数的偶次方根不存在 _____)_____(____,_____________)(22==a a ）（○4零的n 次方根等于零，表示为“00=n” 五、夹逼法对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。

龙文教育学科教师辅导讲义教师：学生：日期: 年月日星期：时段：课题实数的概念与数的开方教学目标（1）了解平方根、立方根、二次根式、实数及相关概念，会求数的平方根和立方根，能进行有关实数的简单的四则运算。

（2）掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。

（3）能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生数学应用的意识和解决问题的能力。

（4）让学生经历平方根、立方根、二次根式、实数概念和建立以及探求二次根式运算规律的过程，发展学生抽象概括能力，并在活动中进一步培养学生独立思考、合作交流的习惯。

重点、难点重点：平方根、立方根，实数及其相关概念；求数的平方根、立方根；掌握估算方法，发展学生的数感和估算能力；会进行有关实数的简单四则运算。

难点：平方根的概念；掌握估算的方法，发展学生的估算能力和数感；有理数与无理数的区别以及实数概念的建立；能利用实数的运算解决简单的实际问题，培养学生数学应用的意识和能力。

考点及考试要求教学内容一、上节课知识点的回顾与反思:二、新授课内容:一、实数的概念（一）：【知识梳理】1.实数的有关概念(1)有理数: 和统称为有理数。

(2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩；有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，则 。

（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。

（5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。

若a （a≠0）的倒数为1a.则 。

（6）绝对值：（7）无理数： 小数叫做无理数。

（8）实数： 和 统称为实数。

（9）实数和 的点一一对应。

2.实数的分类:实数3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n 的形式（其中1≤a<10，n 是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。

初中数学八年级上册思维导图一、数的开方1. 平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的平方根，记作x=√a。

正数a的平方根有两个，它们互为相反数，分别记作+√a 和√a。

0的平方根是0，负数没有平方根。

2. 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，记作x=³√a。

每个实数都有唯一的立方根。

3. 开方运算：开方运算是求一个数的平方根或立方根的运算。

对于正数a，开方运算可以表示为√a或³√a。

二、实数1. 实数的概念：实数包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数比的数，无理数是不能表示为两个整数比的数。

2. 实数的分类：实数可以分为正实数、负实数和0。

正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。

3. 实数的运算：实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

在运算过程中，需要遵循实数的运算规律，如交换律、结合律和分配律。

三、勾股定理1. 勾股定理的内容：勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

即a²+b²=c²，其中a、b是直角边，c是斜边。

2. 勾股定理的应用：勾股定理可以用来解决直角三角形中的边长问题，也可以用来解决一些与直角三角形相关的实际问题。

3. 勾股定理的证明：勾股定理的证明有多种方法，其中一种常见的证明方法是使用几何图形的面积关系。

四、一次函数1. 一次函数的概念：一次函数是指函数的图像是一条直线，其一般形式为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

2. 一次函数的性质：一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

3. 一次函数的应用：一次函数可以用来描述一些线性关系，如物体的速度与时间的关系、正比例关系等。

五、不等式1. 不等式的概念：不等式是表示两个数之间大小关系的数学表达式，如a>b、a<b、a≥b、a≤b等。

2. 不等式的性质：不等式可以进行加减、乘除运算，但在乘除运算中需要注意符号的变化。

初中数学八年级上册思维导图一、数的开方1. 平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的平方根，记作x=√a。

正数a的平方根有两个，它们互为相反数，分别记作√a和√a。

0的平方根是0。

2. 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，记作x=³√a。

立方根只有一个。

3. 算术平方根：正数a的正的平方根，记作√a，称为a的算术平方根。

4. 立方根的性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0。

二、实数1. 实数的概念：实数包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数比的数，无理数是不能表示为两个整数比的数。

2. 实数的分类：①正实数；②负实数；③零。

3. 实数的运算：实数的加减乘除运算与有理数的运算类似，但需要注意无理数的运算。

三、二次根式1. 二次根式的概念：形如√a的式子，其中a≥0，称为二次根式。

2. 二次根式的性质：①√a²=a（a≥0）；②（√a）²=a（a≥0）；③√ab=√a√b（a≥0，b≥0）；④√a²+b²=√a²+√b²（a≥0，b≥0）。

3. 二次根式的运算：二次根式的加减乘除运算与有理数的运算类似，但需要注意无理数的运算。

四、一元二次方程1. 一元二次方程的概念：形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程，称为一元二次方程。

2. 一元二次方程的解法：①配方法；②求根公式法；③因式分解法。

3. 一元二次方程的根的判别式：判别式△=b²4ac，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。

五、不等式1. 不等式的概念：表示不相等关系的式子称为不等式。

2. 不等式的性质：①两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；②两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。

教育辅导教案教 学 内 容【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 2、按实数的正负分类：二、数的开方。

1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。

2. 开平方的概念: 求一个数的 的运算叫做开平方，它是 的逆运算 3. 算术平方根的概念:正数的 和零的 ,统称算术平方根4、若x 3=a,则x 叫做a 的 ，记做3a ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。

【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。

】三、无理数大小的比较方法：(1)比较两个数的平方的大小：a ＞0， b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b >； (2)作差法：若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，则a ＜b ． (3)作商法：a ＞0， b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若ab＜1，则a ＜b ．【例1】下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根与算术平方根，如果没有，请说明理由.（1）25；（2）0.0081；（3）(－7)2；（4）－0.36.练习1. 判断下列说法是否正确：(1)∵(－0.6)2=0.36, ∴－0.6是0.36的一个平方根.……………………………………（ ） (2)∵0.82＝0.64, ∴0.64的平方根是0.8.……………………………………………（ ） (3)∵239416（-）=，∴93164=-.…………………………………………………………（ ） (4)∵21121±（）=1, ∴12111±±=.…………………………………………………（ ） 【例2】先说出下列各式的意义，再计算：（1）121；（2）14225± ；（3）169-；（4）925-.练习2. 下列等式中错误的是（ ） A.648=± B.164-=- C.13242= D.819±=± 基础自测1. 4的平方根是……………………………………………………………（ ）A ．2B ．4C ．2±D ．4±2. 4-的算术平方根是……………………………………………………（ ）A. 4B. －4C. 2D. ±2 3. 用数学式子表示“916的平方根是34±”应是……………………………………（ ） 93939393A B C D 164164164164±±±.＝ .＝ .＝ .-＝- 4. 下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ）A. 1的平方根是1B. 1的算术平方根是1C. –1是1的算术平方根D. –1的平方根是－1 5.如果某数的一个平方根是－6，那么这个数为________．6. 一个数的平方等于49，则这个数是 .7. 如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是 8. 求下列各数的平方根.(1)36； (2)19； (3)0； (4)1516.9.计算：（1）144； （2）625±； （3）2(-13)-； （4）0.0289-.10.9的算术平方根是…………………………………………………（ ）A ．3B ．3C ．3±D ．3±11. 一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是………………………………（ ）A. 2a +B.a －2C. a +2D. 22a +12. .数a 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，有平方根的是…………………（ ）A. aB. －aC. –a 2D. a 3 13. 算术平方根是它本身的数是 ． 14. 计算：①100169-；②371361±-；③22512±+；④2-(4-13).a115. 已知一个长方形的长是宽的2倍，面积72平方米，求这个长方形的周长。

第一讲 实数的概念与数的开方知识梳理一 实数的概念1．无理数定义:无限不循环的小数叫做无理数。

分类:可分为正无理数和负无理数。

说明:无理数应同时满足三个条件:(1)是小数;(2)是无限小数;(3)不循环.常见三种表现形式：（1）带根号但开方开不尽的数，如35,2等，但9就不是无理数； （2）特定意义的数,如π类，2,3ππ，2π等都是无理数；（3）有规律但不循环的小数，如0.101001000100001…等数，数字排列有规律，但是，它们都是不循环的无限小数。

无理数和有理数的区别:任何一个有理数都可以写成ba的形式,其中a,b 都是整数，且b ≠0，而无理数不能写成这种形式。

有限小数和无限循环小数与ba的形式可以互化，因而它们都是有理数。

2.实数的定义有理数和无理数统称为实数 3.实数的分类根据实数的定义分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数根据实数的符号分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数既不是正数也不是负数零正无理数正分数正整数正有理数正实数)( 4．实数与数轴上点的对应数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。

对应关系：实数与数轴上的点一一对应。

说明：（1）直线是可以向两方无限延伸的，故不存在最大实数，也不存在最小实数；（2）线成点，在一条直线上不同的两个点之间还有无数个点，所以两个不同整数或无理数之间有无数个实数。

（3）数和点的对应可看作是最简单的数形结合。

5．绝对值，相反数，倒数绝对值：一个实数的绝对值就是指数轴上表示这个实数的点到原点的距离，距离是非负的，因而绝对值是非负数。

即0≥a 具体表示为：说明：（1）两个正数中，绝对值大的数则大，两个负数中绝对值大的数反而小； （2）绝对值是非负的，但它可能等于-a （当a<0时），带负号不一定是负数。

专题01 实数的概念与数的开方【考点剖析】实数的概念⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数自然数整数零有理数实数负整数分数无理数或者：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数有理数零负有理数实数正无理数无理数负无理数 1.有理数：有理数就是能表示成两个整数之比的数；有理数包括：整数和分数；有理数是有限小数或无限循环小数。

2.无理数：无理数是无限不循环小数。

3.实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的。

数的开方4.若2x a =，则x 叫做a 的平方根；正数a有两个平方根是表示正的平方根；表示负的平方根；零的平方根记作=0；负数没有平方根。

求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数；5.平方根与开平方的性质（1）当0a >时，2＝a，2(＝ a（2）当0a ≥a =，当0a <a =-6. 若3x a =，则x 叫做a 的立方根，记作：，a 叫做被开方数，3叫做根指数.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。

即：任意一个实数都有立方根，而且只有一个。

求一个数a 的立方根的运算叫做开立方.7.立方根与开立方的性质：3,()a a a ==为一切实数；8.若n x a =（1n >的整数），则x 叫做a 的n 次方根；当n 为奇数是，x 叫a 的奇次方根；当n 为偶数是，x 叫a 的偶次方根；实数a正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数, 正n ，负n 次方根表示为：负数的偶次方根不存在.零的偶次方根为零，表示为0=.求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方.a 叫做被开方数，n 叫做根指数.9.估计无理数的范围【典例分析】【考点1】实数的概念例1 （崇明2018期中1）下列实数中，无理数是（ ）A. 3.14；B.3π； C. D. 227. 【答案】B ；【解析】因为3.14是有限小数，为有理数；2=-是有理数；分数227是有理数；故只有3π是无理数.因此选B.例2 （杨浦2019期末15）在0、2212 3.14160.2380.373773777373π-、、、、、（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个），这十个数中，无理数的个数是（ ）A. 1；B. 2；C.3；D. 4.【答案】D ；【解析】有理数是：0、2212 3.14160.23873-、、、、共6个；0.3737737773π、（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个）共4个，故选D.例3 （黄浦2018期末2）下列说法正确的是（ ）A.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应；B.负数没有方根；C.带根号的数一定是无理数；D.正实数包括正有理数和正无理数.【答案】D ；【解析】因为数轴上的每个点都与一个实数一一对应，故A 错误；负数没有平方根，但有奇次方根，故B错误；带根号的数不一定是无理 C 错误；正实数包括正有理数和正无理数，故D 正确，因此选D.【考点2】数的开方例4 （浦东四署2019期末7）实数81的平方根是 .【答案】9±；【解析】实数81的平方根是819±=±. 例5 （崇明2018期中9）如果364x =-，那么x= .【答案】- 4；【解析】如果364x =-，那么3644x =-=-.例6 （松江2018期中17）下列运算中，正确的是（ ） A. 235+=； B.2(32)32-=-； C.2a a =； D. 2()a b a b +=+.【答案】D.【解析】因为23与不是同类二次根式，故不能合并，故A 错误；2(32)23-=-，故B 错误；2||a a =，故C 错误；因为2()a b a b +=+，故D 正确；因此选D.例7 （宝山2018期末23）计算：223(5)(13)125-+；【答案】－3;【解析】解：原式=5-13+5=－3;【真题训练】一、选择题1．（闵行2018期末1）下列实数中，属于无理数的是（ ）A ．B ．C ．0.1123112333D ．【答案】A ；【解析】解：无理数是，故选：A ．2．（浦东四署2019期中1）在实数0、7113π中，无理数共有（ ） A. 1个； B. 2个； C. 3个； D.4个.【答案】B ；【解析】其中0、7113π是无理数，故无理数有2个，选B. 3.（虹口2018期中1）下列各数中：39π、、、0.12、0.2121121112（相邻两个2之间的1的个数依次加1），无理数的个数是（ ）A. 2个； B . 3个； C. 4个； D. 5个. 【答案】B；【解析】其中无理数有π0.2121121112一共三个，因此选B.4.（普陀2018期中1）在13220.1390.13133133317π-、、、、（每两个1之间增加一个3）这些数中，无理数的个数是（）A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 【答案】D【解析】无理数有1390.1313313331π-、、一共四个，故选D.5.（崇明2018期中2）下列说法中，正确的是（）A. 实数可分为正实数和负实数；B. 有理数都是有限小数；C. 无限小数都是无理数；D. 实数包括有理数和无理数.【答案】D；【解析】实数可分为正实数、负实数和零，因此A错误；有理数包括有限小数与无限循环小数，因此B错误；无限小数不一定是无理数，无限循环小数是有理数，因此C错误；实数包括有理数和无理数，因此D 正确；故选D.6．（长宁2019期末15）下列说法正确的是（）A.负数没有方根；B.不带根号的数一定是有理数；C.无理数都是无限小数；D.数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应.【答案】C；【解析】负数没有偶次方根，但有奇次方根，因此A错误；不带根号的数不一定是有理数，如π，因此B 错误；无理数都是无限小数，正确；数轴上的每一个点都有一个实数与它对应，因此D错误；故此题选C.7.（长宁2018期末15）下列说法正确的是（）A. 无限循环小数是无理数；B. 任何一个数的平方根有两个，它们互为相反数；C.任何一个有理数都可以表示为分数的形式；D.数轴上每一个点都可以表示唯一的一个有理数.【答案】C；【解析】无限循环小数是有理数，故A错误；因为负数没有平方根，故B错误；因为任何一个有理数都可以表示为分数的形式，故C正确；因为数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数，故D错误；因此此题选C.8.（崇明2018期中3）下列等式中，正确的有（ ）A. 7=-；B. 3=；C. 5=；D. 9=±.【答案】B ；因此A 3=正确，因此B 正确；因为5=－，因此C 错误；9=，所以D 错误；故选B.9.（金山2018期中2）下列运算中正确的是（ ）4=±； 2=C. 3=-；D. 1210010-=-.【答案】B.【解析】因为4=，所以A 错误；因为2|=2=，所以B 正确；因为|3|=3=-，所以C 错误；因为11-2-122110010=10=10-=（），所以D 错误；因此选B. 10.（浦东四署2019期末2）下列说法正确的是（ ）A.2a -一定没有平方根；B.4是16的一个平方根；C. 16的平方根是4； D .-9的平方根是3±【答案】B ；【解析】当2a -=0时，就有平方根，因此A 错误；4是16的一个平方根，因此B 正确；16的平方根为4±，因此C 错误；-9没有平方根，因此D 错误；故此题选B.11.（松江2018期末1）下列各数是无理数的是（ ）A. 0.25；B. ； D. 0.25【答案】B;【解析】其中0.25、0.25是有理数， B.12.（宝山2018期末16）实数范围内，下列判断正确的是（ ）A.若||||a b =，则a b =；B. 若22a b =，则a b =；C.若2||a =，则a b =；D.=a b =.【答案】D ；【解析】因为||||a b =，所以a b =±，故A 错误；因为22a b =，所以a b =±，故B 错误；因为2||a =，所以a b =±（0b ≥），故C =a b =，故D 正确；因此选D.13.（浦东四署2019期中4a =，那么a 的值是（ ）A.0或1；B.0或-1；C.1或-1；D.0、1或-1.【答案】A ；【解析】a =，所以2,(1)0,01a a a a a a =∴-=∴==或，检验得01a a ==或.二、填空题14．（杨浦2019期中1）36的平方根是__________________.【答案】6±；【解析】36的平方根为6=±.15.（普陀2018期中7）9的平方根是 .【答案】3±【解析】9的平方根是3=±.16.（崇明2018期中7）25的平方根是 .【答案】5±；【解析】25的平方根是5±，它们互为相反数.17.（虹口2018期中8）实数a ，则a ＝ .【答案】6.【解析】因为实数a ，所以a=6.18.（宝山2018期末1）0.16的平方根是 .【答案】0.4±【解析】0.16的平方根是0.4=±.19.（杨浦2019期末2）1的四次方根是 .【答案】1±；【解析】解：1的四次方根是：411±=±. 20.（松江2018期末6）如果一个数的平方等于5，那么这个数是 .【答案】5±;【解析】依题设25x =，所以5x =±.21．（杨浦2019期中2）若4=16x ，则x =_________.【答案】2±；【解析】因为4=16x ，所以4162x =±=±，考查偶次根式，性质类似二次根式。

七年级上：初一数学提高（1）班辅导讲义9：实数和数的开方姓名______________辅导时间______【知识要点】1、实数的概念：① 无理数：无限不循环小数是无理数；② 有理数：形如a b（a 、b 是整数，b ≠0）的数是有理数；（有理数可以化为有限小数或无限循环小数） ③ 实数：________和_________统称为实数；（________和_________统称为有理数）；2、平方根与立方根①________________有两个平方根，它们___________②0有1个平方根，0的平方根是0； ____________没有平方根；③立方根的特点是：每个实数都有1个立方根；④平方根是它本身的数是_________；立方根是它本身的数是_________________3、开方运算和开方运算是一对互逆的运算：① 已知一个非负数，求它的平方根的运算，叫做开平方；已知一个实数，求它的立方根的运算，叫做开立方；② 非负数a 的平方根记作：a a 的负的平方根；实数a4、两个等式：①2a =，字母a 的取值范围是：_________； =__________，字母a 的取值范围是_______【基础自测一：实数】1、 下列各数： -3.14722、π、、2.25、0、17139 3.020220222…中； 有理数： _____________；无理数：______________________；2、判断：①有理数都能化成分数（ ） ②无理数都能化成分数（ ）③有理数都是实数（ ） ④实数可以分为正数和负数（ ）；⑤带根号的数都是无理数（ ） ⑥无限不循环小数都是无理数（ ）。

⑦无理数都是无限小数，有理数都是有限小数（ ）；3、如图：正方形ABCD 边长为4cm ，E,F,G ,H,分别是四条边的中点，那么，四边形EFGH 是____________；四边形EFGH 的边长是_______________【基础自测二：开平方与开立方】1、用符号语言表示下列语句：① 4的平方根______ ② 25的负的平方根 __________ ③ 19的算术平方根__________④ －15的立方根_______⑤ 21的立方根的相反数 _______⑥5-的正的平方根_____2、说说下列各式表示的意义：：3、求值：=81 ，2516±= ，2)3(-= ，=±81＝__________，－3－18＝__________。

实数的概念及性质实数是由有理数和无理数组成的。

×属于正实数的数是大于0的实数。

√数轴上的点和实数是一一对应的。

√如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1或0.√若x=2则x=2.√实数包括有理数和无理数两部分。

其中，无理数是指无限不循环小数，而有理数可以化为分数。

需要注意的是，不是所有带根号的数都是无理数，只有开不尽的XXX才是无理数。

另外，圆周率π及一些含π的数也是无理数。

实数可以分为正整数、负整数、有限小数或无限循环小数、正分数、负分数、正无理数、负无理数等七类。

其中，有理数包括整数和分数，而无理数包括无限不循环小数。

实数具有一些基本性质，例如任何实数都有一个相反数，任何非零实数都有倒数，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0.此外，实数可以与数轴上的点一一对应，即每个实数都可以在数轴上找到表示它的点。

对于无理数的大小比较，可以采用比较两个数的平方的大小、比较被开方数的大小、作差法、作商法等方法。

需要注意的是，带根号的数不一定是无理数，一个实数的立方根只有一个，负数没有平方根。

综上所述，实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数两部分。

对于实数的定义、分类和性质需要进行深入的研究和掌握。

C．坐标系中的点的坐标都是实数对。

D．2是近似值，无法在数轴上表示准确。

正确选项：C。

无需改写。

巩固3】下列实数7，，3.，8，327，12，0.xxxxxxxx0……中无理数有（）。

正确选项：B。

需要改写为：在实数7，，3.，8，327，12，0.xxxxxxxx0……中，无理数的个数是3个。

例2】有下列说法：1）无理数就是开方开不尽的数；2）无理数是无限不循环小数；3）无理数包括正无理数、零、负无理数；4）无理数都可以用数轴上的点来表示。

其中正确的说法的个数是（）。

正确选项：B。

无需改写。

例3】若|x|33，则x＝______；若|x|31，则x＝______．正确答案：x=33或x=-33；x=3-1或x=-3+1.无需改写。

数的开方运算数的开方运算是数学中常见的一种运算方法，目的是求一个数的平方根。

它广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学等等。

在本文中，我们将探讨数的开方运算的基本概念、方法以及其应用。

一、基本概念数的开方运算是将一个非负实数作为被开方数，找到另一个非负实数作为开方根，使得开方根的平方等于被开方数。

我们用符号√表示开方运算，例如√9表示对9进行开方运算，结果为3。

被开方数以及开方根都可以是整数、小数或者分数。

二、开方运算的方法1. 直接开方法直接开方法是最简单的一种方法，可以直接对一个数进行开方运算。

例如，对于√16，我们可以直接计算得到结果为4。

这种方法适用于开方数较小或者具有规律的情况。

2. 近似法对于无理数或者小数，我们通常使用近似法来计算开方运算。

近似法的思路是逐步逼近开方根的值，使得其平方接近于被开方数。

这种方法可以使用牛顿迭代法或者二分法等数值计算方法。

3. 质因数分解法对于一个正整数，可以使用质因数分解法来计算其开方值。

质因数分解法的步骤是将被开方数分解为质数的乘积，然后将每个质因数的指数除以2，再将结果相乘，即可得到开方根的值。

三、开方运算的应用1. 几何学中的应用开方运算在几何学中具有重要的应用。

例如，计算一个正方形的对角线长度，可以使用开方运算来求解。

同样地，计算一个长方体的对角线长度、三角形的斜边长度等等，都可以使用开方运算。

2. 物理学中的应用在物理学中，开方运算被广泛应用于各种物理问题的求解过程中。

例如，在计算物体的速度、加速度、力等物理量时，常常需要进行开方运算来求解。

3. 工程学中的应用在工程学领域，开方运算也有一些重要的应用。

例如，在计算电路中的电压、电流、功率等物理量时，常常需要进行开方运算。

总结：数的开方运算是数学中的一个重要概念，其基本概念和方法可以帮助我们求解各种问题。

通过本文的介绍，我们了解到开方运算的基本概念、方法以及在几何学、物理学和工程学中的应用。

掌握数的开方运算的基本知识，对于我们理解和应用数学具有重要意义。

平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。

（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。

要特别注意：a≠±a。

3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。

4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。

（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零3a（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b ≥0）。

实数章节知识点总结一、实数的基本概念1. 实数的定义实数是所有有理数和无理数的集合，用R表示，即R={x|x是有理数或无理数}。

2. 实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。

（1）有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、分数等。

有理数的集合用Q表示，即Q={x|x=m/n，m和n为整数，且n≠0}。

（2）无理数是不能表示为分数形式的数，并且无限不循环小数。

无理数的集合用R-Q表示，即R-Q={x|x不是有理数}。

3. 实数的表示实数可以用小数、分数、根式等形式表示，例如：π，e，√2等就是无理数的例子。

二、实数的性质1. 有理数的性质（1）有理数的四则运算有理数的加减乘除运算仍然是有理数，即有理数集合对于加减乘除封闭。

（2）有理数的比较对于任意两个有理数a和b，有以下性质：① 若a>b，则a+c>b+c（c为任意有理数）② 若a>b且c>0，则ac>bc③ 若a>b且c<0，则ac<bc2. 实数的性质（1）实数集合的稠密性实数集合中的有理数和无理数是密集分布的，即任意两个实数之间都存在无限多的有理数和无理数。

（2）实数的有序性任意两个实数a和b，必属于下列三种关系中的一种：① a=b② a<b③ a>b（3）实数的加法封闭性和乘法封闭性任意两个实数的和、差、积仍然是实数。

三、实数的运算规则1. 实数的加法和减法（1）同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。

（2）异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值为它们的差，符号取绝对值较大的数的符号。

2. 实数的乘法和除法（1）同号相乘：两个正数相乘，结果为正数；两个负数相乘，结果为正数。

（2）异号相乘：一个正数与一个负数相乘，结果为负数。

（3）除法：除数不为0时，实数的除法遵循乘法的性质。

3. 实数的乘方和开方实数的n次乘方和n次开方都有以下规律：（1）同号实数的n次乘方是正数，异号实数的n次乘方是负数。

第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；5.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

6.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

实数自主练习【预习检测】相信你，一定能行！1。

计算：7362+.(结果保留两位小数）2.比较下列各组数中两个实数的大小：（1）2322和; （2）327π--和3、试估计3+2与π的大小关系．(变式)提问：若将本题改为“试估计－（3+2)与－π的大小关系" ，如何解答?探究互助如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？如果再将所有的无理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?试一试：你能在数轴上找到表示2的点吗巩固运用1、教材P11 练习1-3 做在书上2、把下列各数填入相应的大括号内：5，－3，0，3。

1415 , 722，293+, 31-，38-，2π，1.121221222122221…(两个1之间依次多个2）(1）正数集合：｛…｝;（2）负数集合：{…｝;（3）无理数集合:{…}；（4)非负数集合：{ …｝.小结反馈1、无理数是怎样定义的?请举出几个无理数?2、什么是实数？实数可以怎样分类?3、实数与数轴上的点有什么关系？4、实数间比较大小的主要方法是什么？知识拓展1。

判断下列说法是否正确:(1)两个数相除，如果不管添多少位小数,永远都除不尽,那么结果一定是一个无理数；（2）任意一个无理数的绝对值是正数．2。

计算：7362+（结果保留两位小数)．3、比较下列各组数中两个实数的大小：2322和; (2)327π和．4、将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接。

π,5-，52-，0，12-π课后 反思。