第二章 系统的数学模型(第5讲)

第二章机械系统数学模型的建立第一节概述机电一体化机械系统是由计算机信息网络协调与控制的，用于完成包括机械力、运动和能量流等动力学任务的机械及机电部件相互联系的系统。

其核心是由计算机控制的，包括机械、电力、电子、液压、光学等技术的伺服系统。

它的主要功能是完成一系列机械运动，每一个机械运动可单独由控制电动机、传动机构和执行机构组成的子系统来完成，而这些子系统要由计算机协调和控制，以完成其系统功能要求。

机电一体化机械系统的设计要从系统的角度进行合理化和最优化设计。

机电一体化系统的机械结构主要包括执行机构、传动机构和支承部件。

在机械系统设计时，除考虑一般机械设计要求外，还必须考虑机械结构因素与整个伺服系统的性能参数、电气参数的匹配，以获得良好的伺服性能。

一、机电一体化对机械系统的基本要求机电一体化系统的机械系统与一般的机械系统相比，除要求较高的制造精度外，还应具有良好的动态响应特性，即快速响应和良好的稳定性。

1、高精度精度直接影响产品的质量，尤其是机电一体化产品，其技术性能、工艺水平和功能比普通的机械产品都有很大的提高，因此机电—体化机械系统的高精度是其首要的要求。

如果机械系统的精度不能满足要求，则无论机电—体化产品其它系统工作再精确，也无法完成其预定的机械操作。

2、快速响应机电一体化系统的快速响应即是要求机械系统从接到指令到开始执行指令指定的任务之间的时间间隔短。

这样系统才能精确地完成预定的任务要求，且控制系统也才能及时根据机械系统的运行情况得到信息，下达指令，使其准确地完成任务。

3、良好的稳定性机电一体化系统要求其机械装置在温度、振动等外界干扰的作用下依然能够正常稳定的工作。

既系统抵御外界环境的影响和抗干扰能力强。

为确保机械系统的上述特性，在设计中通常提出无间隙、低摩擦、低惯量、高刚度、高谐振频率和适当的阻尼比等要求。

此外机械系统还要求具有体积小、重量轻、高可靠性和寿命长等特点。

二、机械系统的组成概括地讲，机电一体化机械系统应主要包括如下三大部分机构。

现代控制系统（十一版）第一章控制系统导论1、实现高效的设计过程的主要途径是参数分析和优化。

参数分析的基础是：（1）辨识关键参数；（2）构建整个系统；（3）评估系统满足需求的程度。

这三步是一个循环迭代的过程。

一旦确定了关键参数，构建了整个系统，设计师就可以在此基础上优化参数。

设计师总是尽力辨识确认有限的关键参数，并加以调整。

2、控制系统设计流程（重要）①确定控制目标和受控变量，并初步定义（确定）系统性能指标设计要求和初步配置结构；②系统定义和建模；③控制系统设计，全系统集成的仿真和分析。

（控制精度要求决定了测量受控变量的传感器选型）；④设计规范/设计要求规定了闭环系统应该达到的性能，通常包括：（1）抗干扰能力；（2）对指令的响应能力；（3）产生使用执行机构驱动信号的能力；（4）灵敏度；（5）鲁棒性等方面的要求。

⑤首要任务：设计出能够达到预期控制性能的系统机构配置（传感器、受控对象、执行机构和控制器）。

其中执行机构的选择与受控对象和变量有关，控制器通常包含一个求和放大器（框图中的比较器），用于将预期响应与实际响应进行比较，然后将偏差信号送入另一个放大器。

⑥调节系统参数，以便获得所期望的系统性能。

⑦设计完成之后，由于控制器通常以硬件的形态实现，还会出现各硬件之相互干扰的现象。

进行系统集成时，控制系统设计必须考虑的诸多问题，充满了各种挑战。

3、分析研究动态系统的步骤为：①定义系统及其元件；②确定必要的假设条件并推导出数学模型；③列写描述该模型的微分方程；④求解方程（组），得到所求输出变量的解；⑤检查假设条件和多得到的解；⑥有必要，重新分析和设计系统。

4、中英文术语和概念Automation 自动化Closed-loop feedback control system 闭环反馈控制系统Complexity of design 设计的复杂性Control system 控制系统Design 设计Design gap 设计差异Engineering design 工程设计Feedback signal 反馈信号Flyball governor 飞球调节器Hybrid fuel automobile 混合动力汽车Mechatronics 机电一体化系统Multivariable control system 多变量控制系统Negative feedback 负反馈Open-loop control system 开环控制系统Optimization 优化Plant 受控对象Positive feedback 正反馈Process 受控过程Productivity 生产率Risk 风险Robot 机器人Specification 设计规范Synthesis 综合System 系统Trade-off 折中处理第二章系统数学模关键词：数学模型微分方程（组）非线性模型区域（点）线性化拉普拉斯变换合理假设相似变量相似模型线性模型线性叠加原理注：线性系统满足叠加性和齐次行。

六、系统传递函数方框图1、系统传递函数方框图系统传递函数方框图是系统数学模型的图解形式。

可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。

注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。

X i(s)K1 1m1s2 + Cs + K1 + K2Cs + K2m2s2 + Cs + K2X o(s)Cs K 2方框图的结构要素信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。

X(s),x(t) 信号线信号引出点（线）表示信号引出或测量的位置和传递方向。

同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

X(s)X(s)X(s)X(s)精品文档X (s )X (s )引出线精品文档函数方框(环节)X1(s) G(s) X2(s) 传递函数的图解表示。

函数方框函数方框具有运算功能，即：X2(s)=G(s)X1(s)求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。

用符号“ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的精品文档“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。

精品文档X1(s) X1(s)±X2(s)相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。

BA A-B A-B+CCABAA-B+C A+CA+C-B精品文档±+CC求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。

精品文档任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。

函数方框函数方框U i(s)求和点U(s) 1R I(s) 1Cs引出线U o(s)精品文档方框图示例精品文档系统方框图的建立步骤建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。

对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。

按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统精品文档的方框图。

示例无源RC网络RRi(t ) = u i (t )  u o (t )1C拉氏变换得：u i(t)Ci(t)无源RC电路网络u o(t)RI (s) = U i (s)  U o (s)1I(s) C+ i(t)dt u o (t) =U o (s) =[U i o (s)] I (s) = (s)  U U o (s) =1R1CsI (s)从而可得系统各方框单元及其方框图。

第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。

例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。

“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。

在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。

“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。

因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。

就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。