八年级数学上学期之动点问题(精品)

八年级数学动点题型归纳一、动点与三角形相关题型1. 动点在三角形边上运动求线段长度或周长题目：在等腰三角形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。

当公式时，求公式的长度。

解析：过点公式作公式于点公式。

因为公式，等腰三角形三线合一，所以公式。

在公式中，根据勾股定理公式。

当公式时，公式，则公式。

在公式中，根据勾股定理公式。

2. 动点运动过程中三角形面积的变化题目：在公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，同时点公式从点公式出发，沿公式向点公式以每秒公式个单位长度的速度运动，设运动时间为公式秒公式，求公式的面积公式与公式的函数关系式。

解析：已知公式，则公式，公式。

根据三角形面积公式公式，对于公式，底为公式，高为公式。

所以公式。

二、动点与四边形相关题型1. 动点在四边形边上运动判断四边形形状题目：在矩形公式中，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。

当公式时，四边形公式是什么四边形？解析：当公式时，公式，公式。

因为四边形公式是矩形，所以公式，公式。

则公式，公式。

在四边形公式中，公式（因为公式），公式，公式（此时公式运动到公式点），公式。

因为公式且公式，所以四边形公式是梯形。

2. 动点运动过程中四边形面积的变化题目：在平行四边形公式中，公式，公式，公式，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，点公式从点公式出发沿公式向点公式运动，速度为每秒公式个单位长度，设运动时间为公式秒。

求四边形公式的面积公式与公式的函数关系式。

解析：四边形公式的面积公式。

过点公式作公式于点公式，在公式中，公式，公式，则公式，公式。

所以公式。

因为公式，则公式。

公式。

所以公式。

三、动点与函数图象相关题型1. 根据动点运动情况确定函数图象题目：如图，在边长为公式的正方形公式中，点公式以每秒公式个单位长度的速度从点公式出发，沿公式的路径运动，到点公式停止。

1、已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元?2、3箱苹果重45千克。

一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克?3、甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。

甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米?4、刘军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，刘军要了13支，张强要了7支，刘军又给张强0.6元钱。

每支铅笔多少钱?5、甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。

由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。

甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距多少千米?(交换乘客的时间略去不计)6、学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。

第一小组每小时走4.5千米，第二小组每小时行3.5千米。

两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1小时，再去追第二小组。

多长时间能追上第二小组?7、有甲乙两个仓库，每个仓库平均储存粮食32.5吨。

甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，甲、乙两仓各储存粮食多少吨?8、甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米。

甲、乙两队每天共修多少米?9、学校买来6张桌子和5把椅子共付455元，已知每张桌子比每把椅子贵30元，桌子和椅子的单价各是多少元?10、一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。

快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，相遇时快车比慢车多行了40千米，甲乙两地相距多少千米?11、某玻璃厂托运玻璃250箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。

运后结算时，共付运费4400元。

托运中损坏了多少箱玻璃?12、五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。

第一中队步行每小时行4千米，第二中队骑自行车，每小时行12千米。

人教版八年级上册数学期末动点问题训练题(1)若点在线段上，如图所示，且，则______(2)若点在边上运动，如图所示，则、、之间的关系为(3)如图，若点在斜边的延长线上运动，请写出(1)求证：；(2)探究与的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出的值为__________P AB ①50α∠=︒12∠+∠=P AB ②α∠1∠2∠③P BA ()CE CD <α∠AF EF =AD CF 2AD CD =CF(1)求的面积；(2)如图1，若，，作交于，平分，平分交求出（用表示）；(3)如图2．若，轴于，点从点出发，在射线(1)如图1，若，则_______°ABO V 60ACB ∠=︒180NFC FCN FNC ∠+∠+∠=︒GF AB ∥AC F FP GFC ∠FN AFP ∠BAC ∠α()36P ，PC x ⊥C M P 15α=︒CBA ∠'=(2)如图2，点P 在延长线上，且．①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②连接，若，C ，P 三点共线，，，求的长．6．如图1，，，，．(1)求C 点的坐标；(2)如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点在y 轴负半轴上向下运动时，始终保持，，过D 作轴于E 点，求的值；(3)如图3，已知点F 坐标为，当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持，与y 轴负轴交于点，与x 轴正半轴交于点，当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，求的值．7．如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒．(1)当点在上时，______时，把的周长分成相等的两部分？(2)当点在上时，______时，把的面积分成相等的两部分？(3)当点在所有运动过程中，连接或，求当为何值时，的面积为12？BD DAP DBC α∠=∠=CP AP BP CP CA 'A '10BP =1CP =CA '2OA =4OB =90BAC ∠=︒AB AC =PA PD =90APD ∠=︒DE x ⊥OP DE -(44)--，Rt FGH V 90GFH ∠=︒FG (0)G m ，FH (0)H n ，m n +ABC V 90C ∠=︒8cm AC =6cm BC =10cm AB =P C C A B C →→→2cm t P AB t =CP ABC V P AB t =CP ABC V P PC PB t BCP V(1)请直接写出，两点的坐标；(2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰交轴于点，连接，求证：；(3)如图，点为y 轴上一动点，点在直线侧作等腰，若连接E ，，三点按逆时针顺序排列B C 1AB BC Rt x M BM BM DE ⊥2F (),33G m m -+Rt BCE V F G ((1)如图1，当点D 在边上时．①求证：；②直接判断结论，，的关系 (2)如图2，当点D 在边的延长线上时，其他条件不变，请写出(1)求的度数；(2)当点运动到使时，求(3)当点运动时，与BC ABD ACE ≌△△BC DC CE BC CBD ∠P ACB ABD =∠∠P APB ∠ADB ∠(1)如图①，动点在轴负半轴上，且交于点、交于点，求证：．(2)如图，在（1）的条件下，连接，求证：．(3)如图③，E 为的中点，动点G 在轴上，，，连接，作交轴于F ，猜想，、之间的数量关系，并说明理由．13．已知中．(1)如图1、2，若点是上一点，且，点是上的动点，将沿对折，点的对应点为（点和点在直线的异侧），与交于点．①当时，求的度数．②当是等腰三角形时，求的度数．(2)如图3，若点是上一点，且，是线段上的动点，以为直角构造等腰直角（三点顺时针方向排列），在点的运动过程中，直接写出的最小值．14．在平面直角坐标系中，点B 、C 的坐标分别为、，点A 在第一象限，且是等边三角形．点D 的坐标为，E 是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．(1)求出A 点坐标；(2)当点F 落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；(3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________．C x AH BC ⊥BC H OB P △≌△AOP BOC ②OH 2OHP AHB ∠=∠AB y (0,)G n 0n <GE EF GE ⊥x GB OB AF Rt ABC △90930∠︒∠︒C BC B ＝，且＝，＝D CB 2CD =E AB DBE V DE B B'B'C AB 'DB AB H 20∠=︒'B EA EDB ∠B HE 'V DEB ∠D CB 2CD =M AC MDN ∠DMN V D M N ，，M CN NB +(0,0)(12,0)ABC V (4,0)AB DE DE DE DEF V CF AC CDF V BED V DF CDF V BE(1)若，① ，②判断线段，之间有怎样的位置关系并说明理由；(2)设，，则x ，y 之间的数量关系为(3)如图2，当时，若线段，90BAC ∠=︒BCA ∠=BC CE BAC x ∠=︒BCE y ∠=︒CE AB ∥3BC =ABC V______．17．已知：如图，在平面直角坐标系中，点B是x轴上的动点，点，点，轴于点D．(1)当点B坐标为时，求证：；(2)在（1）的条件下，探究并证明和的位置关系；(3)当的周长最小时，求点B的坐标．()0,2A()5,3CCD x⊥()3,0OAB DBC≌△△AB BCABCV参考答案：(4)17． (2)，(3)CEP DBP BPB +∠∠=∠AB BC ⊥()2,0B。

八年级上册数学《第十二章 全等三角形》专题 全等三角形的应用---动点运动问题（30题）1．（2023春•虹口区校级期末）如图，AB ＝8，BC ＝10，CD 为射线，∠B ＝∠C ，点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动，速度为1个单位/秒，点Q 从点C 出发沿射线CD 运动，速度为x 个单位/秒；若在某时刻，△ABP 能与△CPQ 全等，则x ＝ ．【分析】设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形构建方程即可解决问题．【解答】解：设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形讨论：①当AB ＝PC ，BP ＝CQ 时，△ABP ≌△PCQ ，即8＝10﹣t ，解得：t ＝2，∴2x ＝2×1，∴x ＝1；②当BP ＝PC ，AB ＝CQ 时，△ABP ≌△QCP ，即t =12×10＝5，∴5x ＝8，x =85，综上所述，x ＝1或85，故答案为：1或85．【点评】本题考查全等三角形的判定、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AB ＝5cm ，AD ＝BC ＝3cm ，点E 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．【分析】设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，则当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；当AD＝BF，AE＝BE 时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分别解方程求出x即可．【解答】解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，∵∠DAB＝∠ABC，∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．故答案为：1或1.2．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．3．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，综上所述，AG＝18或AG＝70．故答案为：18或70．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（ ）A．3B．4C．2或4D．2或3【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD 与CQ是对应边两种情况讨论即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，∴BD=12×24＝12cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，PC＝（16﹣2t）c①当BD＝PC时，16﹣2t＝12，解得：t＝2，则BP＝CQ＝2t＝4，故点Q的运动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝16cm，∴BP＝PC＝8cm，∴t＝8÷2＝4（秒），故点Q的运动速度为12÷4＝3（厘米/秒）；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．5．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ）A．2或83B．6或83C．2或6D．1或23【分析】设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP＝BP、AE＝BQ或AP＝BQ，AE＝BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．【解答】解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，2y=6−2y4=8−xy，解得，x=83 y=32，即点Q的运动速度83cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，2y=8−xy4=6−2y，解得：x=6 y=1，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度83或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了．6．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（ ）A．2B．2.8C．3D．6【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣2t＝3t﹣8，解得t＝2.8；当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，由题意得，2t﹣6＝6，解得t＝6．综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图﹣基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．7．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（ ）A．2B．4C．6D．2或6【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，∵CE＝t，BD＝6﹣2t，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，∵CE＝t，BD＝2t﹣6，∴t＝2t﹣6，∴t＝6．综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．8．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为　（不考虑两三角形重合的情况）．【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．②当P在线段BC上，点Q到达终点时，如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，∴t﹣7＝7，解得t＝14．综上所述，t的值为2.5或14．【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t，当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t；（2）由题意得，16﹣4t＝2t，解得t=8 3；（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即8﹣4t＝2t，解得t=4 3，当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即4t﹣8＝2t，解得t＝4，则t=43或4时，△ADE≌△CDF．【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意求出函数关系式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=ACPQ=AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP＝BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．11．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断△BPD 与△CQP全等；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，∴BP＝CQ，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝5，∵CP＝BC﹣BP＝5，∴BD＝CP，在△BPD与△CQP中，BD=CP∠B=∠C，BP=CQ∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解得：x＝10，∴点P运动的路程为3×10＝30，∵30＝28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．12．如图，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？【分析】分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，利用三角形全等得PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t；当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，由PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值．【解答】解：设P、Q点运动的时间为t，（1）当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t，解得t＝6，即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；（2）当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，解得t＝10，（3）当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28，解得t＝6（舍去）；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，解得t＝22，舍去．综上所述：当t等于6秒或10秒时，△PFA与△QAG全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．对于动点问题常利用代数的方法解决．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD，BC=DC∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根据题意得DQ ＝tcm ，则EQ ＝（8﹣t ）cm ，由（1）得：∠A ＝∠E ，ED ＝AB ＝8cm ，在△ACP 和△ECQ 中，∠A =∠E AC =EC ∠ACP =∠ECQ，∴△ACP ≌△ECQ （ASA ），∴AP ＝EQ ，当0≤t ≤4时，2t ＝8﹣t ，解得：t =83；当4＜t ≤8时，16﹣2t ＝8﹣t ，解得：t ＝8；综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为83或8．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP ≌△ECQ ．14．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /s 的速度沿CA 向点A 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；（2）此题主要分两种情况①当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，△ABP ≌△PCQ ；当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【解答】解：（1）依题意，得PC＝（10﹣2t）（cm）．故答案为：10﹣2t；（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝6cm，∴PC＝6（cm），∴BP＝10﹣6＝4（cm），2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4（cm），v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5（cm），2t＝5，解得：t＝2.5，CQ＝BP＝6（cm），v×2.5＝6，解得：v＝2.4．综上所述：当v＝2.4或2时△ABP与△PQC全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQt=32=1.5cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 1.5x＝x+2×6，解得x＝24，∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．∵24×1.5＝36，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．16．（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E为AB中点，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中BE=PC∠B=∠CBP=CQ∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE与△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，当△BEP≌△CQP时，则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，设P点运动的时间为t秒，则3t＝8﹣3t，解得t=4 3，∴Q点的运动的速度＝5÷43=154（厘米/秒），当△BEP≌△CPQ时，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即当Q点每秒运动154厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？【分析】（1）根据∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，证得∠APD ＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，即可得到结论；（2）分两种情况：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．【解答】解：（1）△ADP≌△QBE，理由：∵∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，∵AP＝BQ＝t，在△ADP与△QBE中，∠APD=∠B∠ADP=∠QEB AP=BQ，∴△ADP≌△QBE；（2）①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即8﹣3t＝t，解得：t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即3t﹣8＝t，解得：t＝4，综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．【分析】（1）①当t＝1时，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；②当t≤4时，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣S AEP﹣S PBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S＝2t；（2）如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，从而可求得t＝2，点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒．【解答】解：（1）①当t＝1时，AP＝1，BQ＝1，∴AP＝BQ．∵E是AD的中点，∴AE=12AD＝3．∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，∴AE＝PB．在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB ∠A=∠B AP=BQ，∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．∴∠APE＝∠BQP，∵∠BQP+∠BPQ＝90°，∴∠APE+∠BPQ＝90°，∴∠EPQ＝90°，∴PE⊥PQ；②如图1所示连接QE．图1Ⅰ、当t≤4时，AP＝BQ＝t，S梯形AEQB =12（AE+BQ）•AB=12×4×（3+t）＝2t+6．S△AEP =12AE•PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB•BQ=12×（4﹣t）t＝2t−12t2．∴S＝2t+6−32t﹣（2t−12t2）．整理得：S=12t2−32t+6，如图2所示：Ⅱ、当4＜t≤6时，点P与点B重合，S=12QB•AB=12×4×t＝2t．∴S与t的函数关系式为S=2−32t+6(0＜t≤4)＜t≤6)；（2）如图3所示：∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．∴t＝AP=12AB=12×4＝2．∴点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP．故答案为：1.5．【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；（2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．综上，t＝1.2或2．【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据SAS证明：△BEF≌△ADE；②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，证明△DEF是等腰直角三角形可得结论；（2）分两种情况：①如图2，当△DAE≌△EBF时，②如图3，当△ADE≌△BFE时，分别根据AD＝BE，AE＝BF，列方程组可得结论．【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：当t＝2时，AE＝BF＝2，∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，∵AD＝5，∴BE＝AD，∵∠A＝∠B＝90°，∴△BEF≌△ADE；②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，∵DE＝EF∴∠EDF＝∠EFD，∵∠EDF+∠EFD＝90°，∴∠EDF＝45°；（说明：用其他方法的，请参照此评分标准给分）（2）存在，①如图2，当△DAE≌△EBF时，∴AD＝BE，AE＝BF，则5=7−t t=xt∴x＝1，t＝2；②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE＝BE，AD＝BF，则t=7−t 5=xt，∴x=107，t=72．（说明：每正确写出一对x、t的值，给1分．）【点评】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC+∠PDA＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠PDA＝∠CBD，又∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠C＝90°，又∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC，在△PAD和△DCB中，∠PAD=∠CAD=CB，∠PDA=∠CBD∴△PDA≌△DBC（ASA）；（2）解：如图②，∵PD⊥AB，∴∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠PAF+∠APF＝90°，又∵AE⊥AC，∴∠PAF+∠CAB＝90°，∴∠APF＝∠CAB，在△APD和△CAB中，∠APD=∠CAB∠PAD=∠C，AD=CB∴△APD≌△CAB（AAS），∴AP＝AC，∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG与△OQF全等？【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理ASA证得结论；②利用①中全等三角形的性质得到：AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，∠CAO=∠DEO OA=OE∠AOC=∠DOE，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t=143（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、143、12秒时，△OPE与△OQF全等【点评】本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，故答案为：112或192；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．。

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八年上册数学动点题1-11、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．2、已知直线m的解析式为与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，在坐标平面内有一点P（a，2），且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）求a的值．2-13、如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且相邻两平行线之间的距离均为1，则AC的长是（）4、在平面直角坐标系中,点A在第一象限,点B在第二象限,点C在坐标轴上,满足三角形ABC是Rt三角形的点C最多有a个，最少有b个，则a+b的值为解：1、AB为斜边。

以AB为直径做圆，则C点为圆与坐标轴的交点。

最多有4个，最少有2个。

2、AB为直角边。

分别过A和B点做线段AB的垂线。

则与坐标轴最多有4个交点，最少有两个（AB与X轴平行）综合上述，a=8,b=4。

因此a+b=12。

5、一次函数y=kx+b的图像与x轴和y轴分别交于A(6,0)和B(0,2根号3),动点C在x轴上运动（不与点O，点A重合），连接BC。

①若点C为（3，0）则△ABC的面积为多少②若点C（x，0）在线段OA上运动（不与点O，点A重合），求△ABC面积y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围③在x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰△？若存在，直接写出C的坐标，若不存在，说明理由。

解：①△ABC的面积为1/2AC*OB=1/2*(6-3)*2√3=3√3;②因为点C（x，0）在线段OA上运动，所以△ABC面积是1/2AC*OB=√3（6-x）=6√3-√3x，即y=6√3-√3x（0＜x＜6）③在x轴上存在点C，使△ABC为等腰△，C的坐标分别为（6-4√3,0）、（6+4√3,0）、（-6,0）和（2,0）6、点M、N是第一象限内的两点,坐标分别为M(2,3),N(4,0)(1)若点P是y轴的一个动点，当△PMN周长最小是，点P坐标为(2)若P、Q是y轴的两点（P在Q是下方），且P、Q=1，当四边形PQMN周长最小时，点P坐标为分析：PQMN周长=PQ+QM+MN+PN，而PQ=1,MN=根13，是固定的, 所以即求QM+PN最小值. 由轴对称性质，若设M'与M关于y轴对称，得MQ=M'Q 我们发现，将MQ向下平移一个单位,则P与Q重合,于是QM+PN=QM+QN，取M（2,3）下移一个单位后M1（2,2）的关于Y轴对称的点为M2（-2,2），则M1Q=M2Q，（QM1+QN）最小=M2N=2*根10。

八年级数学上学期之动点问题(精品)（精编）动点问题是数学中的一个重要内容，它涉及到点在平面上的运动和位置的变化。

本文将介绍八年级数学上学期中的动点问题。

动点问题是数学中的一个重要内容，它涉及到点在平面上的运动和位置的变化。

动点问题可以帮助我们更好地理解几何和代数的关系，同时也是解决实际问题的重要工具。

在八年级数学上学期中，我们学习了很多与动点有关的内容，例如：点的坐标、平面直角坐标系、直线的方程等。

在这些知识的基础上，我们可以解决一些复杂的动点问题。

下面我将以一个具体的例子来介绍八年级数学上学期中的动点问题。

假设有一辆汽车从A点出发，沿着直线行驶，经过B点到达C点。

汽车在A点的速度是20 km/h，在B点的速度是30 km/h，在C点的速度是40 km/h。

已知A点与B点的距离是100 km，B点与C点的距离是150 km。

现在我们要求汽车从A点出发到C点所需要的时间。

首先，我们需要确定汽车从A点到B点所需要的时间。

根据速度等于路程除以时间的公式，我们可以得到：20 = 100 / t1，其中t1表示从A点到B点所需要的时间。

解这个方程，我们可以得到t1 = 5小时。

接下来，我们需要确定汽车从B点到C点所需要的时间。

根据速度等于路程除以时间的公式，我们可以得到：30 = 150 / t2，其中t2表示从B点到C点所需要的时间。

解这个方程，我们可以得到t2 = 5小时。

最后，我们将汽车从A点到B点所需要的时间和从B点到C点所需要的时间相加，即可得到汽车从A点出发到C点所需要的总时间：t = t1 + t2 = 5小时 + 5小时 = 10小时。

所以，汽车从A点出发到C点所需要的时间是10小时。

通过这个例子，我们可以看到动点问题的解题思路：首先确定每一段路程所需要的时间，然后将这些时间相加，得到总的时间。

这个思路可以应用于更复杂的动点问题中。

在解决动点问题时，我们还可以运用一些数学工具，例如平面直角坐标系和直线的方程。

人教版八年级上册数学动点问题(精编版)1.已知△ABC中,CB=8cm,CA=6cm,P为一动点,沿着C→B→A→C的路径运动,(再次到达C 点则停止运动),P点的运动速度为2cm/秒(1)求AB的取值范围; (2)若∠C=90°,AB=10cm①当P点在CB上运动时,经过几秒钟PC=AC;②P从运动开始,几秒钟后P点与△ABC某一顶点的连线能将△ABC的面积分成相等的两部分2.如图所示，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程；（3）画出P点的位置，使得△BCP为等腰三角形（保留作图）3.（12分）如图所示，已知△ABC中，∠B=90 º，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．4．如图所示，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用的代数式表示PC的长度；（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？5、（10分）（1）如图(1)所示点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R。

精品文档八年上册数学动点题1-1．现要将其扩建成等腰三8m、某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、1 为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．角形，且扩充部分是以8m、已知直线m的解析式为与x2轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，在坐标平面内有一点P（a，2），且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）求a的值．精品文档．精品文档2-1，三角形的顶点在相互平行的，AB=BCABC=90°ABC3、如图，已知△中，∠且相邻两平行线之间的距离均为上，、l、三条直线ll1（AC则，的长是）321精品文档．精品文档三角形在坐标轴上,满足三角形ABC是Rt点、在平面直角坐标系中,点A在第一象限,B在第二象限,点C4 a+b的值为个，最少有b个，则a的点C最多有解：个。

4个，最少有2点为圆与坐标轴的交点。

最多有1、AB为斜边。

以AB为直径做圆，则C与4的垂线。

则与坐标轴最多有个交点，最少有两个（AB2、AB为直角边。

分别过A和B点做线段AB X轴平行）。

因此。

a+b=12综合上述，a=8,b=4轴上运动（不与点xC在轴和y轴分别交于A(6,0)和B(0,2根号3),动点、一次函数5y=kx+b的图像与x上OA（ABC的面积为多少②若点Cx，0）在线段为（O，点A重合），连接BC。

①若点C3，0）则△轴上是xy关于的函数解析式，并写出x的取值范围③在xO运动（不与点，点A重合），求△ABC面积C，使△ABC为等腰△？若存在，直接写出C 的坐标，若不存在，说明理由。

否存在点3)*2√3=3√3;ABC的面积为1/2AC*OB=1/2*(6-解：①△上运动，所以）在线段OA②因为点C（x，0 ，即（面积是1/2AC*OB=√36-x）=6√3-√3x△ABC ＜）x＜6√3x y=6√3-（0 的坐标分别为ABCx③在轴上存在点C，使△为等腰△，C （）（）6-（4√3,0、6+4√3,0、-6,0））和（2,0精品文档．精品文档M(2,3),N(4,0)是第一象限内的两点,坐标分别为6、点M、N 周长最小是，点P坐标为(1)若点P是y轴的一个动点，当△PMN P坐标为P、Q=1，当四边形PQMN周长最小时，点P(2)若P、Q是y轴的两点（在Q是下方），且, ，是固定的=PQ+QM+MN+PN，而PQ=1,MN=根13PQMN分析：周长.最小值所以即求QM+PNMQ=M'QMM'与关于y轴对称，得由轴对称性质，若设重合,于是QM+PN=QM+QN，我们发现，将MQ向下平移一个单位,则P 与Q）QM1+QN，（-2,2）的关于Y轴对称的点为M2（），则M1Q=M2QM1取M（2,3）下移一个单位后（2,2 。

初中八年级上册有关勾股定理的动点问题勾股定理是数学中的一个基本定理，被广泛应用于几何学和物理学中。

它是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。

勾股定理的表述是指在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边平方。

在初中八年级上册的数学课程中，勾股定理通常作为一个应用题出现，涉及到动点问题。

下面将介绍一些与勾股定理相关的动点问题示例。

一、航上的观察塔问题问题描述：一座观察塔高20米，离塔基100米处有一船只。

观察塔顶端有一个观察人员，观察到船只的仰角为30度。

求观察人员与船只之间的距离。

解法分析：根据题目描述，观察人员与船只之间构成一个直角三角形，观察塔的高度为20米，故可设观察人员与船只之间的距离为x 米。

根据勾股定理可得：x^2 = 100^2 + 20^2x^2 = 10000 + 400x^2 = 10400x = √10400 ≈ 102.05因此，观察人员与船只之间的距离约为102.05米。

二、飞机的飞行高度问题问题描述：一飞机在水平方向上以800千米/小时的速度飞行，飞行员观察到一个地面目标的仰角为60度。

求飞机飞行的高度。

解法分析：根据题目描述，飞机的飞行高度为h米，速度为800千米/小时，故可设飞机的飞行时间为t小时（t小时后飞机飞行的距离为800t千米）。

根据勾股定理可得：h^2 = (800t)^2 - (800t)^2 × sin^2(60°)化简可得：h^2 = (800t)^2 - (800t)^2 × (1/2)^2h^2 = (800t)^2 × (1 - (1/4))h^2 = 3(800t)^2 / 4因此，飞机的飞行高度为根号下3(800t)^2 / 4，即根号下3(200t)^2米。

三、烟花爆炸高度问题问题描述：一枚烟花在点火后经过3秒爆炸，观察者在听到烟花爆炸声后1.5秒时，向烟花发射点看去，发现目标方位角为45度。

已知烟花上升速度为100米/秒，求烟花爆炸的高度。

一次函数动点问题例题如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．练习题如图,以等边△OAB 的边OB 所在直线为x 轴,点O 为坐标原点,使点A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB 边长为6个单位，点P 从O 点出发沿折线OAB 向B 点以3单位/秒的速度向B 点运动,点Q 从O 点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA 向A 点运动，两点同时出发，运动时间为t （单位：秒），当两点相遇时运动停止.① 点A 坐标为_____________，P 、Q 两点相遇时交点的坐标为________________; ② 当t =2时，S =△OPQ ____________;当t =3时，OPQ S =△____________;③ 设△OPQ 的面积为S ，试求S 关于t 的函数关系式;④ 当△OPQ 的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △，若能找到请求出M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。

xyOAB xyOAB x yOAB例题如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3cm ，OB=4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）（1）过点P 做PM ⊥OA 于M ，求证：AM ：AO=PM ：BO=AP ：AB ，并求出P 点的坐标（用t 表示）（2）求△OPQ 面积S （cm 2），与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）证明无论t 为何值时，△OPQ 都不可能为正三角形。

初二数学动点问题1.已知：如图，在直角三角形ABC 中︒=∠90C ，AC=BC ，AB=8，长方形DEFG 的边DE 为2，DG 为8.将长方形DEGF 沿着BA 方向平移，求：（1）当长方形DEFG 的顶点D 平移到BC 边上时，它们的重叠部分的面积是多少？（2）当长方形DEFG 的顶点D 平移到AC 边上时，它们的重叠部分的面积是多少？（3）当长方形DEFG 的顶点E 平移到A 上时，它们的重叠部分的面积是多少？2.已知：如图三角形∆ABC 和∆DEF 都是直角三角形，AC ⊥BF 于点C ，DE ⊥BF 于点E ，AC=BC=8，DE=EF=6，将∆DEF 沿着CB 方向平移。

求（1）当∆DEF 的顶点D 平移到∆ABC 的边AB 上时，它们重叠部分的面积是多少？（2）当∆DEF 的顶点E 平移到BC 中点上时，它们重叠部分的面积是多少？3.如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，︒=∠90B ，AD=24cm ，BC=26cm 。

动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3cm/s 的速度运动。

动点P ，Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ），则当t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形，等腰梯形？4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，︒=∠90B ，AB=16，BC=12，CD=21。

动点M 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点N 从点B 出发，在线段BA 上，以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点M 、N 分别从C 、B 同时出发。

当点N 运动到点A 时，点M 随之停止运动，设运动时间为t （秒）。

当t 为何值时，以A 、M 、N 三点为顶点的三角形是等腰三角形？5.为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮内设一边长为10米的等腰三角形绿地。

1用函数知识求解动点问题，需要将问题给合几何图形的性质,建立函数模型求解，解要符合题意，要注意数与形结合。

2.以一次函数为背景的问题，要充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决，注意自变量的取值范围例题1：如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．例题2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？当堂巩固：如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。

（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278，并说明理由。

2、直线与y=x-1与两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）.A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．5、如图：直线3+=kx y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，43=OA OB ，点C(x ,y)是直线y ＝kx ＋3上与A 、B 不重合的动点。

八上20道数学动点题带答案1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为53、如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC=2. ∴AO== .在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在上取一点，使，连接．．，．是外角平分线，，．．，，．（ASA）．．（2）正确．证明：在的延长线上取一点．使，连接．．．四边形是正方形，．．．（ASA）．．6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值7、在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F.AB=4,BC=6, ∠ B=60°。

三角形与动点问题1、如图，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋DF ＝．2、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE是等腰直角三角形5、如图，在等边ABC ∆的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒=∠60CQE（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确6、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．7、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；图1 图 2②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？8、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．9.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．A QCD B P AEEAABCDE FGH KMN1234567810．如图， 直线与轴、轴分别交于点，点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿→方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿→的方向运动．已知点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动， 设运动时间为秒．（1）设四边形．．．MNPQ 的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．（2）当为何值时，与平行？三、本次课后作业：1、如图，AC 为正方形ABCD 的一条对角线，点E 为DA 边延长线上的一点，连接BE ，在BE 上取一点F ，使BF BC =，过点B 作BK BE ⊥于B ，交AC 于点K ，连接CF ，交AB 于点H ，交BK 于点G ．（1）求证：BG BH =； （2）求证：AE BG BE +=l x y ) 0,8 ( M ) 6,0 ( N P N N O ＱO O M ＱP 、ＱM ＱP 、t S S t t t ＱP llOM N xy P2、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；3、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．CPQBA M NCPQBA MNCPQB AMN AP4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．5、在ABC ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。

人教版八年级上册数学期末动点问题压轴题1．在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上且AB AE =，AF 平分CAE ∠交DE 于点F ，连接FC ．(1)如图1，求证：ABE ACF ∠=∠；(2)如图2，当60ABC ∠=︒时，求证：AF EF FB +=；(3)如图3，当=45ABC ∠︒，且AE BC ∥时，请直接写出BD 和EF 之间的数量关系：(不用写证明过程)．2．如图，在ABC 中，90B ，16AB =cm ，12BC =cm ，20AC =cm ，P 、Q 是ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 开始从点B 沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．(1)BP =__________；BQ =__________（用t 的代数式表示）； (2)当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒后，PQB △是等腰三角形？(3)点Q 在边CA 上运动，连接BQ ，出发几秒后，能使BCQ △形成以CQ 为腰的等腰三角形？3．如图，点P Q 、分别是等边ABC 边AB BC 、上的动点（端点除外），点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ CP 、交于点M ．(1)ABQ 与CAP 全等吗？请说明理由；(2)当点P Q 、分别在AB BC 、边上运动时，QMC ∠变化吗？若变化，请说明理由；若不变， 求出它的度数．4．在ABC 中，AB AC =，点D 是射线CB 上的一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使,AD AE DAE BAC =∠=∠，连接CE ，设,BAC m DCE n ∠=∠=(1)如图1，当点D 在线段CB 上，且60m =时，那么n =_________度； (2)当60m ≠①如图2，当点D 在线段CB 上时，求m 与n 间的数量关系；①如图3，当点D 在线段CB 的延长线上时，请将图3补充完整，并求出m 与n 之间的数量关系5．如图，ABC 是等边三角形，6AB ＝，动点P 沿折线AB ﹣BC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动；同时，动点Q 沿折线CA AB BC --以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动，连接PQ ，设点P 的运动时间为t （s ）（012t <<）．(1)用含t 的式子表示BP 的长；(2)当APQ 是等边三角形时，求t 的值；(3)当线段PQ 在ABC 的某条边上时，求t 的取值范围；(4)在（3）的条件下，当以点P 、Q 、A 、C 中的任意三个点为顶点构成的三角形是以PQ 为底的等腰三角形时，直接写出t 的值．6．如图，在平面直角坐标系中，点()3,0C ，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，AB AC =，点D 是x 轴上的一动点（点D 不与B 、C 重合），90CAB EAD ∠=∠=︒，AD AE =，连接CE ．(1)如图1，直接写出点A ，B 的坐标；(2)如图2，当点D 在边BC 上时，求证：①BC CE CD =+，①BC CE ⊥； (3)当5CD =时，求点E 坐标．7．在平面直角坐标系中，点(06)(80)10A B AB =，，，，，如图作DBO ABO CAy BAO ∠=∠∠=∠，，直线CD 过点O ．(1)写出线段AC BD 、的关系；(2)动点P 从A 出发，沿A O B --路线运动，速度为1，到B 点处停止；动点Q 从B 出发，沿B O A --运动，速度为2，到A 点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE CD ⊥于点E ，QF CD ⊥于点F ．问两动点运动多长时间时OPE 与OQF △全等？8．如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ﹔动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2cm/s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1cm/s 的速度运动；已知6cm AC =，设动点D ，E 的运动时间为t ．(1)当点D 沿射线AM 方向运动，满足:2:3ADB BEC S S =△△，试求运动时间t 的值；(2)当点D 在射线AM 或射线AM 的反向延长线上运动时，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值：若不存在，请说出理由．9．如图①，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABC 的边AB 在x 轴上，A ，B 两点的坐标分别为(,0)m ，(,0)n ，且2(4)|2|0m n ++-=，点C 的坐标为(0,，4BC =，点P 为x 轴上一动点.(1)点A 的坐标是__________，点B 的坐标是__________. (2)如图①，连接CP ，当14COP AOC S S =△△时，求AP 的长. (3)如图①，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，已知60OBC ∠=︒，设运动时间为(03)t t ≤≤秒．当PQB △是直角三角形时，求t 的值.10．已知等边ABC ，点P Q ，分别是直线AB BC ，上的动点．(1)如图，若点P 从顶点A 沿AB 向B 点运动，点Q 同时以相同速度从点B 沿BC 向C 点运动，连接CP 交AQ 于M ．①求证：ABQ CAP ≌△△；①点P Q 、在运动的过程中，CMQ ∠变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数；(2)如图，当点P 在BA 的延长线上，Q 在BC 上，若PQ PC =，请判断AP CQ ，和AC 之间的数量关系，并说明理由．11．已知正方形ABCD ，边长为4，动点P 以每秒1个单位的速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒4个单位速度从A 点出发沿正方形的边AD DC CB --方向顺时针作折线运动，当点Q 回到A 点时停止运动，设点P 的运动时间为t ．(1)当85t =时，证明：ABP BCQ ≌△△； (2)当6ADQS=时，ABP S △的面积是多少？(3)ADQ S △是否有最大值？如果有，请直接写出3个满足的t 的值；如果没有，请说明理由．12．如图，已知()2,0A -，()0,4B -，()1,1C ．点P 为线段OB 上一动点（不包括点O ），CD CP ⊥，CD 交x 轴于点D ，CP 交x 轴于点K ，当P 点运动时．(1)求证：CPO CDO ∠=∠； (2)求证： C P CD =；(3)下列两个结论：①AD BP -的值不变：①AD BP +的值不变，选择正确的结论求其值．13．如图，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=，点D 是直线AB 上的一动点（不和A ，B 重合），BE CD ⊥于E ，交直线AC 于F ．(1)点D 在边AB 上时，证明：DA FA =； (2)在（1）的条件下，证明：AB FA BD =+；(3)点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，探索AB ，FA ，BD 这三条线段之间的数量关系，请画出图形并直接写出正确结论．14．如图1，在ABC 中，BO AC ⊥于点O ，3AO BO ==，1OC =，过点A 作AE BC ⊥于点E ，交BO 于点F ．(1)求线段OF 的长度；(2)连接OE ，求证：45OEF ∠=︒；(3)如图2，若点P 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交线段OA 延长线于N 点，则BPMAPNS S-的值是否发生改变，若改变，请求出BPMAPNSS-的变化范围；若不改变，请求出BPMAPNS S-的值．15．已知ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE （顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．(1)如图①，当点D 在边BC 上时，求证：①BD CE =，①AC CE CD =+；(2)如图①，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC CE CD =+是否成立？若不成立，请写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图①，当点D 在边BC 的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系．16．如图所示，ABC 是边长为9的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由点A 向点C 运动（与A ，C 不重合），Q 是CB 延长线上的一点，与点P 同时以相同的速度由点B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PQ 交AB 于点D ．(1)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长．(2)试说明：在运动过程中，点D 是线段PQ 的中点．(3)在运动过程中，线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长：如果变化，请说明理由．17．如图，已知：射线AF 交CD 于E ，180CEF BAF ∠+∠=︒．(1)求证：AB CD ∥．(2)如图2，Y 为射线ED 上一动点，直接写出BAF AFY CYF ∠∠∠，，之间的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY ，延长FY 交射线AB 于W ，N 为线段AW 上一动点，若AY 平分BAF ∠，YN 平分30WYE NWY ∠∠=︒，时，求2AYN FEY ∠+∠的值．18．如图，60MON ∠=︒，点A 、B 分别是射线OM 、射线ON 上的动点，连接AB ，AMB ∠的角平分线与NBA ∠的角平分线交于点P ．(1)当OA OB =时，求证：AP OB ∥；(2)在点A 、B 运动的过程中，P ∠的大小是否发生改变？若不改变，请求出P ∠的度数；若改变请说明理由；(3)连接OP ，C 是线段OP 上的动点，D 是线段OA 上的动点，当12AOBS =，6OB =时，求AC CD +的最小值．参考答案1． (3)2BD EF =． 2．(1)()16t -cm ，2t cm (2)当163t =时，PQB △是等腰三角形 (3)11或12秒3．(1)全等，(2)QMC ∠不变，60QMC ∠=︒4．(1)120；(2)①180m n +=，①m n =5．(1)6BP t ＝﹣； (2)2t =s ；(3)当312t ≤<，且6t ≠时，线段PQ 在ABC 的某条边上；(4)当4t =或8t =时，满足以点P 、Q 、A 、C 中的任意三个点为顶点构成的三角形是以PQ 为底的等腰三角形．6．(1)()0,3A ，()3,0B - (3)E 点为()3,1或()3,117．(1)10AC BD =-，AC BD ∥ (2)当运动时间为2秒或143秒或12秒时，OPE 与OQF △全等．8．(1)当127t =s 或12s 时，满足:2:3ADB BEC S S =△△ (2)存在，2s 或6s9．(1)()40-,，(2,0)； (2)3AP =或5AP =； (3)32t =或125t =．10．(1)①不变化， (2)AP CQ AC +=，11． (2)72或132(3)有，23t ≤≤都可，答案不唯一12． (3)AD BP +的值不变，是813． (3)点D 在AB 的延长线上时，AB AF BD =-；点D 在AB 的反向延长线上时，AB BD AF =-14．(1)1(3)BPM APN SS ﹣的值不发生改变，等于9415． (2)结论AC CE CD =+不成立，CE AC CD =+，(3)补全图形见解析，CD AC CE =+，理由见解析16．(1)3(3)在运动过程中，线段ED 的长不发生变化，为定值4.517． (2)180AFY CYF BAF ∠+∠+∠=︒；(3)2150AYN FEY ∠+∠=︒．18． (2)P ∠的大小不变，60P ∠=︒(3)AC CD +的最小值为4。