初二数学动点问题练习(含答案)67532

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初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题"是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静。

数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动"等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；(3）数形结合思想；(4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样,才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容。

动态问题它们在线段、射线或弧线上运动的一类所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,..解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题开放性题目.关键:动中求静数形结合思想转化思想数学思想：分类思想从点P∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,1、如图1，梯形ABCD中，AD秒的速度移动，以2 cm/从C开始沿CB向点B边以A开始沿AD1cm/秒的速度移动，点Q t秒。

Q 分别从A，C同时出发，设移动时间为如果P，6 时，四边形是平行四边形；当t=. 8时，四边形是等腰梯形当t=上任上，且DM=1，N为对角线AC2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC5 意一点，则DN+MN的最小值为°90?ACB?AC?60°BC?2O Rt△ABC，?B中，．点、如图，在，是的中点，过3COOlACDAB作重合的位置开始，绕点．从与作逆时针旋转，交过点点边于点的直线?lABl ∥CEE于点的旋转角为，设直线交直线．??EDBCAD；的长为1（）①当度时，四边形是等腰梯形，此时??EDBCAD；度时，四边形是直角梯形，此时的长为②当l?EDBC90°?）当（2是否为菱形，并说明理由．时，判断四边形CEO ；；②解：（1）①30，160，1.5?0 .是菱形时，四边形EDBC）当∠（2α=90BA 0DAB, 是平行四边形∴四边形EDBC∵∠α=∠ACB=90//，∴BCED. ∵CE// 000.在Rt△ABC，∠B=60,BC=2, ∴∠中，∠ACB=90A=30C1AC O3320=2.，∴=30中，∠. =2∴AOA=AD= .在Rt△AOD=4,∴ABACB A 又∵四边形EDBC是平行四边形，. BD∴=2. ∴BD=BC（备用图）EDBC是菱形∴四边形E.D于，BE⊥MN于ADMNACB=90°4、在△ABC中，∠，AC=BC，直线经过点C，且⊥MN M M M C D C C E N D EA B B B A AD E图1N 图3N 图21；DE=AD＋BE绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②(1)当直线MN ；的位置时，求证：DE=AD-BE绕点(2)当直线MNC旋转到图2具有怎样的等量关系？请写出这个等量BEAD、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、(3). 关系，并加以证明∠ACD=90°CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠解：（1）①∵∠ACD=ACB=90°∴∠CEB ADC≌△CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△∴∠DE=CE+CD=AD+BE ∴CE=AD，CD=BE ∴②∵△ADC≌△CEBAC=BC ∴∠ACD=∠CBE 又∵(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°DE=CE-CD=AD-BE∴∴CE=AD，CD=BE ∴△ACD≌△CBE) ，3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DEBE=AD+DE等(3) 当MN旋转到图∠CBE，又∵AC=BC，∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD= DE=CD-CE=BE-AD. CD=BE，∴∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，90??AEF BCABCDE，5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形是边是正方形，点的中点．DCG?EFCFEFFAE 交正方形外角=，求证：的平行线．且于点ECABMMEAM，易证，连接经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取=的中点，则ECF△AME≌△EFAE?，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：CEBCEBCB外）的任意是边上（除的中点”改为“点，（1）小颖提出：如图2，如果把“点是边EFAE”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明一点”，其它条件不变，那么结论“= 过程；如果不正确，请说明理由；EFAEEBCC”是“的延长线上（除=点外）的任意一点，其他条件不变，结论（2）小华提出：如图3，点仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．D ）正确．解：（1A EC?AMMEABM D ，连接证明：在，使上取一点．A F135???AME??BME?45BE??BM．．，°°F M 135ECF?CF??DCF?45??，．是外角平分线，°°B C E G ECF????AME．B 1 图C E G90?AEB??CEFAEB??BAE??90?，，°°D A ?BAE??CEF?△AME≌△BCFEF??AE?（ASA．．．） F （2）正确．NAN?CENEBA．．使的延长线上取一点证明：在，连接B E C G?BN?BE??N??PCE?45N ．．°FF2图ABCDBE?AD D ．是正方形，四边形∥A D ACEF????NAEBEA??DAE??．．ECF≌△?△ANE）ASA（．EF??AE．B E C G B E C G 3图沿射线M从3,动点P且MB外一点,AB=5A到射线MB的距离为是射线射线6、如图, MB 上,MB=9,A 的运动时间为t. 秒的速度移动，设MB方向以1个单位/P 值；PAB为直角三角形的t）△t）△1 PAB为等腰三角形的值；（2 求（值为直角三角形的ABM=45 AB=5 3（）若且∠°，其他条件不变，直接写出△PABt2BC∥ADCDABCDBCEF∥EABE于点，交中，是作7、如图1，在等腰梯形的中点，过点6BC?AB?4，BC60?∠B?EF到）求点的距离；求：.（，1．ADCBCMN∥ABPEFPM?PMMEF交折线过过作于点作，（2）点交为线段上的一个动点，PNxEP?N.，连结于点，设PMNP△NMN△AD的周长；若的形状是否发生改变？若不变，求出2）①当点在线段，上时（如图改变，请说明理由；PMN△NDCP为等腰三角形？若存在，请求出所有），是否存在点②当点在线段，使上时（如图3x满足要求的的值；若不存在，请说明理由N A A A D D DN PPF F F EE EBBBC C CM M3图1 图2图（第25题）AD A DF EF EBC BC5图（备用）图4（备用）1．?BE?2AB．GEG?BC2EEAB于点∵∴为11解（）如图，过点的中点，作122．2EG1?BGBE?，??1?3．Rt△30?60，?∠BEG??B∠EBG2∴在中，∴3．3BC A D E即点到的距离为PMN△NAD的形状不发生改变．2）①当点上运动时，在线段（F E．∥EG?EGEF，PMPM?EF，∴∵．?3PM?EG．GM4?MNAB?EPEF∥BC，?同理，∴∵ BCG ，∥ABPH?MNMNPH如图2，过点于作，∵1图NA D 31．?PH?PM．??60?，∠PMH?30∠NMC?∠B∴∴22PFE533．???MN?MH?4MH?PM cos30??．NH∴则H222 BCMG?22．7?PN?NH?PH??PNH△Rt在中，????2图??22????．4PM?PN?MN?3?7?PMN△的周长∴=MNCNDC△PMN△在线段的形状发生改变，但上运动时，恒为等边三角形．②当点．?MNMR?NRPM?PNPRR于时，如图3当，作，则3?．MR．3MN?3．MN?2MR?△MNCMC?类似①，∵是等边三角形，∴∴2．?6?1?3?2?x?EPGM?BC?BG?MC此时，A DA D A DN P PP）F（EF EFE N RNBCBCBCGMGM GM 图54图3图x?EP?GM?6?1?3．?3?5?3．MPMC?MN?MNMP?此时，，这时时，如图当4NP?NM∠NPM?∠PMN?30?．∠MNC?60?，∠PMN?120?，则5，当又时，如图∠PNM?∠MNC?180?．△PMCPF为直角三角形．∴与重合，因此点MC?PM tan30??1．x?EP?GM?6?1?1?4．此时，∴??3?5PMN△x?2或时，或4综上所述，当为等腰三角形．8BC??△ABCAB?AC10ABD厘米，点为厘米，8、如图，已知中，的中点．点A点向上由在线段点点运动，点向的速度由上以在线段如果点(1）PBC3cm/sBC同时，QCAC 运动4△CQP BPD△是否全等，请说明理由；与的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，①若点Q△CQP BPD△与能够使P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，②若点Q 的运动速度与点全等？△ABC都逆时针沿以原来的运动速度从点B同时出发，以②中的运动速度从点C出发，点P （2）若点Q△ABC的哪条边上相遇？第一次在三边运动，求经过多长时间点P与点Q A3??1BP?CQ?31?t）①∵∴厘米，秒，解：（15BD?AB?10ABD厘米．厘米，点∵为∴的中点DQBD?5PC?BC?8PC?8?3?PCBC?BP，厘米，又∵厘米，∴∴BCPCQP△BPD≌△C?B??AB?AC．∴又∵，∴，vv?5?CQ?BDBPCQP?PC?4，?BPCQ△BPD≌△C?B??QP，，，∴则②∵，，又∵155CQ?v??4BP Q4t4??t Q333P秒。

初二数学动点练习题1. 直线上的动点问题- 题目：在直线AB上，点C是动点，当点C沿着直线AB移动时，求证∠ACB是一个恒定的角度。

2. 圆上的动点问题- 题目：圆O的半径为5，点P是圆上的动点。

求证：无论点P在圆上如何移动，OP的长度始终为5。

3. 动点与线段的关系- 题目：线段AB的长度为10，点C是线段AB上的动点。

当点C从A向B移动时，求线段AC的长度与线段BC的长度之和是否恒定。

4. 动点与三角形的面积- 题目：三角形ABC的面积为30平方单位，点D是边AB上的动点。

求证：无论点D在AB上如何移动，三角形ACD的面积始终是三角形ABC面积的一半。

5. 动点与平行四边形的对角线- 题目：平行四边形ABCD中，点E是边AB上的动点，点F是边CD 上的动点，且EF始终是平行四边形的对角线。

求证：无论点E和点F如何移动，EF的长度始终等于AB和CD的长度之和。

6. 动点与圆的切线- 题目：圆O的半径为6，点P是圆O外的一点，点Q是圆O上的动点。

当点Q沿着圆O移动时，求证：点P到圆O的切线长度始终等于点P到点Q的距离。

7. 动点与相似三角形- 题目：三角形ABC与三角形DEF相似，点G是三角形ABC的动点，点H是三角形DEF的动点，且GH始终是三角形ABC和三角形DEF的对应边的平行线。

求证：无论点G和点H如何移动，三角形AGH与三角形DEF始终相似。

8. 动点与坐标系- 题目：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,6)。

点C是线段AB上的动点，其坐标为(x,y)。

求证：无论点C如何移动，x和y的和始终等于点A和点B坐标的和。

练习题答案提示：- 对于直线上的动点问题，可以利用角度的恒定性，结合直线的性质来证明。

- 对于圆上的动点问题，可以利用圆的半径性质来证明。

- 对于动点与线段的关系问题，可以利用线段长度的加法性质来证明。

- 对于动点与三角形的面积问题，可以利用三角形面积的计算公式来证明。

初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。

静态问题之蔡仲巾千创作创作时间：二零二一年六月三十日所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图1, 梯形ABCD 中, AD ∥ BC, ∠B=90°, AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动, 点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动, 如果P, Q 分别从A, C 同时动身, 设移动时间为t 秒. 当t=时, 四边形是平行四边形；6 当t=时, 四边形是等腰梯形. 82、如图2, 正方形ABCD 的边长为4, 点M 在边DC 上, 且DM=1, N 为对角线AC 上任意一点, 则DN+MN 的最小值为53、如图, 在Rt ABC △中, 9060ACB B ∠=∠=°，°, 2BC =．点O 是AC 的中点, 过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始, 绕点O 作逆时针旋转, 交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E , 设直线l 的旋转角为α．（1）①当α=度时, 四边形EDBC 是等腰梯形, 此时AD 的长为；,,（2, 并说明理由．解：（1）①30, 1；②60, 1.5；（2）当∠α=900时, 四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900, ∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中, ∠ACB=900, ∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO在Rt△AOD中, ∠A=300, ∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形,∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, 直线MN经过点C, 且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时, 求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, 求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时, 试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系, 并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠AC D=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°（备用图）CBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图3∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD, CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD, CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时, DE=BE-AD(或AD=BE-DE, BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE, 又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE, ∴AD=CE, CD=BE, ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上, 张老师出示了问题：如图1, 四边形ABCD是正方形, 点E是边BC且EF经过思考, 小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M, 连接ME, 则AM=EC,在此基础上, 同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2, 如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B, C外）的任意一点”, 其它条件不变, 那么结论“AE=EF”仍然成立, 你认为小颖的观点正确吗？如果正确, 写出证明过程；如果不正确, 请说明理由；（2）小华提出：如图3, 点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点, 其他条件不变, 结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确, 写出证明过程；如果不正确, 请说明理由．解：（1）正确．ASA ）．（2）正确．四边形ASA ）．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单元/秒的速度移动, 设P 的运动时间为t.求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °, 其他条件不变, 直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值7、如图1, , 过点ADFC GE B图1ADFC GE B图3ADFC GE B图2ADFG BN求：（1）求点（2,2）变？若不变,, 请说明理由；3）,等腰三角形？若存在, ,请说明理由解（1）如图1,, ∴在中,∴∴A DE FA DEBFC图4（备A DEBFC图5（备A DEBFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）（2如图2,cos30︒=中,PN的周长=PM在线段DC,恒为等边三角形．如图3,∵是等边三角形, ∴此时那时, 如图4, 这时此时,那时, 如图5, 则又图3A DEBFCPNM图4A DEBFCPMN图5A DEBFCMNGGRG图2A DEBFCPNMGH综上所述,48、如图,,(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动, 同时, 点Q 在线段CA 上由C点向A 点运动①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等, 经过1秒后,, 请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等, 当点Q 的运动速度为几多时,（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 动身, 点P 以原来的运动速度从点B 同时动身,, 求经过多长时间点P 与点Q解：（1,,,,又∵厘米, ∴厘米, ∴②又则∴点P , 点Q 运动的时间433BP t ==秒, ∴515443Q CQ v t===厘米/秒.（2）设经过x 秒后点P与点Q 第一次相遇, 由题意, 得1532104x x =+⨯, 解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+, ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇,∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．9、如图所示, 在菱形ABCD 中, AB =4, ∠BAD =120°, △AEF 为正三角形, 点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动, 且E 、F 不与B ．C ．D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动, 总有BE =CF ； （2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时, 分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变动？如果不变, 求出这个定值；如果变动, 求出最年夜（或最小）值．【谜底】解：（1）证明：如图, 连接AC∵四边形ABCD 为菱形,∠BAD =120°,∠BAE +∠EAC =60°,∠FAC +∠EAC =60°,∴∠BAE =∠FAC .∵∠BAD =120°, ∴∠ABF =60°.∴△ABC 和△ACD 为等边三角形.∴∠ACF =60°, AC =AB .∴∠ABE =∠AFC .∴在△ABE 和△ACF 中, ∵∠BAE =∠FAC , AB =AC ,∠ABE =∠AFC ,∴△ABE ≌△ACF （ASA ）.∴BE =CF .（2）四边形AECF 的面积不变, △CEF 的面积发生变动.理由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF , 则S △ABE =S △ACF .∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △ABE =S △ABC , 是定值. 作AH ⊥BC 于H 点, 则BH =2,22AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4322∆==⋅⋅=⋅-=四形边.由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时, 边AE 最短．故△AEF 的面积会随着AE 的变动而变动, 且当AE最短时, 正三角形AEF 的面积会最小,又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF , 则此时△CEF 的面积就会最年夜．∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF()()221432323332=-⋅⋅-=.∴△CEF 的面积的最年夜值是3.【考点】菱形的性质, 等边三角形的判定和性质, 全等三角形的判定和性质, 勾股定理, 垂直线段的性质.【分析】（1）先求证AB=AC, 进而求证△ABC、△ACD为等边三角形, 得∠ACF=60°, AC=AB, 从而求证△ABE≌△ACF, 即可求得BE=CF.（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF, 故根据S四边形AEC F=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△AB E=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值.当正三角形AEF的边AE与BC垂直时, 边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变动而变动, 且当AE最短时, 正三角形AEF的面积会最小, 根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF, 则△CEF的面积就会最年夜.10、如图, 在△AOB中, ∠AOB=90°, OA=OB=6, C为OB上一点,射线CD⊥OB交AB于点D, OC=2．点P从点A动身以每秒个单元长度的速度沿AB方向运动, 点Q从点C动身以每秒2个单元长度的速度沿CD方向运动, P、Q两点同时动身, 当点P到达到点B时停止运动, 点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E, PF⊥OB于点F, 获得矩形PEOF．以点Q为直角极点向下作等腰直角三角形QMN, 斜边MN∥OB, 且MN=QC．设运动时间为t（单元：秒）．（1）求t=1时FC的长度．（2）求MN=PF时t的值．（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部份时, 求重叠（阴影）部份图形面积S与t的函数关系式．（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．相似形综合题．考点：分（1）根据等腰直角三角形, 可得, OF=EP=t, 再将t=1代入求出FC的长度；创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 析： （2）根据MN=PF, 可得关于t 的方程6﹣t=2t, 解方程即可求解； （3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部份图形面积S 与t 的函数关系式；（4）分M 在OE 上；N 在PF 上两种情况讨论求得△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值．解答： 解：（1）根据题意, △AOB 、△AEP 都是等腰直角三角形．∵, OF=EP=t,∴当t=1时, FC=1；（2）∵AP=t, AE=t, PF=OE=6﹣tMN=QC=2t∴6﹣t=2t解得t=2．故当t=2时, MN=PF ；（3）当1≤t≤2时, S=2t 2﹣4t+2；当2＜t≤时, S=﹣t 2+30t ﹣32；当＜t≤3时, S=﹣2t 2+6t ；（4）△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t=2或．点评： 考查了相似形综合题, , 函数思想, 方程思想, 分类思想的运用, 有一定的难度．创作时间：二零二一年六月三十日。

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 53、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300.∴AB =4,AC =23. ∴AO =12AC=3 .在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.O E CDA α lOCA （备用图） CB AE D 图1 N M A B C D EM N 图2A CB E D N M 图3(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 解：（1）正确． 证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠． 90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD FC G E B 图1 AD FG B 图3A D FC GE B 图2A D F C GB M A D FC G E B N7、在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,E为AB的中点,过点E作EF‖BC交CD于点F.AB=4,BC=6, ∠B=60°。

动背问题之阳早格格创做所谓“动面型问题”是指题设图形中存留一个或者多个动面,它们正在线段、射线或者弧线上疏通的一类启搁性题目.办理那类问题的闭键是动中供静,机动使用有闭数教知识办理问题.闭键:动中供静.数教思维：分类思维数形分离思维转移思维1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,面P从A启初沿AD边以1cm/秒的速度移动，面Q从C启初沿CB背面B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C共时出收，设移动时间为t秒.当t=时，四边形是仄止四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正圆形ABCD的边少为4，面M正在边DC上，且DM=1，N为对于角线AC上任性一面，则DN+MN的最小值为53、如图，正在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．面O是AC的中面，过面O的曲线l从与AC沉合的位子启初，绕面O做顺时针转动，接AB边于面D．过面C做CE AB∥接曲线l于面E，设曲线l的转动角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的少为；②当α=度时，四边形EDBC是曲角梯形，此时AD 的OE CDAαlOCA（备用图）少为；（2）当90α=°时，推断四边形EDBC 是可为菱形，并道明缘由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是仄止四边形正在Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=2∴AO=12AC= .正在Rt △AOD 中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC 是仄止四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、正在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，曲线MN 通过面C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当曲线MN 绕面C 转动到图1的位子时，供证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ；(2)当曲线MN 绕面C 转动到图2的位子时，供证：DE=AD-BE ；(3)当曲线MN 绕面C 转动到图3的位子时，试问DE 、AD 、BE 具备何如的等量闭系？请写出那个等量闭系，并加以道明. 解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEBCB A E D图1 N MA B CDEM N 图2A CB ED N M图3②∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 转动到图3的位子时，DE=BE-AD(或者AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数教课上，弛教授出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正圆形，面E 是边BC 的中面．90AEF ∠=，且EF 接正圆形中角DCG ∠的仄止线CF 于面F ，供证：AE=EF ．通过思索，小明展示了一种精确的解题思路：与AB 的中面M ，对接ME ，则AM=EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．正在此前提上，共教们做了进一步的钻研：（1）小颖提出：如图2，如果把“面E 是边BC 的中面”改为“面E 是边BC 上（除B ，C 中）的任性一面”，其余条件没有变，那么论断“AE=EF”仍旧创造，您认为小颖的瞅面精确吗？如果精确，写出道明历程；如果没有精确，请道明缘由；（2）小华提出：如图3，面E 是BC 的延少线上（除C 面中）的任性一面，其余条件没有变，论断“AE=EF”仍旧创造．您认为小华的瞅面精确吗？如果精确，写出道明历程；如果没有精确，请道明缘由． 解：（1）精确．道明：正在AB 上与一面M ，使AM EC =，对接ME ．ADFCGE B图1ADF CGEBMBM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF是中角仄分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）精确．道明：正在BA 的延少线上与一面N ．使AN CE =，对接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正圆形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 中一面,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动面P 从M 沿射线MB 目标以1个单位/秒的速度移动，设P 的疏通时间为t.供（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为曲角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其余条件没有变，间接写出△ PAB 为曲角三角形的t 值7、如图1，正在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中面，过面E 做EF BC ∥接CD 于面F．46AB BC ==，，60B =︒∠.供：（1）供面E 到BC 的距离；ADFGB图3ADFCGB 图2ADFC G E BN（2）面P 为线段EF 上的一个动面，过P 做PM EF ⊥接BC 于面M ，过M做MN AB ∥接合线ADC 于面N ，连结PN ，设EP x =.①当面N 正在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是可爆收改变？若没有变，供出PMN △的周少；若改变，请道明缘由；②当面N 正在线段DC 上时（如图3），是可存留面P ，使PMN △为等腰三角形？若存留，哀供出所有谦脚央供的x 的值；若没有存留，请道明缘由解（1）如图1，过面E 做EG BC⊥于面G ．∵E 为AB的中面，∴122BE AB ==．正在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即面E 到BC（2）①当面N 正在线段AD 上疏通时，PMN △的形状没有爆收改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥．图1A D E BF CGA D E BF C图4（备用）AD EBF C 图5（备用）A D E BF C图1 图2A D E BF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题）∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==共理4MN AB ==． 如图2，过面P 做PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．正在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周少=4PM PN MN ++=．②当面N 正在线段DC 上疏通时，PMN △的形状爆收改变，但是MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，做PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN=时，如图4，那时MC MN MP ==此时，615x EP GM ===- 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．果此面P 与F 沉合，PMC △为曲角三角形． ∴tan 301MC PM=︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或者4或者(5时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，面D 为AB 的中图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A DEBF （P ） CMN GGRG图2A D E BFCPNMG H面．(1）如果面P 正在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 面背C 面疏通，共时，面Q 正在线段CA 上由C 面背A 面疏通①若面Q 的疏通速度与面P 的疏通速度相等，通过1秒后，BPD △与CQP △是可齐等，请道明缘由；②若面Q 的疏通速度与面P 的疏通速度没有相等，当面Q 的疏通速度为几时，不妨使BPD △与CQP △齐等？（2）若面Q 以②中的疏通速度从面C 出收，面P 以本去的疏通速度从面B 共时出收，皆顺时针沿ABC △三边疏通，供通过多万古间面P 与面Q 第一次正在ABC △的哪条边上相逢？ 解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，面D 为AB 的中面， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米，∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ≠， 又∵BPD CQP△≌△，B C∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴面P ，面Q 疏通的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒.（2）设通过x 秒后面P 与面Q 第一次相逢， 由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒．∴面P共疏通了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴面P、面Q正在AB边上相逢，∴通过803秒面P与面Q第一次正在边AB上相逢．9、如图所示，正在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，面E、F分别正在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F没有与B．C．D沉合．（1）道明没有管E、F正在BC．CD上怎么样滑动，总有BE=CF；（2）当面E、F正在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF战△CEF的里积是可爆收变更？如果没有变，供出那个定值；如果变更，供出最大（或者最小）值．【问案】解：（1）道明：如图，对接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC.∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°.∴△ABC战△ACD为等边三角形.∴∠ACF=60°，AC=AB.∴∠ABE=∠AFC.∴正在△ABE战△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）.∴BE=CF.（2）四边形AECF 的里积没有变，△CEF 的里积爆收变更.缘由如下：由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE=S △ACF. ∴S 四边形AECF=S △AEC+S △ACF=S △AEC+S △ABE=S △ABC ，是定值.做AH ⊥BC 于H 面，则BH=2，22AECF ABC 11S S BC AH BC AB BH 4322∆==⋅⋅=⋅-=四形边.由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 笔曲时，边AE 最短．故△AEF 的里积会随着AE 的变更而变更，且当AE最短时，正三角形AEF 的里积会最小，又S △CEF=S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的里积便会最大．∴S △CEF=S 四边形AECF ﹣S △AEF ()()221432323332=-⋅⋅-=.∴△CEF 的里积的最大值是3.【考面】菱形的本量，等边三角形的判决战本量，齐等三角形的判决战本量，勾股定理，笔曲线段的本量.【分解】（1）先供证AB=AC ，从而供证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB ，从而供证△ABE ≌△ACF ，即可供得BE=CF.（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S 四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的里积是定值.当正三角形AEF的边AE与BC笔曲时，边AE最短．△AEF的里积会随着AE的变更而变更，且当AE最短时，正三角形AEF的里积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的里积便会最大.10、如图，正在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一面，射线CD⊥OB接AB于面D，OC=2．面P从面A出收以每秒个单位少度的速度沿AB目标疏通，面Q从面C出收以每秒2个单位少度的速度沿CD目标疏通，P、Q二面共时出收，当面P到达到面B时停止疏通，面Q也随之停止．过面P做PE⊥OA于面E，PF⊥OB 于面F，得到矩形PEOF．以面Q为曲角顶面背下做等腰曲角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设疏通时间为t（单位：秒）．（1）供t=1时FC的少度．（2）供MN=PF时t的值．（3）当△QMN战矩形PEOF有沉叠部分时，供沉叠（阳影）部分图形里积S与t的函数闭系式．（4）间接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个大众面时t的值．考面：相似形概括题．分解：（1）根据等腰曲角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代进供出FC的少度；（2）根据MN=PF，可得闭于t的圆程6﹣t=2t，解圆程即可供解；（3）分三种情况：供出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；供出沉叠（阳影）部分图形里积S与t的函数闭系式；（4）分M正在OE上；N正在PF上二种情况计划供得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个大众面时t的值．解问：解：（1）根据题意，△AOB、△AEP皆是等腰曲角三角形．∵，OF=EP=t，∴当t=1时，FC=1；（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6﹣tMN=QC=2t∴6﹣t=2t解得t=2．故当t=2时，MN=PF；（3）当1≤t≤2时，S=2t2﹣4t+2；当2＜t≤时，S=﹣t2+30t﹣32；当＜t≤3时，S=﹣2t2+6t；（4）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个大众面时t=2或者．面评：考查了相似形概括题，波及的知识有等腰曲角三角形的本量，图形的里积估计，函数思维，圆程思维，分类思维的使用，有一定的易度．。

初二动点问题（含答案）作者:日期: 2动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目•解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题•关键：动中求静•数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1,梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P, Q分别从A , C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= _____ 时，四边形是平行四边形；6当t= _____ 时，四边形是等腰梯形• 82、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为_________ 53、如图，在只也ABC中，ACB 90°, B 60°, BC 2•点°是AC的中点，过点°的直线l从与AC重合的位置开始，绕点°作逆时针旋转，交AB边于点D •过点C作2CE // AB 交直线I 于点E ，设直线I 的旋转角为(1)①当度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为②当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为(2)当 90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由.解：(1 ［① 30, 1 :② 60, 1.5;(2)当/% =900时，四边形 EDBC 是菱形•v/a =/ACB=90°,「. BC//ED. T CE//AB,二四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt △ABC 中，/ ACB=900,/ B=60°,BC=2, /./ A=30°.137AC3••• AB=4,AC=2 '3. ••• A°= 2 = 3 •在 Rt △ AOD 中，/ A=30,二 AD=2.B• BD=2. • BD=BC. 又•••四边形 EDBC 是平行四边形, •四边形EDBC 是菱形 4、C ,A(1) 当直线 MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ ADC ◎△ CEB •，②DE=AD + BE ;⑵当直线 MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证： DE=AD-BE ;⑶当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明•解：(1 ［① •••/ ACD= / ACB=90 •••/ CAD+ / ACD=90 /-Z BCE+ / ACD=90•••/ CAD= Z BCE •/ AC=BCADC ◎△ CEB② •/△ ADC ◎△ CEB • CE=AD , CD=BE • DE=CE+CD=AD+BE(2) T Z ADC= Z CEB= Z ACB=90°ACD= Z CBE又 ■: AC=BCACD ◎△ CBE • CE=AD , CD=BE • DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转至U 图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)•/Z ADC= Z CEB= Z ACB=90° /Z ACD= Z CBE , 又 ■: AC=BC ,ACD ◎△ CBE ,• AD=CE , CD=BE ,• DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题： 如图1,四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点. AEF 90°,且EF 交正方形外角 DCG 的平行线CF 于点F ,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点 M 连接 ME 则 AM =EC,易证△ AME ECF ，所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上(除B, C 外)的任意 一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由；(3) 若AB=5且Z ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值(2)小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF' 仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 解：(1)正确. 证明：在 AB 上取一点M ，使AM45°DCFBM BE . BME QCF 是外角平分线，AMEQ AEBBAE(2)正确.证明：在BA 的延长线上取一点 NBN BE . N PCEQ 四边形ABCD 是正方形， ADAE BEA . NAE △ ANEECF (ASA ). AE EF .ECF . BAE 90°， CEF . AEB△6、如图，射线MB 上,MB=9,A 是射线 MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设 求(PAB 为等腰三角形的t 值;MB 外一点,AB=5且A 到射线 P 的运动时间为t.(2)△ PAB 为直角三角形的t 值; 如果不正确，请说明理由. MB 的距离为3,动点P 从图沿射线2 ＞过P 作PG 丄IVIN 于G VMN/7AB^NM=NP过N 作NR 丄MP^R 则有：RM=0.5FM= V宀 忑 J ：Rt ANMRM^RM- y MN=」CMV3 再A — {5・X j ■亍:、x=43。

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,敏捷运用有关数学学问解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开场沿AD 边以1cm/秒的速度挪动，点Q 从C 开场沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度挪动，假如P ，Q 分别从A ，C 同时动身，设挪动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上随意一点，则DN+MN 的最小值为 53、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开场，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α． （1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，推断四边形EDBC 是否为菱形，并说明O ECDα lOC理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300. ∴AB =4,AC. ∴AO =12AC.在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BEC B AE D图1 N M A B CDEM N图2 A C B ED N M 图3(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张教师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思索，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此根底上，同学们作了进一步的讨论：（1）小颖提出：如图2，假如把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的随意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍旧成立，你认为小颖的观点正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的随意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍旧成立．你认为小华的观点正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明理由． 解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．A DFCGE B 图1A DFC GE B图2A DF CGE BM证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥． ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． 6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的间隔 为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度挪动，设P 的运动时间为t.求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值； （3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，干脆写出△ PAB 为直角三角形的t 值7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.求：（1）求点E 到BC 的间隔 ； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形态是否发生变更？若不变，求出PMN △的周长；若变更，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，恳求出全部满意要求的x 的值；若不存在，请说明理由A D FC GE B图3A D FC GE BN解（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G ． ∵E为AB的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC 的间隔（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形态不发生变更．∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==．如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形态发生变更，但MNC △恒为等图1A D EB F CG图2A DE BF CPN MG HA D E BFC图4（备AD EBF C图5（备A D E BF C 图图A DE BF C P N M图A DEBFC P N M（第25边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． (1）假如点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，可以使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 动身，点P 以原来的运动速度从点B 同时动身，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第图3A DE B FCPN M图4A D E BFCP M N 图5A D E BF CMN GGR G一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ≠， 又∵BPD CQP△≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。

eandr动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为53、如图，在Rt ABC△中，9060ACB B∠=∠=°，°，2BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC∴AO=12AC.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等AA（备用图）CBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图3量关系，并加以证明.解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠= °，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．（2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t.求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值AD F C GB图1ADFC GEB图3A DFC GB 图2AD FC GE B MADFGE BNAllthisinth7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC∥，E是AB的中点，过点E作EF BC∥交CD于点F．46AB BC==，，60B=︒∠.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF⊥交BC于点M，过M作MN AB∥交折线ADC于点N，连结PN，设EP x=.①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC⊥于点G．∵E为AB的中点，∴122BE AB==．在Rt EBG△中，60B=︒∠，∴30BEG=︒∠．∴112BG BE EG====，．即点E到BCA DA DEBFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DEBFC图1图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）si（2）①当点N在线段AD上运动时，PMN△的形状不发生改变．∵PM EF EG EF⊥⊥，，∴PM EG∥．∵EF BC∥，∴EP GM=，PM EG==同理4MN AB==．如图2，过点P作PH MN⊥于H，∵MN AB∥，∴6030NMC B PMH==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM==∴3cos302MH PM=︒=A．则35422NH MN MH=-=-=．在Rt PNH△中，PN===∴PMN△的周长=4PM PN MN++=++．②当点N在线段DC上运动时，PMN△的形状发生改变，但MNC△恒为等边三角形．当PM PN=时，如图3，作PR MN⊥于R，则MR NR=．类似①，32MR=∴23MN MR==．∵MNC△是等边三角形，∴3MC MN==．此时，6132x EP GM BC BG MC===--=--=．当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP===此时，615x EP GM===--=当NP NM=时，如图5，30NPM PMN==︒∠∠．则120PMN=︒∠，又60MNC=︒∠，∴180PNM MNC+=︒∠∠．因此点P与F重合，PMC△为直角三角形．∴tan301MC PM=︒=A．此时，6114x EP GM===--=．综上所述，当2x=或4或(5时，PMN△为等腰三角形．8、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；图3A DEBFCPNM图4A DEBFCPMN图5A DEBF（PCMNGGRG图2A DEBFCPNMGH②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△．②∵P Qv v ≠，∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。

人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习（详细参考答案附后）1、在△ABC中，BC=12cm，AC=9，点P为一动点，沿着C→B→A→C的路径运动（返回C点时则停止运动），已经点P的运动速度为2cm/秒，试求：（1）AB的取值范围；（2）若∠C=90度，AB=15cm①当P点在CB上运动时，经过多长时间PC=AC；②经过多长时间后，点P与△ABC某一顶点的连线将把△ABC的周长分成相等的两部分.③当P从运动开始，几秒后点P与△ABC某一顶点的连线将这个△ABC分成面积相等的两部分；2、点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交AB 于点E，交CA的延长线于点F。

（1）如图（1），请观察AF与AE，它们相等吗？并证明你的猜想。

（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB 的延长线上时，（1)中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明。

3、如图，己知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点。

如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3)。

（1）用的代数式表示PC的长度；（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？人教版八年级数学上册数学动点问题专题练习参考答案1、在△ABC中，BC=12cm，AC=9，点P为一动点，沿着C→B→A→C的路径运动（返回C点时则停止运动），已经点P的运动速度为2cm/秒，试求：（1）AB的取值范围；（2）若∠C=90度，AB=15cm①当P点在CB上运动时，经过多长时间PC=AC；②经过多长时间后，点P与△ABC某一顶点的连线将把△ABC的周长分成相等的两部分.③当P从运动开始，几秒后点P与△ABC某一顶点的连线将这个△ABC分成面积相等的两部分；解：（1）根据三角形三边之间的关系可知AB> BC -AC AB<AC+BC∴AB> 12 -9 AB<12+9即：3<AB<21（2）①∵PC=AC=9 t=v÷s=9÷2=4.5（秒）②△ABC的周长一半=（AB+ AC+BC）÷2=（15+9+12）÷2=36÷2=18（cm）当P从点C往点B运动至9cm处时，点P与点A的连线恰好将△ABC的周长分成相等的两部分。

初中八年级下册数学动点问题试题附答案
本文档为初中八年级下册数学动点问题试题及其答案附录。

以下为试题内容：
试题一
1. 一辆汽车每小时行驶60千米。

已知一条道路上两个小车相距120千米，两车同时从两端开始开过。

在2小时后两车相遇，求另一辆小车时速是多少？
答案：另一辆小车的时速是40千米/小时。

试题二
2. 一架直升机从A地出发，向东飞行100千米后转向南飞行，飞行速度为60千米/小时。

飞行2小时后，在B地降落。

求直升机从A地到B地的飞行距离及飞行时间。

答案：直升机从A地到B地的飞行距离为140千米，飞行时间为3小时。

试题三
3. 一列火车以每小时80千米的速度从A地开往B地，一辆汽
车以每小时60千米的速度同时从B地向A地开。

若两车从相距
200千米的时候开始计时，火车到达B地后返回A地的时候，两车
相距250千米。

求两地的距离。

答案：A地和B地的距离为450千米。

试题四
4. 一条有笔直通道，两边都是田地。

东边的直边上有一棵高度
为2米的树，西边的直边上有一棵高度为3米的树。

直道的宽度为
4米，人从田地一头走到另一头的时间为2分钟。

求人的步行速度。

答案：人的步行速度为60米/分钟。

希望上述试题及答案能帮助到您。

如有其他问题或需要进一步帮助，请随时告知。

初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。

动态问题时间：2021.02.04创作：欧阳育所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图1，梯形ABCD 中，AD∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t=时，四边形是平行四边形；6 当t=时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为53、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α=度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC 是平行四边形在Rt△ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.. ∴AO=12AC.在Rt△AOD 中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD⊥MN 于D，BE⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°（备用图）CB AE D图1 N MA B CDEMN 图2 A CB EDNM图3∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC ∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=． （2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t.求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值ADF CGE B图1 ADFC GB图3ADFCGE B 图2A DFGBMADFGE BN7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.求：（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．在Rt EBG△中，A D E BF C图4（备用）AD EBF C 图5（备用）A D E BF C图1 图2A D E BF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题）60B =︒∠，∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==．如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM ==∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．图1A D E BF CG图2A D E BFCPNMG H当MP MN=时，如图4，这时MC MN MP===此时，615x EP GM===-=当NP NM=时，如图5，30NPM PMN==︒∠∠．则120PMN=︒∠，又60MNC=︒∠，∴180PNM MNC+=︒∠∠．因此点P与F重合，PMC△为直角三角形．∴tan301MC PM=︒=．此时，6114x EP GM===--=．综上所述，当2x=或4或(5时，PMN△为等腰三角形．8、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？图3A DEBFCPNM图4A DEBFCPMN图5A DEBF（P）CMNGGRG解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△．②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。