不定积分测试题

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e =。

二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、011lim()ln(1)x x x →-+ 2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xye x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dydx 。

三、 求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2secx xdx⎰3、40⎰4、2201dx a x +四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ； 2、设函数sin 0()20xx f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx xC=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)x x x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++，且a b ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d =。

大学高等数学测试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．与向量{-1，1，-1}平行的单位向量是（ ）A ．{31-，31-，31-}B ．{31，31-，31}C ．{0，0，0}D ．{31，31，31}2. 设函数f(x,y)=f 1(x)f 2(y)在(x 0,y 0)处偏导数存在，则f y (x 0,y 0)=（ ）A ．0lim→h hy f h y f )()(0202-+f 1(x 0)B ．0lim→h hy f h y f )()(0202-+C ．0lim →h h x f h x f )()(0101-+f 2(y 0)D ．0lim →h h x f h x f )()(0101-+3. 设∑为球面x 2+y 2+z 2=1,则对面积的曲面积分⎰∑（x 2+y 2+z 2）dS=（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 4. 微分方程（e x+y -e x ）dx -(e y -e x+y)dy =0是（ ）A ．可分离变量的微分方程B ．齐次微分方程C ．一阶线性非齐次微分方程D ．一阶线性齐次微分方程 5. 下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．∑∞=1n n sin n 3B ．∑∞=1n nn n n )1(3+C ．∑∞=1n 132+n D ．∑∞=1n ln1+n n 6．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（ ） A ．F(x) B ．f(x) C ．F(x)+CD ．f(x)+C7．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（ ） A ．sinx+C B ．-sinx+CC ．xsinx+cosx+CD ．xsinx -cosx+C8．设F(x)=dt te xt ⎰-12，则)x (F '=（ ）A ．2x xe B ．2x xe - C ．2x xe -D ．2x xe --9．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（ ） A ．α≤1 B ．α<2 C ．α>1D ．α≥110.设z=cos(3y -x)，则xz∂∂=（ ） A ．sin(3y -x) B ．-sin(3y -x) C ．3sin(3y -x) D ．-3sin(3y -x)11．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 12．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy )y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（ ） A ．I 1>I 2B ．I 1<I 2C ．I 1=I 2D ．I 1，I 2之间不能比较大小13．级数5n 7n)1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．无法判定14．幂级数n1n n x 3n 3∑∞=+的收敛半径R=（ ） A ．41 B ．4C ．31 D ．315．微分方程y ln y y x ='的通解是（ ） A ．C e x+B ．C ex+-C ．Cx eD ． Cx e+-二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

考研数学三-213(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题考查区间再现法计算定积分．令，则故答案选择(B)．2.设，那么(A*)*=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查矩阵的基本运算，是一道有一定计算量的基础题．AA*=|A|E，(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(A*)-1=|A|n-1(A-1)*，将A代入计算即可得正确选项(A)．3.已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx-dy的任意解，则( )．SSS_SINGLE_SELA 存在，不存在B 不存在，存在C 不存在，不存在D 存在，存在该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题．将微分方程(x2+y2)dy=dx-dy变形为，于是，则y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明y(x)有界即可．对两边从x到x积分，得，于是设x≥x，则y(x)有上界，所以存在．同理可证，当x≤x时y(x)有下界，所以也存在．故存在，也存在，答案选择(D)．4.设a为常数，则f(x)在区间(-∞，+∞)内的零点个数情况为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题，是常规考题．令，由于e-x＞0，g(x)与f(x)的零点完全一样，又g'(x)=，且仅在一点x=0等号成立，故g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．当a＞0时，f(-∞)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以f(x)正好有一个零点．当a≤0时，，f(x)无零点．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+(λm-k m )βm=0，则( )．SSS_SINGLE_SEL Aα1，…，αm和β1，…，βm都线性相关Bα1，…，αm和β1，…，βm都线性无关Cα1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关Dα1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查向量组的线性相关理论，是一道基础题．由于数组λ1，…，λm，k1，…，km不全为零，将题给的已知式整理为λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1-β1)+…+km(αm-βm)=0，显然答案选择(C)．6.设每次试验成功的概率为p(0＜p＜1)，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为( )．SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查伯努利概型，是一道基础题．根据题设条件，前9次取得了3次成功，第10次才取得第4次成功的概率为所以选择(C)．7.以下四个命题，不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 设存在，则一定存在B 设存在，则一定存在C设|f(x)|在x=x0点处可导，则f(x)在x=x点处不一定可导D设|f(x)|在x=x0点处连续，则f(x)在x=x点处不一定连续该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题是一元微积分的基本概念题．对于容易混淆的问题，考生在最后复习阶段，要好好总结和整理，一般说来，正确的要会证明，错误的要能举出反例．这种训练是有益的．对于选项(A)，事实上有如下结论：设，则．可以证明如下．=，当0＜|x-a|＜δ时，|f(x)-A|＜ε，又由于||f(x)|-|A||≤|f(x)-A|，故||f(x)|-|A||＜ε，．命题正确，排除．对于选项(B)，反例f(x)=sgn(x)，不存在．命题错误，入选．对于选项(C)，反例-在x=x0氧处不可导，|f(x)|在x=x点处可导．命题正确，排除．对于选项(D)，在x=x0点处不连续，|f(x)|在x=x点处连续．命题正确，排除．8.设随机变量X取非负整数值，P(X=n)=a n(n≥1)，且EX=1，则a的值为( )．SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查数字特征的计算，涉及级数求和理论，是一道有一定计算量的基础题．故a=(1-a)2，a2-3a+1=0，，但a＜1，所以，于是选择(A)．二、填空题9.曲线在x=1处的切线方程为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:．本题考查一元微分学的基本知识，求切线是常考题，是基础题．由题意，，故切线的斜率为，当x=1时，y=2，因此所求切线方程为，即．10.=______．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:．本题考查一元函数的不定积分法．属于基础计算题．11.设某商品现售价5000元，分期付款购买，10年付清．若每年付款的数额相同，且以年利率3%贴现，按连续复利计算，每年应付款______元．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:578．本题考查微积分的经济应用，属于基本题．P=5000元，又r=0.03，n=10，由均匀流量的贴现公式，有，解得A=578元，故每年应付款578元．12.级数的收敛域为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[-2，4)．本题考查幂级数的收敛域求法，是常规题，有一定的计算量．令，根据正项级数的比值判别法，有解得-2＜x＜4，此为收敛区问．当x=-2时，原级数化为，收敛；当x=4时，原级数化为，发散．故原级数的收敛域为[-2，4)．13.已知ξ1=(-9，1，2，1 1)T，ξ2=(1，-5，13，0)T，ξ3=(-7，-9，24，11)T是方程组的解，则方程组的通解是______．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:本题考查非齐次方程组的计算，是一道综合性较强的题目．中有2阶子式不为零，故r(A)≥2，又因ξ1-ξ2=(-10，6，-11，11)T，ξ1-ξ3=(-2，10，-22，0)T是齐次方程组Ax=0的线性无关的解，从而n-r(A)≥2，即r(A)≤2．于是得r(A)=2．所以方程组的通解为对一台仪器进行重复测试，直到发生故障时为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，试验次数X的数学期望值为______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14.已知，求a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是极限计算的反问题，是基本计算题，事实上，本题是求曲线2x-在x→-∞时的斜渐近线．由已知得，于是，将a=3代入原极限，有故a=3，SSS_TEXT_QUSTI15.证明；该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题是一元积分学的综合题，涉及较为复杂的积分计算和夹逼准则，是今年考试的热门出题点，其中第(Ⅰ)问是第(Ⅱ)问的铺垫与提示．SSS_TEXT_QUSTI16.记，求．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当nπ≤x≤(n+1)π时，令n→∞，由夹逼准则，得17.设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f'(0)]2=4．试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是中值定理考题，涉及多个重要的定理，需要考生具有较强的运算和逻辑推理能力，是一道难题．由拉格朗日中值定理，得又根据题没条件，|f(x)|≤1，得令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2，则φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1，ξ2](-2，2)上取到，则φ(ξ)≥4，且φ在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有φ'(ξ)=0，即2f(ξ)·f'(ξ)+2f'(ξ)·f"(ξ)=0．因为|f(x)|≤1，且φ(ξ)≥4，所以f'(ξ)≠0，于是有f(ξ)+f"(ξ)=0，ξ∈(-2，2)．18.求的和．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题考查数项级数的求和，需要通过转化成函数项级数求和后，再代值回去，是典型考研题．记．其收敛区间均为(-1，1)．所以SSS_TEXT_QUSTI19.设D={(x，y)|(a≤x≤b，c≤y≤d该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查二重积分的计算，但是比较新颖的非常规考题，涉及抽象的理论推导，在2011年考研中已经有所涉及，本题的设计同样比较独特，希望考生多加体会和总结．证明=f(b，d)-f(a，d)+f(a，c)-f(b，c)．同理，．结论成立．SSS_TEXT_QUSTI20.设D为Oxy平面上的区域，若f"xy 与f"yx都在D上连续，证明f"xy与f"yx在D上相等．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:证明用反证法．设P0(x，y)∈D，有f"xy(x，y)≠f"yx(x，y)．不妨设．f"xy (x，y)-f"yx(x，y)＞0，由于由极限的保号性，，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有f"xy(x，y)-f"yx(x，y)＞ε，取于是，由(1)，，出现矛盾．故f"xy (x，y)与f"yx(x，y)在D上都相等．21.已知5维向量组x1=(1，2，3，4，5)，x2=(1，3，2，1，2)，求一个齐次线性方程组，使x1，x2组成这个方程组的基础解系．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题是方程组问题的逆问题，已知基础解系反求方程组，需要一定的计算量和逻辑推理，是一道中等难度的综合题．设ai1x1+ai2x2+ai3x3+ai4x4+ai5x5=0是方程组Ax=0中的任意一个方程，将x1，x2的坐标代入，得将方程组当作ai1，ai2，ai3，ai4，ai5为未知数的线性方程组来解，此方程组的系数矩阵，就是以x1，x2为向量组成的矩阵，对B作初等行变换，得于是方程组化为因此(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)=(-5ai3-10ai4-11ai5，ai3+3ai4+3ai5，ai3，ai4，ai5)=ai3(-5，1，1，0，0)+ai4(-10，3，0，1，0)+ai5(-11，3，0，0，1)，方程组的一组基础解系是(-5，1，1，0，0)，(-10，3，0，1，0)，(-11，3，0，0，1)，以这组基础解系为行组成矩阵则r(A)=3，于是以A为系数矩阵的齐次线性方程组为经过验证，它最多有2个线性无关解，且x1，x2为上式的两个线性无关解，所以它们组成上式的基础解系，上式方程组即为所求．22.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是该二次型的秩为2，且符号差为0，或秩数等于1．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二次型，是一道比较新颖的考题，在考研中尚未出现过，对考生要求较高，希望同学们见识一下这种提法和做法，并从中学到解题思路和技术．先证明必要性：设f(x1，x2，…，xn)=(a1x1+a2x2+…+anxn)(b1x1+b2x2+…+bnxn)=f1·f2．若f1与f2线性相关，则有f2=kf1，不妨设a1≠0，令即令，P为可逆矩阵，所以x=P-1y是可逆变换，从而，其秩等于1．若f1与f2线性无关，不妨设，令即令，故R为可逆矩阵，所以x=R-1y是可逆变换，则f=y1y2，再令即令，T为可逆矩阵，故y=Tz是可逆变换，从而得到，故秩为2，符号差为0．再证明充分性：f经可逆线性变换化为标准型，不妨设，其秩数为2，符号差为0，则f=(x1+x2)(x1-x2)，即f可分解为两个一次多项式的乘积．另外，设，其秩为1，则f=x1·x1，即f可分解为两个一次多项式的乘积，命题得证．23.设(X，Y)的联合概率密度为求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二维随机变量的边缘密度、条件密度等，是一道有一定计算量的基础题．当x≤0或x≥1时，当0＜x＜1时，故于是可得则某设备维修站共有两个维修点，若有三台设备A，B，C同时送到该维修站进行维修，设A，B先开始维修，当其中一台没备维修结束后即开始对第三台设备C 进行维修．假设各台设备维修所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则SSS_TEXT_QUSTI24.求第三台设备C在维修站等待维修时间T的概率密度；该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:本题是随机变量函数的概率密度和数字特征计‘算的综合题，是历来考生复习中的薄弱环节．设第i台设备维修时间为Xi (i=1，2，3)，则Xi独立同分布，且密度函数都为则第三台设备C等待维修的时间T=min(X1，X2)，度过时间=等待时间+维修时间，即S=T+X3=min(X1，X2)+X3．由于X1与X2独立，故T的分布函数F T (t)=P(min(X1，X2)≤t)=1-P(min(X1，X2)＞t)=1-P(X1＞t)P(X2＞t)则T的密度函数即T=min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布．SSS_TEXT_QUSTI25.求第三台设备C在维修站度过时间S的数学期望ES．该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:由于S=T+X3=min(X1，X2)+X3，则1。

高等数学测试（第四章）一. 选择题（每小题3分，共30分）1. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中（ ）是()f x 的原函数。

A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x + 2. 若函数ln x x为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰=（ ） A 1ln x C x -+ B 1ln x C x ++ C 12ln x C x -+ D 12ln x C x ++ 3. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x =（ ） A 1 B -1 C 0 D x4. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（ ）A 1xB 21x- C ln x D ln x x 5. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）A 1+x sin ；B x sin 1-；C 1+x cos ；D x cos 1-．6. 设F )(x 是)(x f 的一个原函数，则下列各式正确的是（其中常数0>a ）（ ）A ．⎰+=c ax F a dx ax f x )(ln 1)(ln 1 B ．⎰+=c ax aF dx ax f x)(ln )(ln 1 C ．⎰+=c ax F x dx ax f x )(ln 1)(ln 1 D ．⎰+=c ax F dx ax f x )(ln )(ln 1 7.()xf x dx ''=⎰ ( )A.()()xf x f x dx '-⎰B. ()()xf x f x C ''-+C.()()xf x f x C '-+D. ()()f x xf x C '-+8.下列式子中正确的是（ ）A ．()()x F x dF =⎰B ．()()C x F x dF d +=⎰C ．()()dx x f dx x f dx d =⎰D ．()()dx x f dx x f d =⎰ 9.若()()x G x F '='，k 为任意常数，则（ ）A ．()()k x F x G =+B ．()()k x F x G =-C ．()()0=-x F x GD ．()()()()'='⎰⎰dx x G dx x F10.若()x f '为连续函数，则()⎰='dx x f 2( ) A ．()C x f +2 B ．()C x f + C ．()C x f +221 D ．()C x f +22 二. 填空题（每小题4分，共20分）11．若ln ()x df x dx x =，则()_______f x =． 12．若2[()]2()cos d f x f x xdx =，且(0)1f =，则()______f x =____． 13. 2()____________1()f x dx f x '=+⎰． 14. =⎰dx x x x ___________________． 15. d dx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+211___________________． 三. 计算题16．（5分）计算22(1)dx x x +⎰． 17．（5分）计算 1x dx e +⎰．18．（5分）计算 321x dx x +⎰． 19．（5分）计算dx x x ⎰arctan ．20．（5分）计算⎰21．（5分）计算 23x x e dx ⎰．22．（10分）计算 cos ax I e bxdx =⎰．23．（10分）设ln(1)(ln )x f x x +=，求()f x dx ⎰．.高等数学测试题（四）不定积分部分一. 选择题 1—5 DCABB 6—10 DCDBC二. 填空题11． 2ln 1()ln 2x f x dx x C x ==+⎰. 12． ()sin 1f x x =+ 13. 22()()arctan ()1()1()f x df x dx f x C f x f x '==+++⎰⎰. 14. C x +815158. 15. C x x +-1. 二. 计算题16．（5分）计算 22(1)dx x x +⎰.【解析】原式=22111()arctan 1dx x C x x x-=--++⎰. 17．（5分）计算 1x dx e +⎰. 【解析】原式=(1)ln(1)1xx x e dx x e C e-=-+++⎰. 18．（5分）计算 321x dx x +⎰. 【解析】原式=22211()ln(1)122x x dx x x C x -=-+++⎰. 19．（5分）计算dx x x ⎰arctan .【解析】原式=dx x x x dx x x x x dx x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22222211121arctan 211arctan 21arctan 21 ()C x x x x +-+=arctan arctan 212. 20．（5分）计算⎰【解析】设 t =原式=5253261166(arctan )1t t dt dt t t C C t t t +-==-+=++⎰⎰. 21．（5分）计算23x x e dx ⎰. 【解析】原式=22222222111()()222x x x x x e dx x d e x e e C ==-+⎰⎰. 22．（10分）计算 cos ax I e bxdx =⎰. 【解析】 222221cos sin 1(sin sin )1sin cos 1sin (cos cos )1sin cos ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax I e bxdx e d bx b e bx a e bxdx ba e bx e d bxb ba e bx e bx a e bxdxb ba a e bx e bx Ib b b===-=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(sin cos )axe I b bx a bx C a b=+++ 23．（10分）设ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ⎰. 【解析】由ln(1)(ln )x f x x+=得ln(1)()x x e f x e +=， 所以ln(1)()ln(1)x x x x e f x dx dx e de e-+==-+⎰⎰⎰ ln(1)1x x x e dx e e +=-++⎰ln(1)1x x x x e e dx e e --+=-++⎰ ln(1)(1)1x x x x e d e e e --++=--+⎰ln(1)ln(1)x x x e e C e-+=--++ ln(1)ln(1)x x xe e x C e +=--+++．。

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2． ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e -(B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy t t t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)x r r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x lnC 、⎰+=C x xdx sin cosD 、⎰++=C x xdx 211tan7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略七年级英语期末考试质量分析一、试卷分析：本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。

不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。

(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。

(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。

(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。

(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。

(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 一个长方形的长是12cm，宽是8cm，它的周长是多少？A. 24cmB. 40cmC. 48cmD. 56cm答案：C2. 下列哪个数是质数？A. 28B. 29C. 30D. 31答案：B3. 如果一个班级有40名学生，其中有25名女生，那么男生有多少人？A. 15B. 20C. 25D. 30答案：B4. 下列哪个数是偶数？A. 3B. 5D. 8答案：D5. 下列哪个数是立方数？A. 4B. 8C. 12D. 16答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 2的3次方等于______。

答案：82. 5个8相加的和是______。

答案：403. 下列数列中，下一个数是什么？2, 4, 8, 16, 32, ...答案：644. 下列数列中，下一个数是什么？1, 1, 2, 3, 5, 8, ...答案：135. 下列数列中，下一个数是什么？1, 2, 4, 8, 16, ...答案：32三、判断题（每题5分，共25分）1. 0是质数。

（×）2. 任何数乘以1都等于它本身。

（√）3. 任何数除以0都是无穷大。

（×）4. 任何数的平方都是正数。

（√）5. 任何数的立方都是正数。

（×）四、应用题（每题10分，共40分）1. 小明有15个苹果，他给了小红6个苹果，小明还剩多少个苹果？解答：小明原来有15个苹果，给了小红6个，所以小明还剩15 - 6 = 9个苹果。

2. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时，汽车行驶了多少公里？解答：汽车以每小时60公里的速度行驶了3小时，所以汽车行驶了60公里/小时× 3小时 = 180公里。

3. 一个长方形的面积是24平方厘米，如果它的长是6厘米，那么它的宽是多少厘米？解答：长方形的面积是长乘以宽，所以宽是面积除以长，即24平方厘米÷ 6厘米 = 4厘米。

4. 一个班级有50名学生，其中有30名女生，如果要从这个班级中选出10名学生参加比赛，至少有多少名女生会被选中？解答：至少会有30名女生中的10名被选中，因为如果有30名女生，那么最多只能有40名学生（30名女生 + 10名男生），而班级总共有50名学生。