北师大版(理科数学)定积分与微积分基本定理名师优质单元测试

题组层级快练(十九)1．若F ′(x)＝x 2，则F(x)的解析式不正确的是( ) A ．F(x)＝13x 3B ．F(x)＝x 3C ．F(x)＝13x 3＋1D ．F(x)＝13x 3＋c(c 为常数)答案 B2.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝( )A ．56B ．28 C.563 D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x |Ｋ42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563.故选C.3．∫π2－π2(1＋cosx)dx 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ∫π2－π2(1＋cosx)dx ＝2∫π20(1＋cosx)dx ＝2(x ＋sinx)|π20＝2(π2＋1)＝π＋2.4．(2014·陕西，理)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )dx ＝(x 2＋e x)|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.5．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋m(m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f(x)dx 等于( )A ．2 B.163 C ．6 D ．7答案 B解析 f(x)＝(x ＋1)2＋m －1，∵f(x)的最小值为－1，∴m －1＝－1，即m ＝0.∴f(x)＝x 2＋2x.∴⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛12(x 2＋2x)dx ＝(13x 3＋x 2)|21＝13×23＋22－13－1＝163.6．(2017·苏北四市模拟)若⎠⎛01(2x ＋k)dx ＝2，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B7.⎠⎛35x 2＋1xdx 等于( ) A ．8－ln 53B ．8＋ln 53C ．16－ln 53D ．16＋ln 53答案 B解析 ⎠⎛35x 2＋1x dx ＝⎠⎛35xdx ＋⎠⎛351xdx ＝12x 2 |Ｋ53＋lnx |Ｋ53 ＝12(52－32)＋ln5－ln3＝8＋ln 53，故选B. 8．m ＝⎠⎛01e x dx 与n ＝⎠⎛1e 1xdx 的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．无法确定答案 A解析 m ＝⎠⎛01e x dx ＝e x|Ｋ10＝e －1，n ＝⎠⎛1e 1xdx ＝lnx |Ｋe1＝1，则m>n. 9.⎠⎛－22e |x|dx 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2答案 C10．(2017·南昌一模)若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2(a>1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝(x 2＋lnx)|a 1＝a 2＋lna －1＝3＋ln2，解得a ＝2.11.⎠⎛0222x1＋x 2dx ＝( ) A ．4 B ．6 C ．3 D ．1答案 A解析 ∵(1＋x 2)′＝12(1＋x 2)－12·(1＋x 2)′＝2x 21＋x 2＝x1＋x 2，∴⎠⎛222x 1＋x 2dx ＝2⎠⎛022x 1＋x 2dx ＝21＋x 2|Ｋ2 20＝2(1＋8－1)＝4.故选A. 12．如图所示，由函数f(x)＝e x －e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成阴影部分的面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1答案 B解析 f(x)＝e x－e ＝0时，x ＝1，∴S ＝⎠⎛12(e x－e)dx ＝(e x－ex)|21＝e 2－2e.13．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝lnx |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x|21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.14．设a>0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________． 答案 94解析 S ＝⎠⎛0axdx ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a ，解得a ＝94.15．(2017·安徽六校联考)已知a ＝⎠⎛0πsinxdx ，则二项式(1－a x )5的展开式中x －3的系数为________． 答案 －80解析 由a ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx |π0＝－(cos π－cos0)＝2，则x－3的系数为C 53(－a)3＝10×(－2)3＝－80.16.(2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于____________． 答案512解析 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2dx ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.1．(2015·湖南改编)⎠⎛02(x －1)dx ＝( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1答案 B2．(2017·东北三校联考)∫π20sin 2x2dx ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B解析 ∫π20sin 2x 2dx ＝∫π20(12－12cosx)dx ＝(12x －12sinx)|π20＝π4－12.选B.。

微积分基本定理测试【霸王餐】一、填空题1、位移与时间的函数的导数代表：_________，速度与时间的导数代表：_________。

2、速度与时间的函数的定积分代表： ，可知⎰=ba dt t v )(3、微积分基本定理又叫： ，若)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数并且)()(/x f x F =,那么=⎰ba dx x f )(___________ 4、利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数二、解答题：1.计算下列定积分:(1)⎰211dx x (2)dx xx ⎰-312)12(2.计算下列定积分:⎰π0sin xdx ,⎰ππ2sin xdx ,⎰π20sin xdx . 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.三、课堂巩固1.下列各式中,正确的是A.)()()(///a f b f dx x f ba -=⎰ B. )()()(///b f a f dx x f b a-=⎰ C. )()()(/a f b f dx x f ba -=⎰ D. )()()(/b f a f dx x f ba -=⎰ 2.已知自由落体的运动速度g gt v (=为常数),则当[]2,1∈t 时,物体下落的距离是(1)()cos ,()f x x F x ==若则(2)()sin ,()f x x F x =-=若则(3)(),()x f x e F x ==若则1(4)(),()f x F x x ==若则(5)(),()n f x x F x ==若则3(6)(),()f x x F x ==若则21(7)(),()f x F x x==若则(8)(),()f x x F x ==若则A.g 21B.gC.g 23 D.g 2 3.若,2ln 3)12(1+=+⎰adx xx 则a 的值是 A.6 B.4 C.3 D.2 4.dx x ⎰--1121等于A.4πB.2π C.π D.π2 5.)(x f 是一次函数,且⎰⎰==1010617)(,5)(dx x xf dx x f ,那么)(x f 的解析式是 A.34+x B.43+xC.24+-xD.43+-x6.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,则a =7.设)(x f 是奇函数,求⎰-a a dx x f )(=【自助餐】 8.设[][]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dx x f9.求dx x x )1(11+⎰-10、求dx x x ⎰+101的值。

课时作业(十五)　[第15讲　定积分与微积分基本定理] [时间：35分钟 分值：80分] 1．[2011·郑州一中模拟] 已知f(x)为偶函数，且 f(x)dx＝8，则－6f(x)dx＝( ) A．0 B．4 C．8 D．16 2．[2011·福州模拟] 设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为( ) A. B．2 C．1 D. 3．[2011·临沂模拟] 若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b1)交于点O、A，直线x＝t(00)，由点P作曲线y＝x2的切线PQ(Q为切点)． (1)求切线PQ的方程； (2)求证：由上述切线与y＝x2所围成图形的面积S与a无关． 课时作业(十五) 【基础热身】 1．D　[解析] －6f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16. 2．A　[解析] 根据积分的运算法则，可知∫f(x)dx可以分为两段，即∫f(x)dx＝x2dx＋∫dx＝x3＝＋1＝，所以选A. 3．D　[解析] a＝x2dx＝x3＝，b＝x3dx＝x4＝4，c＝sinxdx＝－cosx＝1－cos2<2， ∴c1，∴t＝(2＋)a应舍去． ①若(2－)a≥1，即a≥＝， ∵0<t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋. ②若(2－)a<1，即10， (ii)当(2－)a<t≤1时，f′(t)<0. ∴f(t)在区间(0，(2－)a)上单调递增，在区间[(2－)a，1]上单调递减．∴f(t)的最大值是f((2－)a)＝[(2－)a]3－a[(2－)a]2＋a2(2－)a＝a3. 综上所述f(t)max＝ 【难点突破】 13．[解答] (1)设点P的坐标为(a，a2－1)，又设切点Q的坐标为(x，x2)． 则kPQ＝，由y′＝2x知＝2x， 解得x＝a＋1或x＝a－1. 所以所求的切线方程为2(a＋1)x－y－(a＋1)2＝0或2(a－1)x－y－(a－1)2＝0. (2)证明：S＝a－1[x2－2(a－1)x＋(a－1)2]dx＋∫[x2－2(a＋1)x＋(a＋1)2]dx＝. 故所围成的图形面积S＝，此为与a无关的一个常数．。

课时分层训练(十六) 定积分与微积分根本定理A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1C [⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1＝1＋e 1－1＝e .应选C.]2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )【导学号：57962125】A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4D [令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 44⎪⎪⎪20＝8－4＝4，应选D.]3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，那么电视塔高为( )【导学号：57962126】A.12g B ．g C.32gD ．2gC [由题意知电视塔高为 ⎠⎛12g t d t ＝12g t 2|21＝2g －12g ＝32g.]4．f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，那么⎠⎛6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16D [原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为原函数为偶函数，即在y 轴两侧的图像对称．所以对应的面积相等， 即⎠⎛-60f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.]5．假设⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，那么a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6A [由题意知⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.] 二、填空题6．(2021·陕西质检(二))⎠⎛0π(x ＋cos x )d x ＝________.π22 [⎠⎛0π(x ＋cos x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋sin x ||π0＝π22.]7．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10(单位：m )，F (x )＝x 2＋1(单位：N )且和x 轴正向一样，那么变力F (x )对质点M 所做的功为________J .342 [变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J )．] 8．(2021·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图像与直线x ＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．e －12 [由题意知所求面积为⎠⎛-110 (x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x |0-1＋e x |1＝－(12-1)＋(e －1)＝e －12.]三、解答题9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1,1).2分由⎩⎨⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B(3，－1). 5分故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136.12分10．(2021 ·陕西高考改编)如图2-13-2，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，试求原始的最大流量与当前最大流量的比值．图2-13-2[解] 建立如下图的平面直角坐标系.3分由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，6分抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛-55⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝(6＋10)×222∶S 1＝1.2. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．假设f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，那么⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2m x |10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.]2．曲线x ＋y ＝1与两坐标轴所围成图形的面积是________．16[将曲线x ＋y ＝1转化为y ＝(1－x )2，且x ≥0，y ≥y ＝0，可知曲线与x 轴交点为(1,0)，那么曲线与两坐标轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(1－x )2d x ＝⎠⎛01(1－2x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43x 32＋12x 2 |10＝1－43＋12＝16.]3．函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积．【导学号：57962127】[解] ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ， 那么k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图.5分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A(2,4)， 7分∴y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3 |20＝4－83＝43.12分。

第7讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x )dx ；(3)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎛01e x dx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3D ．2解析：选B .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________． 解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，所以⎠⎛0e f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛1e 1xdx＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43. 答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3)⎠⎛02|1－x |dx ； (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛121dx＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx＝⎠⎛0πsin xdx －⎠⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π0＝2.(3)⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎛12e 2x dx ＋⎠⎛121xdx ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.若本例(3)变为“⎠⎛03|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎛03|x 2－1|dx＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛13(x 2－1)dx＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪31 ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |dx ＝⎠⎛－1e －x dx ＋⎠⎛01e x dx＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 3．(2018·泉州模拟)⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x dx ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎛011－x 2dx ＋⎠⎛0112xdx ，⎠⎛0112xdx ＝14，⎠⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形的面积； (2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B .【答案】 B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(2018·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π6 5π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )．【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )dx ＝⎠⎛110(x 2＋1)dx＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】 342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎛02(40－10t 2)dt ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．(4)计算定积分．易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x)dx ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a＝1.3．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时F (x )所做的功等于( ) A ．e 10＋25B ．e 10－25C ．－e 10＋25D ．－e 10－25解析：选D.由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x dx＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25.4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，则⎠⎛01f (x )dx ＝( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）dx |10 ＝13＋2⎠⎛01f (x )dx ，所以⎠⎛01f (x )dx ＝－13. 5．直线y ＝x ＋4与曲线y ＝x 2－x ＋1所围成的封闭图形的面积为( ) A.223 B.283 C.323D.343解析：选C.因为x ＋4＝x 2－x ＋1的解为x ＝－1或x ＝3， 所以封闭图形的面积为S ＝⎠⎛－13[x ＋4－(x 2－x ＋1)]dx＝⎠⎛－13(－x 2＋2x ＋3)dx＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x |3－1＝323. 6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx＝⎠⎛－11x 2dx ＋⎠⎛－11sin xdx＝2⎠⎛01x 2dx ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)dx ＝⎠⎛－111dx ＝x |1－1＝2.答案：28．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝⎛⎭⎫13a x 3＋c x ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：339．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x dx ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x dx ＝⎠⎛12xdx －⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛121xdx ＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx ＋⎠⎛－πe x dx＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1，2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.1．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是()A.92B.423＋76C.76D.2＋1解析：选B.把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．易得S ＝⎠⎛－20(2－x 2)dx ＋⎠⎛01(2－x 2－x )dx ＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33|0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22|10 ＝22－（2）33＋2－13－12＝423＋76. 2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1）x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )dx ＝⎠⎛－111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝π2＋43，故选A. 3．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.解析：先求从刹车到停车所用的时间t ，当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t .令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：⎠⎛05(20－4t )dt ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m.答案：504．函数y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx 的最大值是________． 解析：y ＝⎠⎛0t (sin x ＋cos x sin x )dx ＝⎠⎛0t ⎝⎛⎭⎫sin x ＋12sin 2x dx ＝⎝⎛⎭⎫－cos x －14cos 2x |t 0 ＝－cos t －14cos 2t ＋54＝－cos t －14(2cos 2t －1)＋54＝－12(cos t ＋1)2＋2， 当cos t ＝－1时，y ma x ＝2.答案：25．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )dx ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， 所以f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )dx ＝⎣⎡⎦⎤13a x 3＋（2－a ）x |10＝2－23a ＝－2. 所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]．所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )ma x ＝2.6．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3|t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t1(x 2－t 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x |1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3 ＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1， 所以t ＝33. 所以当t ＝33时，S 1＝S 2.。

新版北师大版数学（理）提升作业213定积分与微积分基本定理（含答案）11温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十六)一、选择题1.(20某某·芜湖模拟)1e1ln某d某=()某(A)ln某+ln2某(B)-1(C)(D)2.(20某某·赣州模拟)已知函数f(某)=则f(某)d某的值为()(A)(B)4(C)6(D)3.(20某某·汉中模拟)由y=,直线某=1以及坐标轴围成的平面图形绕某轴旋转一周所得旋转体体积为()(A)(B)π(C)(D)4.(20某某·济南模拟)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是()(A)在t1时刻,甲车在乙车前面(B)t1时刻后,甲车在乙车后面(C)在t0时刻,两车的位置相同(D)t0时刻后,乙车在甲车前面5.如图,阴影部分的面积是()(A)2(B)2-(C)(D)(2某-1)d某=6,则t的值等于()6.(20某某·三亚模拟)已知t>0,若(A)2(B)3(C)6(D)87.曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积为()(A)(B)(C)(D)2(in某-co某)d某(in某-co某)d某(co某-in某)d某(co某-in某)d 某8.(20某某·广州模拟)物体A以v=3t2+1(m/)的速度在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5m处,同时以v=10t(m/)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t()为()(A)3(B)4(C)5(D)69.如图,函数y=-某2+2某+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是()(A)1(B)(C)10.(20某某·马鞍山模拟)根据02(D)2in某d某=0推断直线某=0,某=2π,y=0和正弦曲线y=in某所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为()(A)面积为0(B)曲边梯形在某轴上方的面积大于在某轴下方的面积(C)曲边梯形在某轴上方的面积小于在某轴下方的面积(D)曲边梯形在某轴上方的面积等于在某轴下方的面积二、填空题11.(20某某·宜春模拟)|3-2某|d某=.12.(20某某·海口模拟)已知函数f(某)=-某3+a某2+b某(a,b∈R)的图像如图所示,它与某轴在原点处相切,且某轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为.13.已知函数f(某)=in5某+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求f(某)d某的值,结果是.14.(能力挑战题)抛物线y=-某2+4某-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为.三、解答题15.(能力挑战题)如图所示,直线y=k某分抛物线y=某-某2与某轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.答案解析1.【解析】选C.12.【解析】选D.=某302e1ln某d某=(ln某+某e)1=.f(某)d某=某2d某+(某+1)d某+(某2+某)=(0+)+(某4+2-0)=.π(某+2)d某=π·(+2某)10=π.3.【解析】选C.V=4.【解析】选A.可观察出曲线v甲,直线t=t1与t轴围成的面积大于曲线v乙,直线t=t1与t轴围成的面积,故选A.5.【解析】选C.6.【解析】选B.(3-某2-2某)d某=(3某-某3-某2)(2某-1)d某=2某d某-=.1·d某=某2-某=t2-t,由t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).【方法技巧】定积分的计算方法(1)利用定积分的几何意义,转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积.(2)应用微积分基本定理:求定积分f(某)d某时,可按以下两步进行,第一步:求使F'(某)=f(某)成立的F(某);第二步:计算F(b)-F(a).7.【解析】选D.当某∈[0,]时,y=in某与y=co某的图像的交点坐标为(,),作图可知曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积可分为两部分:一部分是曲线y=in某,y=co某与直线某=0,某=所围成的平面区域的面积;另一部分是曲线y=in某,y=co某与直线某=,某=所围成的平面区域的面积.且这两部分的面积相等,结合定积分定义可知选 D.8.【解析】选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为B在t秒内行驶的路程为(3t2+1)dt,物体10tdt,所以(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)=t3+t-5t2=5(t-5)(t2+1)=0,即t=5.9.【解析】选B.函数y=-某2+2某+1与y=1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于(-某2+2某+1-1)d某=(-某2+2某)d某=.10.【思路点拨】y=in某的图像在[0,2π]上关于(π,0)对称,据此结合定积分的几何意义判断.【解析】选D.y=in某的图像在[0,2π]上关于(π,0)对。

2020年精品试题芳草香出品课时作业 A 组——基础对点练1.⎠⎛01e x d x 的值等于( ) A ．e B ．1－e C ．e －1D.12(e －1)解析：⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.答案：C2．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪1＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C. 答案：C3.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：由题中图像易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2⎠⎛01(－x 2＋1)d x ＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x ⎪⎪⎪10＝43. 答案：B4．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312⎪⎪⎪2＝83. 答案：C5．(2018·保定模拟)从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32gD ．2g解析：由题意知电视塔高为：⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g . 答案：C6.(2018·长沙模拟)若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23 C ．－1D ．－2解析：由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx22|10＝13＋m2＝0，得m ＝－23.答案：B7．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) A ．1 B.43 C. 3D ．2解析：由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.答案：B。

计时双基练十七 定积分与微积分基本定理A 组 基础必做1． sin 2x2dx ＝( )A ．0B.π4－12C.π4－14D.π2－1解析 sin 2x2dx ＝1－cos x 2dx ＝12x －12sin x ＝π4－12。

答案 B2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析 由题意知电视塔高为答案 C3．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析 由题意可知⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝(x 2＋ln x)| a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2。

答案 A4．已知f(x)是偶函数，且⎠⎛06f(x)dx ＝8，则f(x)dx ＝( )A ．0B ．4C ．6D ．16解析 因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在y 轴两侧的图像对称，所以f(x)dx＝f(x)dx ＋⎠⎛06f(x)dx ＝2⎠⎛06f(x)dx ＝16。

答案 D5．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx ＝( )A ．3B ．4 C.72D.92解析 ∵f(x)＝2－|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－，2＋，＝⎝⎛⎭⎫2x ＋x 22 |0－1＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |20＝32＋2＝72。

答案 C6．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，解得x ＝－2或x ＝0或x ＝2， 所以直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝⎝⎛⎭⎫2×22－14×24－0＝4。

第十三节 定积分与微积分基本定理【考纲下载】1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2. 了解微积分基本定理的含义.1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫baf (x )d x 中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的性质： ①∫b a 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)；③⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ；④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x . (3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有∫b af (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫ba f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰(f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013·江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 解析：选B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t ＝5t 20.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)2x (x <0)，则11()f x dx -⎰的值是( )A. 121x dx -⎰ B. 112x dx -⎰C.21x dx -⎰＋102x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x解析：选D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋120x ⎰d x .4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：220x dx ⎰＝32103x ＝83.答案：835．(2013·湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．解析：2Tx dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.答案：3[例1] 求下列定积分： (1) 12(2)xx dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3)2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.[自主解答] (1) 120(2)x x dx -+⎰＝120()x dx -⎰＋102xdx ⎰＝31103x -＋210x ＝－13＋1＝23.(2)(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )xdx x +⎰＝221e xdx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (0≤x <1)，x －1 (1≤x ≤2)，故1(1)x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.【方法规律】定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 答案：22－2 2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：1 3.x ⎰＝________.解析：由定积分的几何意义知，0x⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π·324＝9π4. 答案：9π4[例2] (1)(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J [自主解答] (1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t ＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 3＋25ln (1＋t ) 40＝4＋25ln 5. (2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46. [答案] (1)C (2)B 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6s 间的运动路程为________．解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s＝()331122322222021022132()d d e 33363kx xx x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494.答案：4941．利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度偏小，属中低档题．2．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度：(1)知图形求曲线围成图形的面积； (2)知函数解析式求曲线围成图形的面积； (3)知曲线围成图形的面积求参数的值． [例3] (1)(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2(2)(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163 D ．6 (3)(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝102()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 3 10＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)402d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23×8－12×16＋2×4＝163.(3)由题意知x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)B (2)C (3)49利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积．首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积．(3)知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.43解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)120d x x⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13.2．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)． 所以S ＝2201d x x -⎰＝()1201d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2. 答案：2————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．2条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程． 4条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行；(4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2()d af x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点[典例](2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解题指导] 根据已知条件，求出f (x )的解析式，然后利用定积分求解．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方， 所以所求面积为()32254(2)d x xx ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝⎛⎭⎫52×32－13×33－6×3－⎝⎛⎭⎫52×22－13×23－6×2＝⎝⎛⎭⎫－92－⎝⎛⎭⎫－143＝16. 答案：16[全盘巩固]1．已知f (x )是偶函数，且6()d f x x ⎰＝8，则66()d f x x -⎰＝( )A ．0B ．4C ．6D ．16解析：选D 因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以66()d f x x -⎰＝06()d f x x -⎰＋60()d f x x ⎰＝26()d f x x ⎰＝16.2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是33cos d x x ππ-⎰＝sin x33ππ-＝ 3.3．已知f (x )＝2－|x |，则21()d f x x -⎰＝( )A ．3B ．4 C.72 D.92解析：选C ∵f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴21()d f x x -⎰＝()012d x x -+⎰＋()22d x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x ＋x 220－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 4．以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t ＝2(t ＝－2舍去)，则此物体达到最高时的高度为()2204010d t t -⎰＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 5．(2014·德州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝1230()d x x x -⎰＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 4410＝13－14＝112.6．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12C ．1D ．2 解析：选A 设图中阴影部分的面积为S (t )，则S (t )＝220()d tt x x -⎰＋122()d tx t x -⎰＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 7．(2014·西安模拟)若11(2)d ax x x+⎰＝3＋ln 2，则a 的值是________．解析：由11(2)d ax x x +⎰＝()x 2＋ln x 1a ＝()a 2＋ln a －(12＋ln 1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2(a >1)，得a 2＋ln a ＝4＋ln 2，所以a ＝2. 答案：28．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)，则0()d ef x x ⎰的值为________．解析：依题意得0()d ef x x ⎰＝12d x x ⎰＋11d ex x ⎰＝x 3310＋ln x 1e ＝13＋1＝43. 答案：439．曲线y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：由题意得y ′＝12e x '⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212e x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2，因此切线方程为y －e 2＝12e 2·(x －4)，则切线与坐标轴的交点为A (2,0)，B (0，－e 2)，所以S △AOB ＝12|－e 2|×2＝e 2(O 为坐标原点)．答案：e 210．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1、l 2、y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎨⎧ c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知： S (t )＝()2208(8)d tt t x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＋()222(8)8d tx x t t x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 20t ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x 2t ＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝120()d x x x -⎰＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝12()d kx x kx x ---⎰d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 310k -＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝101d 3x x ⎫⎪⎭⎰＋3112d 3x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝322121036x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋43＝136. [冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 JB. 3 JC.433 J D ．2 3 J解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 22x ， 整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169.答案：⎝⎛⎭⎫43，169[高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2ax －b x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f (1)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 所以⎩⎨⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )， 当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增， g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3×32＋143＋ln 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。

由题意知.．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已6．若a ＝⎠⎛01x d x ，b ＝⎠⎛011－x d x ，c ＝⎠⎛011－x 2d x ，则将a ，b ，c 从小到大排列的顺序为( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<b<aD ．a<c<b解析：根据定积分的几何意义可知a ＝⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01(1－x)d x.当0<x<1时，1－x<1－x <1－x 2，所以在区间(0,1)上三个函数y ＝1－x ，y ＝1－x ，y ＝1－x 2的图象从低到高，在点x ＝0，x ＝1处三个函数的图象重合．根据定积分的几何意义得a<b<c.答案：A二、填空题7．若f(x)＝x ＋2⎠⎛01f(t)dt ，则f(x)＝________. 解析：记a ＝⎠⎛01f(t)d t ，则f(x)＝x ＋2a ，故⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(x ＋2a)d x ＝12＋2a ， 所以a ＝12＋2a ，a ＝－12，故f(x)＝x －1. 答案：x －18．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知所求面积为⎠⎛-1 0 (x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪ 0－1＋e x ⎪⎪10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12. 答案：e －129．如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1， 解得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 220＝－83＋4＝43. 答案：43三、解答题10．已知f(x)在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，试求⎠⎛03f(x)d x 的值．解析：∵f(x)＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，∴f ′(x)＝2x ＋2f ′(2)，围成的图形如图： 围成的图形的面积4－83＝43. 在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10。

3.4 定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )． A.2∫3π0sin x2d xB.2∫3π⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d xD ．以上结论都不对解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝ ∫3π02|sin x2|d x ＝2∫3π|sin x2|d x .答案 B2. 已知f (x )为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－6f(x)d x ＝( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析 ⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.答案 D3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案 A4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个 4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ． 259 mD ．261.2 m解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 答案 D5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A.103 B ．4 C.163D ．6解析 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝163.答案 C6．已知a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )．A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A 7．下列积分中①⎠⎛1e 1x d x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛024－x 2πd x ； ④∫π20cos 2x 2cos x －sin xd x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e 1x d x ＝ln x e 1＝1， ②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0， ③⎠⎛024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x 2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x＝12(sin x －cos)|π20＝1. 答案 C 二、填空题8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )． 答案 0.18 J9．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案32－ln 2 10．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________．解析 ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝⎠⎛0k 2x d x －⎠⎛0k 3x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪k－x 3k0＝k 2－k 3＝0， ∴k＝0或k ＝1. 答案 0或111． ⎠⎛12|3－2x |d x ＝________.解析∵|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤32，2x －3，x ＞32，∴⎠⎛12|3－2x |d x ＝∫321(3－2x )d x ＋⎠⎛232(2x －3)d x＝|3x －x 2321＋(x 2－3x )|232＝12. 答案 1212．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)． 由⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝－2x －3得x ＝2.所以S ＝⎠⎛12[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎠⎛12(x 2－2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2－6x ＋9)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋x 21＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 32＝23. 答案23三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解析 区域Ω的面积为S 1＝16. 图中阴影部分的面积S 2＝S 1－⎪⎪⎪⎠⎛2－2x 2d x ＝16－13x 32－2＝323. 设落在阴影部分的豆子数为m ，由已知条件m900＝S 2S 1，即m ＝900S 2S 1＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．14．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝∫1－k(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.15．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解析 设切点坐标为(x 0，y 0)y ′＝6x 2－6x －2，则y ′|x ＝x 0＝6x 20－6x 0－2，切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则y 0＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12， 即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12. 整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋1，y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2.由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知 S ＝∫320[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x＝∫320(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732.16. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l 2与函数f(x)的图象以及直线l 1、l 2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K 15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)． (1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝3x 2－3x ，y ＝3tx得x 2－(t ＋1)x ＝0，所以x 1＝0，x 2＝t ＋1.所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1. 因为0<t<1，所以1<t ＋1<2.所以S(t)＝∫t ＋1[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋⎠⎛2t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x ＝ ⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3t ＋12x 2－x 3t ＋10＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3－3t ＋12x 22t ＋1 ＝(t ＋1)3－6t ＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x ＋1)3－6x ＋2，x ∈R ， 则h ′(x )＝3(x ＋1)2－6.因为m ≠4，则点A (1，m )不在曲线y ＝h (x )上．过点A 作曲线y ＝h (x )的切线，设切点为M (x 0，y 0)，则3(x 0＋1)2－6＝x 0＋13－6x 0＋2－m x 0－1，化简整理得2x 30－6x 0＋m ＝0，其有三个不等实根．设g (x 0)＝2x 30－6x 0＋m ，则g ′(x 0)＝6x 20－6. 由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1； 由g ′(x 0)<0，得－1<x 0<1，所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减， 所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值； 当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值． 因此，关于x 0的方程2x 30－6x 0＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是⎩⎨⎧ g －1>0，g 1<0，即⎩⎨⎧m ＋4>0，m －4<0，即－4<m <4.故实数m 的取值范围是(－4,4)．。

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )． A.2∫3π0sin x 2d x B.2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d x D ．以上结论都不对解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝ ∫3π02|sin x 2|d x ＝2∫3π0|sin x 2|d x . 答案 B2．(2012·芜湖一中月考)⎠⎛0e 1＋ln xx d x ＝( )．A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32 D.12解析⎪⎪⎪⎠⎛0e1＋ln x x d x ＝(ln x ＋ln 2x 2)e 1＝32. 答案 C3．(2012·长春质检)以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.1603 m B.803 m C.403 mD.203 m解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案 A4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )． A. 3 J B.233 J C.433 JD ．2 3 J解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，W ＝⎠⎛12(5－x 2)·cos 30°d x＝32⎠⎛12(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫5x －13x 321 ＝32×83＝433(J)． 答案 C5．(2011·全国新课标)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A.103 B ．4 C.163D ．6解析 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝163.答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5 m/s 的速度自由落下，则下落后第二个4 s 内经过的路程是__________． 解析⎪⎪⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2(m)． 答案 261.2 m7．(2012·榆林模拟)曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________． 答案 32－ln 28.⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x ＝________. 答案 9π2三、解答题(共23分)9．(11分)如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解 区域Ω的面积为S 1＝16. 图中阴影部分的面积 S 2＝S 1－⎪⎪⎪⎠⎛2－2x 2d x ＝16－13x 32－2＝323.设落在阴影部分的豆子数为m ， 由已知条件m 900＝S 2S 1，即m ＝900S 2S 1＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．10．(12分)如图所示，直线y ＝k x 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝k x ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝k x 两交点的横坐标为 x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝∫1－k 0(x －x 2－k x )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16， 所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·洛阳模拟)已知a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )． A ．a >b B ．a ＝b C ．a <bD ．不确定答案 A 2．下列积分中①⎠⎛1e 1x d x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛024－x 2πd x ；④∫π20cos 2x2(cos x －sin x )d x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e 1x d x ＝ln x e 1＝1， ②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0，③⎠⎛024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x 2(cos x －sin x )d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x＝12(sin x －cos)|0π2＝1.答案 C二、填空题(每小题4分，共8分) 3．(2012·福州模拟)⎠⎛12|3－2x |d x ＝________.解析∵|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤32，2x －3，x ＞32，∴⎠⎛12|3－2x |d x ＝∫321(3－2x )d x ＋⎠⎛232(2x －3)d x＝ |(3x －x 2)321＋(x 2－3x )|232＝12. 答案 124．(2012·新余模拟)抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)． 由⎩⎨⎧y ＝2(x －1)，y ＝－2(x －3)得x ＝2.所以S ＝⎠⎛12[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎠⎛12(x 2－2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2－6x ＋9)d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋x 21＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 32＝23. 答案 23三、解答题(共22分)5．(10分)曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解 设切点坐标为(x 0，y 0) y ′＝6x 2－6x －2， 则y ′|x ＝x 0＝6x 20－6x 0－2， 切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则y 0＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12，即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)⎝⎛⎭⎪⎫x 0－12.整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋1，y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1， 得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2.由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知 S ＝∫320[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x ＝∫320(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732.6．(12分)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)，求其面积的最小值．解 S 1＝t 3－⎠⎛0t x 2d x ＝t 3－13t 3＝23t 3，S 2＝⎠⎛t 1x 2d x －(1－t )t 2＝13－13t 3－(1－t )t 2，＝23t 3－t 2＋13，S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)．可由导数求得当t ＝12时，S 1＋S 2取到最小值，最小值为14.。

课时分层训练（十七）定积分与微积分基本定理A组基础达标、选择题1定积分1（2 x+ e x）d x的值为（）丿0A. e + 2 C. eB. e+ 1 D. e-1C [ '(2x+ e x)d x= (x2+ e x)■ 01+ e —1 = e.故选C.]2.由直线x=—nn, x= nn, y= o与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为（）A.2B. 1D. 37tnD [由题意知S= 3 cos x d x= sinniZ-—3 3 =_2 n 2 ~33.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v= g t（g为常数），则电视塔高为（）【导学号：79140093】4 .1A.qgB. gD. 2gC ［由题意知电视塔高为’2g t d t丿11 *22g t1 32g—?g =尹]2 2定积分T x - 2x|d x=( )” -2A. 5C. 7B. 6D. 82[^|x —2x|f2x —2x, —2< x v 0,2—x + 2x, 0< x< 2,21 x2—2x|d x=，0(x2—2x)d x +，2( —x2+ 2x)d x-2 -2 02-25. (2018 •合肥一检)在如图2-12-1所示的正方形中随机投掷 分(曲线C 的方程为x 2— y = 0)的点的个数的估计值为(［图中阴影部分的面积为1(1 — x 2)d x = x —3X ■ 0000个点落入阴影部分个数估计为10 000 X 6 667，故选 B.](e — 1) = e —三、解答题32-x — x+ [卜3+ x 2J = 8.]二、填空题 6. (2018 •长沙模拟(二))若 a (x 2 + sin J -ax )d x = 18，贝U a = 3 [ \ (x 2+ sin x )d x = 'TX ~ — cos ■ -a3a23"，口=3a = 18,解得 a = 3.]-a 37. 设变力F (x )作用在质点 M 上，使M 沿x 轴正向从x = 1运动到x = 10(单位：m ),已知F ( x ) =x 2+ 1(单位：N 且和x 轴正向相同，则变力 F (x )对质点M 所做的功为342 ［变力F (x ) = x 2+ 1使质点M 沿x 轴正向从x = 1运动到x = 10所做的功为 W = '1°J 1J .F (x )d x = ，10(x 2+ 1)d10=342(J).]1x + 1, — 1 w x v 0,(2017 •洛阳统考)函数f (x ) = x的图像与直线x = 1及x 轴所围成e , 0w x wi的封闭图形的面积为【导学号：79140094】1e — [由题意知所求面积为，0(x + 1)d x +1e xd x = 2- — 1 ■ 0 1 22X+ Xx+ e-12-1 +10 000个点，则落入阴影部A. 5 000 C. 7 500B. 6 667 D. 7 8542、3又正方形的面积为 1,则10图 2-12-19.计算下列定积分:(2)『寸—x 2+ 2x d x ; 丿02 2(x — 1) + y = 1的面积的一半，•••cos 0 + sin 0) = 2.110.求曲线y = ,x , y = 2 — x , y =— 3X 所围成图形的面积.3r _ r［解］如图所示，由)—3， 得交点A(1,1),y = 2 — x ,y —2 — x ，由1 得交点B(3 , — 1).y一 3x ，2x - 1x 2X.［解］⑴原式=«x — In'2 X22— In 2 )21 2— ln 1=2 — In 2 ;(2)由定积分的几何意义知, 所求定积分是由x = 0, x = 2, y =— x 2+ 2x ,以及 x⑶原式=Lsin2” 0x + cos x )d x = ( — cos x + sin x )cos -^ + sin7tn轴围成的图像的面积，即圆2— x 2+ 2x =n；\炖F故所求面积1 3B组能力提升f(x) = x2+ 2 'f(x)d x,则'f(x)d x =(A. B.C. D.[由题意知f (x) = x2+ 2 1f (x)d x,J 0设m= '1f (x)d x,「. f(x) = x2+ 2 m,■ 0ff(x)d x=「1(x2+ 2m)d x=0 ■ 0尹+ 2mx1 1=3+ 2m= m, ••• m=--.]12 (2017•河南百校联盟4月模拟)已知編$ € 0, -n，则的$2(x —2x)d x=(1A.3B.2C.2D.C [由一1sin $+cos $ = 2 2? sin $+ cos $ = 2 2 • sin $ • cos $ ? 27ts in 冷 +匸=.2sin 2$,因为 $/ 2 c 、, 卢1 /2(x —2x)d x = (:7t€ 0, nn，所以$=n4,所以tan $ = 1，故'tan$丿—1x2—2x)d x= x —x13.设函数f (x) =ax2+ c( a*0)，若1f (x)d x= f(x o) , 0< x o w 1,贝U x o的值为J。

4.2 微积分基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241xd x 等于( )A.－2ln 2B.2ln 2C.－ln 2D.ln 2【解析】 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.【答案】 D2.设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x4343⎪⎪⎪10＝34，b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14，∴a >b >c . 【答案】 A3.(2016·东莞高二检测)已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A.2B.－2C.1D.－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.【答案】 A4.已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛－12f (x )d x ＝( )A.3B.4C.72D.92【解析】 因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x ≤0，2－x ，x ≥0，所以⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22⎪⎪⎪0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪20＝32＋2＝72. 【答案】 C5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6.(2015·长沙高二检测)若f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝________. 【解析】 因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f (x )的一个原函数F (x )＝sin x －cos x ，则⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2. 【答案】 27.(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝__________.【解析】 ⎠⎜⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝⎠⎜⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2.【答案】 28.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0， 且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a0＝a 3－03＝a 3，所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9.已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值.【解】 因为f (x )＝⎠⎛－ax(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪1＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1.∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1.10.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x ).【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，①f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ＝196，③ 由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1.已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A.π2B.4C.πD.－9π【解析】 ⎠⎛024－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，因此⎠⎛024－x2d x ＝π，a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A .【答案】 A2.如图4­2­2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()图4­2­2A.14 B.15 C.16D.17【解析】 因为S 正方形＝1，S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝23－12＝16， 所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16.【答案】 C3.计算：⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝__________.【解析】 ⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 124.定义F (x ，y )＝(1＋x )y，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解】 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0，9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线， 切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝n 2－4n ＋9，t n＝2n －4，解得B (3，6).∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪30＝9.。