高等数学11-1第二次单元测验试卷答案201212

河北衡水中学2011～2012学年度下学期一调考试高三数学试题 全解析（理科 ）本试卷分第I 卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。

一共6页。

共24题。

本试卷共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( D ) A ．(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1,0,1-2.若z 是复数，且()13=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为 ( B )A ．i +-3 B.i --3 C.i +3 D.i -33．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示， 则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( D ) A ． 乙甲x x < 22x x S S <<乙甲，乙甲 B. 乙甲x x < 22x x S S <>乙甲，乙甲 C. 乙甲x x >22x x S S >>乙甲，乙甲D. 乙甲x x > 22x x S S><乙甲，乙甲4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ C ）A ．2B ．1C ．23 D ．135．设x ，y 满足36020,3x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若目标函数z=ax+y （a>0）的最大值为14，则a=（ B ） A ．1 B ．2C ．23D ．5396.等差数列{n a }前n 项和为n s ，满足4020s s =，则下列结论中正确的是（ D ） A 、30s 是n s 中的最大值 B 、30s 是n s 中的最小值 C 、30s =0 D 、60s =0 7．阅读右面程序框图，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为（ A ）A ．13B ．23C ．14 D ．34乙 甲 8 6 4 3 1 58 6 3 2 4 58 3 4 9 45 01 3 1 6 798.若函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且ON OM ⋅=0，（O 为坐标原点）则A ω⋅=（ C ） A 、6πB 、712π C 、76π D 、73π 9.已知双曲线221916x y -=，其右焦点为F ，P 其上一点，点M 满足MF =1，0=⋅MP MF ，则MP 的最小值为（ B ）A 3B 3C 2D 210.设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是( D )A ． 三角形区域B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域11．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的 交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值是（ C ）A239 B 536 C 12 D 2412．已知函数()||,()xx af x e a R e=+∈在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ C ）A ． [0,1]a ∈B ． ]0,1[-∈a C. [1,1]a ∈- D. ),[],(22+∞⋃--∞∈e e a 第Ⅱ卷（ 90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13. 为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A 地测得塔尖的仰角为45°，沿着A 向北偏东30°前进100米到达B 地（假设A 和B 在海拔相同的地面上），在B 地测得塔尖的仰角为，则塔高为_____ 米5014.已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f =____________．12βαA CBP D解：令1y =则4()(1)(1)(1),(,)f x f f x f x x y R =++-∈()(1)(1)f x f x f x ∴=++-∴(1)(2)()f x f x f x +=++ ∴()(2)f x f x =+ ∴(2010)(0)f f =令1y =则1(0)2f =∴1(2010)2f =15.在平面直角坐标系中，定义点),(),,(2211y x Q y x P 之间的“直角距离”为||||),(2121y y x x Q P d -+-=。

某某师大附中2011—2012学年度下学期末模块测试高一数学试题本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．sin 300tan 240oo+的值是 A ．23-B ．23C ．321+-D ．321+ 2．函数2cos 2y x =+是A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 3．已知(2,3)A ，(3,0)B ，且2AC CB =-，则点C 的坐标为 A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．8(,1)3D ．8(1,3-4．已知a b a ,2||,1||==与b 的夹角为600，若ka b +与b 垂直，则k 的值为A ．4-B ．4C ．43-．435．若把函数cos y x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后再把图象向左平移6π个单位，则所得图象对应的函数解析式为 A ．1cos(26y x π=+B ．1cos()212y x π=+C ．cos(2)6y x π=+D ．cos(2)3y x π=+6．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ,则扇形的中心角的弧度数是 A ．1 B ．4 C ．1 或4D ．2 或47．若,αβ为锐角，且满足45cos ,cos(),513ααβ=+= 则sin β的值是 A ．1665B ．3365C ．5665D ．63658．已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果2||,0,0πϕω<>>A ，则第14题图A ．4=AB ．1=ωC ．6πϕ=D ．4=B9．已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置013()2P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆 周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A ．sin(),03y t t π=+≥B ．sin(),06y t t π=+≥ C ．cos(),03y t t π=+≥D ．cos(),06y t t π=+≥ 10．若(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈，则sin cos 1θθ+≥的概率为 A ．15B ．25C ．211D ．61111．设()2sin()f x x m ωϕ=+-，恒有()()2f x f x π+=-成立，且(14f π=-，则实数m的值为A ．1±B ．3±C ．－3或1D ．－1或312．若两个函数的图象仅经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：1()22f x x =，2()sin cos f x x x=+，3()2)16f x x π=++，则A ．123(),(),()f x f x f x 两两为“同形”函数B ．12(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数C ．23(),()f x f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数D ．123(),(),()f x f x f x 两两不为“同形”函数二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知5sin()6x π+=，则2cos()3x π+的值为 *** ； 14．如图,在平行四边形ABCD 中,,,3AB a AD b AN NC ===,则BN = *** (用,a b 表示) ；15．设a ＝)sin ,23(α，b ＝31,(cos α，且a ∥b ，则锐角α的大小为 *** ；16．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是2π，且当[0,]4x π∈ 时，()cos f x x =，则()3f π= *** ；17．定义平面向量之间的一种运算“⊗”如下：对任意的向量(,),(,)a m n b p q ==，令a b mq np ⊗=-，给出下面四个判断：①若a 与b 共线，则0a b ⊗=； ② 若a 与b 垂直，则0a b ⊗=；③a b b a ⊗=⊗； ④2222()()||||a b a b a b ⊗+⋅=.其中正确的有 *** （写出所有正确的序号）.三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分10分）已知||2,||1,(23)(2)9a b a b a b ==⋅+=－. （Ⅰ）求a b 与的夹角θ； （Ⅱ）求向量a 在()a b +上的投影.19．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已知A 、B 的横坐标分别为102，552.（Ⅰ）求)tan(βα+的值；（Ⅱ）求22sin sin 26cos cos 2αααα++的值.20．（本小题满分12分）已知向量(cos 2,4),(1,cos )a x b x λ=-=，其中,[0,]2R x πλ∈∈.设函数()f x a b =⋅.（Ⅰ）求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若()f x 的最小值是23-，求λ的值．21．(本小题满分12分) （Ⅰ）已知：3sin cos 5αβ+=,4cos sin 5αβ-=,求sin()αβ-的值; （Ⅱ）类比（Ⅰ）的过程与方法，将（Ⅰ）中已知条件中两个等式的左边进行适当改变，写出改变后的式子，并求cos()αβ-的值.22．(本小题满分12分)如图，在半径为1，圆心角为6π的扇形OAB 的弧上任取一点C ，作CD OA ，交OB 于点D ，求OCD ∆的最大面积.23．（本小题满分12分）已知函数()cos 2(),(0,0,0)222A A f x x A πωϕωϕ=-+>><<的图象过点(1,2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且()f x 的最大值为2. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）计算(1)(2)(2012)f f f +++；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间[1，4]上的零点情况.参考答案一、选择题：1－12：BABADCBCADDC 二、填空题： 13．5-．1344a b -+ 15.4π16.2 17. ①④ 三、解答题：18．解: （Ⅰ）22(23)(2)4439a b a b a a b b +=-⋅-=－, 即16439a b -⋅-=∴1a b ⋅=∴1cos 2||||a b a b θ⋅==∵[0,]θπ∈∴3πθ=（Ⅱ）222||27a b a a b b +=+⋅+= ∴||7a b +=，设a 与()a b +的夹角为α∴向量a 在()a b+上的投影为2()()5||cos ||7||||||||7a ab a a b a a b a a a a b a b a b α⋅+⋅++⋅=====+++ 19．解:由条件得102cos =α，552cos =β，∵α，β为锐角， ∴1027cos 1sin 2=-=αα，55cos 1sin 2=-=ββ， 因此7cos sin tan ==ααα，21cos sin tan ==βββ. （1）32171217tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα. （2）2222222sin sin 2sin 2sin cos tan 2tan 491436cos cos 27cos sin 7tan 7492αααααααααααα++++====-+--- 20．解：（Ⅰ）,cos 42cos )(x x x f λ-=]2,0[π∈x（Ⅱ）∵()cos 24cos f x x x λ=-222(cos )12.x λλ=---]2,0[π∈x∵]2,0[π∈x ， ∴.1cos 0≤≤x设cos ,0 1.t x t =≤≤则222()12,0 1.y t t λλ=---≤≤01<'λ当、时，当且仅当min 0,1t y ==-时，这与已知矛盾． 101≤≤''λ当、时，当且仅当2min ,12t y λλ==--时.由已知得23212-=--λ，解得.21=λ 11>'''λ当、时，当且仅当min 1,14t y λ==-时.由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾．综上所述，21=λ为所求． 21．解：（Ⅰ）∵53cos sin =+βα①54sin cos =-βα②①的平方+②的平方，得22(sin cos cos sin )1αβαβ+-=21)sin(-=-∴βα（Ⅱ）可将（Ⅰ）（1）中已知条件改为，3sin sin 5αβ+=，54cos cos =+βα，将两式平方后求和得1)cos cos sin (sin 22=++βαβα21)cos(-=-∴βα22．解：作DE OA ⊥于点E ，CF OA ⊥于点F ，设AOC α∠=,则0π在Rt OCF∆中，sin CFα=，cos OF α= 在Rt ODE ∆中，∴OE α===∴cos EF OFOE αα=-= ∴21111sin (cos )sin cos 2222OCD S CD CF EF CF αααααα∆=⋅=⋅=⋅=1cos 2)1sin 2sin 2cos 244444αααα-=-=+-1sin(2)234πα=+-，06πα<<. ∵06πα<<，所以22333πππα<+<∴当232ππα+=，即12πα=时，OCD S ∆有最大值且为124- 23．解：（Ⅰ）22,4,02224T T T πππωωω==>∴==∴=， 由于()f x 的最大值为2且A>0， ∴ 所以222A A+=即A=2∴()1cos 2()4f x x πϕ=-+，又函数()f x 的图象过点(1,2)则cos 2()1sin 21422,,24024k k k Zπϕϕππϕπϕππϕπϕ+=-∴=∴=+=+∈<<∴=∴()1cos 2()1sin 442f x x x πππ=-+=+ 由22(),222k x k k Z πππππ-≤≤+∈得1414(),2k x k k Z π-+≤≤+∈∴)(x f 的单调增区间是[14,14]().k k k Z -++∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin2f x x π=+，∴()f x 的周期为4，而2012=4×503 且(1)2,(2)1,(3)0,(4)1f f f f ==== ∴原式45032012=⨯=（Ⅲ）()()1cos()sin 222g x f x m x m x m πππ=--=-+-=-函数()g x 的零点个数即为函数sin2y x π=的图象与直线y m =的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象(如下图所示)，由图象可知:x1） 当1m >或1m <-时，函数sin 2y x π=的图象与直线y m =无公共点，即函数()g x 无零点；2） 当01m <≤或1m =-时，函数sin2y x π=的图象与直线y m =有一个公共点，即函数()g x 有一个零点； 3） 当10m -<≤时，函数sin2y x π=的图象与直线y m =有两个公共点，即函数()g x 有两个零点.。

2011—2012学年度第二学期第二次调研考试高一年级数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、 选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( )A.正方体的棱长和体积B.单位圆中角的度数和所对弧长C.单产为常数时，土地面积和总产量D.日照时间与水稻的亩产量2.在下列各数中，最小的数是 （ ）A 、)9(85B 、)6(210C 、)4(1000D 、)2(111113.阅读右侧程序：如果输入x ＝2，则输出结果y 为 ( )A ．π－5B ．－π－5C ．3＋πD ．3－π4.与01303终边相同的角是 （ ）A ．0763B ．0493C ．0371-D ．047-5. 已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于xOy 面对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为 ( ) A. 2 5 B. 4 C. 2 2 D. 276.图1是某地参加2011年高考的学生身高统计图，从左到右的各长方形表示的学生人数依次记为1021,A A A ，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150,155内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～185cm （含160cm ，不含185cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ） Ａ．9i < Ｂ．8i < Ｃ．7i < Ｄ．6i <第3题7.有四个游戏盘面积相等，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 （ ）8.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63．6万元 B ．65．5万元 C ．67．7万元 D ．72．0万元9. 执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ）A.32B.31C.15D.1610.已知圆的方程为08622=--+y x y x 设该圆中过点（3，5）的最长 弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是 （ ）A ．610B ．620C ．630D ．640第9题图S=S+2 n-111.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是 ( )A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样12. 对任意实数,a b ，定义运算“*”如下：x x f b a b b a a b a 221log )23(log )().(),(*-=⎩⎨⎧>≤=*则函数 x x x f b a b b a a b a 221log )23(log )().(),(*-=⎩⎨⎧>≤=*则函数的值域为 （ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞- C ．)0,32(log 2 D ．),32(log 2+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（每题5分，共20分。

肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012学年第一学期统一检测题高二数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间中，下列命题正确的是A ．垂直于同一平面的两条直线平行B ．垂直于同一平面的两个平面平行C ．平行于同一直线的两个平面平行D ．平行直线的平行投影重合 2．下列是全称命题且是真命题的是A ．0,2>∈∀x R xB ．0,,22>+∈∀y x R y xC ．Q x Q x ∈∈∀2,D ．1,20>∈∃x Z x 3．双曲线142522=-y x 的渐近线方程是 A ．x y 52±= B ．x y 25±= C ．x y 254±= D ．x y 425±=4．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是A ．1B ．51C ．53D ．576．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+k y x 的离心率为21，则实数k 等于 A ．3 B ．32 C ．38 D ．23 7．若圆02)1(222=-+-++m my x m y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数m 的值为A ．-1或3B ．-1C ．3D ．不存在8．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为A ．34B ．32C ．4D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9．用一个平面截半径为25的球，截面面积是225π，则球心到截面的距离为 ▲ .10．若A （-2，3）、B （3，-2）、C （21，m ）三点共线，则m 值为 ▲ .11．双曲线14222=-y x 的离心率等于 ▲ . 12．若动点P 在122+=x y 上，则点P 与点Q （0，-1）连线中点的轨迹方程是 ▲ . 13．不等式0)1)((<++x x a 成立的一个充分而不必要条件是12-<<-x ，则a 的取值范围是 ▲ .14．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =4，CD =2. E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF =3， EF //AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积 比为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点A （3，2），且与直线4x +y -2=0平行；俯视图正视图侧视图A BCDEF（2）经过点B （2，-3），且平行于过点M （1，2）和N （-1，-5）的直线； （3）经过点C （3，0），且与直线2x +y -5=0垂直.16．（本小题满分12分）如图，一个高为H 的三棱柱形容器中盛有水. 若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点E 、F 、E 1、F 1. 当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？17．（本小题满分14分）求与x 轴相切，圆心在直线3x -y =0上，且被直线x -y =0截得的弦长为72的圆的方程.18．（本小题满分14分）如图，棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点.（1）求证：B 、D 、E 、F 四点共面； （2）求证：平面AMN //平面BEFD ； （3）求点A 1到平面AMN 的距离．19．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CC 1上的点，CF =AB =2CE ，AB :AD :AA 1=1:2:4.（1）求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； （2）证明：AF ⊥平面A 1ED ；（3）求二面角A 1—ED —F 的大小的正弦值．111A 1B 120．（本小题满分14分）已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：)0(12222>>=+b a bx a y 的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：y x 42=的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且35||1=MF . （1）求椭圆C 1的方程；（2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线 y =kx （k >0）与椭圆C 1相交于E 、F 两点. 求四边形AEBF 面积的最大值.2011—2012学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题9．20 10．2111．3 12．24x y =13．（2，+∞） 14．7:5 三、解答题15．（本小题满分12分）解：（1）由直线4x +y -2=0得直线的斜率为-4， （2分） 所以经过点A （3，2），且与直线4x +y -2=0平行的直线方程为y -2=-4(x -3)，即4x +y -14=0. （4分） （2）由已知，经过两点M （1，2）和N （-1，-5）的直线的斜率271125=----=k ， （6分） 所以，经过点B （2，-3），且平行于MN 的直线方程为)2(273-=+x y ，即7x -2y -20=0. （8分） （3）由直线2x +y -5=0得直线的斜率为-2， （9分） 所以与直线2x +y -5=0垂直的直线的斜率为21. （10分） 所以，经过点C （3，0），且与直线2x +y -5=0垂直的直线方程为)3(21-=x y ，即x -2y -3=0. （12分）16．（本小题满分12分）解：当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的体积V 等于 四棱柱ABFE —A 1B 1F 1E 1的体积，H S V V ABFE •==梯形四棱柱. （3分）当底面ABC 水平放置时，设水面高为h ，则水的体积h S V ABC •=∆. （6分） 因为E 、F 为AC 、BC 的中点，所以ABC CEF S S ∆∆=41， 所以ABC ABFE S S ∆=43梯形. （8分） 由h S H S ABC ABFE •=•∆梯形，即h S H S ABC ABC •=•∆∆43，得H h 43=. （11分）故当底面ABC 水平放置时，液面高为H 43. （12分）17．（本小题满分14分）解：设所求的圆的方程是)0()()(222>=-+-r r b y a x ， （2分） 则圆心到直线x -y =0的距离为2||b a -， （4分）所以222)7()2||(+-=b a r ，即14)(222+-=b a r ① （6分）111因为所求的圆与x 轴相切，所以22b r = ② （8分） 又因为所求圆心在直线3x -y =0上，所以3a -b =0 ③ （10分）联立①②③，解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,3,1r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.3,3,1r b a （12分）故所求圆的方程为9)3()1(22=-+-y x 或9)3()1(22=+++y x . （14分）18．（本小题满分14分） （1）证明：如图，连接B 1D 1. 因为E 、F 为B 1C 1、C 1D 1的中点， 所以EF //B 1D 1. （2分） 又因为BD //B 1D 1，所以EF //BD . （3分） 故B 、D 、E 、F 四点共面. （4分） （2）证明：连接EN .因为M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点，所以MN //B 1D 1.又EF //B 1D 1，所以MN / / EF . （5分） 因为EF ⊂平面BEFD ，所以MN //平面BEFD . （6分） 因为E 、N 为B 1C 1、A 1D 1的中点，所以EN //A 1B 1，且EN =A 1B 1. 又AB //A 1B 1，且AB =A 1B 1，所以NE / / AB ，且NE =AB .所以四边形ABEN 为平行四边行，故AN //BE . （7分） 因为BE ⊂平面BEFD ，所以AN //平面BEFD . （8分） 因为MN ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，且MN ∩AN =N ，所以平面AMN //平面BEFD . （9分） （3）证明：设A 1到平面AMN 的距离为d . 在∆AMN 中，a a a AN AM 254122=+==，a a a MN 22414122=+=， 所以22283162452221a a a a S AMN =-⨯⨯=∆. （11分）A 1因为MN A A AMN A V V 11--=三棱锥三棱锥， （12分）即a a d a ⨯⨯=⨯⨯2281318331， （13分） 解得3a d =,故A 1到平面AMN 的距离为3a. （14分）19．（本小题满分14分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB =1，依题意得A （0，0，0），A 1（0，0，4）， D （0，2，0），E （1，23，0），F （1，2，1）. （2分） （1）易得)1,21,0(=EF ，)4,2,0(1-=D A ． （3分）所以535225410||||,cos 111-=⨯-+=•>=<D A EF D A EF D A EF ， （5分）故异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为53． （6分）（2）易得)1,2,1(=AF ，)4,23,1(1-=E A ，)4,2,0(1-=D A . （7分）因为04311=-+=•E A AF ，04401=-+=•D A AF ， （8分） 所以E A AF 1⊥，D A AF 1⊥. （9分） 又A 1E ⊂平面A 1ED ，A 1D ⊂平面A 1ED ，A 1E ∩A 1D = A 1，所以AF ⊥平面A 1ED ． （10分） （3）设平面EFD 的法向量为),,(z y x m =．由)1,21,0(=EF ，)0,21,1(-=ED ，⎪⎩⎪⎨⎧=•=•,0,0m ED m EF得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+,021,021y x z y 解得⎩⎨⎧-=-=.2,z y z x不妨令1-=z , 得)1,2,1(-=m ． （11分）由（2）可知，)1,2,1(=AF 为平面A 1ED 的一个法向量. （12分） 于是3266141||||,cos =⨯-+=•>=<AF m AF m AF m ， （13分） 从而35,sin >=<AF m . 所以二面角A 1—ED —F 的大小的正弦值为35. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）设)0)(,(000<x y x M .由C 2：y x 42=，得F 1（0，1）. （1分） 因为M 在抛物线C 2上，故024y x =. ① （2分） 又35||1=MF ，则3510=+y . ② （3分） 解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.32,36200y x （4分） 因为点M 在椭圆上，故1)362()32(2222=-+b a ，即1389422=+ba ③ （5分） 又c =1，则122+=b a ④ （6分）解③④得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,422b a 故椭圆C 1的方程为13422=+x y . （7分） （2）不妨设),(11y x E ，),(22y x F ，且21x x <.将kx y =代入13422=+x y 中，可得431222+=k x ， （8分） 即4332212+=-=k x x ，所以4332212+=-=k k y y . （9分）由（1）可得2||,3||==OB OA . （10分） 故四边形AEBF 的面积为22223232212221y x y x S S S AEF BEF +=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆. （11分） 所以43341324364334222++•=+++=k kk k k S （12分）因为k k 34432≥+，所以143342≤+k k. （13分）所以62≤S ，当且仅当332=k 时，等号成立. 故四边形AEBF 面积的最大值为62. （14分）。

| | | | | | | |装| | | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |防灾科技学院2011~2012学年 第 一 学期期末考试《高等数学（一）》试卷（A ） 使用班级 11级本科 答题时间_120分钟（本试卷理工、财经各专业通用，共三页24道题）一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共 15 分。

）1、设22()54,()(1)x x x x x αβ=-+=-，则当1x →时，（ D ）。

A. ~αβ B. αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小C.αβ是比高阶的无穷小 D. 低阶的无穷小是比βα2、设2,1(),1ln x xf x x a b x ≤⎧=⎨>+⎩在点1=x 处可导，则,a b 的值为（ B ）。

A. 0,1a b == B. 1,2a b == C. 1,12a b == D. 1,0a b == 3、设⎰++=dx x x x I sin 1cos ，则I =（ D ）。

A. 2(1cos )x C ++ B. a r c s i n x x C ++C. l n 1c o s x C ++D. ln sin x x C ++4、在[0,1]上''()0f x >，0)('<x f ，则其在区间[0,1]上为（ B ）。

A.单调增，凹 B. 单调减，凹 C. 单调增，凸 D. 单调减，凸5．下列反常积分中发散的是（ C ）。

A. 211dx x +∞-∞+⎰ B. 1+∞⎰C.1dxx⎰D. 1⎰二、 填空题（本大题共5小题，每题3分，共15 分。

）6、n nn n n sin lim3++∞→= 0 ；7、设x x x f ln )1(+=+，则()''=f x 2)1(1--x ；8、已知)(x f 的一个原函数是)tan 1(x x +，⎰='x x f x d )(则C x x +22sec ；9、微分方程y x y 2'=的通解是 3x Ce ；10、用待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程xe x y y y 2//)4(23+=+'-的特解时，所设特解的形式为=*y x e b ax x 2)(+。

2011—2012学年度第二学期第一次调研考试高一年级数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知}104|{+∈=N x x x A 的公倍数，与是，},20|{+∈==N m m x x B ，则 （ ） A ．B A ⊆且B A ≠B ．A B ⊆且B A ≠C ． B A =D ．B A ∈2.已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么1[()]8f f 的值为( ) A ．27 B ．127C ．27-D ．127- 3.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 （ ） A.32 B.16+162C.48 D.16322+4.若直线y x b =-与曲线1)2(22=+-y x 有两个不同的公共点，则实数b 的取值X 围为 （ ） A.(22,1)- B.[22,22]-+ C.(,22)(22,)-∞-++∞D.(22,22)-+5.已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（ ）D.16.设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)((b 为常数)，则)1(-f =（ ）A .3 B.1 C.－1 D.－37.设(0,0),(1,1),(4,2)A B C ，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是（）． A ．(-8,6) B ．(8，-6) C ．(4，-6) D ．(4，-3) 8.如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、11B C 都平行. 其中真命题是( )A ．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 9.定义新运算“&”与“*”：1&y x y x -=，(1)log x x y y -*=，则函数(&3)1()32xx f x +=*是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既是奇函数又是偶函数 10.若点A （2，-3）是直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的公共点，则相异两点),(11b a 和),(22b a 所确定的直线方程为 （ ） A.0132=--y x B.0123=+-y x C.0132=+-y x D. 0123=--y x 11.在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60O，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则三棱锥B-ACD 的体积为为（ ） A.122 B.121 C.62 D.42B 11M12.已知直线01243:=-+y x l ，若圆上恰好存在两个点P 、Q ，他们到直线l 的距离为1，则称该圆为“完美型”圆。

高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。

（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。

（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。

（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

（）5. 偏导数连续必可微。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。

2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。

3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。

4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。

5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。

2. 解释复合函数求导法则。

3. 举例说明什么是隐函数。

2011 - 2012学年第二学期期末考试《高等数学(下)》试卷(A)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分 100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班题号-一--二二三四总分分数评阅人： ____________ 总分人： __________________________、单项选择题(共 10小题，每小题3分，共30分)。

【A 】设有直线L ： 口 =丄二二2及平面二:2x y =1,则直线L1 -2 1(A)平行于二 (B) 在二内 (C)垂直于二 (D) 与二斜交【D 】2.锥面z立体在xoy 面的投影为[A l 4.函数z = f (x, y)在点(x 0, y 0)处可微分，则函数在该点1 1【C 】5.将二次积分pdx. f(x,y)dy 转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)必连续 (C)必有极值(D)(B)偏导数必存在且连续偏导数不一定存在(A) (x -1)2 y 2=1 (B) (x-1)2 y 2 乞 1(C)z= 0,(x -1)2y 2 -1(D)z =0,(x_1)2y 2 _1【C 3.设函数z 二z(x, y)由方程e z = e + xyz 确定，则一z的值为(1,0,1)(A) d(B)e (C)(D)11 1 x( A )°dy y f(x, y)dx(B)°dy 0f(x,y)dx( C )1 y0dy 0f(x,y)dx(D) 1 10dy 0f(x,y)dx【D] 6.设L为圆周x22y =1(逆时针方向),则口L(x y)dx (3y -2x)dy( A 3 二(B) 2 二(C) 4 二(D) -3'：【D】7.下列级数中，收敛的级数是001(A) ----------- (B)n4 . 2n 1f (3n4 2n(C)1 nn4 1 * n2(D)nm n ■ 1°°(x _1)n 【B] 8.幕级数a(x n丿■的收敛域为心n3n(A) ( -2, 4) (B)[-2,4)(C)[-2,4](D)(-2, 4]【C】9.微分方程y - y = 0满足初始条件y l x出=2的特解为(A) y =e x1( B)xy = e 2x x(C) y = 2e (D) y = e【B] 10.具有特解y1.x .x二e , y2 二xe的二阶常系数齐次线性微分方程是(A) y -2y y = 0(B)y 2y y = 0(C) y y - 2y = 0(D)y - y 2y = 0得分|二、填空题(共5小题，每小题3分,共15分)1. 设两点A(1,2,1)及B (2,1,3),则| AB | = | AB | = •、6 _；向量AB与z轴的夹角为，r则方向余弦COS ；* = ____ . COS f = ----32. 设z = y x,则dz=_dz = y x In yd^xy x^dy.3. 函数f(x, y) =x2y — y2在点P(1,1)处方向导数的最大值为_T5 _____________ .4. 设L是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则[(x + y)ds=_J2 _______________ .15.函数 展开成X 的幕级数为3 x1.已知曲面Z =x 2 ・y 2-2上一点M (2,1,3)，⑴ 求曲面在M 点处的一个法向量；(2) 求曲面在M 点处的切平面及法线方程•2.求函数 f (x, y) = 2(x 「y)「x 2「y 2 的极值.2 2 2 23.平面薄片的面密度为」(x,y)=x y 1,所占的闭区域 D 为圆周x y =1及坐标轴所围成的第一象限部分，求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分(3z 2x)dydz - (y 3 -2xz)dxdz - (3x 2z)dxdy ,其中Z为上半球面z = a 2 -x 2 - y 2及平面z = 0所围立体的整个边界曲面的外侧5.设曲线通过原点，且曲线上任一点 M (x, y)处的切线斜率等于 x - y ,求该曲线的方程.6. 求微分方程y -3y ，2y =e x 的通解.3n7. 判断级数v (-1)n °半是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?心 4四、综合应用题(共2小题，共13分，其中第1题6分，第2题7分).1. (6分)要用钢板造一个体积为4( m 3)长方体无盖容器，应如何选择容器的尺寸，使n 1n z03nx , -3 ：：三、计算题(共7小题，每小题6分,共42分)得用料最省？》 2 * 》2. (7分)设在xoy平面有一变力F(x, y) =(x • y2) i (2x^8) j构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关 ；(2)计算质点从点 A(1,0)移动到点《高等数学(下)》试卷(A) 第5页 共6页B(2,1)时场力所作的功(1)|ABH<6; COS 63x(2) dz = y Inydx xy x_l dy、2「¥x n ,—3»3n £3三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6 分)(1)由 z = x 2y 2 -2 得，Z x =2x,Z y =2y ,曲面在点M (2,1,3)处的一个法n=(-4, -2,1))2分)⑵ 在点M (2,1,3)的切平面方程为4(x-2)，2(y-1)-(z-3) =04x 2y-z -7 -0选择题每小题3分共30分)..填空题(每小题3分,共15分).... (2 分) 法x y 42分)线z -3 -1A 二 f xx （1,—1） = —2,B 二 f xy （1,—1） = °,C 二 f yy （1, — 1） = -2,则2AC - B=4 ° , A ：： ° , .................................................................................. （2 分）所 以 （-1 为 极 大 值 点 ， 极 大 值f （1,—1） =2 ............................................................. （2 分） 3.（6分）平 面 薄 片的 质M 二 J（x, y ）dxdy 二（x 2 y 2 1）dxdy .......................... （ 2 分）DD1 o2dr C 1）Z ° - °v/【丄加丄詩彳二3二 ................................ （2分）2 4 2 84.（6 分）所围空间区域 门={（ x, y, z ） |0 _ z _ a 2-X 2 - y 2} 由高斯公式，有原式r "耳◎迅）dv0 ex oy cz!!! （3z 2 3y 2 3x 2）dv ............................. （ 2 分）Q2 a=3茁 2sin 「d 「r 2 r 2dr ................................. （ 2 分）0 - 0 02.（6 分）f x =2_2x, f y =-2—2yf x 二 0,占八（2 分）y=°,（2 分）（-1 xy丑1 6=3 2二[-cos J： [ r5]0 a5......................... ( 2 分)5 55.(6分)设所求曲线为y = y(x),由题意得，y = x- y , y(0) = 0,该方程为一阶线性微分方程y・y=x, 其中P( x) 1 Q, x ........................... x .......................... ( 2 分)_p(x)dx |P(x)dx _|dx f dx故通解为y = e [ e Q(x)dx C] =e [ xe dx C] [xe x dx C]二e ▲ (xe x _ e x C)二Ce」x -1(2 分)2分)从而Q(x)二-x,特解y - -xe x, (2 分)y(0)=0 从而所求曲线为6.(6 分)对应的齐次方程y”-3y、2y=0的特征方程为r2-3r•2=0，得特征根则对应的齐次方程的y =C1e x C2e2x2分)对于非齐次方程y ” -3y： 2y二e x, ' =1为r2-3r *2=0的单根，P(x) =1,设其* y特解为y -Q(x)e x,其中Q(x)=ax, a为待定系数，Q(x)满足Q (x) (2' p)Q(x)二P(x)0 (2 1 _3)(a) =17.(6分)由于》(一1)n 4 3n4ny 二C^x C2e2x_xe x.而|im 加=lim匸匕=丄 , 贝U (—2卑1 )收y u n F 4n 4 心4n 敛，................................... （ 3 分）3n从而'•（_ ni i3n ）也收敛，且为绝对收心4n敛. ....................................... （3分）四、综合应用题（共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分）.41.（6分）设该容器的长，宽，高为x, y,z,由题意知xyz=4,则z ,容器的表面积xy4 8 8A = xy 2yz 2xz = xy 2(x y) xy , x 0, y 0xy x y分）( 2 分)因实际问题存在最小值，且驻点唯一，所以当x二y = 2（ m）, z = 1（ m）时，容器的表面积最小，从而用料最省. .....................................................................（1分）2.（7 分）证明：（1）P（x, y）=x y2, Q（x, y） = 2xy-8,由于在xoy面内，—=2y Q恒成立，且P连续，® ex cy ex2分)故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ................................... （4分）⑵质点从点A（1,0）移动到点B（2,1）时场力所作的功（与路径无关），路径L可取折线段A > C,C > B,其中点C(2,0),从而(2,1) * (2,1)W F dr Pdx Qdy%,。

中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。