3 式与方程

100道三元三次方程式三元三次方程式是指含有三个未知数的三次方程，其一般形式为ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3 + ex^2 + fxy + gy^2 + hx + iy + j = 0。

其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i和j为已知系数，x、y为未知数。

解三元三次方程的过程相对较为复杂，需要运用一些特定的解方程方法。

下面将介绍100个不同的三元三次方程，并对其进行解释和求解。

1. 2x^3 + 3x^2y + 4xy^2 + 5y^3 + 6x^2 + 7xy + 8y^2 + 9x + 10y + 11 = 0这是一个一般形式的三元三次方程，可以通过代数方法或数值计算来求解。

将方程转化为矩阵形式，利用线性代数的方法求解。

2. x^3 + y^3 + z^3 + 6x^2 + 12xy + 8xz + 4y^2 + 24yz + 9z^2 + 18x + 36y + 27z + 54 = 0这个方程是一个齐次方程，可以通过分解因式的方法进行求解。

将方程进行因式分解，得到(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-3xy-3yz-3xz+6x+12y+9z+18)=0，然后解出x+y+z=0和x^2+y^2+z^2-3xy-3yz-3xz+6x+12y+9z+18=0两个方程，进而求解未知数。

3. 4x^3 + 3x^2y + 2xy^2 + y^3 + 6x^2 + 6xy + 6y^2 + 12x这个方程可以通过因式分解的方法进行求解。

将方程进行因式分解，得到(x+y+2)(4x^2-2xy+y^2+6x+6y+12)=0，然后解出x+y+2=0和4x^2-2xy+y^2+6x+6y+12=0两个方程，进而求解未知数。

4. x^3 + y^3 + z^3 + 2x^2 + 3xy + 4xz + 5y^2 + 6yz + 7z^2 + 8x + 9y + 10z + 11 = 0这个方程可以通过数值计算的方法进行求解。

2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第4讲式与方程知识点一：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律1.用字母表示数（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克2.用字母表示数量关系（1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt；（2）正比例关系：yx=k（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。

3.用字母表示计算公式（1）长方形的周长：C=2（a+b）；（2）长方形的面积：S=ab；（3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。

4．用字母表示运算定律加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：（a+b）c-ac+bo重点提示：○1数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。

○2两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2知识点二：等式与方程1.等式与方程的意义及关系意义关系等式表示相等关系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定知识精讲方程含有未知数的等式叫作方程是方程2.等式的性质（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。

3.解方程（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。

（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。

（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

学生： 成绩：【知识点一】 用字母表示数可以简明地表示数量关系、运算定律和计算公式1.填空。

(18分)(1)比a 小0.54的数是( )。

(2)小东今年m 岁，弟弟比他小n 岁，5年后弟弟比他小( )岁，5年后弟弟( )岁。

(3)师傅工作8小时，每小时加工a (a >12)个零件，徒弟工作b 小时，每小时加工12个零件，8a 表示( )；12b 表示( )；a －12表示( )；8a ＋12b 表示( )。

(4)五年级同学植树a 棵，六年级同学植树的棵数比五年级同学种的2倍少40棵。

六年级同学种树( )棵。

(5)设A 和B 都是自然数，并且满足A 3＋B 11＝1433，那么A ＋B ＝( )。

【知识点二】 简易方程2.判断。

(10分)(1)所有的等式都是方程。

( )(2)方程的解就是解方程。

( )(3)a ＋7不是方程。

( )(4)a ×2>2a ( )(5)当x ＝4，y ＝5时，x ＋2y ＝4＋2×5＝14。

( )3.我会解方程。

(8分)(1)13x ＋56×15＝12(2)9.2x －4.7x ＝0.94.【生活情境题】2011年5月我国财政收入是10612.26亿元，比2010年同期增长约34%。

2010年5月我国财政收入是多少亿元？(得数保留一位小数)(7分)5．【生活情境题】果园里有苹果树和桃树共200棵，桃树是苹果树的14，苹果树和桃树各有多少棵？(列方程解答。

)(7分)参考答案1.(1)a －0.54(2)n m －n ＋5(3)师傅8小时加工的零件数徒弟b 小时加工的零件数师傅比徒弟每小时多加工的零件数师傅和徒弟一共加工的零件数(4)2a －40 (5)22.(1) (2) (3)√ (4) (5)√3.(1)x ＝1 (2)x ＝0.24.解：设2010年5月我国财政收入是x 亿元。

(1＋34%)x ＝10612.26x ≈7919.65.解：设苹果树有x 棵，则桃树有14x 棵。

一 数与代数 3 式与方程考点知识精要【考点知识梳理】用字母表示数的意义用字母表示常见的数量关系、运算定律和几何形体的计算公式 式 用字母表示数 用字母表示数的读、写法将数值代入用字母表示数的式子求值 与 等式的意义 等式 等式的性质 方 方程的意义 简易方程 方程的解和解方程 程 方程的解和解方程的区别 方程与等式的关系列方程解决问题【考点知识列要】 一、用字母表示数1. 用字母表示数的意义和作用。

用字母表示数，可以简明地表达数量、数量关系、运算定律和计算公式等，也可以表示运算的结果，为研究和解决问题带来很多方便。

2. 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式。

（1）用字母表示常见的数量关系： ①路程用s 表示，速度用v 表示，时间用t 表示，三者之间的关系是： S=vt 、v=t s 、t=vs. ②总价用a 表示，单价用b 表示，数量用c 表示，三者之间的关系: a=bc 、b=c a 、c=ba. （2）用字母表示运算定律和性质：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc)乘法分配律：（a ±b)c=ac ±bc 或ac ±bc=（a ±b)c减法的性质：a-(b+c) =a-b-c除法的性质：a ÷b ÷c=a ÷bc 或a ÷bc=a ÷b ÷c（3）用字母表示几何形体的公式： ①长方形的长用a 表示，宽用b 表示，周长用C 表示，面积用S 表示： C=2(a+b)、S=ab②正方形的边长a 用表示，周长用C 表示，面积用S 表示： C=4a 、S=a 2③平行四边形的底a 用表示，高用h 表示，面积用S 表示：S=ah④三角形的底用a 表示，高用h 表示，面积用S 表示： S=2ah⑤梯形的上底用a 表示，下底b 用表示，高用h 表示，面积用S 表示： S=2)(hb a ⑥圆的半径用r 表示，直径用d 表示，周长用C 表示，面积用S 表示： C=πd=2πr 、 S=πr 2扇形的半径用r 表示，n 表示圆心角的度数，面积用S 表示： S=360n πr 2⑦长方体的长用a 表示，宽用b 表示，高用h 表示，棱长总和用C 表示，表面积用S 表示，体积用V 表示：C=4（a+b+c ）、 S=2(ab+ah+bh)、 V=S 底h 或V=abh⑧正方体的棱长用a 表示，棱长总和用C 表示，表面积用S 表示，体积用V 表示： C=12a 、S=6a 2、V=a3⑨圆柱的高用h 表示，底面半径用r 表示、直径用d 表示，底面周长用C 表示，表面积用S 表示，体积用V 表示：C=πd=2πr 、S 侧=Ch 、S 底=πr 2、S=S 侧+2S底=Ch+πr 2、V=S 底h=πr 2h⑩圆锥的高用h 表示，底面半径用r 表示、底面积用S 表示，体积用V 表示：V=31Sh=31πr 2h3. 用字母表示数的读、写法。

三次方程[编辑本段]英文名称三次方程Cubic[编辑本段]一元三次方程的形式一元三次方程的标准形式为ax^3+bx^2+cx+d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+bx^2/a+cx/a+d/a=0,所以三次方程又可简写为x^3+bx^2+cx+d=0．[编辑本段]一元三次方程的韦达定理设方程为ax^3+bx^2+cx+d=0则有x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a；[编辑本段]一元三次方程解法思想一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．[编辑本段]一元三次方程解法的发现中国南宋伟大的数学家秦九韶在他1247年编写的世界数学名著《数书九章》一书中提出了数字一元三次方程与任何高次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。

这个方法比几百年以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许多。

现在，这种方法被后人称为“秦九韶程序”。

世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。

欧洲三次方程解法的发现是在１６世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的．最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）．他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在１５４５年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法．[编辑本段]一元三次方程的卡尔丹公式解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^2+px+q=0的特殊型。

方程的公式是什么？
1、一元一次方程：ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）
2、二元一次方程：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。

3、一元二次方程：ax+bx+c=0（a≠0）。

其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

4、三元一次方程：ax+by+cz=d。

5、直线方程：
(1)一般式：Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式：知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)。

当k不存在时，直线可表示为x=x0
(3)截距式：若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/ b=1。

所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线。

三次方程的因式分解——解析与实例引言：三次方程作为高中数学中的重要内容之一，是我们进一步了解多项式函数的基础。

本文将详细介绍三次方程的因式分解方法，包括基本原理、步骤和实例分析，旨在帮助读者更好地理解并运用这一概念。

一、三次方程与因式分解的关系（100字）三次方程是由三次多项式构成的方程，形如ax^3+bx^2+cx+d=0。

因式分解是将多项式拆分为两个或多个因式相乘的形式。

因式分解可以用于求解三次方程的解，同时也可用于研究多项式的最高次项和因式之间的关系。

二、三次方程的因式分解原理（200字）三次方程的因式分解基于因子定理和多项式乘法展开原理。

根据因子定理，如果一个多项式P(x)的值为0，那么x-a是P(x)的一个因子，其中a是其一个根。

因此，要分解一个三次方程，我们需要先找到其一个根，将其与因式x-a相乘，再进行多项式乘法展开，最终得到因式分解形式。

三、三次方程的因式分解步骤（300字）1. 寻找一个根：可以通过观察、代入法、综合余式定理等方法找到一个根。

2. 将根与因式相乘：将根x-a与三次方程相乘，即将三次方程中的每一项乘以x-a。

3. 展开多项式：将乘法展开后的多项式进行整理，得到一个新的多项式。

4. 重复上述步骤：重复进行步骤1-3，直到无法找到更多根为止。

5. 整理因式：将所有的因式相乘并整理，得到最终的因式分解的形式。

四、三次方程的因式分解实例分析（500字）我们通过一个具体的例子来进一步理解三次方程的因式分解。

例题：求解方程x^3-6x^2+11x-6=0步骤一：寻找一个根我们可以通过观察法发现，当x=1时，方程的值为0，即x=1是方程的一个根。

步骤二：将根与因式相乘将方程中的每一项乘以x-1，即得到：(x-1)(x^3-6x^2+11x-6)=0步骤三：展开多项式进行多项式乘法展开，得到：x^4-7x^3+12x^2-5x-6=0步骤四：重复上述步骤我们可以发现，x=1不再是新方程的根。

高次方程三次方程与四次方程的求解高次方程是指次数大于2的多项式方程。

在数学中，我们常常需要求解高次方程，特别是三次方程和四次方程。

本文将介绍三次方程和四次方程的求解方法。

一、三次方程的求解一般来说，三次方程的一般形式为：aa³ + aa² + aa + a = 0，其中a、a、a、a为已知常数，a为未知数。

对于一般的三次方程，没有一般公式可以直接求解其根。

但我们可以利用一些特殊情况和代数方法来求解。

1. 求有理根：若三次方程有有理根，其有理根必定为a/a的形式，其中a是方程右端的因数，a是方程左端的因数。

通过试探法，我们可以找到可能的有理根，然后通过带入方程验证得出实际根。

若有理根存在，我们可以通过因式定理将其转化为二次方程进行求解。

2. 使用综合除法：若已知一个方程根为a = a，其中a是方程的一个根，可以利用综合除法将方程化简为二次方程。

综合除法的步骤是将已知根再除一次，然后与原方程相减，得到二次方程。

3. 应用三角恒等式：对于某些特殊的三次方程，可以使用三角恒等式将其化简为三角方程。

通过观察方程的形式，选取适当的三角恒等式进行变形和化简，可以得到三次方程的根。

二、四次方程的求解四次方程的一般形式为：aa⁴ + aa³ + aa² + aa + a = 0，其中a、a、a、a、a为已知常数，a为未知数。

与三次方程不同的是，四次方程存在一个一般公式来求解其根。

牛顿二次迭代法可以用来提高解的精度。

1. 求有理根：类似于三次方程的求解方法，我们可以通过试探法找到可能的有理根，然后通过带入方程验证得出实际根。

若有理根存在，我们可以通过因式定理将其转化为二次方程进行求解。

2. 巴舍尔定理：巴舍尔定理指出，若四次方程存在有理根，它必然可以写成两个二次方程之积等于零的形式。

利用巴舍尔定理，我们可以将四次方程分解为两个二次方程，并解这两个二次方程。

3. 应用数值计算方法：对于一般的四次方程，除了有理根之外，一般需要借助数值计算方法求解。