华罗庚学校数学教材(五年级下)第10讲 逻辑推理(一)

本系列共15讲
第十讲逻辑推理（一）
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文档贡献者：与你的缘
由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径。

为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有根有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。

解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。

例1公路上按一路纵队排列着五辆大客车，每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志。

每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志。

调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断。

他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的。

这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”。

第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道。

第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，
说出了自己的目的地。

请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的？他又是怎样分析出来的？
解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市（否则，如果第一、二辆车都开往A市，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。

再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A 市的（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。

运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B 市。

例2李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。

事先规定，兄妹二人不许搭伴。

第一盘：李明和小华对张虎和小红；
第二盘：张虎和小林对李明和王宁的妹妹；
请你判断：小华、小红和小林各是谁的妹妹？
解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹
二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华。

剩下就只有两种可能了。

第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；
第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。

对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹，王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。

所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。

例3“迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖。

甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖。

”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖。

”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖。

”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，并且甲、乙、丙说的话都是正确的。

那么没能获奖的同学是______。

解：首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖，否则，假设丁没获奖，那么丙也没获奖，这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。

其次考虑甲是否获奖。

假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以
推知：乙也能获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出四个人全都能获奖，不可能。

因此，只有甲没有获奖。

例4数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。

王老师猜测：“小明得金牌；小华不得金牌；小强不得铜牌。

”结果王老师只猜对了一个。

那么小明得______牌，小华得______牌，小强得______牌。

分析逻辑问题通常直接采用正确的推理，逐一分析，讨论所有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答。

这里以小明所得奖牌进行分析。

解：（1）若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。

（2）若“小明得银牌”时，再以小华得奖情况分别讨论。

如果小华得金牌，小强得铜牌，那么王老师没有猜对一个，不合题意；如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，也不合题意。

（3）若“小明得铜牌”时，仍以小华得奖情况分别讨论。

如果小华得金牌，小强得银牌，那么王老师只猜对小强得奖牌的名次，符合题意；如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，不合题意。

综上所述，小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌，符合题意。

例5有三只盒子，甲盒装了两个1克的砝码，乙盒装了两个2克的砝码，丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。

每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。

聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了。

你知道这是为什么吗？
分析解决本题的关键是确定打开哪只盒子：若打开标有“两个1克砝码”的盒子，则该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一个1克砝码，一个2克砝码”，当取出的是2克砝码时，就无法对其内容作出准确判断。

同样，打开标有“两个2克砝码”的盒子时，也会出现类似的情况。

所以，应打开标有“一个1克砝码，一个2克砝码”的盒子。

而它的真实内容应该是“两个1克砝码”或“两个2克砝码”。

（1）若取出的是1克砝码，则该盒一定装有两个1克砝码，从而标有“两个2克砝码”的盒子里，不可能是两个2克或两个1克的砝码，而只能是一个1克，一个2克的砝码了；标有“两个1克砝码”的盒子自然装有两个2克砝码。

（2）若取出的是2克砝码，同理可知，此盒装有两个2克砝
码；标有“两个1克砝码”的盒子里实际上是一个1克和一个2克的砝码；标有“两个2克砝码”的盒子里实际上是两个1克砝码。

按以上的推理结果，小明就将全部标签改正过来了。

例6四人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花色样样有；四种花色的张数互不相同。

红桃和方块共5张；红桃与黑桃共6张；有两张将牌（主牌）。

试问这付牌以什么花色的牌为主？
解：（1）假设红桃为主，那么红桃有2张，方块有3张，黑桃有4张。

因为共13张牌，所以草花有4张。

这样，黑桃与草花张数相同，与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，即红桃不是主牌。

（2）假设方块为主牌，那么方块有2张，红桃有3张，则黑桃也有3张，亦与已知矛盾。

（3）假设草花为主牌，那么草花有2张，并且推得红桃＋方块＋黑桃共有11张牌。

而已知“红桃和方块共5张，红桃与黑桃共6张”，即得红桃＋方块＋红桃＋黑桃共11张牌。

由此得到红桃的张数应为零，与已知条件“四种花色样样有”相矛盾，说明草花不是主牌。

由以上推理得知，黑桃必为主牌，即黑桃有2张，红桃有4张，方块有1张，那么草花有6张。

例7S、B、J、R四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个学科的奖学金，但他们都不知自己获得的是哪一门奖学金。

他们相互猜测：
S：“R得逻辑学奖”；
B：“J得英语奖”；
J：“S得不到数学奖”；
R：“B得语文奖”。

最后发现，数学和逻辑学的获奖者所作的猜测是正确的，其他两人都猜错了。

那么他们各得哪门学科的奖学金？
分析假设S猜对，即R得逻辑学奖。

由已知条件“逻辑学获奖者所作的猜测是正确的”，则R猜对，那么B得语文奖，并且J、B均猜错。

而由B猜错，可知J得数学奖，S只好得英语奖，这又说明J猜“S得不到数学奖”是正确的，与前面的推理（J猜错）矛盾。

所以S的猜测是错误的。

解：S猜错，即R得不到逻辑学奖，S不得数学奖且不得逻辑学奖。

由此可知，J的猜测是正确的。

则J得数学或逻辑学奖。

于是推得，B猜错，故R猜对，即B得语文奖，S得英语奖，所以R 得数学奖，J得逻辑学奖。

例8A、B、C三人进行小口径步枪射击比赛，每个人射击6
次，并且都得了71分，三人共18次的得分情况，从小到大排列为：1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。

已知A首先射击两次，共得22分；C第一次射击只得3分。

请根据条件判断，是谁击中了靶心（击中靶心得50分）？
解：我们先来判断A六次射击的情况。

已知前两次得22分，六次共得71分，从而
71－22=49分
可知，击中靶心的决不会是A。

另一方面，在上面18个数中，两数之和等于22的只可能是20和2。

再来推算一下四个数之和等于49的可能性。

首先，在这四个数中，如果没有25，是绝不可能组成49的。

其次，由于49－25=24，则如果没有20，任意三个数也不能组成24。

而24－20=4，剩下的两个数显然只能是1和3了。

所以A射击六次的得分（不考虑得分顺序）应该是：
20，2，25，20，3，1
（可在前面18个数中，划去上述6个数）
再来推断击中靶心的人六次得分的情况。

从
71－50=21
可知，要在前面12个未被划去的数中，取5个数，使其和是21，
可以断定，这5个数中，必须包括一个10，一个5，一个3，一个2，一个1。

即六次得分情况为：
50，10，5，3，2，1。

在前面12个未被划去的数中，划去上面这六个数。

剩下的六个数中没有3，而C第一次得了3分，可知这六个数是B射击的得分数。

因此C是击中靶心的人。

例9在一俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话。

一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四人的回答如下：
第一个人说：“我们四个人全都是骗子。

”
第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子。

”
第三个人说：“我们四个人当中有两个人是骗子。

”
第四个人说：“我是老实人。

”
请判断一下，第四个人是老实人吗？
解：（1）四个人当中一定有老实人。

因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”。

所以第一个人为骗子。

（2）第二个人为骗子。

因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子，则第二、第三、第四个人都是老
实人。

但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。

下面再看第三个人的回答：如果第三个人是骗子，则由（1）可知，第四个人一定是老实人；若第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人。

因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。

所以，第四个人是老实人。

例10某医院内科病房，A、B、C、D、E、F、G七名护士每周轮流安排一个夜班。

已经知：A的夜班比C的夜班晚一天，D的夜班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天；F的夜班在B和C的夜班的正中间，而且是在星期四。

问每个护士分别在星期几值夜班？
解：除F外，可将已知条件归纳如下：CA，E__D，B____G。

这里的横线表示空位。

可见CA不能排在B____G中间，否则F就无法排在BC的正中间了。

又F必排在三个空之一，因此还有两个空位必定是E__D 和B__G交叉填空，于是可排出：EBD__FG或BFEGD两种情况。

而CA 只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD和BFEGDCA四种排位。

其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F
在BC的正中间”。

所以七名护士值班排序是：E星期一值班，B是星期二值班，D星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期六值班，A星期日值班。

习题十
1，有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的珠宝。

经过几个月的侦破，查作案的人肯定是A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行审讯，这四个人有这样的口供：A：“珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的。

”
B：“D是罪犯。

”
C：“B是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝。

”
D：“B与我有仇，陷害我。

”
因为口供不一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有一个说的是真话。

你知道罪犯是谁吗？
2，甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

赵说：“甲是2号，乙是3号。

”
钱说：“丙是4号，乙是2号。

”
孙说：“丁是2号，丙是3号。

”
李说：“丁是4号，甲是1号。

”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？
3，对某班同学进行了调查，知道如下情况：
（1）有哥哥的人没有姐姐；
（2）没有哥哥的人有弟弟；
（3）有弟弟的人有妹妹。

试问：
（1）有姐姐的人一定没有哥哥，对吗？
（2）有弟弟的人一定没有哥哥，对吗？
（3）没有哥哥的人一定有妹妹，对吗？
4，某校办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名。

发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况。

A说：“B第三名，C第五名。

”
B说：“E第四名，D第五名。

”
C说：“A第一名，E第四名。

”
D说：“C第一名，B第二名。

”
E说：“A第三名，B第四名。

”
老师说，每个名次都有人猜对。

那么，这五名同学的名次是怎
样排列的？。