华罗庚学校数学教材(六年级下)第14讲-关于空间想象力的综合训练题

…○………外…………○……装…………………订○…………学_______姓名：_______级：_____________ …………内………………装…………………订…………○………………○………………内………绝密★启用前 小升初关于空间想象力的综合练习卷 一、解答题 1．将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？2．有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积. 3．有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？ 4．有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积. 5．如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？ 6．一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为3.14）.…………装…订…………○……校:___________姓名_考号：___________ ○…………订…………………………○…………内…7．一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有1/2容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米×2厘米×3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？ 8．小玲有两种不同的形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2，她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒（如图2-16），正好将纸板用完，在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9．将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？ 10．用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长. 11．如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积. 12．2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？ 13．一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得大大小小的长方体60块.求这60块长方体表面积的和是多少平方米？ 14．如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米，求最后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？………○………○…………………○……线…………○……学校:________班级：_____考号：___________ ……装…………○…………线…………………………○………………○…………装…………○… 15．如下图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数，顶点数与棱数之和是多少？16．如下图是一个四面体，有六条棱，四个表面三角形，已知六条棱长恰是六个连续的自然数. 如果某个表面三角形的周长是3的倍数，就将这个三角形染红色；反之，周长不是3的倍数的三角形就染黄色.问：四个表面三角形是否能全染成黄色？简述理由. 17．把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？ 18．有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？ 19．给出一个立方体和六张同样大小的用五个相等小正方形组成的“十字形”彩纸，每………订……………………：___________考号：________………○……………………○………装……个十字形彩纸的面积恰等于立方体一个侧面的面积.试设计一种方法，不剪开这六张彩纸，就可以把他们贴满立方体的六个侧面. 二、填空题 20．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为______．………………线内…………内…………○参考答案： 1．想象一个正方体，固定一个面为2号面，依次可排出2号面对面是6号面. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 2．如下图可以看出，长方体的正面及上面之和恰等于：长×（宽+高）=209=11×19 有两种可能：∶长=11，宽+高=19. ∶长=19，宽+高=11. 宽和高必是一个奇质数与一个偶质数2. 只有19=17＋2合乎要求，11=9＋2不符合要求.所以长=11， 长方体体积是11×17×2=374. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 3．原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形的面积，即减少了3×2×2=12.所以减少的百分比是12/150=8％ 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 4．三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 5．容器的底面积是（13-4）×（9-4）=45平方厘米，高为2厘米，容器体积是45×2=90立方厘米. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 6．纸盒的容积与圆柱体积之比=．所以纸盒的容积为800立方厘米．……○……________班级：___…………线………【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 7．所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块： （10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 8．1∶2 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 9．没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 10．将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A 、B 两点距离就是体对角线的长. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 11．从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面. 从前看有7个边长为2厘米的小正方形； 从后看有7个边长为2厘米的小正方形； 从左看有9个边长为2厘米的小正方形； 从右看有9个边长为2厘米的小正方形； 从上看有9个边长为2厘米的小正方形； 从下看有9个边长为2厘米的小正方形； 因此，这堆积木的表面积是： 22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷……外……………装…………○…___姓名：_________班级：………○…………装……订…………○…………线…【详解】略 12．长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米. 210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 13．先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分. 再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了 2＋3＋4=9刀，一共得到 18平方米的表面，因此总的表面积为： 6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 14．正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是： 因此总的表面积为： 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 15．首先把这个多面体想清楚，把剪下的硬纸板片左、右相粘后，形成下左图的样子，然后把上下两边的正方形和三角形分别粘好，应成为下图的样子. 把多面体想清楚以后，就可以数面数、顶点数和棱数了. 硬纸片的每个正方形或三角形都是多面体的一个面，因此一共有20个面：12个正方形和8………外…………○…………______班级：________内…………○……………………线…………○…个三角形；每个正方形有四条边，每个三角形三条边，共有12×4＋8×3=72条边，每两条边重合为多面体的一条棱，所以多面体共有72÷2＝36条棱. 每个正方形有四个顶点，每个三角形有三个顶点，共有72个顶点.从上下图可以看出，每四个顶点重在一起成为多面体的一个顶点，所以多面体共有72÷4=18个顶点.因此面数+棱数+顶点数=20+36＋18=74. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 16．不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数必有两个0，两个1，两个2，当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数被3除的余数分别为两个a ，两个b ，两个c.任取面∶ABC ，如是黄色，必有两棱（不妨设AB 、AC ）被3除余数同为 a ；设 AD 被 3除余数为 b （≠a ）.这时 BD 、 CD 中总有一个是被3除余c 的，即∶ABD 与∶ACD 中总有一个要染红色，因此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 17．很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a ）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b ）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b ），只能有一组对面染成（b ），另一组对面染成（c ）.采用以上步骤染成红色方格共有： 5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数.装…………○姓名：___________…………○…………【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 18．仅一面红色的长方体最多可形成5×4=20个一面红色的小正方体； 恰有两面红色的长方体最多可形成20×2=40个一面红色的小正方体； 恰有三面红色的长方体最多可形成4+16×2=36个一面红色的小正方体； 恰有四面红色的长方体最多可形成：12×2+4×2=32个一面红色的小正方体； 恰有五面红色的长方体最多可形成： 3+9×2+3×2=27个一面红色的小正方体； 六面红色的长方体恰形成： （6＋2+3） × 2=22个一面红色的小正方体； 分割后，所得一面红色的小正方体最多有： 20＋40＋36＋32＋27＋22=177个. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 19．试想在侧面上如下左图放置十字形，超出的部分折贴在相邻的侧面上.这样，就可以如下右图那样把六张十字形贴满在立方体表面上. 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略 20．72 【来源】2018年数学六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习卷 【详解】略。

9.没打洞之前正方体表面积共 6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加 6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.
10.没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块.
17.不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数必有两个0，两个1，两个2，当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数被3除的余数分别为两个a，两个b，两个c.任取面△ABC，如是黄色，必有两棱（不妨设AB、AC）被3除余数同为 a ；设 AD被 3除余数为 b（≠a）.这时 BD、 CD中总有一个是被3除余c的，即△ABD与△ACD中总有一个要染红色，因此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色.
18.很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有：
14.先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分.
再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了 2＋3＋4=9刀，一共得到 18平方米的表面，因此总的表面积为：
6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）.

发展空间想象力小学数学习题练习发展空间想象力的小学数学习题练习数学是一门抽象的科学，而空间想象力是数学学习中至关重要的一部分。

培养学生的空间想象力对于他们日后的学习和职业发展都具有重要意义。

因此，在小学阶段就开始注重空间想象力的培养非常必要。

本文将为小学生提供一些关于发展空间想象力的数学习题练习，帮助他们提高解决问题的能力和空间思维能力。

1. 音乐盒模型小明在学校的科技展览上展示了一个音乐盒模型。

这个模型的形状是一个长方体，长、宽、高分别是5厘米、3厘米和2厘米。

请计算这个音乐盒模型的体积和表面积。

解答：体积计算公式：体积 = 长 ×宽 ×高表面积计算公式：表面积 = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)将对应的数值带入公式，计算得出：体积 = 5厘米 × 3厘米 × 2厘米 = 30立方厘米表面积 = 2 × (5厘米 × 3厘米 + 5厘米 × 2厘米 + 3厘米 × 2厘米) = 70平方厘米2. 折纸问题小红拿起一张正方形的纸，边长为10厘米。

她先向上方折叠纸的一半，再向右方折叠纸的三分之一。

请问，最后纸张展开后的形状和面积是多少？解答：首先向上方折叠纸的一半，原来的正方形纸张变成了一个边长为5厘米的正方形。

然后，再向右方折叠纸的三分之一，原来的正方形纸张的宽度变为三分之一，即原来的10厘米的三分之一，即10 / 3 厘米。

于是，展开纸张后的形状是一个长方形，长为5厘米，宽为10 / 3厘米。

展开纸张后的面积计算公式：面积 = 长 ×宽将对应的数值带入公式，计算得出：面积 = 5厘米 × (10 / 3) 厘米 = 50 / 3 平方厘米（约为16.67平方厘米）3. 立体拼图小王有一些标有字母的立体拼图。

他拼出来的图形如下：```CB AD```现在，他将这个图形进行了旋转，变成了下面的样子：```DC BA```请问，这个图形进行了几次旋转？解答：观察两组图形，我们可以发现，第一个图形中标有字母"A"的面旋转到了第二个图形中的位置，第二个图形中标有字母"D"的面旋转到了第一个图形中的位置。

六年级下册奥数第十四讲-小升初关于空间想象力的综合练习题-通用版（含答案）第十四讲关于空间想象力的综合训练题1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积.3.有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？5题图6题图6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为3.14）.7.一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？8.有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9.如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？10.将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？11.用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长.12.如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积.13.2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？14.一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得大大小小的长方体60块.求这60块长方体表面积的和是多少平方米？15.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？16.如下图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数，顶点数与棱数之和是多少？17.如下图是一个四面体，有六条棱，四个表面三角形，已知六条棱长恰是六个连续的自然数.如果某个表面三角形的周长是3的倍数，就将这个三角形染红色；反之，周长不是3的倍数的三角形就染黄色.问：四个表面三角形是否能全染成黄色？简述理由.18.把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？19.有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？20.给出一个立方体和六张同样大小的用五个相等小正方形组成的“十字形”彩纸，每个十字形彩纸的面积恰等于立方体一个侧面的面积.试设计一种方法，不剪开这六张彩纸，就可以把他们贴满立方体的六个侧面.关于空间想象力的综合训练题参考解答1.想象一个正方体，固定一个面为2号面，依次可排出2号面对面是6号面.2.如下图可以看出，长方体的正面及上面之和恰等于：长×（宽+高）=209=11×19有两种可能：①长=11，宽+高=19.②长=19，宽+高=11.宽和高必是一个奇质数与一个偶质数2.只有19=17＋2合乎要求，11=9＋2不符合要求.所以长=11，长方体体积是11×17×2=374.3.原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形4.三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米.5.容器的底面积是（13-4）×（9-4）=45平方厘米，高为2厘米，容器体积是45×2=90立方厘米.7.所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.8.由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2.9.没打洞之前正方体表面积共6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.10.没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块.11.将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A、B两点距离就是体对角线的长.12.从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面.从前看有7个边长为2厘米的小正方形；从后看有7个边长为2厘米的小正方形；从左看有9个边长为2厘米的小正方形；从右看有9个边长为2厘米的小正方形；从上看有9个边长为2厘米的小正方形；从下看有9个边长为2厘米的小正方形；因此，这堆积木的表面积是：22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）.13.长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.14.先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分.再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了2＋3＋4=9刀，一共得到 18平方米的表面，因此总的表面积为：6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）.15.正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：因此总的表面积为：16.首先把这个多面体想清楚，把剪下的硬纸板片左、右相粘后，形成下左图的样子，然后把上下两边的正方形和三角形分别粘好，应成为下图的样子.把多面体想清楚以后，就可以数面数、顶点数和棱数了.硬纸片的每个正方形或三角形都是多面体的一个面，因此一共有20个面：12个正方形和8个三角形；每个正方形有四条边，每个三角形三条边，共有12×4＋8×3=72条边，每两条边重合为多面体的一条棱，所以多面体共有72÷2＝36条棱.每个正方形有四个顶点，每个三角形有三个顶点，共有72个顶点.从上下图可以看出，每四个顶点重在一起成为多面体的一个顶点，所以多面体共有72÷4=18个顶点.因此面数+棱数+顶点数=20+36＋18=74.17.不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数必有两个0，两个1，两个2，当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数被3除的余数分别为两个a，两个b，两个c.任取面△ABC，如是黄色，必有两棱（不妨设AB、AC）被3除余数同为 a ；设 AD 被 3除余数为 b（≠a）.这时 BD、 CD中总有一个是被3除余c的，即△ABD与△ACD中总有一个要染红色，因此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色.18.很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有：5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数.19.仅一面红色的长方体最多可形成5×4=20个一面红色的小正方体；恰有两面红色的长方体最多可形成20×2=40个一面红色的小正方体；恰有三面红色的长方体最多可形成4+16×2=36个一面红色的小正方体；恰有四面红色的长方体最多可形成：12×2+4×2=32个一面红色的小正方体；恰有五面红色的长方体最多可形成：3+9×2+3×2=27个一面红色的小正方体；六面红色的长方体恰形成：（6＋2+3）× 2=22个一面红色的小正方体；分割后，所得一面红色的小正方体最多有：20＋40＋36＋32＋27＋22=177个.20.试想在侧面上如下左图放置十字形，超出的部分折贴在相邻的侧面上.这样，就可以如下下图那样把六张十字形贴满在立方体表面上.。

分析 欲求这批零件共多少个，由题中条件只需知道甲、乙二人每天共做多少个即可，然后这就转化 为求甲、乙两人单独做各需多少天，有了这个结论后，只需算出3个零件相当于总数的几分之几即可．由 条件知甲做16
甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解． 解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？
＝4∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了． 甲与乙的时间比是4∶3．
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4．
答：这批树一共252棵． 例9 加工一批零件，甲、乙共多少 个？
华罗庚学校数学课本（六年级·修订版）
上册
第一讲 工程问题
工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工 作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，
工作总量÷工作效率＝工作时间．
好排完．
合作，还需要多少时间才能完成？
一半，最后余下的部分由甲、乙
分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的 工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？
比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？
如果二人一起干，完成任务时乙
分析 求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效
解：设甲做了x天．那么，
两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，
x＝4．
答：甲做了4天．
例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成． 如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

培养小学生空间想象力的几何练习题目在小学数学教学中，几何是一门重要的学科，通过几何的学习，不仅可以帮助学生发展空间思维和想象力，还能培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

为了帮助小学生更好地培养空间想象力，下面提供一些适合的几何练习题目。

练习一：认识二维形状的变换1. 已知正方形ABCD的边长为4cm，将其顺时针旋转90°，分别得到正方形A'B'C'D'，A''B''C''D''，A'''B'''C'''D'''，试画出这三个正方形，并计算它们的周长。

2. 将正方形ABCD顺时针旋转90°后得到矩形A'B'C'D'，若矩形的长为6cm，宽为4cm，请计算矩形A'B'C'D'的周长和面积。

3. 将正方形ABCD进行翻折得到图形A'B'C'D'，试画出图形A'B'C'D'，并判断它与正方形ABCD是否全等。

练习二：引导小学生进行空间位置的判断和描述1. 在一个纸板上画一个平行四边形ABCD，给学生描述各个角的度数，并判断是否有直角、钝角或锐角存在。

2. 画一个长方体，给学生描述图形的上、下、前、后、左、右等位置关系，并让学生用手指指出各个面。

3. 将一张地图展示给学生，地图上有几座建筑物，请学生描述建筑物之间的位置关系，如哪座建筑物在左边、右边、前面或后面等。

练习三：培养小学生的几何问题解决能力1. 在一个长方形纸板上，用不同颜色的线将它分成四个相等的部分，请问能用几条线实现？2. 画一个等边三角形ABC，以AB为底，将三角形折叠形成一个四面体，试画出四面体，并计算它的体积和表面积。

小学数学初步的空间想象能力
一、我会连。

(12分)
动脑筋，看哪两个图形可以拼成，连一连。

二、我会做。

(共48分)
1．在摆得稳的图形下面画“√”。

(12分)
2. 在摆得对的下面的括号里画“√”。

(12分)
3．从下面5个图形中选4个进行拼搭。

在搭得最稳的图形下面画“○”，在搭得最高的图形下面画“√”。

(12分)
4．下面藏着的分别是什么图形？圈一圈。

(每题6分，共12分)
(1)(长方体正方体圆柱)
(2)(长方体正方体圆柱)
三、我会数。

(每题3分，共18分)
四、我会应用。

(第1题10分，第2题12分，共22分)
1．数一数，少了()块。

2．按规律圈出横线上要摆的图形。

答案一、
二、1．
2．
3．
4．
三、44 2 3 4 5
四、1．6
2．(1)
(2)。

拓展小学生数学空间想象能力的习题练习数学空间想象力是指人们在脑海中构建和操作空间概念的能力。

它是数学学习的基础，也是培养孩子创造力、逻辑思维和几何思维的关键。

然而，对于一些小学生来说，数学空间想象力的发展可能会遇到困难。

因此，为了拓展小学生的数学空间想象能力，我们设计了以下习题练习，希望能够提供帮助和指导。

1. 用积木搭建立体模型要求学生使用积木搭建各种不同形状的立体模型。

可以从简单的正方体、长方体开始，逐渐过渡到更复杂的立体模型，如金字塔、立方体等。

通过这种方式，学生可以直观地感受到不同形状之间的关系，并培养对于空间结构的认知能力。

2. 计算表面积和体积给定一个简单的立体模型，要求学生计算其表面积和体积。

通过这样的练习，学生能够更好地理解表面积和体积的概念，并能够将抽象的数学概念与具体的实际问题联系起来。

3. 推理图形的变换关系给出一个图形，并要求学生通过观察，找出其中的变换规律，进而推理出下一个图形。

可以包括平移、旋转、翻转等不同形式的变换。

这样的练习可以培养学生的空间观察能力，并锻炼他们的逻辑思维和推理能力。

4. 绘制简单的几何图形要求学生根据给定的条件，绘制出一个符合要求的几何图形。

这样的练习可以提高学生对于几何图形的认知能力，并激发他们的创造力和想象力。

例如，给定一个正方形，要求学生在其中绘制一个等边三角形，从而让他们通过操作图形来掌握几何知识。

5. 构建平面图形的立体模型给定一个平面图形，要求学生使用纸板或者折纸等材料，构建出其对应的立体模型。

通过这样的练习，学生可以将平面图形与空间模型进行转化，并进一步加深对于图形的理解和认知。

通过以上的习题练习，我们可以有效地拓展小学生的数学空间想象能力。

当然，教师在引导学生进行练习的过程中，也要注重激发学生的兴趣和培养他们的思维能力。

同时，教师还可以根据学生的具体情况，适当调整习题的难度和数量，以保证学生的学习效果和兴趣。

通过持续的训练和练习，相信小学生的数学空间想象能力将得到有效地提升，为他们未来的数学学习和发展打下坚实的基础。

培养空间想象力小学生数学习题练习数学是一门需要创造力和思维力的学科，而培养小学生空间想象力对于他们在数学学习中的成功至关重要。

在这篇文章中，我们将探讨一些创造性的小学数学练习，旨在激发孩子们的空间想象力和解决问题的能力。

1. 平面几何问题：一个有效的方法来培养小学生的空间想象力是通过平面几何问题。

这些问题要求学生在纸上画出不同的图形，并解决与这些图形相关的问题。

以下是一个例子：问题：请勾画一个矩形，并计算其周长和面积。

解决方案：学生应该使用尺子在纸上画出矩形，并使用合适的公式计算出周长和面积。

这样的练习可以锻炼学生的测量技巧和图形分析能力。

2. 空间图形重组：另一个培养小学生空间想象力的方法是通过空间图形的重新组合。

以下是一个例子：问题：请使用六个相等的正方形拼出一个长方体。

解决方案：学生需要了解正方形之间的关系，然后探索如何将这些正方形重新组合成一个长方体。

这需要他们在脑海中想象空间，并找出正确的组合方式。

3. 立体图形的投影：理解立体图形的投影也是培养小学生空间想象力的关键。

以下是一个例子：问题：请画出一个盒子在不同视角下的投影图形。

解决方案：学生需要想象盒子在不同的位置和角度下的外观，并根据这些想象来绘制准确的投影图形。

这可以帮助他们理解立体物体在平面上的映射关系。

4. 空间方向判断：培养小学生空间想象力的另一个重要方面是方向判断。

以下是一个例子：问题：请判断下面的图形中哪个图形是垂直于地面的。

解决方案：学生需要观察图形并判断哪个图形与地面垂直。

这可以帮助他们在空间中理解方向关系。

通过这些创造性的小学数学练习，我们可以帮助孩子们培养空间想象力，提高他们解决问题的能力。

这些练习将激发孩子们的兴趣，并使他们在数学学习中更加自信和成功。

让我们一起努力，为小学生创造一个富含创造性和挑战性的数学学习环境！。

本系列共14 讲第十四讲关于空间想象力的综合训练题.文档贡献者：WINNER1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2 号面的对面是几号面？2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积.3.有一个正方体，边长是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2 的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成下图的形状，表面积比原来减少了16 平方厘米.求所成形体的体积.5.如下图，从长为13 厘米，宽为9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2 厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体（下图）.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为 3.14）.7.一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水 桶，其中装有 1容积的水。

现在向桶中投入边长为 2 厘米×2 厘米×3 2 厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高 相齐？8，有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形 的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 1∶2。

用这些纸 板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。

问在所做的纸 盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9.如下图，在棱长为 3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到 后，有三个底面积是 1 的正方形高为 3 的长方体的洞，求所得形体的 表面积是多少？10.将边长为 10 的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1 的小正方形木块1000 块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？11.用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长.12.如下图，把16 个边长为2 厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积.13.2100 个边长为 1 米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10 米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？14.一个正方体形状的木块，棱长为 1 米，沿水平方向将它锯成3 片，每片又锯成4 长条，每条又锯成5 小块，共得大大小小的长方体60 块.求这60 块长方体表面积的和是多少平方米？15.如下图，是一个边长为 2 厘米的正方体。

第十四讲关于空间想象力的综合训练题1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积.3.有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？5题图6题图6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为3.14）.7.一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？8.有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9.如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？10.将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？11.用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长.12.如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积.13.2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？14.一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得大大小小的长方体60块.求这60块长方体表面积的和是多少平方米？15.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？16.如下图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数，顶点数与棱数之和是多少？17.如下图是一个四面体，有六条棱，四个表面三角形，已知六条棱长恰是六个连续的自然数.如果某个表面三角形的周长是3的倍数，就将这个三角形染红色；反之，周长不是3的倍数的三角形就染黄色.问：四个表面三角形是否能全染成黄色？简述理由.18.把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？19.有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？20.给出一个立方体和六张同样大小的用五个相等小正方形组成的“十字形”彩纸，每个十字形彩纸的面积恰等于立方体一个侧面的面积.试设计一种方法，不剪开这六张彩纸，就可以把他们贴满立方体的六个侧面.关于空间想象力的综合训练题参考解答1.想象一个正方体，固定一个面为2号面，依次可排出2号面对面是6号面.2.如下图可以看出，长方体的正面及上面之和恰等于：长×（宽+高）=209=11×19有两种可能：①长=11，宽+高=19.②长=19，宽+高=11.宽和高必是一个奇质数与一个偶质数2.只有19=17＋2合乎要求，11=9＋2不符合要求.所以长=11，长方体体积是11×17×2=374.3.原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形4.三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米.5.容器的底面积是（13-4）×（9-4）=45平方厘米，高为2厘米，容器体积是45×2=90立方厘米.7.所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.8.由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2.9.没打洞之前正方体表面积共 6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加 6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.10.没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块.11.将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A、B两点距离就是体对角线的长.12.从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面.从前看有7个边长为2厘米的小正方形；从后看有7个边长为2厘米的小正方形；从左看有9个边长为2厘米的小正方形；从右看有9个边长为2厘米的小正方形；从上看有9个边长为2厘米的小正方形；从下看有9个边长为2厘米的小正方形；因此，这堆积木的表面积是：22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）.13.长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.14.先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分.再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了 2＋3＋4=9刀，一共得到 18平方米的表面，因此总的表面积为：6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）.15.正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：因此总的表面积为：16.首先把这个多面体想清楚，把剪下的硬纸板片左、右相粘后，形成下左图的样子，然后把上下两边的正方形和三角形分别粘好，应成为下图的样子.把多面体想清楚以后，就可以数面数、顶点数和棱数了.硬纸片的每个正方形或三角形都是多面体的一个面，因此一共有20个面：12个正方形和8个三角形；每个正方形有四条边，每个三角形三条边，共有12×4＋8×3=72条边，每两条边重合为多面体的一条棱，所以多面体共有72÷2＝36条棱.每个正方形有四个顶点，每个三角形有三个顶点，共有72个顶点.从上下图可以看出，每四个顶点重在一起成为多面体的一个顶点，所以多面体共有72÷4=18个顶点.因此面数+棱数+顶点数=20+36＋18=74.17.不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数必有两个0，两个1，两个2，当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数被3除的余数分别为两个a，两个b，两个c.任取面△ABC，如是黄色，必有两棱（不妨设AB、AC）被3除余数同为 a ；设 AD 被 3除余数为 b（≠a）.这时 BD、 CD中总有一个是被3除余c的，即△ABD与△ACD中总有一个要染红色，因此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色.18.很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有：5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数.19.仅一面红色的长方体最多可形成5×4=20个一面红色的小正方体；恰有两面红色的长方体最多可形成20×2=40个一面红色的小正方体；恰有三面红色的长方体最多可形成4+16×2=36个一面红色的小正方体；恰有四面红色的长方体最多可形成：12×2+4×2=32个一面红色的小正方体；恰有五面红色的长方体最多可形成：3+9×2+3×2=27个一面红色的小正方体；六面红色的长方体恰形成：（6＋2+3）× 2=22个一面红色的小正方体；分割后，所得一面红色的小正方体最多有：20＋40＋36＋32＋27＋22=177个.20.试想在侧面上如下左图放置十字形，超出的部分折贴在相邻的侧面上.这样，就可以如下下图那样把六张十字形贴满在立方体表面上.。

3
3
那么阴影部分扫出的立体的体积是 2V 180π 540 (立方厘米).
14. 如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π ，以 AC 边为轴 旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π ，那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体 的体积是多少？（结果保留π）
9. 左边正方形的边长为 4，右边正方形对角线长度为 6.如果按照图中所示的方式旋转，那么得到的 两个旋转体的体积之比是 a:b（最简整数比），则 a+b=______.
【答案】17
【解析】左边正方形旋转所围成的体积为： 22 4 16 ；右边正方形旋转所围成的体积为：
1 62 6 18 ，所以两者所围成的体积之比为 8 : 9 ，a+b=17.
【答案】67.75
【解析】根据题意，
S阴
1 2
102
1 2
10方形的边长是 4 厘米，圆形的半径是 1 厘米.当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位 置时，扫过的面积有多大？（ π 取 3.14） （2）如图等边三角形的边长是 3 厘米，圆形的半径是 1 厘米.当圆形绕等边三角形滚动一周又回到 原来位置时，扫过的面积有多大？（ π 取 3.14）
【答案】（1）44.56 （2）30.56
【解析】(1)如下图，面积为： S 22 4 4 2 44.56 cm2
（2）如下图，
面积为： 22 3 2 3 4 18 30.56
8. 一个长方形的长是 5 厘米，宽是 2 厘米，以其中的一条边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱，圆 柱体积最大是多少立方厘米?( π 取 3.14) 【答案】157 立方厘米 【解析】(1)以 5 为半径，高为 2 的圆柱体体积为 52 2 50 ，以 2 为半径，高为 5 的圆柱体体 积为 22 5 20 ，所以圆柱体积最大是 50 157 （立方厘米）.

华罗庚学校数学课本（6年级上册）第03讲分数、百分数应用题（推荐阅读）第一篇：华罗庚学校数学课本(6年级上册)第03讲分数、百分数应用题第三讲分数、百分数应用题（一）分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难．为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作．①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、公式等仍广泛用于分数、百分数应用题．②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用．③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理．④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题思路．例1（1）本月用水量比上月节约7％，可以联想到哪些关系？①上月用水量与单位“1”的关系．②本月节约用水量与上月用水量的7％的关系．③本月用水量与上月用水量的（1－7％）的关系．（2）蓝墨水比红墨水多20％，可以联想到哪些关系？①红墨水与单位“1”的关系．②蓝墨水比红墨水多出的量与红墨水的20％的关系．③蓝墨水与红墨水的（1＋ 20％）的关系．（3）已看的页数比未看的页数多15％，可以联想哪些关系？①未看的页数与单位“1”的关系．②已看的与未看的页数的差与未看页数的15％的关系．③已看的页数与未看的页数的（1＋15％）的关系．事书是多少页？分析每天看15页，4天看了15×4＝60页．解题的关键是要找出解：①看了多少页？15×4＝60（页）．②看了全书的几分之几？③这本书有多少页？答：这本故事书是 150页．分析要想求这本书共有多少页，需要找条件里的多21页，少6页，剩下172页所对应的百分率．也就是说，要从这三个量里找出一个能明确占全书的几分之几的量．画线段图：答：这本故事书共有264页．例4 惠华百货商场运到一批春秋西服，按原（出厂）价加上运费、营知售价是123元，求出厂价多少元？相当于123元，如上图可以得出解答：答：春秋西服每套出厂价是108元．克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？与百分率”的关系已经直接对应，求每筐的千克数的条件完全具备．解：其余部分是总千克数的几分之几：西红柿总数共装了多少筐：每筐是多少千克：共收西红柿多少千克：综合算式：答：共收西红柿384千克．解法2：（以下列式由学生自己理解）答：共收西红柿384千克．水泥没运走．这批水泥共是多少吨？分析上图中有3个相对各自讨论范围内的单位“1”（“全部”、“余下”、“又余下”）．依据逆向思路可以得出，最后剩下的15吨对应的是下”的吨数90吨（即“余下”含义中的1个单位是90吨）．这90吨恰是“全例7 某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他秒？分析与解答这是一个追及问题，因此求追上所花时间必须求出相距距离及它们速度差．相距距离是因为车上之人与小偷反向走了10秒钟产生的．而速度差是易求的．所以追上所花时间是答：追上小偷要110秒．例8 A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书，C借走一半加两本，再剩下的书，D借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少本书．答：A原有50本书．解法2：用倒推法解．分析 A剩下的2本应是C借走后剩下的一半差3本，所以 C借走后还综合算式：答：A原有50本书．习题三比苹果少1440千克，运来橘子多少千克？2．有两袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再从甲袋倒入乙袋6千克，3．一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完．如果每天看的页数苹果？每天各吃了几个苹果？5．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？6．一瓶酒精，当用去酒精的一半后，连瓶共重700克；如只用去酒精多少台？习题三解答1．①苹果重量占总重量的几分之几？③总重量是多少千克？④运来橘子多少千克？2．①倒米后甲袋比乙袋少多少千克？18＋6×2＝30（千克）．②倒米后甲袋比乙袋少几分之几？③倒米后乙袋有米多少千克？④原来乙袋有米多少千克？80－6＝74（千克）．⑤原来甲袋有米多少千克？74－18＝56（千克）．4．共买苹果：＝605（台）．第二篇：华罗庚学校数学课本(6年级下册)第14讲关于空间想象力的综合训练题第十四讲关于空间想象力的综合训练题1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积.3.有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成左图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体（下图）.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为3.14）.7.一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？8.有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？9.如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？10.将边长为10的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为1的小正方形木块1000块.问：这一千块小正方体木块中，没有涂红色的共有多少块？只有一个面是红色的共有多少块？恰有两个面为红色的共有多少块？恰有三个面为红色的共有多少块？11.用三个大小一样的正方体积木和一把有刻度的直尺.请你设计一种方法，不通过任何计算，直接量出每个正方体的体对角线的长.12.如下图，把16个边长为2厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积.13.2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？14.一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得大大小小的长方体60块.求这60块长方体表面积的和是多少平方米？15.如下图，是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中间向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞.接着在小洞的底面正中再向下挖一个后得到的立体图形表面积是多少平方厘米？16.如下图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数，顶点数与棱数之和是多少？17.如下图是一个四面体，有六条棱，四个表面三角形，已知六条棱长恰是六个连续的自然数.如果某个表面三角形的周长是3的倍数，就将这个三角形染红色；反之，周长不是3的倍数的三角形就染黄色.问：四个表面三角形是否能全染成黄色？简述理由.18.把正方体的六个表面都分成9个相等的正方形.现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染的颜色不同，问：用红色染成的正方形个数最多有几个？19.有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？20.给出一个立方体和六张同样大小的用五个相等小正方形组成的“十字形”彩纸，每个十字形彩纸的面积恰等于立方体一个侧面的面积.试设计一种方法，不剪开这六张彩纸，就可以把他们贴满立方体的六个侧面.关于空间想象力的综合训练题参考解答1.想象一个正方体，固定一个面为2号面，依次可排出2号面对面是6号面.2.如下图可以看出，长方体的正面及上面之和恰等于：长×（宽+高）=209=11×19有两种可能：①长=11，宽+高=19.②长=19，宽+高=11.宽和高必是一个奇质数与一个偶质数2.只有19=17＋2合乎要求，11=9＋2不符合要求.所以长=11，长方体体积是11×17×2=374.3.原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形4.三个小正方体拼接成图中的样子（见307页原题图），减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为16÷4=4平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积（即所成形体的体积）是3×23=24立方厘米.5.容器的底面积是（13-4）×（9-4）=45平方厘米，高为2厘米，容器体积是45×2=90立方厘米.7.所装入石块的体积应等于桶的容积的一半.投入石块：（10×10×15）÷（2×2×3）=125（块）.8.由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2.9.没打洞之前正方体表面积共6 × 3 × 3= 54，打洞后，表面积减少 6又增加6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.10.没涂色的小正方块共有8×8×8=512块，只有一面涂色的共有8×8×6＝384块，恰有两个面为红色的共有8×12=96块，恰有三个面为红色的，共有8块.11.将三个大小一样的立方体积木如下图堆放，则量得A、B两点距离就是体对角线的长.12.从前、后、左、右、上、下六个方向分别看这堆积木形成的形体表面.从前看有7个边长为2厘米的小正方形；从后看有7个边长为2厘米的小正方形；从左看有9个边长为2厘米的小正方形；从右看有9个边长为2厘米的小正方形；从上看有9个边长为2厘米的小正方形；从下看有9个边长为2厘米的小正方形；因此，这堆积木的表面积是：22×（7＋7＋9＋9＋9＋9）=200（平方厘米）.13.长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.14.先前的正方体有6个面，每个面的面积是1平方米，共6平方米.无论后来锯成多少块，这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积的一部分.再考虑到每锯一刀就会得到两个一平方米的表面，现在一共锯了2＋3＋4=9刀，一共得到18平方米的表面，因此总的表面积为：6＋（2＋3＋4）×2=24（平方米）.15.正方体在挖小洞之前的表面积为6×22，挖了小洞之后面积不但没有减少，反还要加上三个小洞的侧面积的和.三个小洞各有四个侧面，每个侧面的面积分别是：因此总的表面积为：16.首先把这个多面体想清楚，把剪下的硬纸板片左、右相粘后，形成下左图的样子，然后把上下两边的正方形和三角形分别粘好，应成为下图的样子.把多面体想清楚以后，就可以数面数、顶点数和棱数了.硬纸片的每个正方形或三角形都是多面体的一个面，因此一共有20个面：12个正方形和8个三角形；每个正方形有四条边，每个三角形三条边，共有12×4＋8×3=72条边，每两条边重合为多面体的一条棱，所以多面体共有72÷2＝36条棱.每个正方形有四个顶点，每个三角形有三个顶点，共有72个顶点.从上下图可以看出，每四个顶点重在一起成为多面体的一个顶点，所以多面体共有72÷4=18个顶点.因此面数+棱数+顶点数=20+36＋18=74.17.不能将四个表面全染成黄色！理由如下：六个连续自然数被3除的余数必有两个0，两个1，两个2，当且仅当一个面三角形三边分别被3除余0、1、2时，这个面三角形周长被3整除，此面三角形染红色，我们设六个连续自然数被3除的余数分别为两个a，两个b，两个c.任取面△ABC，如是黄色，必有两棱（不妨设AB、AC）被3除余数同为 a ；设 AD被 3除余数为 b（≠a）.这时BD、CD中总有一个是被3除余c的，即△ABD与△ACD中总有一个要染红色，因此，四面体的四个表面三角形不可能全染成黄色.18.很明显，一个面上最多有5个方格可以染成红色，如图（a）所示.当一个面染成5个红色方格以后，与这个面有公共边的四个面，就不能再有同样的染法，但这个面的对面仍可染成5个红色方格，因此，至多有两个面可以染成5个红色的方格，其余四个面，每一个面的四个拐角处的方格不能染红，一个面至多如图（b）染上四个红格，但有公共边的两个面，不能都染成（b），只能有一组对面染成（b），另一组对面染成（c）.采用以上步骤染成红色方格共有：5×2＋4×2＋2×2=22个.这是最多的红色方格数.19.仅一面红色的长方体最多可形成5×4=20个一面红色的小正方体；恰有两面红色的长方体最多可形成20×2=40个一面红色的小正方体；恰有三面红色的长方体最多可形成4+16×2=36个一面红色的小正方体；恰有四面红色的长方体最多可形成：12×2+4×2=32个一面红色的小正方体；恰有五面红色的长方体最多可形成：3+9×2+3×2=27个一面红色的小正方体；六面红色的长方体恰形成：（6＋2+3）× 2=22个一面红色的小正方体；分割后，所得一面红色的小正方体最多有：20＋40＋36＋32＋27＋22=177个.20.试想在侧面上如下左图放置十字形，超出的部分折贴在相邻的侧面上.这样，就可以如下下图那样把六张十字形贴满在立方体表面上.第三篇：小学六年级数学应用题：分数、百分数应用题1.小明看一本书，已经看了42页，正好占全书的70%，全书有多少页？2.果园里有150棵果树，其中90棵是桃树，桃树的棵树站总数的几分之几？3.学校图书馆藏书2352册，其中科技书占15%，学校有科技书多少册？4.一捆绳子，用去它的30%，刚好用去240米，这捆绳子原来长多少米？5.滨江公园举办菊花展，共展出38000盆菊花，其中有1/3是黄菊花，其它菊花有多少盆？6.一堆煤，如果运走这堆煤的2/5，还剩下40吨，这堆煤原有多少吨？7.面包厂三月份生产面包600箱，四月份比三月份增产18%，四月份生产面包多少箱？8.皇冠希望小学今年春季种松树64棵，比种的柏树少/15,今年种柏树多少棵？（用方程解）9.一个养牛场，今年养牛40头，比去年多养26%，去年养牛多少头？（用方程解）10.修一条水渠，第一天修了全长的1/6，第二天修了200米，还剩下150米没修，这条水渠全长多少米？11.一车煤重量的70%再加上2.5吨就是这车煤的重量，这车煤有多少吨？12.服装厂计划生产服装1200套，实际比原计划多生产20%，实际生产了多少套？13.东风小学六年级植树108棵，相当于全校植树棵数的1/4，全校植树多少棵？（用方程解）23.双江服装厂五月份上半月完成计划的，下半月完成计划的62.5％，结果比计划超额完成0.81万件，原计划加工服装多少万件？24.一列火车每小时行50千米，4.8小时到达目的地，如果速度提高20％，需要几小时到达目的地？30.新林小学五一班有学生40人，女生占60％，男生有多少人？31.实验小学共有学生2450人，今天的到校率是98％，今天没有到校的有多少人？32.先锋小学六年级有女生30人，男生35人，女生人数占全班人数的百分之几？33.杨树村去年种小麦580亩，今年种的是去年130％，今年比去年多种多少亩？34.光明制鞋厂八月份计划生产鞋25000双，实际比原计划多生产3000双，增产了百分之几？35.光明制鞋厂八月份计划生产鞋25000双，实际生产28000双，增产了百分之几？36.育才中学开展争做“三好生”活动，三月份为民做好事725件，四月份为民做好事783件，四月份做的好事比三月份多百分之几？37.红星机械厂扩建厂房，原计划投资40万元，实际投资比原计划节约3.6万元，节约了百分之几？38.潼南中学修建一栋教学楼，计划用900万元，实际节约了180万元。