华罗庚学校数学教材(六年级下)第07讲 整数的分拆

华罗庚学校数学课本（6年级下册）第07讲整数的分拆第七讲整数的分拆整数分拆是数论中⼀个既古⽼⼜活跃的问题.把⾃然数n分成为不计顺序的若⼲个⾃然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的⼀种表⽰法，叫做n的⼀种分拆.对被加项及项数m加以⼀些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不⼩于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下⾯我们通过⼀些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.⼀、整数分拆中的计数问题例1有多少种⽅法可以把6表⽰为若⼲个⾃然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成⼀个⾃然数之和只有1种⽅式；②把6分拆成两个⾃然数之和有3种⽅式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个⾃然数之和有3种⽅式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个⾃然数之和有2种⽅式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个⾃然数之和只有1种⽅式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个⾃然数之和只有1种⽅式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若⼲个⾃然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的⽅法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为⽆限制分拆，它是⼀类重要的分拆.例2有多少种⽅法可以把1994表⽰为两个⾃然数之和？解法1：采⽤有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，⼀共有997种⽅法可以把1994写成两个⾃然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定⼀个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到⼀种分拆⽅法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆⽅式.说明：应⽤本例的解法，可以得到⼀般性结论：把⾃然数n≥2表⽰为两个⾃然数之和，⼀共有k种不同的⽅式，其中例3有多少种⽅法可以把100表⽰为（有顺序的）3个⾃然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表⽰法）分析本题仍可运⽤例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到⼀种分拆⽅法.因此，把100表⽰为3个⾃然数之和有种不同的⽅式.说明：本例可以推⼴为⼀般性结论：“把⾃然数n≥3表⽰为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4⽤1分、2分和5分的硬币凑成⼀元钱，共有多少种不同的凑法？（第⼆届“华罗庚⾦杯”少年数学邀请赛决赛第⼆试第4题）分析⽤1分、2分和5分硬币凑成⼀元钱与⽤2分和5分硬币凑成不超过⼀元钱的凑法数是⼀样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过⼀元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有⼀种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元⼀次不定⽅程x+2y+5z=100的⾮负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.⼆、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最⼤值或最⼩值的问题.例5试把14分拆为两个⾃然数之和，使它们的乘积最⼤.解：由例2可知，把14分拆成两个⾃然数之和，共有7种不同的⽅式.对每⼀种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最⼤.说明：本例可以推⼴为⼀般性结论：“把⾃然数n≥2分拆为两个⾃然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最⼤值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是⼀个⾃然数），显然n=a ＋b=（a-1）+（b＋1），⽽有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最⼤的.这样，例6试把14分拆为3个⾃然数之和，使它们的乘积最⼤.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最⼤的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最⼤值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b×c=5×5×4＝100为最⼤值.说明：本题可以推⼴为⼀般结论：把⾃然数n≥3分拆为3个⾃然数a、下⾯我们再研究⼀个难度更⼤的拆数问题.问题：给定⼀个⾃然数N，把它拆成若⼲个⾃然数的和，使它们的积最⼤.这个问题与前⾯研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成⼏个⾃然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧⾛实验-观察-归纳结论这条路.先选择较⼩的⾃然数5开始实验.并把数据列表以便⽐较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最⼤.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进⾏的.再注意，当被拆数n＞3时（这⾥n=5），为了使拆分数的乘积最⼤，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最⼤.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和⽽不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最⼤.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最⼤.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最⼤.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最⼤，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①⾃然数=（若⼲个3的和）；②⾃然数=（若⼲个3的和）+2；③⾃然数=（若⼲个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把⼀个⾃然数N拆分成若⼲个⾃然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最⼤.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2001三个数，使分拆后的积最⼤.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最⼤.∵2001=667×3∴2001分拆成（667个3的和）时，其积最⼤.我们以上采⽤的“实验-观察-归纳总结”⽅法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，⽽在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是⼈们寻找公式的重要⽅法之⼀.但是这种⽅法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这⼀步⼯作要等到学习了中学的课程才能进⾏.习题七1.两个⼗位数1111111111和9999999999的乘积中有⼏个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长⽅形中，⾯积最⼤的长⽅形的长和宽各是多少？5.⽤6⽶长的篱笆材料在围墙⾓修建如下图所⽰的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的⾯积最⼤？6.把17、18两个⾃然数拆成若⼲个⾃然数的和，并分别求这些分拆的⾃然数的乘积的最⼤值.DAAN习题七解答1.解：1111111111×9999999999因此，这两个⼗位数的乘积中有10个数字是奇数.2.1.3.33330000.4.长为5，宽为4.5.当鸡圈的长=宽=3⽶时，鸡圈的⾯积最⼤.6.17分拆成3＋3＋3＋3＋3＋2时，其乘积最⼤，最⼤值是35×2=486. 18分拆成6个3的和时，其积最⼤，最⼤值是36=729.。

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验.并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的.再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①自然数=（若干个3的和）；②自然数=（若干个3的和）+2；③自然数=（若干个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2019三个数，使分拆后的积最大.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.∵2019=667×3∴2019分拆成（667个3的和）时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行.习题七1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5.用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n 分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+・・+ nm（n1》n2》…》nm>1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆. 早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742 年德国的哥德巴赫提出“每个不小于 6 的偶数都可以写成两个奇质数的和” ，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果. 下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识. 一、整数分拆中的计数问题例 1 有多少种方法可以把 6 表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把 6 分拆成一个自然数之和只有 1 种方式；②把 6 分拆成两个自然数之和有 3 种方式6=5+1=4+2=3+3；③把 6 分拆成 3 个自然数之和有 3 种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+；2④把 6 分拆成 4 个自然数之和有 2 种方式6 = 3+ 1+ 1+ 仁2+2+1+1;⑤把 6 分拆成 5 个自然数之和只有 1 种方式6=2+1+1+ 1+ 1；⑥把 6 分拆成 6 个自然数之和只有 1 种方式6=1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3+ 2+1+1=11种不同的方法. 说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1+ 1993=1992+2=2+ 1992=998+ 996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2:构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n》2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5+ 92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此,9勺X勺河X — = 4R51把100表示为3个自然数之和有- 种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n》3表示为（有顺的）3个自然数之和共有裆（n-1）（n -2）种不同的方式一届莫斯序…科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50 个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5 X 19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5 X 18=10（分），于是2分硬币可取0个、1 个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11+ 13+16+18+21 +…+48+51=5X（1+3+6+8）+4X（10+20＋30+40）+51 =90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100 的非负整数解的组数.上述例2、例3、例 4 都是有限制条件的特殊的整数分拆问题. 二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5 试把14 分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大. 解：由例2 可知，把14 分拆成两个自然数之和，共有7 种不同的方式. 对每一种分拆计算相应的乘积：14=1+ 13, 1 X 13= 13;14=2+12，2X 12=24；14=3＋11，3X11=33；14=4＋10，4X 10=40；14=5＋9，5X 9=45；14=6+8，6X 8=48；14=7+7，7X 7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7X 7=49）最大. 说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n》2分拆为两个自然数a与b （a> b）之和，使其积a x b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a> b）” .事实上，假设a-b=1 + m （其中m是一个自然数），显然n=a + b= (a-1 ) + (b+ 1),而有(a-1 ) x( b+ 1)= a x b+ a-b-1 = a x b + m> a x b.换句话说，假设n=a+b且a-b > 1,那么乘积a x b不是最大的.这样，若n 是偶数，贝= 时，乘积有最大值aXb = ^-f若11是奇数，则n +1 n - 1 . ―亠冃if n - 1a = —,b = —乘积有最大值例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析由例5的说明可知，假设n= a+b+ c (a>b>c)且a-c > 1时，乘积a x b x c不是最大的.换句话说，若n=a+b+ c (a> b>c)，当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a x b x c取最大值.解：因为14=3x 4 + 2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a x b x c=5x 5x 4= 100为最大值.说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n》3分拆为3个自然数a、J c(a>b^c)之和，若n = 3q (q^：自然数)'则a= b = c = ^时乘积AXbXc有最大值暮；若口= 3耳+1〔q是自n + 2 n -1然数),贝临=口；？il=] 1b =c = ^-时乘积及X t>X 匚有最大值寿Cn + 2)Cn-0 Cn-0 ；若尸3q+ 2 (q是自然数)，Ella = b = n + 1 n - 2时乘积siXb X匚有最大值吉(n ■La tr+ 1) Cn + 1) (口-2)r下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N,把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多. 我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验. 并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成2+ 3时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把 5 拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的•再注意，当被拆数n>3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n>3，n=1+（n-1）=2+（n-2）, 且2X（n-2 ）> 1X（n-1 ）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8 拆分成2＋3+3 时，其积最大.实验结果5：9 拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10 拆分成3+3+2＋2 时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①自然数=（若干个 3 的和）；②自然数=（若干个 3 的和）+2；③自然数=（若干个 3 的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3 2X 2X 2v 3X 3,所以分拆数中2的个数不能多于2个. ）例分别拆分 1 993、 1 994、20 1 9 三个数，使分拆后的积最大.解：••• 1993=664X 3+ 1.••• 1994=664X 3+ 2••• 1994分拆成（664个3的和）+ 2时，其积最大.••• 2019=667X 3二2019分拆成（667个3的和）时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法. 我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式. 不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一. 但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明. 这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行.习题七1. 两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2. 计算：3. 计算：9999X 2222+3333X 3334.4. 在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5. 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6. 把17、18 两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。

六年级下册奥数第七讲整数的分拆例题习题通用版（例题含答案）整数分拆是数论中一个既新鲜又生动的效果.把自然数n分红为不计顺序的假定干个自然数之和n=n1+n2+…＋nm〔n1≥n2≥…≥nm≥1〕的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就失掉某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆效果的研讨.1742年德国的哥德巴赫提出〝每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和〞，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研讨中取得了突出的效果.下面我们经过一些例题，复杂引见有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数效果例1有多少种方法可以把6表示为假定干个自然数之和？解：依据分拆的项数区分讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只要1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只要1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只要1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成假定干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为有限制分拆，它是一类重要的分拆.例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并思索到加法交流律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：结构加法算式：于是，只须思索从上式左边的1993个加号〝+〞中每次确定一个，并把其前、后的1区分相加，就可以失掉一种分拆方法；再思索到加法交流律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：运用本例的解法，可以失掉普通性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为〔有顺序的〕3个自然数之和？〔例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法〕剖析此题仍可运用例1的解法2中的处置方法.解：结构加法算式于是，思索从上式左边的99个加号〝+〞中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1区分相加，就可以失掉一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推行为普通性结论：〝把自然数n≥3表示为〔有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题〕.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？剖析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超越一元钱的凑法数是一样的.于是，此题转化为：〝有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超越一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假假定5分硬币有20个，显然只要一种凑法；假假定5分硬币有19个，那么2分硬币的币值不超越100-5×19=5〔分〕，于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假假定5分硬币有18个，那么2分硬币的币值不超越100-5×18=10〔分〕，于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以失掉不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×〔1+3+6+8〕+4×〔10+20＋30+40〕+51=90＋400＋51=541〔种〕.说明：本例实践上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆效果.二、整数分拆中的最值效果在国际外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的效果.例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时分，乘积〔7×7=49〕最大.说明：本例可以推行为普通性结论：〝把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b〔a≥b〕之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1〔a＞b〕〞.理想上，假定a-b=1＋m〔其中m是一个自然数〕，显然n=a ＋b=〔a-1〕+〔b＋1〕，而有〔a-1〕×〔b＋1〕＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假定n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.剖析由例5的说明可知，假定n＝a+b＋c〔a≥b≥c〕且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，假定n=a+b＋c〔a≥b≥c〕，当a、b、c中的恣意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：由于14=3×4＋2，由剖析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.说明：此题可以推行为普通结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数a、下面我们再研讨一个难度更大的拆数效果.效果：给定一个自然数N，把它拆成假定干个自然数的和，使它们的积最大.这个效果与前面研讨的两个拆数效果的不同点是：效果中没有规则把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要添加许多.我们依旧走实验-观察-归结结论这条路.先选择较小的自然数5末尾实验.并把数据列表以便比拟.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最大.你留意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次第停止的.再留意，当被拆数n＞3时〔这里n=5〕，为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.由于当n＞3，n=1+〔n-1〕=2+〔n-2〕，且2×〔n-2〕＞1×〔n-1〕.结果：7拆分红2＋2+3时.其积12最大.留意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改动分拆的乘积.实验结果4：8拆分红2＋3+3时，其积最大.实验结果5：9拆分红3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分红3+3+2＋2时，其积最大.观察剖析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其方式有三种：①自然数=〔假定干个3的和〕；②自然数=〔假定干个3的和〕+2；③自然数=〔假定干个3的和〕+2＋2.因此，我们失掉结论：把一个自然数N拆分红假定干个自然数的和，只要当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.〔由于2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.〕例区分拆分1993、1994、2021三个数，使分拆后的积最大.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成〔664个3的和〕＋2时，其积最大.∵2021=667×3∴2021分拆成〔667个3的和〕时，其积最大.我们以上采用的〝实验-观察-归结总结〞方法，在数学上叫做不完全归结法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎样去找出公式.不完全归结法正是人们寻觅公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需求严厉证明.这一步任务要等到学习了中学的课程才干停止.习题七1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5.用6米长的篱笆资料在围墙角修建如以下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽区分是多少时，鸡圈的面积最大？6.把17、18两个自然数拆成假定干个自然数的和，并区分求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。

第七讲 整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。

即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。

对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。

自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。

其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。

(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。

(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。

(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。

(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。

例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。

60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。