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应用随机过程 林元烈 第二章答案

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应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

应用随机过程

应用随机过程
(1) X是随机变量；
( 2 ) { :X () a } F , a R ；
( 3 ) {:X () a } F ,a R ；
( 4 ) { :X () a } F ,a R .
定义1.7 设X()是F上的随机变量，函数
F(x) P (:X ( ) x ), x
称为随机 X的 变分 量布函数。
( 1 )如 A 1 A 2 果 A n , An A
则nlimAn
An
n 1
( 2 )如 A 1 A 2 果 A n ,An A
则nlimAn
n 1
An
结论： 单调事 (集件 合 )序列必有 . 极限
(8) 概率的连续性：
定理：若 { A n ,n 1 } 是单 (或 调 )的 递 递 事 减 增 件
( 3 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1i ;
( 4 ) 若 , , 则 果 , ;
（5）-代数必为代. 数
例1.1 由 的一切事件类 构是 成 事 的 -代 件 事 .数
(常常它为称为最广 -代泛数 .的 )
例1.2 由 F{,}，则 F是事 -件 代数。 称作平凡 -事 代件 数 .
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子A集 由基本事件—组A称成为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
例1.3 对任 A 意 , F事 { , 件 A, A, }
是事件 -代数。

应用随机过程 林元烈 第二章答案

应用随机过程 林元烈 第二章答案
+ X N = ∑ X i , 求 ξ 的分布， Eξ 和 Dξ .
i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]

随机过程 研究生 课程介绍

随机过程 研究生 课程介绍
随机过程
第0章 课程介绍及课时安排 授课人：刘玉婷 ytliu@ 理学院数学系
提纲
教材及参考书目 主要内容 考试安排
教材及参考书目
教材
《随机过程及其在金融领域中的应用》王军 王 娟 清华大学出版社 北京交通大学出版社
参考书目
《应用随机过程》 林元烈 清华大学出版社 《应用随机过程》柳金甫 李学伟 中国铁道出版 社
第4章 Poisson过程
第6课：3.5 + 4.1 第7课：4.1
复习：第15课 答疑：第16课 – 机械楼N201
考核方式
平时作业 10%
每章之后留习题若干，下次课上交 作业纸作答(不返回) ( )
期末考试 90%
闭卷 仅考所学内容
主要学习内容
第2章 概率空间
第1课：2.1 + 2.2 第2课：2.3 第3课：2.4 arkov链
第9课：5.1 + 5.2 第10课：5.2 第11课：5.3 第12课：5.3 第13课：5.4 第14课：5.5
第3章 随机过程
第4课：3.1 + 3.2 +3.3 第5课：3.4 + 3.6

应用随机过程(林元烈)期中考自测题

应用随机过程(林元烈)期中考自测题

∑ = pik (s) pkj (t) k∈I
即 P(s)P(t)=P(s + t)
9，设{X (t),t ≥ 0} 是以 I={0,1}为状态空间的马尔可夫过程，转移概率矩阵
P(t) = { pij (t),i, j ∈ I}为标准阵，且
lim
t→0+
1 (1− t
p00 (t))
=
q0
=
λ, lim t →0+
μ
e−(λ +μ )t
⎤ ⎥ ⎥
λ
λ +
μ
+
λ
μ +
μ
e−(λ +μ )t
⎥ ⎥⎦
且
E[ X (t)] = P( X (t) = 1)
= p0 p01(t) + (1− p0 ) p11(t)
= p0[ p01(t) − p11(t)] + p11(t)
=
− p0e−(λ+μ )t
+
λ
λ +
μ
+
λ
μ +
k:P{ X (s)=k , X (0)=i}>0
P{X (0) = i}
P{X (s + t) = j, X (0) = i}
∑ =
P{X (s + t) = j | X (s) = k, X (0) = i}
k:P{ X (s)=k , X (0)=i}>0
P{X (s) = k | X (0) = i}
n
∑ Yn = X k , n ≥ 1，证明：{Yn , n ≥ 1} 是齐次马尔可夫链，并求二步转移概率矩 k =1

应用随机过程教学大纲

应用随机过程教学大纲

遵义师范学院课程教学大纲应用随机过程教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：48 学分数： 2.5执笔人：黄建文审核人：系别：数学教研室：统计学教研室编印日期：二〇一五年七月课程名称：应用随机过程课程编码：学分：2.5总学时：48课堂教学学时：32实践学时：16适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学）一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。

它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。

（二）该课程的教学目标（1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。

（2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。

着重基本思想及方法的培养和应用。

（3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。

二、教学进程安排课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。

三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。

【教学内容和要求】随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。

其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。

应用随机过程答案1

应用随机过程答案1

2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。

（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。

p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑Q()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑Q222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）W2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+:同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑- W3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

随机过程(林元烈)第三讲习题参考答案

随机过程(林元烈)第三讲习题参考答案

(2) 定义
T = min{n : n ≥ 0, X n ∈ {0, N }, X 0 = k} , TN = min{n : n ≥ 0, X n = N , X 0 = k} , VN = P(TN < +∞ X 0 = k ) = P( X T = N ) ,
可知 T和TN 是关于 { X n , n ≥ 0} 的停时, 且 PN (k ) = V N . 因为 {e −2 aX n , n ≥ 0} 是鞅, 且 ①因为两边带有吸收壁的有限状态马氏链的中间状态为瞬时 态, 所以 P(T < ∞) = 1 . ② E e −2 aX T ≤ E e 0 = 1 < ∞ ③ lim n →∞ E e −2 aX T ⋅ I{T > n} ≤ lim n →∞ P (T > n) = 0 满足停时定理的条件, 所以 E (e −2 aX T ) = E (e −2 aX 0 ) = e −2 ak ,
N
∑e
k =0
N
− 2 ak
k k π X n (1 − π X n ) N − k CN
= =
∑∑ P( X
i =2 j = 2 3 3
3
(1 − e ) ∑
−2a N k =0
k − 2 ak 1 − e − 2 aX n CN e N
(
N k
) (e
− 2 aX n N
− e −2a
)
N −k
∵ π(2) = (1 9 2 9 2 3)
∴ E ( X 3 X 2 = 1)＝
∑i ⋅ p
i =1
3
DX n = EX n − (EX n ) = 2409 3844
2 2

应用随机过程ppt课件

应用随机过程ppt课件

ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(4)对偶原则 (De Morgan律)
ABAB ABAB
i 1Ai i 1Ai
应用随机过程
Application of Stochastic Processes
2021精选ppt
1
1.031652.8 7
1.0326513.4 77
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
2021精选ppt
2
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学 出版社
x属于该序列的其余集合.
关系：nl iminfAn nl i m suA pn
2021精选ppt
22
例1.3：
{所以投掷硬 面币 ”结 和果 ““ 反 序 正 面 .列 }
F{的所有子 }，集 An {第n结果是“}正. 面” 则 nl i msuA pn有无限多次投掷的 是结 “果 正面 } ” nl im infAn{除有限多次外，掷其的余结投果都是
称 P为 [0,1]上B 的 o概 re率 l . 测度
2021精选ppt
16
概率的基本性质
(1 )P ()0,
(2)若 A ,B F, 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) B
(3 )P (A ) 1 P (A )
(4)A,BF, 若AB P(A )P(B) 若AB P ( B A ) P ( B ) P ( A )
多维随机变量： X (X 1 ,X 2 , ,X d )

(仅供参考)随机信号分析与处理简明教程--第二章习题答案

(仅供参考)随机信号分析与处理简明教程--第二章习题答案

证明：设τ = t2 − t1
Rz
(τ
)
=
E[z( t1 )z( t 2
)]
≤
E[
z2
(t1)
+ 2
z2
(t2
)]
=
1 2
E[z2
(t1 )
+
z2
(t2
)]
=
1 2
E[z
2
(t1
)]+
1 2
E[z2(t2 Nhomakorabea)]=
1 2
(R
z
(0)
+
R
z
(0))
=
R
z
(0)
（平稳过程）
所以， R z (0)
= σz2
+
可看作一个随机过程 X (t) = Acos(Ωt + Θ) ，其中 A, Ω, Θ 是相互独立的随机变量，且已知
f
A
(a)
=
⎧ ⎪ ⎨
2a A02
,
a ∈ (0, A0 ) ,
fΩ (ω) = ⎪⎨⎧1010 ,
ω
∈ (250,350) ,
fΘ (θ
)
=
⎪⎧ ⎨
1 2π
,
θ ∈ (0, 2π )
⎪⎩0, 其他
第 2 章习题解答
2.1 设有正弦波随机过程 X (t) = V cosωt ，其中 0 ≤ t < ∞ ， ω 为常数，V 是均匀分布于 [0,1] 区间的随机变量。
(1)画出该过程两条样本函数；
(2)确定随机变量
X (ti ) 的概率密度，画出 ti
=
0，
π 4ω

应用随机过程全套教学课件

应用随机过程全套教学课件

x属于该序列的其余集合 .
关系：lim inf
n
An
lim
n
sup
An
例1.3：
{所以投掷硬币结果“正 面”和“反面”组成的 序列.}
F {的所有子集}，An {第n结果是“正面”}. 则
lim sup
n
An
有无限多次投掷的结果
是“正面”}
lim inf
n
An
{除有限多次外，其余投 掷的结果都是
x
x
(4)F (x)是又连续的, 即F(x 0) lim F(t) F(x).
tx
随机变量的类型：
离散型： P( X xk ) pk pk 1
k 1
F(x) P( X x) pk
xk x
连续型： F(x) P( X x) x f (t)dt
（其中f (x)为概率密度函数， f (x)dx 1） f (x) dF(x) dx
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1P( A1A2 An )
1i jk n
事件列极限1：假设事件序列Ai ,
(1) 如果A1 A2 An ,
则 lim
n
An
An
n1
An A
(2) 如果A1 A2 An , An A
则
lim
n
An
An
n1
结论： 单调事件(集合)序列必有极限.
f
( x1,,
xd
)
d
F (x1, x2,, xd x1x2 xd
)
一些常见的分布：
1.离散均匀分布：
分布列：
pk
1 n
,

(解答)《随机过程》第二章习题

(解答)《随机过程》第二章习题

0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
即有： P HH 1 ，因此有：
P (n) Hn H 1
(1 / 6) n 0
0
0
0
0
(2 / 6) n (1 / 6) n (2 / 6) n 0 0 0 0
(3 / 6) n (2 / 6) n (3 / 6) n (2 / 6) n
0,
Xn
1,
2,
3,
n 0, n1 0; n 0, n1 1; n 1, n1 0; n 1, n1 1;
0,
Yn
1,
n 0, n1 0; 其它;
试问随机序列{X n , n 2}和{Yn , n 2} 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转
移概率矩阵并研究各个状态的性质。不是的话，请说明理由。
1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6
0
2 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6
0
P
0
0 3 / 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 0 0 4 / 6 1 / 6 1 / 6
0 0 0 0 5 / 6 1/ 6
0 0 0 0 0 1
求解上面矩阵的特征根及特征向量，我们有： i i / 6, i 1,2,3,4,5,6 ，及
返态；另外状态 0、2 相通组成一个闭集，且 f00 1 ，故状态 0、2 是常返态；因为
f (1) 11
1/ 2,
f (n) 11
0 (n
1) ，故
f11
1/ 2 1 ，所以状态 1 为非常返态。

最新西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案

最新西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案

西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx随机过程习题解答第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ ＝0()1jtkjt k pp qe qe ∞==-∑ 又20()kk k k q qE X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 100()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。

应用随机过程教学大纲

应用随机过程教学大纲

遵义师范学院课程教学大纲应用随机过程教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：48 学分数：执笔人：黄建文审核人：系别：数学教研室：统计学教研室编印日期：二〇一五年七月课程名称：应用随机过程课程编码：学分：总学时：48课堂教学学时：32实践学时：16适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学）一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。

它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。

（二）该课程的教学目标（1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。

（2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。

着重基本思想及方法的培养和应用。

（3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。

二、教学进程安排课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。

三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。

【教学内容和要求】随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。

其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑Q()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑Q222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）W2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+:同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑- W3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

随机过程第1章 引论

随机过程第1章 引论

12
1.1 概率
于是，我们有
因此，三人中没有人选到他自己的帽子的概率是
13
1.1 概率
独立事件
如果
那么两个事件E和F称为独立的(independent). 这蕴含了如果P(E|F)=P(E)，那么E和F是独立的(它也蕴含了P(F|E)=P(F)). 这就是，如果F已经发生这个事实并不影响E发生的概率，那么E和F就是独立 的. 也就是E的发生独立于F是否发生.
我们则称 为事件 的概率.
例1.1 在掷硬币的例子中，如果我们假定硬币出现正面与出现反面是等可 能的，那么我们有：P({正面})=P({反面})=1/2. 如果我们有一枚不均匀的硬币，它出现正面的可能是出现反面的两倍，那么 P({正面})=2/3， P({反面})=1/3.
7
1.1 概率
例1.2 在掷骰子的例子中，如果我们假定6个数的出现是等可能的，那么我
M.）著，龚光鲁 译，人民邮电出版社，2011.5
2
第1章 引论
1.1 概率 1.2 随机变量、分布函数及数字特征 1.3 条件期望和矩母函数 1.4 随机过程的概念及分类
3
1.1 概率
随机试验、样本空间与事件
概率论的一个基本概念是随机试验. 一个试验(或观察)，若它的结果预先无
法确定，则称之为随机试验，简称试验(experiment). 所有试验的可能结果组 成的集合，称为样本空间，记作 . 中的元素则称为样本点，用 表示.
P( FE ) P( F ) P( E | F )
7 6 42 . 12 11 132
例1.8 假定参加聚会的三个人都将帽子扔到房间的中央. 这些帽子先被弄混了,
随后每个人在其中随机地选取一个. 问三人中没有人选到他自己的帽子的概率 是多少？

应用回归分析_第2章课后习题参考答案.

应用回归分析_第2章课后习题参考答案.

2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定？答：1. 解释变量 1x , ,2x ,p x 是非随机变量，观测值,1i x ,,2 i x ip x 是常数。

2. 等方差及不相关的假定条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠=====j i n j i j i n i E j i i ,0),,2,1,(,),cov(,,2,1,0)(2 σεεε 这个条件称为高斯-马尔柯夫(Gauss-Markov)条件，简称G-M 条件。

在此条件下，便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差2σ估计的一些重要性质，如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。

3. 正态分布的假定条件为⎩⎨⎧=相互独立n i n i N εεεσε,,,,,2,1),,0(~212 在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2σ估计的进一步结果，如它们分别是回归系数的最及2σ的最小方差无偏估计等，并且可以作回归的显著性检验及区间估计。

4. 通常为了便于数学上的处理，还要求,p n >及样本容量的个数要多于解释变量的个数。

在整个回归分析中，线性回归的统计模型最为重要。

一方面是因为线性回归的应用最广泛；另一方面是只有在回归模型为线性的假设下，才能的到比较深入和一般的结果；再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回归问题进行处理。

因此，线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。

1. 如何根据样本),,2,1)(;,,,(21n i y x x x i ip i i =求出p ββββ,,,,210 及方差2σ的估计;2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验；3. 如何根据回归方程进行预测和控制，以及如何进行实际问题的结构分析。

2.2 考虑过原点的线性回归模型 n i x y i i i ,,2,1,1 =+=εβ误差n εεε,,,21 仍满足基本假定。

求1β的最小二乘估计。

答：∑∑==-=-=ni ni i i i x y y E y Q 1121121)())(()(ββ∑∑∑===+-=--=∂∂n i n i ni i i i i i i x y x x x y Q111211122)(2βββ 令,01=∂∂βQ 即∑∑===-n i ni i i i x y x 11210β 解得,ˆ1211∑∑===ni ini ii xyx β即1ˆβ的最小二乘估计为.ˆ1211∑∑===ni ini ii xyx β2.3 证明： Q (β0，β1)= ∑(y i-β0-β1x i )2因为Q (∧β0,∧β1)=min Q (β0,β1 )而Q (β0,β1) 非负且在R 2上可导,当Q 取得最小值时，有即-2∑(y i-∧β0-∧β1x i )=0 -2∑(y i-∧β0-∧β1x i ) x i =0又∵e i =yi -( ∧β0+∧β1x i )= yi -∧β0-∧β1x i ∴∑e i =0，∑e i x i =0（即残差的期望为0，残差以变量x 的加权平均值为零）2.4 解：参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在εi~N(0, 2 ) i=1,2，……n 的条件下等价。

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+ X N = ∑ X i , 求 ξ 的分布， Eξ 和 Dξ .
i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
−∞
+∞
= g (η1 ,η 2 , L,η n ) E[ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ] 所以，有 E[ξg (η1 ,η 2 ,L ,η n ) | η1 ,η 2 ,L ,η n ] = g (η1 ,η 2 ,L ,η n ) E[ξ | η1 ,η 2 ,L ,η n ]
（4）由（3）知，取 ξ ≡ 1 ，即得结论。
∫
+∞
−∞
ξdF (ξ η | 1 ,η 2 , L ,η n )
≤ ∫ ξ dF (ξ η |来自1 ,η 2 ,L,η n )
−∞
+∞
= E ( ξ | η1 ,η 2 ,L,η n )
所以，有
E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) ≤ E ( ξ | η1 ,η 2 , L,η n )
X 1 , X 2 ,... 是独立同分布的随机变量序列，且与 N 相互独立。那么周日该商店一
天营业额的平均值是多少？（假定 EN ， EX 1 已知）。 答案：
E (∑ X i ) = E[ E (∑ X i ) | N ]
i =1 i =1 N
N
N
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
答案：
答案： （1） 因为 ξ 与η1 ,η 2 , L,η n 独立，所以有
f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ) f (ξ ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) = = f (ξ ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) 从而，对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有 f (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n ) =
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
（3）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有
E[ξg (η1 ,η 2 ,L,η n ) | η1 ,η 2 ,L,η n ] = ∫ ξg (η1 ,η 2 , L,η n ) f (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
= g (η1 ,η 2 ,L,η n ) ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]
=∫ f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) ⋅ dξ dη n +1 f (η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) +∞ +∞ f (ξ ,η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) =∫ ∫ ξ dξ dη n +1 −∞ −∞ f (η1 ,η 2 , L,η n ) +∞ f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ) =∫ ξ dξ −∞ f (η1 ,η 2 ,L,η n )
第二次作业答案(部分)
1，一矿工困在矿井中，要达到安全地带，有三个通道可选择。他从第一个通道 出去要走 3 小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走 5 个小时又返回原 处，从第三个通道出去要走 7 个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中 其中一个通道。试问他到达安全地点平均要花多长时间。 答案：设 X 表示矿工到达安全地点所需时间， Y 表示他选定的通道。则有
E (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ) = ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 , Lη n )dξ = ∫ ξf (ξ )dξ =Eξ
−∞ −∞
+∞
+∞
因此 （2）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有 E (ξ | η1 ,η 2 ,L ,η n ) = Eξ
E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) =
（5）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有
+∞
E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ]
−∞ +∞ +∞ −∞ −∞
= ∫ E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) f (η n +1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dη n +1 =∫
= E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n )
EX = E[ E ( X | Y )] = E ( X | Y = 1) P(Y = 1) + E ( X | Y = 2) P (Y = 2) + E ( X | Y = 3) P(Y = 3) 1 = [3 + (5 + EX ) + (7 + Ex)] 3
所以 EX = 15
2，周日进入某商店地顾客数是随机变量 N ， X i 是第 i 个顾客所花的钱数，