江苏省南通市高一数学上学期期中考试试卷苏教版

2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，则的真子集的个数为（ ）{}3,4,5N =N A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是个.n 21n-【详解】，则的真子集为：{}3,4,5N =N {}{}{}{}{}{},3,4,5,3,4,3,5,4,5.∅故选：C2．下列图象中，表示函数关系的有（ ）()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，x y 对于A ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于B ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于C ，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；x y 对于D ，当时，有无数个值与其对应，不符合.1x =y 故选：C .3．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为()()2231mm f x m m x +-=--()0,x ∈+∞()f x m （ ）A ．B ．1C ．2或D ．21-1-【答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵是幂函数，()()2231mm f x m m x +-=--∴，即，解得，或，211m m --=()()210m m -+=2m =1m =-又当时，单调递减，∴，()0,x ∈+∞()f x 230m m +-<当时，，不合题意，舍去；2m =2330m m +-=>当，，符合题意，1m =-2330m m +-=-<故．1m =-故选：A ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学【答案】C的大小关系即可得出答案.【详解】，．∵．102525==105232==2532<<又∵，，6339==6328==>∴．<<又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.5．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）a []3,4x ∀∈0x a -<A ．B ．C ．D ．4a >5a >3a >4a ≥【答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.a 【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，[]3,4,0x x a ∀∈-<所以，在区间上恒成立，所以，a x >[]3,44a >所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.[]3,4,0x x a ∀∈-<5a >故选：B 6．已知函数由下表给出，若，则()f x ()()()()()0134f f x f f f =+⋅0x =x1234()f x 1312A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】结合表格数据可得的值,进而可求得的值,即可求得.()()()134f f f +⋅()0f x 0x 【详解】由题可得,,则,故.()()()()()01341123f f x f f f =+⋅=+⨯=()02f x =04x =故选:D.【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.7．已知函数的定义域为，则函数）()f x []22-,()()3g x f x =A ．B ．C ．D ．(]0,120,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】要使有意义，则，即，解得，()g x 23210x x x -⎧⎪-⎨⎪⎩ ()232100x x x x -⎧⎪-⎨⎪≠⎩ 203x < 所以函数的定义域为．()g x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：D ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）.请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）真数常用对数真数常用对数20.3011 1.0430.4812 1.0840.6013 1.1150.7014 1.1560.7815 1.1870.8516 1.2080.9017 1.2390.9518 1.26101.00191.28A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意可知，两边取对数，然后计算出的取值范围，查表即可得出答案.3064311010a ≤<a 【详解】解：由题意得：，3064311010a ≤< ，6430lg 31101010a ∴≤<，即，6430lg 31a ∴≤<3064lg 31a ≤<故此，即，3031lg 6464a ≤<0.46875lg 0.484375a ≤<又因为为整数，故根据上表可知：，a 3a =故选：B二、多选题9．若不等式的解集是，则下列对于系数，，的结论中，正确的是20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭a b c （ ）A ．B ．C ．D ．a<00c >0a b c ++>0a b c -+>【答案】ABC【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b 、c 可用a 的代数式表示，检验各选项即可得结果.【详解】由题意知： 0013222122a a b b aa c a c a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪⎪-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩-⨯=⎪⎩A 项： ，即：A 项正确；a<0B 项： ，即：B 项正确；0c a =->C 项： ，即：C 项正确；3322a b c a a a a ++=--=->D 项：，即：D 项错误.3322a b c a a a a -+=+-=<故选：ABC.10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合{}1,2A =(){}1,2B =B ．函数()f x =()1,1-C ．若，，则用，表示2log 3a =2log 7b =a b 423log 561b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x ()(),00,∞-+∞ 0x >()211f x x x =+-0x <()211f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{}1,2A =(){}1,2B =所以A 选项错误；对于B，根据解得函数，2 320x x+-≥()f x=[]1,3-令则，232t x x=+-y=为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调232t x x=+-1x=232t x x=+-()1,1-递增，在区间上单调递减，()1,3函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y=()f x=()1,1-所以B选项正确；对于C，因为，，根据对数的换底公式可得2log3a=2log7b=，所以C选项正确；()()3222222422222222log78log56log7log8log7log23log56log42log76log7log6log7log3log21ba b⨯+++=====⨯+++++对于D，因为当时，，可令，则，所以x>()211f x xx=+-x<0x->，又因为是定义在上的奇函数，所以()()()221111f x x xx x-=-+-=---()f x()(),00,∞-+∞，与题干结果不符，所以D选项错误.()()211f f x xxx-=-+-+=故选：BC.11．已知，，且，则（）a>0b>281a b+=A．B C．D．281a b->-1≥164ab≤221168a b+≥【答案】ACD【分析】对于A，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A，因为，所以，又因为，，281a b+=218a b=-0a>0b>所以，即，所以，2180a b=->18b<<28188116a b b b b-=--=-又因为，所以，可知A选项正确；18b<<1281a b-<-<对于B，因为，22812841222a b a ba b++=++=≤+=当且仅当，即，时等号成立，28a b=14a=116b=，可知B选项错误；1+≤对于C，因为，当且仅当，即，时281a b+=≥=164ab≤28a b=14a=116b=等号成立，可知C选项正确；对于D ，因为，所以，281a b +=142a b +=所以，()2222222224161616241162228a b a b a b a b a b a b ++++++⋅⋅+=≥==当且仅当，即，时等号成立，可知D 选项正确.4a b =14a =116b =故选：ACD.12．定义在上的函数满足，当时，，则以下()1,1-()f x ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭10x -<<()0f x <结论正确的是（ ）A ．B ．为奇函数()00f =()f x C ．为单调减函数D ．为单调增函数()f x ()f x 【答案】ABD【分析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由0x y ==y x =-1x x =2y x =-12x x <判断其符号即可.()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭【详解】解：令得，即得，A 正确；0x y ==()()()000f f f +=()00f =在定义域范围内令得，即得是奇函数，B 正确；y x =-()()()00f x f x f +-==()f x 令，，且，1x x =2y x =-12x x <所以，()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭又且，，120x x -<111x -<<211x -<<所以，即，()()()()1221121110x x x x x x ---=+->1212101x x x x --<<-所以，即()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是单调增函数，D 正确，C 错误．()f x ()1,1-故选：ABD ．三、填空题13．计算：________.2log 312-⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.【详解】解：.22log 3log 31232-⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：3.14．已知函数，则________.()2231f x x =+()f x =【答案】2314x +【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式2t x =2tx =2(2)31f x x =+()f x 【详解】解：令,得,代入得2t x =2t x =2(2)31f x x =+223()31124t f t t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭即的解析式为()f x 23()14f x x =+故答案为：2314x +15．已知为正实数，则的最小值为__________．,x y 162y x x x y ++【答案】6【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.162y yx x ++【详解】由题得，162y xx x y+=+162y yx x ++设，则.(0)y t t x =>1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++当且仅当时取等.2t =所以的最小值为6.162y xx x y ++故答案为：6四、双空题16．已知函数，其中，()22,25,x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩0m >（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；()f x ()0,∞+m （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==的值域为__________.y m =【答案】(]0,3(),1-∞-【分析】（1）利用单调性的定义进行处理.（2）利用函数图象以及换元法来处理.【详解】（1）当时，，在单调递增，当时，，其x m ≤()2f x x=(0,)m x >m ()225f x x mx m =-+对称轴为，所以在x m =()f x (,)m +∞上单调递增，若函数在单调，则，()f x ()0,∞+22252||2m m m m m -+≥=解得.03m <≤（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，()f x 1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==则的图象如图所示：()f x则，即，解得或(舍去).222||225m m m m m =>-+230m m ->3m >0m <对于函数，令，，所以，y m =t =2t >22(1)1y t t t t =--=-++其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数12t =21y t t =-++()2,+∞22211y <-++=-的值域为.y m =(),1-∞-故答案为：，.(]0,3(),1-∞-五、解答题17．（1）求的值；1103488127⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）已知，求的值.114x x -+=1122224200x x x x --+++-【答案】（1）；（2）8343-【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）把平方，结合即可求得，利用可得1122x x -+114x x -+=1122x x -+()22212x x x x --+=+-的值，代入所求的式子即可得答案．22x x -+【详解】（1）；()1134134134828811273233133⨯⎛⎫=-+=-+=⎛⎫-+ ⎝⎭⎪⎭⎪⎝（2），，，211122216x x x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭= 11220x x ->+11224x x -∴+=，．()22212194x x x x--+=+-=11222242344419420000x x x x --+∴-+=-=-++18．已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程p x 21202mx x -+>q x 无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.()244210x m x +-+=p qm 【答案】(][)1,23,⋃+∞【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出p qm p qp q实数的取值范围.m 【详解】若真，对任意实数，不等式都成立.p x 21202mx x -+>∴当时，显然对于任意实数，不等式不都成立0m =x 1202x -+>当时，，解得0m ≠4200m m -<⎧⎨>⎩m>2∴真时，；p m>2若真，则方程无实数根，q ()244210x m x +-+=∴，()2162160m --<∴真时，.q13m <<∵命题、中有且仅有一个真命题，p q∴当真假时，且，故实数m 的取值范围是：；p qm>2(][),13,m ∈-∞+∞ 3m ≥当假真时，且，故实数m 的取值范围是：；p q2m ≤13m <<12m <≤综上，实数的取值范围为m (][)1,23,⋃+∞19．已知函数是定义域上的奇函数.()21x bf x x +=-()1,1-（1）确定的解析式；()f x （2）用定义证明：在区间上是减函数；()f x ()1,1-（3）解不等式.()()10f t f t -+<【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.()21x f x x =-1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数()()f x f x -=-b 的解析式；()y f x =（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，1x ()21,1x ∈-12x x <()()12f x f x -()()12f x f x -即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单()()1f t f t -<-()y f x =调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.t t 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，()21x bf x x +=-()1,1-()()f x f x -=-即，化简得，因此，；()2211x b x b x x -++=-+-+0b =()21xf x x =-（2）任取、，且，即，1x ()21,1x ∈-12x x <1211x x -<<<则，()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--，，，，，，.1211x x -<<< 210x x ∴->1210x x +>110x -<110x +>210x -<210x +>，，因此，函数在区间上是减函数；()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>()y f x =()1,1-（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，()y f x =()1,1-由得，所以，解得.()()10f t f t -+<()()()1f t f t f t -<-=-111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩112t <<因此，不等式的解集为.()()10f t f t -+<1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的AB E 圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线()()0,025E t t <≤AF x⊥F BC 的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆()2500y ax a =-+>CD OD ⊥D CD E 的高（单位：米，下同）.50OB =(1)试将用和表示；DF a t (2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.DF a 【答案】(1)50DF t =-()025t <≤(2)1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标()0,50B 50CD t =-C 后，可知；50DF t =-()025t <≤（2）根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最5075DF t =-≤162550a t t ≥++值即可得答案.【详解】（1）解：由抛物线方程得：，()0,50B 50BE t∴=-∵，均为圆的半径，BE CD ，圆的半径为：，50CD t ∴=-E 50t -∴，入抛物线方程可得，解得(),50C C x t -25050Ct ax -=-+C x =∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，AB E ()0,E t AF x ⊥F ∴，50OF AE t ==-∴.50DF OF OD t =+=-()025t <≤（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，DF ，整理可得：，5075DF t ∴=-()216252550ta t t t ≥=+++，(]0,25t ∈（当且仅当时取等号），62550t t ∴+≥=25t = ，1162510050t t ∴≤++.1100a ∴≥∴的取值范围为：a 1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．已知集合，集合.{A x y =={}220B x x x a a =-+-<(1)若，求的取值范围；A B A ⋃=a (2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.A B ⋂a 【答案】(1)；[0,1](2).(1,2][1,0)- 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【详解】（1）由，所以.22002x x x -≥⇒≤≤[0,2]A =由，220()[(1)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<因为，所以，A B A ⋃=B A ⊆当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，1a a =-12a =21()02x -<即，显然成立；B =∅B A ⊆当时，即时，，1a a >-12a >(1,)B a a =-要想，只需，而，所以；B A ⊆0112a a a ≤-⎧⇒≤⎨≤⎩12a >112a <≤当时，即时，，1a a <-12a <(,1)B a a =-要想，只需，而，所以，B A ⊆0012a a a ≤⎧⇒≥⎨-≤⎩12a <102a ≤<综上所述：的取值范围为；a [0,1]（2）由（1）可知：当时，，此时不符合题意；12a =B =∅A B ⋂=∅由（1）可知：当时，，12a >(1,)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂1012a a -<⎧⎨<≤⎩0112a a ≤-<⎧⎨>⎩由，显然，所以，101212a a a -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩12a >12a <≤由，0112a a a ≤-<⎧⇒∈∅⎨>⎩所以；12a <≤由（1）可知：时，，12a <(,1)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂0112a a <⎧⎨<-≤⎩0112a a ≤<⎧⎨->⎩由，而，即，010112a a a <⎧⇒-≤<⎨<-≤⎩12a <10a -≤<由，0112a a a ≤<⎧⇒∈∅⎨->⎩所以，10a -≤<综上所述：的取值范围为.a (1,2][1,0)- 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.22．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是D ()y f x =[],m n D ⊆()f x [],m n 单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．[],m n ()f x [],m n [],m n (1)写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=(2)求证：函数不存在“优美区间”；()64g x x =+(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最()()()221R,0a a x y h x a a a x+-==∈≠[],m n a n m -大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=（2）若函数存在“优美区间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推()g x [,]m n ()()g m n g n m =⎧⎨=⎩出矛盾，即可证明结论；（3）函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩,m n 的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而222()10a x a a x -++=,m n 可求得的最大值．n m -【详解】（1）是的一个“优美区间”，证明如下：[0,2]21()2f x x=在区间上单调递增，212y x =[0,2]又，，∴的值域为，(0)0f =(2)2f =212y x =[0,2]∴是的一个“优美区间”．[0,2]21()2f x x=（2）设是函数的定义域的子集．[,]m n ()g x 由，可得或，0x ≠[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+∴函数在上单调递减．6()4g x x =+[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()g x 6464n m mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，，则，66n m m n -=-6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴= 则，显然等式不成立，664m m +=∴函数不存在“优美区间”．6()4g x x =+（3）的定义域为，是函数的定义域的子集，()h x {|0}x x ≠[,]m n ()h x 则或，[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+而函数在上单调递增，()()222111a a x y x h x a a xa a +-==+=-[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩∴是方程，即的两个同号且不等的实数根．,m n 211a x a a x +-=222()10a x a a x -++=，∴同号，21mn a => ,m n 只需，解得或，2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->1a >3a <-，，211,a m n mn a a++== n m>，n m ∴-====∴当时，3a =n m -。

江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A＝{U0<<2}，B＝{U1<<5}，则A∪B＝（）A．{U0<<5}B．{U2<<5}C．{U0<<2}D．{U<2或>5}2．“0<<2”是“2−−6<0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（）A．26B．24C．20D．184．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．r2>B(>0，>0)C．r2≤+a＞0，b＞0）D．2B r≤B（a＞0，b＞0）5．函数=1+−1−2的值域为（）A．(−∞，32]B．(−∞，32)C．[32，+∞)D．(32，+∞) 6．函数op=1r1+25−2（−1<<52）的最小值是（）A．76B．87C．98D．657．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，13）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（）A B．2﹣1C．2+1D二、多选题9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．∩∁=∅B．∪∁=C．∁∪∁=∁D．∁∩∁=∁10．已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（）A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数B．若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称C．若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数D．若f（x）满足任意x1≠x2，都有o1)−o2)1−2>0，则f（x）在R上是增函数11．已知3=5=15，则a，b满足的关系有（）A．1+1=1B．B>4C．2+2<4D．(+1)2+(+1)2>1612．给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）﹣f（x2）＞g （x1）﹣g（x2）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2三、填空题13．若函数op=f(x)的定义域为.14．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.15．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加8万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为.16．已知函数op=|2−B+2|+，∈，若op在区间[−1，1]上的最大值是3，则实数的最大值是.四、解答题17．（1）已知+−1=6(>1)，求12−−12的值；（2）log232+(1+lg2)lg5+(lg2)2−4log4318．已知不等式B2−3+2>0的解集为{U<1或>V（其中>1）．（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式K14B−≥1．19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减.（1）求f（x）的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式3+2≥n恒成立，求实数n的最大值.\20．已知函数op=2r1，∈(0，+∞)（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；（2）若o2−1)>o1−p，求实数的取值范围.21．已知函数op=2+，∈(0，+∞)，其中>0.（1）若op的图象与直线=2没有公共点，求实数a的取值范围；（2）当=1时，函数op=12(p+op的最小值为−8，求实数m的值.22．函数=op的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数=op为奇函数，可以将其推广为：函数=op的图象关于点o，p成中心对称图形的充要条件是函数=o+p−为奇函数，给定函数op=2+K6r1.（1）求op的对称中心；（2）已知函数op同时满足：①o+1)−1是奇函数；②当∈[0，1]时，op=2−B+.若对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，求实数m的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题设∪={U0<<2}∪{U1<<5}={U0<<5}.故答案为：A【分析】根据并集的定义进行计算可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解不等式2−−6<0，得−2<<3而集合={U0<<2}是集合={U−2<<3}的真子集，所以“0<<2”是“2−−6<0”的充分而不必要条件故答案为：B【分析】利用一元二次不等式的解法可得2−−6<0的解集，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.故答案为：D.【分析】可把f(5)中的5拆成2×3−1的形式，即可利用已知关系式求出f（5）的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(+p−=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF=∵CF≥OF，≥12(+p，故答案为：C.【分析】由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可求出CF，结合CF≥OF即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】设1−2=，则≥0，=1−22，所以=1+1−22−=12(−2−2+3)=−12(+1)2+ 2，因为≥0，所以≤32，所以函数=1+−1−2的值域为(−∞，32].故答案为：A．【分析】根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由−1<<52，可得+1>0，5−2>0，op=1+1+25−2=22+225−2=27[(2+2)+(5−2p](12+2+15−2) =27(2+5−22r2+2r25−2)≥27(2+=87，仅当5−22r2=2r25−2，即=34时等号成立，故op的最小值为87.故答案为：B【分析】由op=1r1+25−2=22r2+25−2=27[(2+2)+(5−2p](12r2+15−2)展开后运用基本不等式可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数，又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减.∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.故答案为：B.【分析】由题意可得g(x)=xf(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递减，原不等式可化为g（1-2x）＜g（-x）即为1-2x＞-x，解不等式可得所求解集.8．【答案】D【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔(−1)()2−+≥0，令=>0，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，依题意，−1>0−14(K1)≥0，解得o12(K1)，即>1∴实数a故答案为：D.【分析】利用换元法结合二次函数的性质可求出实数a的最小值.9．【答案】B,D【解析】【解答】由韦恩图可知，∩∁≠∅，∪∁=，∁∪∁=∁，∁∩∁=∁，AC不符合题意，BD符合题意，故答案为：BD【分析】利用韦恩图结合集合间的基本运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A：若op在R上是减函数，显然由2>1⇒o2)>o1)，不可能有o2)>o1)成立，所以op在R上不是减函数，因此A项正确；B：因为o+1)是偶函数，所以函数o+1)的图象关于轴对称，因为函数o+1)的图象向右平移1个单位得到op图象，所以op图象关于=1对称，B项正确；C：若o−1)=o1)=0，则函数op有可能是奇函数，不是偶函数，C项错误；D：o1)−o2)1−2＞0的含义是分子分母同号，即op中，自变量越大，函数值也大，所以op在R上是增函数，D项正确.故答案为：ABD.【分析】根据函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数图象变换的性质逐项进行判断，可得答案. 11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由3=5=15，则=log315>0，=log515>0，A：1+1=1log315+1log515=log153+log155=log1515=1，正确；B：由A知：1+1=1且>0，>0，≠，所以1=1+1>B>4，故正确，C：由A、B知：+=B，而2+2=(+p2−2B=(B)2−2B=(B−1)2−1>8，故错误，D：由上，(+1)2+(+1)2=2+2+2(+p+2=(B)2+2>18>16，故正确.故答案为：ABD.【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知1+1=1，再结合基本不等式可判断B、C、D.12．【答案】A,D【解析】【解答】根据题意知，要使函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则a≠0，不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）在[a，a+1]上恒成立，∵x1＞x2，∴o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，1−2＞o1)−o2)∴'(p≥'(p，即4ax+2a≥1在[a，a+1]上恒成立，当a＞0时，只需（4ax+2a）min＝4a2+2a≥1，即4a2+2a﹣1≥0，解得当a＜0时，只需（4ax+2a）min＝4a（a+1）+2a≥1，即4a2+6a﹣1≥0，解得，综上可得，故实数a的值可能是1，﹣2.故答案为：AD.【分析】由已知及导数的定义可知o1)−o2)1−2＞o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，即f'(x)>g'(x)，分别对已知函数求导，求出a的取值范围，即可得实数a的值.13．【答案】[﹣1，0)∪(0，1]【解析】【解答】∵op=1−2|U∴1−2≥0|U≠0，∴−1≤≤1≠0∴﹣1≤x<0或0<x≤1即f(x)的定义域为[﹣1，0)∪(0，1]故答案为：[﹣1，0)∪(0，1]【分析】由已知可得1−2≥0|U≠0，解不等式组可得f(x)的定义域.14．【答案】（﹣1，+∞）【解析】【解答】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.【分析】由已知可得m＞x2-2x在R上有解，只需m＞（x2-2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解出实数m的取值范围.15．【答案】(0，20]【解析】【解答】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，要保证该公司月总收入不减少，则50(1−100)(10+8)≥10×50，解得0≤≤20，∵x为正数，∴x的取值范围为(0，20].故答案为：(0，20]【分析】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，进而有50(1−100)(10+ 8)≥10×50，求解出x的取值范围.16．【答案】0【解析】【解答】因为op=|2−B+2|+，当2−4≤0，即−2≤≤2时，2−B+2≥0，op=2−B+2+，此时对称轴为=2∈[−1，1]，所以op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}，所以3+2≤3，解得≤0，所以−2≤≤0；当2−4>0，即<−2或>2时，2−B+=0有两个根，1，2，设1<，此时对称轴为=2<−1或=2>1，当即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，所以<−2；当2>1，即>2时，op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，不满足>2，故无解.综上所述，的取值范围是(−∞，0]，故的最大值为0.故答案为：0【分析】分−2≤≤2，<−2或>2三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出a的范围即可求出实数的最大值.17．【答案】（1）解：由题意得(12−−12)2=+1−2=4，而>1，则12−−12>0，12−−12=2（2）解：原式=13+(1+lg2)(1−lg2)+(lg2)2−3=13+1−3=−53【解析】【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解出12−−12的值；(2)利用对数的运算性质求解即可.18．【答案】（1）解：由题意可得B2−3+2>0的解集为{U<1或>V，则>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根．则1+=31×=2，解得=1=2．（2）解：不等式K14B−≥1化为K14K2≥1，转化为3K12K1≤0，即(3−1)(2−1)≤02−1≠0所以13≤<12，解集为{U13≤<12}．【解析】【分析】（1）由题意可得>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根，由韦达定理列出关于a、b的方程组求解出实数，的值；（2）不等式K14B−≥1转化为3K12K1≤0，求解分式不等式，可得不等式的解集.19．【答案】（1）解：幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以2，解得m＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）解：正数a ，b 满足2a+3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，所以3+2＝14（3+2）（2a+3b ）＝14（12+4+9）≥6，当且仅当4＝9，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故3+2的最小值为6，又不等式3+2≥n 恒成立，所以n≤6，即实数n 的最大值6.【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，求出f （x ）的解析式；（2）由已知条件可得a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，利用基本不等式求出3+2的最小值，即可得实数n 的最大值.20．【答案】（1）解：op =2r1=2(r1)−2r1=2+−2r1，∈(0，+∞)，该函数由op =−2向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：由图可知，函数在∈(0，+∞)单增，现证明如下：设0<1<2，则o 1)=2+−21+1，o 2)=2+−22+1，o 2)−o 1)=21+1−22+1=2(2−1)(1+1)(2+1)，∵0<1<2，2−1>0，o 2)−o 1)>0，op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增（2）解：若o2−1)>o1−p ，由op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增，得2−1>01−>02−1>1−，即23<<1，则实数的取值范围为23<<1【解析】【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图象的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；（2）op =2r1，∈(0，+∞)根据增减性判断，应满足2−1>01−>02−1>1−，化简求值即可.21．【答案】（1）解：由题意2+=2在∈(0，+∞)上无解，即22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由2=−22，∈(0，+∞)，而−22=−2(−14)2+18≤18，所以>116，所以实数a的取值范围为(116，+∞).（2）解：当=1时op=2+1，则1op=+1，所以op=12(p+op=2+12+o+1)=(+1)2+o+1)−2，令=+1，又∈(0，+∞)，故≥2（仅当=1时等号成立）所以=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，又=2+B−2的图象开口向上，对称轴为=−2，当−2≤2，即≥−4时，=2+B−2在[2，+∞)上单调递增，所以min=4+2−2=2+2=−8，解得=−5，不满足≥−4，故无解；当−2>2，即<−4时，=2+B−2在[2，−2)上单调递减，在(−2，+∞)上单调递增，所以min=24−22−2=−24−2=−8，解得=±26，又<−4，故=−26，综上所述，=−26.【解析】【分析】(1)由题意可得22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由二次函数的性质求出实数a的取值范围；(2)由题意可得op=(+1)2+o+1)−2，令=+1，则有t≥2，将问题转化为=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值. 22．【答案】（1）解：op=2+K6r1=(r1)2−(r1)−6r1=−6r1，设op的对称中心为(，p，由题意，得函数=o+p−为奇函数，则o−+p−=−o+p+，即o+p+o−+p−2=0，即(+p−6rr1+(−+p−6−rr1−2=0，整理得(−p2−[(−p(+1)2−6(+1)]=0，所以−=(−p(+1)2−6(+1)=0，解得=−1，=−1，所以函数op的对称中心为(−1，−1)；（2）解：因为对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，所以函数op的值域是函数op的值域的子集，因为函数=，=−6r1在[1，5]上都是增函数，所以函数op=−6r1在[1，5]上是增函数，所以op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则原问题转化为⊆[−2，4]，因为函数o+1)−1是奇函数，所以函数op关于(1，1)对称，又因为o1)=1，所以函数op恒过点(1，1)，当2≤0，即≤0时，op在[0，1]上递增，则函数op在(1，2]上也是增函数，所以函数op在[0，2]上递增，又o0)=，o2)=2−o0)=2−，所以op的值域为[，2−p，即=[，2−p，又=[，2−p⊆[−2，4]，2−≤4≤0，解得−2≤≤0，所以≥−2当2≥1即≥2时，op在[0，1]上递减，则函数op在(1，2]上也是减函数，所以函数op在[0，2]上递减，则=[2−，p，又=[2−，p⊆[−2，4]，2−≥−2≤4，解得2≤≤4，所以≥2当0<2<1即0<<2时，op在(0，2)上递减，在(2，1)上递增，又因函数op过对称中心(1，1)，所以函数op在(1，2−2)上递增，在(2−2，2)上递减，故此时op min=min{o2)，o2)}，op max=max{o0)，o2−2)}，要使⊆[−2，4]，只需要o2)=2−o0)=2−≥−2o2)=−24+≥−2o0)=≤4o2−2)=2−o2)=24−+2≤40<<2，解得0<<2，综上所述实数m的取值范围为[−2，4].【解析】【分析】(1)设op的对称中心为(，p，根据对称性得到关于a，b的方程，解方程求出op的对称中心；(2)求出op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则问题可转化为⊆[−2，4]，分m≤0，m≥2和0<<2三种情况讨论，从而可求出实数m的取值范围.。

江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分） (2019高一上·柳江月考) 以下五个关系：，，，，，其中正确的个数是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·平罗期中) 函数在区间上的最大值为4则函数的单调递增区间是（）.A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·石嘴山期中) 已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（）A .B . 1C . 12D . 26. （2分）(2017·宜宾模拟) 已知函数有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·历城期中) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A .B .C .D .8. （2分）函数f（x）=lgx﹣的零点所在的区间是（）A . （0，1]B . （1，10]C . （10，100]D . （100，+∞）9. （2分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f （2015）=（）A . 2B . -2C . 8D . -810. （2分） (2016高一上·运城期中) 若函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使函数值y＜0的x取值范围为（）A . （﹣2，2）B . （2，+∞）C . （﹣∞，2）D . （﹣∞，2]11. （2分） (2017高一上·汪清期末) 函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的区间是（）A . （﹣2，﹣1）B . （﹣1，0）C . （0，1）D . （1，2）二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2018高一上·鹤岗期中) 已知幂函数f(x)＝k·xa则k=________13. （1分）下列等式中，当a，b的值为正数时，都是正确的，但对a，b为任意实数时，有些等式就未必成立，其中不能对任意实数a，b都成立的是________① ；② ；③am•an=am+n（m，n∈Q）；④（am）n=amn（m，n∈Q）；⑤ ；⑥ ．14. （1分） (2017高三上·长葛月考) 函数的值域为________．15. （1分） (2018高一上·台州月考) 已知函数，则函数的图像关于点成中心对称________, ________.三、解答题 (共6题；共50分)16. （5分） (2016高一上·景德镇期中) 已知集合M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，N={x|x2﹣2x﹣3≤0}，若M∪N=N，求实数a的取值范围．17. （10分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）．（1）若k=0，求不等式f（x）＞的解集；（2）若f（x）为偶函数，求k的值．18. （10分） (2016高一上·唐山期中) 设定义在[﹣2，2]上的函数f（x）是减函数，若f（m﹣1）＜f（﹣m），求实数m的取值范围．20. （5分） (2016高一上·宿迁期末) 已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m 的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．21. （10分） (2016高一上·菏泽期中) 设函数f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求m的值；（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、17-1、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。

江苏省南通市第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.若集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<，则M N ⋃=（）A. (]2,3B. ()2,3C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合M ，N ，再计算M N ⋃.【详解】集合{|121}M x x =-<-≤，{}2|680N x x x =-+<∵[1,3)M =，(2,4)N =， ∴[1,4)MN =.故答案选C【点睛】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题型. 2.扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A. 1或5 B. 1或2C. 2或4D. 1或4【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解.【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2261 2.2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩，故选：D.【点睛】扇形的弧长和面积计算公式：弧长公式：l r α=；面积公式：21122S lr r α==，其中α是扇形圆心角弧度数，r 是扇形的半径.3.函数()ln ||f x x =的定义域为（） A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. (],1-∞-D.()()1,00,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.【详解】函数()ln ||f x x∵3300xx -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞.故答案选B【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力 4.已知函数()()22231m m f x m m x+-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数(m = )A. 1-B. 2C. 3D. 2或1-【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求出m 的值，代入判断即可．【详解】函数()()22231m m f x m m x+-=--是幂函数，211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意， 1m =-时，()41f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故1m =-，【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题． 5.在同一直角坐标系中，函数()()0af x xx =≥，()log a g x x =-的的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】就01a <<和1a >分类讨论可得正确的选项. 【详解】解：当01a <<时，函数()()0af x xx =≥为增函数，且图象变化越来越平缓，()log a g x x =-的图象为增函数，当1a >时，函数()()0af x x x =≥为增函数，且图象变化越来越快，()log a g x x =-的图象为减函数， 综上：只有D 符合 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.6.已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ）A. 4m <B. 142m -<< C.742m << D.1722m -<< 【答案】D【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.【详解】设22()(28)16f x x m x m =--+-,根据二次方程实根分布可列式:3()02f <,即2233()(28)16022m m --⨯+-<, 即241270m m --<,解得:1722m -<<. 故选D.【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.7.设集合{}4590,M k k Z αα==+⋅∈，{}9045,N k k Z αα==+⋅∈，则集合M 与N 的关系是（ ） A. M N ⋂=∅ B. MNC. NMD. M N【答案】C 【解析】 【分析】将集合M 和集合N 整理后可知集合M 表示45的奇数倍的角，集合N 表示45的整数倍的角，从而得到集合之间的包含关系.【详解】{}(){}45245,2145,M k k Z k k Z αααα==+⋅∈==+⋅∈{}(){}24545,245,N k k Z k k Z αααα==⨯+⋅∈==+⋅∈21k +表示所有奇数；2k +表示所有整数 NM ∴本题正确选项：C【点睛】本题考查集合间的包含关系，关键是能够将两个集合所表示的角的大小确定，从而得到包含关系.8.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3-B. 13-C.13D. 3【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=， 因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bxx b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R因此12log log 83b a ==-，故本题选A.【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力. 9.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()201926f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2019f =（ ）A. －4034B. 2021C. 2021D. 4036【答案】A 【解析】 【分析】 将x 换成2019x 再构造一个等式，然后消去f （2019x），得到f （x ）的解析式，最后可求得f （2021）．【详解】∵f （x ）+2f （2019x）＝6x ① ∴f （2019x ）+2f （x ）62019x⨯=②∴①﹣②×2得﹣3f （x ）＝6x 622019x⨯⨯-∴f （x ）＝﹣2x 42019x⨯+，∴f （2021）＝﹣4038+4＝﹣4034. 故选：A ．【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属中档题．10.已知()P y 为角β的终边上的一点，且sin β=2222sin sin cos βββ=-（ ） A. 12±B. 211-D. 2±【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义列方程，解方程求得y 的值，进而求得tan β的值，将所求表达式转化为只含tan β的形式，由此求得表达式的值.【详解】因为r =，故由正弦函数的定义可得=，解得12y =或12y(舍去),所以1tan β==，所以222222222sin 2tan 2sin cos tan 1111βββββ⎛⨯ ⎝⎭===---⎛- ⎝⎭，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为（） A. (1,2) B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的性质和零点存在定理，可以求解出函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间，选出正确答案.【详解】因为函数()f x 是定义域为(0,)+∞上的单调函数，[]2()log 3f f x x -=，所以2()log f x x -为一定值，设为t ，即22()log ()log f x x t f x x t -=⇒=+，而()3f t =，解得2t =，因此2()log 2f x x =+，所以2()log 7g x x x =+-，22(1)60,(2)40,(3)log 340,(4)10,(5)log 520g g g g g =-<=-<=-<=-<=->，故函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为(4,5)，本题选D.【点睛】本题考查了单调函数的性质，考查了零点存在定理，考查了换元法，对数式正负性的判断是解题的关键. 12.已知函数()1lg 43xx f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若对任意的[]1,1x ∈-使得()0f x ≥成立，则实数m的取值范围为（ ） A. 11,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B. 8,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 11,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.15,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为对任意的[]1,1x ∈-使得1143x x m +≤-恒成立，令()143xxh x =-，[]1,1x ∈-，根据函数的单调性求出()h x 的最小值，从而可得结果． 【详解】对任意的[]1,1x ∈-使得()0f x ≥成立，即对任意的[]1,1x ∈-使得1143xxm +≤-恒成立， 令()143xx h x =-，[]1,1x ∈-， 显然()h x 在[]1,1-递增， 故()143xx h x =-的最小值为()1h -=-114， 故1114m +≤-，15m 4≤-，实数m 的取值范围为15,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦,故选D ． 【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.函数()()20.5log 32f x x x =-+-的单调递增区间为______.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先求得函数的定义域,再结合复合函数单调性的性质即可求得单调递增区间. 【详解】由对数函数真数大于0,可得2320x x -+->,解得()1,2x ∈函数()()20.5log 32f x x x =-+-是由对数与二次函数的复合函数构成,由”同增异减”的单调性质,可知对数部分为单调递减函数,则二次函数部分为单调递减函数即可 二次函数单调递减区间是3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭结合函数定义域,所以整个函数单调递减区间为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数对定义域的特殊要求.14.已知4323x xy =-⋅+，当[]0,2x ∈时，其值域________【答案】3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令2x t =，因为[]0,2x ∈，所以[1,4]t ∈，得到函数()223333()24f t t t t =-+=-+，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】由题意，令2x t =，因为[]0,2x ∈，所以[1,4]t ∈， 则函数()223333()24f t t t t =-+=-+， 所以当32t =时，函数()f t 取得最小值，最小值为33()24f =， 当4t =时，函数()f t 取得最大值，最小值为(4)7f =，所以函数4323x xy =-⋅+的值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题．15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若22cos ,3a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.812log 4.1,2b f c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为__________．【答案】a c b << 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析得到0.8122log 4.122cos 03π<-<<，由函数单调性得到()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得解.【详解】()()f x f x -=，()f x ∴是偶函数，()()0.80.822f f ∴-=，22cos 13π=-，1122log 4.1log 42<=-，00.810.8222,122<<<<，0.8221-<-<-，0.8122log 4.122cos 03π∴<-<<，又因为()f x 在(),0-∞上递减，()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫∴>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0.8122log 4.122cos 3f f f π⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以b c a >>，即a c b <<， 故填：a c b <<【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于较易题目。

2023-2024学年度江苏省启东中学高一期中考试（数学）一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.对于全集U 的子集M ，N ，若M 是N 的真子集，则下列集合中必为空集的是（）．A.()UNM ⋂ð B.()U M Nð C.()()UUM N ⋂痧 D.M N⋂【答案】B 【解析】【分析】根据题目给出的全集是U ，M ，N 是全集的子集，M 是N 的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【详解】解：集合U ，M ，N 的关系如图，由图形看出，只有()U N M I ð是空集．故选：B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．2.已知集合{}20A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（）A.{}4a a ≤ B.{}4a a ≥ C.{}4a a ≤- D.{}4a a ≥-【答案】C 【解析】【分析】结合元素与集合的关系得到220a +≤，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得220a +≤，解得4a ≤-，故选：C3.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9z x y =-的取值范围是（）A.{}726z z -≤≤B.{}120z z -≤≤C.{}415z z ≤≤ D.{}115z z ≤≤【答案】B 【解析】【分析】令m x y =-，4n x y =-，可得85933z x y n m =-=-，再根据,m n 的范围求解即可.【详解】令m x y =-，4n x y =-，则343n m x n my -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以85933z x y n m =-=-．因为41m -≤≤-，所以5520333m ≤-≤．因为15n -≤≤，所以8840333n -≤≤，所以120z -≤≤.故选：B4.加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（）A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.【详解】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），甲方案每次加油的量为()0a a >；乙方案每次加油的钱数为()0b b >，则甲方案的平均油价为：22ax ay x ya ++=，乙方案的平均油价为：22211bxy b bx y x yx y==+++，因为22()022()x y xy x y x y x y +--=>++，所以22x y xy x y+>+，即乙方案更经济．故选：B ．5.若a 为实数，则“1a =”是“3()3+=-x x a f x a为奇函数的”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数的的偶性的定义及判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当1a =时,函数31()31+=-x x f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，且3131313()()1331313x x x x xx x xf x f x --+++-===-=----，即()()f x f x -=-，此时函数()f x 为奇函数，所以充分性成立；反之：当3()3+=-x x a f x a ，则满足()()f x f x -=-，即3333x xx xa aa a--++=---，即133133x x xxa aa a +⋅+=--⋅-，解得1a =±，所以必要性不成立.综上可得，1a =是函数3()3+=-x x a f x a为奇函数的充分不必要条件.故选：A.6.若函数()()2,16,1x ax x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨--⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.(-∞，2] B.(1,2)C.[2，6)D.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意()f x 是R 上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出a 的取值范围即可.【详解】根据题意，任意实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 是R 上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以()21216016a a a a a⎧-⎪⨯-⎪⎪->⎨⎪-+--⎪⎪⎩，解得：723a ≤≤，所以实数a 的取值范围是：[2,7]3.故选：D.7.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则（）A.()y f x =是奇函数B.()y g x =是偶函数C.()y f x =关于点()2,0对称D.()y g x =关于直线4x =对称【答案】A 【解析】【分析】根据函数()4y f x =+，()2y g x =-的奇偶性可推出()y f x =以及()y g x =的对称性，结合()y f x =与(y g x =的图象关于y 轴对称，推出()y f x =的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得()y g x =的奇偶性以及对称性，判断B,D.【详解】由于()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，则()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，则()y g x =的图象关于2x =-对称，因为()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y f x =的图象关于2x =对称，又()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，则()y f x =的图象关于(0,0)成中心对称，故()y f x =为奇函数，A 正确；因为()y f x =为奇函数，故()()f x f x -=-，由()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，可得()(),()()f x g x g x f x =-=-，故()()()()g x f x f x g x -==--=-，故()y g x =为奇函数，B 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于2x =对称，故C 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()y f x =为奇函数，则()y f x =的图象也关于(4,0)-成中心对称，而()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y g x =的图象关于(4,0)成中心对称，故D 错误，故选：A【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.8.已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（）A.[4，]B.，]C.[4，]D.，8]【答案】C 【解析】【分析】先讨论0a =，再结合二次函数的图象与性质分析0a >时，n m -的最大值与最小值，同理可得a<0时的情况即可得解.【详解】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=，当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =，由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=，所以24,m n mn a a+=-=-，所以n m -=，即n m -≤，当14a -<-时，即10a 4<<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-，解得24162416,22n m a a-+-==，42n m a a∴-==，当且仅当1414a a+=-,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，a<0时，同理，当14a =-时，max ()n m -=，当14a >-时，()min 4n m ->，综上，nm -的取值范围是，故选：C二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.若0,R a b >∈，则“a b >”是“a b >”的必要不充分条件B.“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件C.“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充分不必要条件D.若“x >m ”是“2021x <或“2022x >”的充分不必要条件，则m 的最小值为2022【答案】BD 【解析】【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断.【详解】对A ：若a b >，则a b b >≥，即a b >若a b >，比如：12a b =>=-，则a b >不成立∴“a b >”是“a b >”的充分不必要条件，A 错误；对B ：若0c <，则240b c ∆=->，即二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根若二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根，等价于240b c ∆=->比如：3,1b c ==满足0∆>，但0c <不成立∴“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件，B 正确；对C ：∵A B B B A =⇔⊆ 且()B A B B A ⊆⋂⇔⊆则()A B B B A B =⇔⊆⋂ ∴“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充要条件，C 错误；对D ：根据题意可得：2021m ≥，则m 的最小值为2022，D 正确；故选：BD.10.设矩形ABCD （AB BC >）的周长为定值2a ，把ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，如图，则下列说法正确的是（）A.矩形ABCD 的面积有最大值B.APD △的周长为定值C.APD △的面积有最大值D.线段PC 有最大值【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.【详解】设AB x =，则BC a x =-，因为AB BC >，所以,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭．矩形ABCD 的面积22()24x a x a S AB BC x a x +-⎛⎫=⋅=-<= ⎪⎝⎭，因为2ax ≠，所以无最大值．故A 错．根据图形折叠可知APD △与1CPB △全等，所以APD △周长为1AP PD DA AP PB DA AB DA a ++=++=+=．故B 正确．设DP m =，则AP PC x m ==-，有222DP DA AP +=，即222()()m a x x m +-=-，得22a m a x=-，22321313()224224ADP a a a S a a x ax a x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当2x a =时，取最大值．故C 正确．22a PC x a x =+-，因为函数22a y x a x =+-在2(0,)2a 上单调递减，在2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当2x a =时函数有最小值，无最大值．故D 错误．故选：BC ．【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.11.已知2log 3m =，3log 7n =，则42log 56的值不可能是（）A.31mn mn ++ B.321m n m n ++++ C.31mn mn m +++ D.31mn mn m +-+【答案】ABD 【解析】【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：223log 7log 3log 7mn =⋅=，71log 2mn=，()424242427878log 56log log log ⨯==+，其中4277771111711log 421log 61log 2log 311log mnmn m mn n=====++++++，424222233383242log log log log lo 67g 1mnm ====+++，故42313log 5611mn m mn m mn mn m mn +=++=+++++故选：ABD.12.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++=B.1231x x -<<<C.124x x ->D.1230x x +<【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩判断A 、D ，再将题设转化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B 、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，∴a<0，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3,1-且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <-<<，124x x ->，故B 错误，C 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知“()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，则实数a 的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】首先解出不等式()2160x a +->，再根据题意得到4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，即可求出a 的取值范围，从而得解；【详解】解：由()2160x a +->，得4x a <--或4x a >-，因为()2160x a +->的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，所以4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，解得21a -≤≤，所以实数a 的最大值为1；故答案为：114.已知0a >，0b >，下面四个结论:①22ab a b a b +≤+；②2a b +>a b >，则22c c a b ≤；④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】①③④【解析】【分析】①可以由222a b ab +≥得2224a b ab ab ++≥，然后变形可得是正确的，②可以由222a b ab +≥得222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，然后变形可得是错误的，③可以()1112211a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式推导出来.【详解】因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥即2()4a b ab +≥所以22ab a ba b +≤+，故①正确因为222a b ab+≥所以222222()2()a b a b ab a b +≥++=+2a b +≥，故②错误因为0a b >>，所以11a b<因为2c ≥0，所以22c c a b≤，故③正确因为()112(1)1122121111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=+++⎪++++⎝⎭3≥+，当且仅当2(1)111b a a b ++=++即2a b ==时取得最小值因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+即2a b +≥，故④正确故答案为：①③④【点睛】0a >，0b >22112a b aba b a b+≥≥=++15.关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是__．【答案】3443(,[,2332-- ．【解析】【分析】先将原不等式转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，再对a 分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围．【详解】不等式22(1)ax x -<可化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，①当1a =时，原不等式等价于210x ->，其解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，不满足题意；②当1a =-时，原不等式等价于210x +<，其解集为1 ,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，不满足题意；③当1a >时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，∴12 1131a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩，解得：4332a ≤<；④当11a -<<时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11(,,11a a ⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪-+⎭⎝⎭，不满足题意；⑤当1a <-时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，121131a a ⎧<-⎪⎪+∴⎨⎪-⎪+⎩，解得：3423a -<-，综合以上，可得：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．16.已知函数()22,11,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，那么()()4f f =___________若存在实数a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是___________.【答案】①.1②.5【解析】【分析】求出()4f 的值，再计算()()4ff 的值；设()f a t =，则()f t t =，可求得1t =或1t =-，再解方程()1f a =或()1f a =-，可求得a 的值即可求解.【详解】因为()22,1,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，所以()4242f =-=-，所以()()()()2422211ff f =-=---=，设()f a t =，则()f t t =，当1t ≥时，()2f t t t =-=，可得1t =，当1t <时，()21f t t t t =+-=，可得1t =-，所以()1f a =或()1f a =-，当1a ≥时，由()21f a a =-=或()21f a a =-=-可得1a =或3a =；当1a <时，()211f a a a =+-=或，()211f a a a =+-=-可得2a =-或1a =（舍）或1a =-或0a =，综上所述：2a =-，1-，0，1，3，有5个a 符合题意，故答案为：1；5.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算下列各式：（102)--（2）23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+【答案】（1）19（2）134【解析】【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【小问1详解】4032)18---)21216=19=+--+.【小问2详解】23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+()23232111(lg2)lg2lg512lg5log 22log 3log 3223⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log 2log 326=++++⨯()5lg2lg2lg5+lg22lg54=+++52lg22lg54=++134=18.设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．（1）若A B B = ，求实数m 的取值范围；（2）若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.【小问1详解】因为A B B = ，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<；②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．【小问2详解】因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-，所以实数m 的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭．19.已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,+∞；（2）[]0,1.【解析】【分析】（1）根据题意，可知命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即可求出a 的取值范围；（2）根据题意，分别求出p ⌝和q ⌝，由命题p 与q 均为假命题，可知p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，化简计算后，可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，若命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即20240a a ≠⎧⎨-<⎩，解得：1a >，所以实数a 的取值范围是()1,+∞.【小问2详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤，则:p x R ⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>，若命题p 与q 均为假命题，则p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，解得：1a ≤，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：04a ≤<，联立104a a ≤⎧⎨≤<⎩，得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]0,1.20.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆）需另投入成本y （万元），且210100,0100005014500,40x x x y x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润S （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩（2）100百辆，最大利润为1300万【解析】【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【小问1详解】由题意得当040x <<时，22()500(10100)3000104003000S x x x x x x =-+-=-+-，当40x ≥时，1000010000()500501450030001500S x x x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭，所以2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩,【小问2详解】由（1）得当040x <<时，2()104003000S x x x =-+-，当20x =时，max ()1000S x =，当40x ≥时，1000010000()15001500()S x x x x x=--=-+10000200x x +≥= ，当且仅当10000x x =，即100x =时等号成立，()150********S x ∴≤-=，100x ∴=时，max ()1300S x =，13001000> ，100x ∴=时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.21.设函数()xxf x ka a-=-（0a >且1,a k R ≠∈），()f x 是定义域为R 的奇函数：，（1）求k 的值，（2）判断并证明当1a >时，函数()f x 在R 上的单调性；（3）已知3a =，若()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立．请求出最大的整数λ．【答案】（1）1k =；（2）()f x 在R 上为增函数；证明见解析；（3）10．【解析】【分析】（1）由()00f =，解得1k =，再检验其成立；（2）利用定义法证明单调性；（3）用分离参数法求出919λ≤，即可得到λ的最大整数值．【详解】（1）∵()xxf x ka a -=-（0a >且1,a k R ≠∈）是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，解得1k =．此时()xxf x a a-=-，对任意x R ∈，有()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，即()f x 是R 上的奇函数，符合题意．故1k =．（2）由（1）得()xxf x a a-=-．判断该函数为增函数.下面证明：设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()()1122121212xx x x x x x x f x f x a aaa a a a a -----=---=---12121212111()()()(1x x x x x x x x a a a a a a a +=---=-+∵1a >，且12x x <，∴120-<x x a a ，又12110x x a ++>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上为增函数．（3）由（1），不等式()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立，即3333(33)x x x x λ---≥-，亦即不等式22(33)(313)(33),[1,2]x x x x x x x λ---≥∈-++-恒成立．令33,[1,2]x x t x -∈=-，则880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问题转化为关于t 的不等式2(3)t t t λ+≥对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，亦即不等式2+3t λ≤，对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．当83t =时，2min 91(3)9t +=，919λ∴≤，则λ的最大整数为10．【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;②有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值:(1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.22.已知二次函数2()f x ax bx c =++满足对任意实数x ，不等式212()(1)2x f x x ≤≤+恒成立.（1）求a b c ++的值；（2）若该二次函数与x 轴有两个不同的交点，其横坐标分别为1x ､2x .①求a 的取值范围；②证明：12x x 为定值.【答案】（1）2；（2）①10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；②证明见解析.【解析】【分析】(1)由212()(1)2x f x x ≤≤+取1x =可求a b c ++，(2)由2()x f x ≤恒成立，结合(1)可得a ，b ，c 的关系，再由()f x 与x 轴有两个不同的交点可求a 的范围，并证明12x x 为定值.【详解】解：（1）对任意实数x ，不等式2212(1)2x ax bx c x ≤++≤+恒成立.令212(1)2x x =+得x =1令x =1，得2≤a +b +c ≤2，∴a +b +c =2.（2）①当a +b +c =2时，22ax bx c x ++≥，即()220ax b x c +-+≥恒成立，所以()()()22202440a b ac a c ac a c >⎧⎪⎨--=+-=-≤⎪⎩，所以0,22a c b a =>=-.因为二次函数有两个不同的零点，所以()22244140b ac a a -=-->，解得12a <∴a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭②由韦达定理得121c x x a ==，∴12x x 为定值。

2019-2020学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知实数a ∈{1,3，a 2}，则a 的值为( )A. 1B. 1，3C. 0，3D. 0，1 2. 集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|a −1≤x ≤2a −1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤1B. a <1C. 0≤a ≤1D. 0<a <13. 函数f(x)=√2x −1+12−x 的定义域为( )A. {x|x ≥12} B. {x|x >12} C. {x|x ≥12且x ≠2}D. {x|x >12且x ≠2} 4. 函数y =3−x2+2x+1的值域是 ( )A. (−∞,9]B. [9,+∞)C. (0,9]D. [0,9]5. 已知函数f(x)={1−x 2 (x ≤1),x 2+x −2 (x >1),则f(1f(2))的值为( )A. 1516 B. 89 C. −2716D. 186. 函数e|x|3x的部分图象可能是( )A.B.C.D.7. 已知函数f(x)=x 2−ax +4，若f(x +1)是偶函数，则实数a 的值为( )A. 1B. −1C. −2D. 28. 函数y =log 12(2x 2−3x +1)的递减区间为( ) A. (1,+∞)B. (−∞,34] C. (12,+∞) D. [34,+∞) 9. 若函数f(x)的定义域是[−1,4]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]10. 已知f(x)是R 上的偶函数，且在(−∞,0]是减函数，若f(3)=0，则不等式f(x)+f(−x)x<0的解集是( )A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(3,+∞)C. (−∞,−3)∪(0,3)D. (−3,0)∪(0,3)11. 已知奇函数f(x)是定义在(−2,2)上的减函数，则不等式f(x3)+f(2x −1)>0的解集是( )A. (−∞,37) B. [−12,+∞) C. (−6,−12) D. (−12,37)12. 已知y =f(x)是奇函数，且满足f(x +2)+3f(−x)=0，当x ∈[0,2]时，f(x)=x 2−2x ，则当x ∈[−4,−2]时，f(x)的最小值为 ( )A. −1B. 13C. −19D. 19二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f(x)=(m 2−m −5)x m−1是幂函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，则实数m的值为__________． 14. 已知集合，则A ∩B =______．15.lg32−lg4lg2+(27)23=________.16. 已知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=1−|x −1|，则方程f(f(x))=0根的个数为_____． 三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17. 已知R 为全集，A ={x|log 12(3−x)≥−2}，B ={x |5x+2≥1}． (1)求A ∩B ；(2)求(∁R A)∩B 与(∁R A)∪B ．18. 定义在R 上的奇函数f (x)，当x ≥0时，f (x)={−2x x+1,x ∈[0,1),1−|x −3|,x ∈[1,+∞),求函数F(x)=f (x)−1π的所有零点之和．19.已知f(x)=a⋅2x+a−2(x∈R)，若f(x)满足f(−x)+f(x)=0，2x+1(1)求实数a的值及f(3)；(2)判断函数的单调性，并加以证明．20.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5t2(万元)，(0<万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R(t)=6t−12 t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？21.已知函数f(x)=(x−2)|x+a|(a∈R).(1)当a=1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[−2,2]时，函数f(x)的最大值为g(a)，求g(a)的表达式．22.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a和b的值．(2)说明函数g(x)的单调性；若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．x，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>ℎ[lg(10a+9)]成立，求实数a(3)设ℎ(x)=f(x)+12的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：a =1，则a 2=1，不符合互异性； a =a 2，则a =1(不符合互异性)，或a =0； a =3，则a 2=9，成立； 故a =0或a =3时符合条件， 故选C ．本题考查元素与集合的关系，集合中元素的互异性，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|a −1≤x ≤2a −1}，B ⊆A ， ∴当B =⌀时，a −1>2a −1，解得a <0， 当B ≠⌀时，{a −1≤2a −1a −1≥−12a −1≤1，解得0≤a ≤1．综上，实数a 的取值范围是{a|a ≤1}． 故选：A ．当B =⌀时，a −1>2a −1；当B ≠⌀时，{a −1≤2a −1a −1≥−12a −1≤1，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查集合的包含关系、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：C解析： 【分析】考查函数定义域的概念及求法，属于基础题型．要使得原函数有意义，则需满足{2x −1≥02−x ≠0，解出x 的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则：{2x −1≥02−x ≠0, ∴x >12且x ≠2，∴原函数的定义域为.{x|x ≥12且x ≠2} ， 故选：C ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查了指数函数，二次函数的性质，是一道基础题．结合二次函数的性质求出指数的最大值，从而求出函数的值域即可． 【解答】解：令f(x)=1+2x −x 2=−(x −1)2+2， 故f(x)max =f(1)=2， 当x =1时，y 的最大值是9， 又当x ∈R 时，y =3x >0， 故函数y =3−x 2+2x+1的值域为(0,9]．故选C ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数求值，属于基础题．先求1f(2)的值．再根据所得值代入相应的解析式求值即可． 【解答】解：当x >1时，f(x)=x 2+x −2， 则f(2)=22+2−2=4， ∴1f(2)=14，当x ≤1时，f(x)=1−x 2， ∴f(1f(2))=f(14)=1−116=1516． 故选A ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的解析式，利用函数图象的特点进行排除是解决本题的关键．属于中档题.根据函数解析式，分别从对称性，单调性以及函数取值进行排除即可． 【解答】解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当x =1时，y =e3<1，排除A ， 当x →+∞时，e |x|3x →+∞，排除D ，故选：C ．7.答案：D解析： 【分析】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=x 2−ax +4的对称轴为x =a2， 因为f(x +1)是偶函数，所以a2−1=0，解得a =2， 故选D ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查函数的定义域、复合函数的单调性，属基础题． 【解答】解：由2x 2−3x +1>0，得函数的定义域为(−∞,12)∪(1,+∞)． 令t =2x 2−3x +1，则y =log 12t ． 因为t =2x 2−3x +1=2(x −34)2−18，所以t =2x 2−3x +1的单调增区间为(1,+∞).又y =log 12t 在(0,+∞)上是减函数， 所以函数y =log 12(2x 2−3x +1)的单调减区间为(1,+∞)． 9.答案：A解析：∵函数f(x)的定义域是[−1,4]，∴函数y =f(2x −1)的定义域满足−1≤2x −1≤4，∴0≤x ≤52， ∴y =f(2x −1)的定义域是[0,52]．10.答案：C解析：解：因为y =f(x)为偶函数，所以f(x)+f(−x)x<0等价为2f(x)x<0，所以不等式等价为{x >0f(x)<0或{x <0f(x)>0．因为函数y =f(x)为偶函数，且在(−∞,0]上是减函数，又f(3)=0， 所以f(x)在[0,+∞)是增函数，则对应的图象如图： 所以解得x <−3或0<x <3， 即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3)． 故选：C ．利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质，根据函数性质的综合应用，将不等式转化是解决本题的关键．11.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用问题，解题时应注意定义域的限制．利用函数是奇函数，将不等式转化为f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)，然后利用函数的单调性求解即可． 【解答】解：f(x)是奇函数，所以不等式f(x3)+f(2x −1)>0等价于 f(x3)>−f(2x −1)=f(1−2x)， 又f(x)是定义在(−2,2)上的减函数， 所以{−2<x3<2−2<1−2x <2x3<1−2x ，即{−6<x <6−12<x <32x <37，解得−12<x <37， 则不等式的解集为(−12,37). 故选：D ．12.答案：C【分析】定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+3f(−x)=0，可得出f(x)=13f(x+2)，由此关系求出求出x∈[−4,−2]上的解析式，再配方求其最值本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，且由此关系求出x∈[−4,−2]上的解析式，做题时要善于利用恒等式．【解答】解：由题意定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+3f(−x)=0，即f(x+2)=3f(x)，任取x∈[−4,−2]，则f(x)=13f(x+2)=19f(x+4)由于x+4∈[0,2]，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，故f(x)=13f(x+2)=19f(x+4)=19[(x+4)2−2(x+4)]=19[x2+6x+8]=19[(x+3)2−1]，x∈[−4,−2]当x=−3时，f(x)的最小值是−19，故选C．13.答案：3解析：【分析】本题考查幂函数．根据幂函数的定义可得=1，解得m=−2或m=3，检验得结果．【解答】解：由幂函数的定义得=1，解得：m=−2或m=3，当m=−2时，f(x)=x−3，不符合x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，所以m=3．故答案为3．14.答案：{1,6}【分析】本题主要考查集合的运算，属于基础题．直接利用交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合，A∩B={1,6}．故答案为{1,6}．15.答案：12解析：【分析】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题．根据指数与对数的运算性质求解．【解答】解：lg32−lg4lg2+(27)23=lg8lg2+(33)23=3lg2lg2+32=3+9=12．故答案为12．16.答案：5解析：【分析】本题考查函数的性质的应用，函数的零点．令f(x)=t，根据已知及偶函数的性质解得t=0或2或−2，再分别求解f(x)=0或2或−2即可．【解答】解：当x≥0时，f(x)=1−|x−1|，令f(x)=t则方程f(f(x))=0，即为f(t)=0，所以t⩾0时，f(t)=1−|t−1|=0，解得t=0或2，因为函数f(x)为偶函数，所以t=−2也为f(t)=0的解，令f(x)=0，解得x=0或2或−2，令f(x)=2，无解令f(x)=−2，则1−|x−1|=−2解得x=4，根据函数f(x)为偶函数，x=−4也为f(x)=−2的解，综上方程f(f(x))=0根的个数为5．故答案为5．17.答案：解：(1)由，得{3−x >0,3−x ⩽4.即A ={x|−1≤x <3}． 由5x+2≥1，得x−3x+2≤0，即B ={x|−2<x ≤3}，所以A ∩B ={x|−1≤x <3}．(2)因为∁R A ={x|x <−1或x ≥3}， 故(∁R A)∩B ={x|−2<x <−1或x =3}，则(∁R A)∪B =R ．解析：本题主要考查了交，并，补集的混合运算，以及对数函数的性质，属于中等题；(1)根据条件得到A ={x|−1≤x <3}和B ={x|−2<x ≤3}即可得到A ∩B ；(2)根据集合的定义可得(∁R A)∩B 与(∁R A)∪B ．18.答案：解：由题意知，当x <0时，f (x)={−2x 1−x ,x ∈(−1,0)|x +3|−1,x ∈(−∞,−1]作出函数f (x)的图象如图所示，设函数y =f (x)的图象与y =1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1+x 2=−6，x 4+x 5=6，x 1+x 2+x 4+x 5=0，令−2x 1−x =1π，解得x 3=11−2π，所以函数F(x)=f (x)−1π的所有零点之和为11−2π．解析：本题主要考查函数奇偶性，分段函数模型，由函数奇偶性可得x <0时函数f(x)的解析式，作出函数f (x)的图象，根据图象结合函数的对称性质列式解答即可．19.答案：解：(1)∵f(−x)+f(x)=0，且x ∈R ，∴函数f(x)是奇函数，则f(0)=a⋅20+a−220+1=0， 解得a =1，则f(x)=2x −12x +1， 所以f(3)=23−123+1=79； 证明：(2)f(x)是R 上的增函数，设x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1+1−2x 2−12x 2+1 =(2x 2+1)(2x 1−1)−(2x 1+1)(2x 2−1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2⋅2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 1−2x 2<0，∵2x 1+1>0，且2x 2+1>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在R 上是增函数．解析：(1)由题意和奇函数的定义判断出f(x)是奇函数，根据奇函数的性质得：f(0)=0，列出方程求出a 的值，代入f(x)求出f(3)；(2)先判断出函数的单调性，根据函数单调性的定义，以及步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明即可．本题考查了奇函数的定义与性质，函数单调性的定义，以及证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，考查化简、变形能力．20.答案：解：(1)当0<x ≤5时，f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5， 当x >5时，f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ， 即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5), (2)当0<x ≤5时，f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458， ∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数，f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5．又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625．故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．21.答案：解：(1)a =1时，f(x)=(x −2)|x +1|，当x ≤−1时，f(x)=−(x −2)(x +1)=−x 2+x +2，此时函数为增函数；当x >−1时，f(x)=(x −2)(x +1)=x 2−x −2，此时函数在(−1,12]上为减函数，在[12,+∞)上为增函数，综上可得：当a =1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1]，[12,+∞)；(2)当x ∈[−2,2]时，函数f(x)={−(x −2)(x +a),x <−a (x −2)(x +a),x ≥−a， ①当−a ≤−2，即a ≥2时，若x ∈[−2,2]，则f(x)=(x −2)(x +a )，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；②当−a ≥2，即a ≤−2时，若x ∈[−2,2]，则f (x )=−(x −2)(x +a )，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；③当−2<−a <2，即−2<a <2时，若x ∈[−2,2]，则f(x)≤0，故g(a)=f(2)=0；综上可得：g(a)=0．解析：本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数的最值及其几何意义，难度中档．(1)a =1时，f(x)=(x −2)|x +1|，分段讨论可得函数的单调递增区间；(2)当x ∈[−2,2]时，函数f(x)={−(x −2)(x +a),x <−a (x −2)(x +a),x ≥−a，分段讨论可得函数f(x)的最大值g(a)的表达式．22.答案：解：(1)由g(0)=0得，a =1，则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，故a =1，由f(−1)=f(1)得，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，故b =−12，经检验f(x)是偶函数∴a =1，b =−12…(4分)(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，t ∈[0,+∞)恒成立即3t 2−2t >k ，t ∈[0,+∞)恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13…(9分)(3)ℎ(x)=lg(10x +1)，ℎ(lg(10a +9))=lg[10lg(10a+9)+1]=lg(10a +10)则由已知得，存在x ∈(−∞,1]，使不等式g(x)>lg(10a +10)成立，而g(x)在(−∞,1]单增，∴g max (x)=g(1)=32∴lg(10a +10)<32=lg1032=lg 10√10 ∴10a +10<10√10又a <√10−1又∵{10a +9>010a +10>0∴a >−910∴−910<a <√10−1…(14分)解析：(1)由函数g(x)=4x −a2x 是奇函数，f(x)=lg(10x +1)+bx 是偶函数，可得g(0)=0，f(−1)=f(1)，进而可得a 和b 的值．(2)g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．若g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，则3t 2−2t>k，t∈[0,+∞)恒成立，令F(x)=3t2−2t，求其最值，可得答案；(3)ℎ(x)=lg(10x+1)，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>lg(10a+10)成立，则lg(10a+10)<3=lg1032=lg10√10，解得答案．2本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性，存在性问题，对数函数的图象和性质，难度中档．。

江苏省南通中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则A B=U ▲ ． 2．下列四个图像中，是函数图像的是 ▲ ．3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 4．函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点 ▲ ．5．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．8． 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． 11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是▲ ．12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取 值范围是 ▲ ．13．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)， 则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A＝{|x y =，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ；(2)求A B U ，A B R I ð． 16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()g x h x =在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．17．（本题满分14分）函数lg ,(10)()(4)1,(10)2x x g x ax x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩ (1)若(10000)(1)g g =，求a 的值；(2)若()g x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围．18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （*x ∈N ）台的收入函数为2()300020R x x x =-（单 位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；(2)利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值？说明理由．19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． (1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若A =∅，求集合B .高一数学期中考试参考答案（考试时间120分钟，满分160分）3．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋4＝0}，则A ∩B ＝ ▲ ．(){}2,2--4．函数()110,1x y a a a -=+>≠过定点 ▲ ．()1,25．已知函数1)(3++=bx ax x f ，且()f a -=6，则()f a ＝ ▲ ．4-6．若()22144f x x x +=+，则()f x 的解析式为 ▲ ．2()1f x x =-7．设函数22,0()log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a = ▲ ．2-或168． 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时有()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当0x <时()f x =▲ ．3()2x f x x =--9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(),1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，那么a 的取值集合是 ▲ ．{}2-10．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]，则(1)2y f x =+-的值域为 ▲ ． [1,0]-11．若函数231()54x f x x ax +=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．44,55-⎛⎫⎪⎝⎭12．函数()221f x x x a =-+-存在零点01,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则实数a 的取值范围是 ▲ ． []0,213．定义在区间[]2,2-上的奇函数()x f ，它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1)， 则不等 式()()f x f x x -->的解 集为 ▲ ．[2,1)(0,1)--U 14．若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈=∉⎧⎨⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ▲ ．{}012x x x ≤≤=或二．计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知集合A ＝{}2|x y x x =-，{}21,B y y x x x ==++∈R ．(1)求A ,B ；(2)求A B U ，A B R I ð．解 (1)由x (x －1)≥0，解得0x ≤或1x ≥，所以(,0][1,)A =-∞+∞U ．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.……………………………7分(2)因为∁R B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A ∪B ＝(,0][,)34-∞+∞U ，A ∩(∁R B )＝(,0]A =-∞.………14分16．（本题满分14分）已知函数()12()51m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数()()12()g x h x h x =-在10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．解 (1) 0m = ……………………………………………………………6分(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………………………………………………14分17．（本题满分14分）函数lg,(10)()(4)1,(10)2x xg x ax x>⎧⎪=⎨--≤⎪⎩(1)若(10000)(1)g g=，求a的值；(2)若()g x是R上的增函数，求实数a的取值范围．解 (1)2a=-……………………………………………………………6分(2) a的取值范围为38,85⎡⎫⎪⎢⎣⎭………………………………………………14分18．（本题满分16分）在经济学中，函数()f x的边际函数()Mf x定义为()(1)()Mf x f x f x=+-，某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（*x∈N）台的收入函数为2()300020R x x x=-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x=+（单位：元），利润是收入与成本之差．(1)求利润函数()P x及边际利润函数()MP x；(2)利润函数()P x与边际利润函数()MP x是否具有相同的最大值？说明理由．……8分……16分19．（本题满分16分）已知函数2))(1()(x a x x x f ++=为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系；(3)令2()()h x x f x ax b =++，若集合{}()A x x h x ==，集合(){}B x x h h x ==⎡⎤⎣⎦，若A =∅，求集合B .解: （Ⅰ）)(x f Θ为偶函数（Ⅲ）22()()11h x x ax b x ax b =++=++--若存在x ，使()h x x ≤，则由2() 1 (,)h x x ax b a b =++-∈R 开口向上，因此存在x ，使()h x x >，于是()f x x =有实根∵A =∅ ∴()h x x >∴()()h h x h x x >>⎡⎤⎣⎦，于是()h h x x =⎡⎤⎣⎦无实数根即B =∅．………………………………………………………………16分 20．（本题满分16分）函数f (x )＝x n＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1,1]有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n＋x －1. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12×1＜0.∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在零点．……………………3分又任取12112x x <<<，∵()()21122112122()11()1()0n n n nf x x x x x x f x x x x x =+--+-=⎡⎤⎛⎫⎢⎥--+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调递增的， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点．………………………………………………8分 (2)当n ＝2时，f (x )＝x 2＋bx ＋c .对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4等价于f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4. ………………………10分 据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2＞1，即|b |＞2时，M ＝|f (1)－f (－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾．②当－1≤－b2＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋12≤4恒成立．③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时， M ＝f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－12≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2. ……………………………………………………………16分注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．。