平面的基本性质

《平面的基本性质》教学设计第1课时◆教学目标了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用；会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换．◆教学重难点◆教学重点：掌握平面的基本事实及推论．教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力．问题1：观察如图11－2－2，的凳子，把凳子看成一个平面，思考（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定制定的两点？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习平面的基本事实与推论.（板书：平面的基本事实与推论）【新知探究】问题2：确定平面的依据是什么？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：基本事实1的作用是什么？预设的答案：基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A ，B ，C 的平面，通常记作平面ABC ，用图象直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面α可以看成由不共线的3点A ，B ，C 确定的，此时显然有：,,A B C ααα∈∈∈(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面设计意图：通过对生活简单事实出发，通过观察分析归纳出平面基本事实．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题3：尝试与发现：这就是说，如果A B αα∈∈， ，那么直线AB α∈，如图11－2－4所示．师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实2的作用是什么？预设的答案：基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A ∈α，B ∈α⇒AB ⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面．例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：如图11－2－6所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的．（1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？（2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实3的作用是什么？预设的答案：基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有,A a a αβ∈=；（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于PC ；(2)平面ABD 与平面BCD 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC ．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC ．用图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD ．平面ABC ∩平面ADC ＝AC ．图形表示如图②.设计意图：用符号语言表示语句． 例2. 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：证明：设直线,,AB BC AC 两两相交，交点分别是,,A B C显然，,,A B C 3点不共线，因此它们能确定一个平面α.因为,,A B αα∈∈ 那么直线AB α⊂同理,AC BC αα⊂⊂即直线,,AB BC AC 都在平面α内.设计意图：基本事实1的运用．例3. 如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上的一点，试说明1,,D A E 3点确定的平面与平面ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD所以面1D AE ABCD ≠∅，即面1D AE 与面ABCD 相交．延长1D E 与DC ，设它们相交于F ，如图所示，则：F ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ．F ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ．则F ∈面1D AE 面ABCD ，从而AF 为面1D AE 与面ABCD 的交线，如图所示.设计意图：基本事实3的运用．【课堂小结】问题：（1）三个基本事实的作用有哪些？（2）证明几点共线的方法有哪些？（3）证明证明多线共点的方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．三个基本事实的作用基本事实1——判定点共面、线共面的依据；基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面的基本事实的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合设计意图：基本事实的运用．2. 若A ∈平面α，B ∈平面α，C ∈直线AB ，则( )A ．C ∈αB ．C ∉α C ．AB ⊄αD ．AB ∩α＝C设计意图：用符号语言表示语句．3. 经过空间任意三点作平面( )A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个设计意图：基本事实的运用．4. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中．画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．设计意图：基本事实的运用．5. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．设计意图：基本事实的运用．参考答案： 1. D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面；B 错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C 错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D 正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．2. A 因为A ∈平面α，B ∈平面α，所以AB ⊂α.又因为C ∈直线AB ，所以C ∈α.3. D 当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．4. 如图，∵AC BD O ⋂=，1C DC E ⋂=．∴O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ．又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ．∴平面 1AC ⋂平面11BC D OC =．同理平面1ACD ⋂平面1BDC OE =．A A 15. 在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ．同理FG ∥BD ，则EH ∥FG .故E ，F ，G ，H 四点共面．。

平面的基本性质【知识要点】一、平面的概念及点、线、面的表示方法二、熟悉点线面的基本公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线三、点共线，线共点的证明四、点线共面的证明【基础练习】1．点A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（ ）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,B ．βα∈∈A A ,，,B B AB αβαβ∈∈⇒=I 直线C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2. ．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ）（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）【典型例题】题型一点、线共面问题例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b. 求证：a,b及直线AB，AC共面。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

题型二线共点问题例3. 已知如图，α∩β=l, aα, bβ, a∩b=A. 求证：A∈l（或者a,b,l共点）题型三点共线问题例4 . 如图，已知延长ΔABC三边，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。

高中数学《平面的基本性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解并掌握平面的基本性质，包括平面的定义、平面的表示方法、平面的性质等。

2. 培养学生运用平面性质解决实际问题的能力。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 平面的定义与表示方法2. 平面的性质3. 平面的基本性质的应用三、教学重点与难点：1. 重点：平面的基本性质2. 难点：平面的性质的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平面的基本性质。

2. 利用多媒体课件，直观展示平面的性质，帮助学生理解。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考平面的定义和表示方法。

2. 新课讲解：讲解平面的基本性质，引导学生通过图形直观理解。

3. 案例分析：分析实际问题，运用平面性质解决问题。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，总结平面的性质，并分享讨论成果。

5. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识。

6. 总结：对本节课内容进行总结，强调平面的基本性质及其应用。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 课后作业：通过布置与本节课内容相关的课后作业，评估学生对平面基本性质的理解和掌握程度。

2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对平面性质的应用能力。

3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。

4. 单元测试：进行单元测试，全面评估学生对平面基本性质的掌握情况。

七、教学资源：1. 多媒体课件：制作包含图形、动画和实例的课件，帮助学生直观理解平面的基本性质。

2. 练习题库：准备丰富的练习题，包括不同难度的问题，以便进行课堂练习和课后作业。

3. 教学指导书：查阅相关的教学指导书，为教学提供理论和实践的支持。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍平面的定义与表示方法。

2. 第二课时：讲解平面的性质。

3. 第三课时：分析实际问题，运用平面性质解决问题。

平面的基本性质(1)【教学目标】1.了解平面的概念,会用符号语言、图形语言表示空间中的点、直线、平面的位置关系；2.了解平面的基本性质和三个公理，并通用其解释生活中的一些具体问题；3．通过对三个公理的文字语言、图形语言和符号语言的互译，培养学生的语言转换能力；4．通过平面的概念和三个公理的文字叙述培养学生的观察能力和空间想象能力．【过程方法】1．通过师生之间、同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯；2．通过平面概念的学习，掌握点、线、面之间的内在联系．【教学过程】一、引言平面几何----研究内容是平面图形，即由一个平面内的点、线所构成的图形，研究它们的形状、大小和位置关系、画法、计算以及它们的应用．立体几何-----空间图形，由空间的点、线、面构成．研究对象-----空间图形；研究内容-----性质、画法、计算、证明及应用．二、平面的概念1．实例：桌面、黑板面、平静的水面等．2．平面是一个只描述而不定义的最基本的的概念（和直线类比）．注：平面是无限延展的，没有厚薄、大小和面积．3．平面的画法⑴单个平面水平 竖直⑵两个平面（平行或相交）注：①被遮住的部分用虚线或不画；②平行四边形表示的平面可以扩展；③画非水平平面时，只须画成平行四边形即可，画直立平面要有一组对边为铅垂线．4．平面的表示法(1)平面α，β，γ或平面ABCD 或平面AC ；(2)点用大写字母A ，B ； (3)直线用小写字母l ，m ，n 或用AB ．5．空间的点、直线和平面的位置关系的符号表示如下：三、平面的基本性质基本事实1．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理1用符号表示为：⎭⎬⎫A ∈ αB ∈ α ⇒ 直线AB ⊂ α．基本事实2．如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 公理2用符号表示为：⎭⎬⎫P ∈ α P ∈ β ⇒ α ∩ β = m ，且P ∈m ． 基本事实3．经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 三个推论理解注：“有且只有”的含义：“有”说明存在；“只有”说明唯一． 【当堂训练】1．分别将下列文字语言转化为符号语言：①点A在平面α内，但不在平面β内：；②直线m经过平面α外一点M：；③直线m既在平面α内，又在平面β内：．2．下列命题中，正确的个数有个．①平静的水面可以看成一个平面；②一本平整的书有100张纸装订而成，其厚度是1cm，则每一张纸对应的平面的厚度是0.1mm；③有一个平面的长是5cm，宽是4cm；④已知立几图形中，线段AB在平行四边形内，则直线AB一定也在平面α内．3．点M在直线l 上，l在平面α内，则M，l，α的关系是．4．已知点A，B均是平面α，β的公共点，则有．5．已知空间不共面的四点，过其中的任意三点可确定一个平面，由这四个点可确定个平面．6．空间不重合的三个平面可以将空间分成个部分．7．如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否确定平面？8．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？9．证明三角形一定是平面图形．10．三个平面两两相交，共有几种情况？请分别画出它们的直观图．。

§5.1 平面基本性质与推论NO.26 【基础知识梳理】1. 平面的性质及推论⑴判断直线在平面的依据公理1：如果一条直线上的_____点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说，直线在平面内或平面经过直线.用符号表示为：________________________.⑵确定平面的条件公理2：经过______________________的三点，有且只有一个平面.也可以简单地说成，_____的三点确定一个平面. 用符号表示为：________________________.推论1：经过一条直线和直线____一点，有且只有一个平面. 用符号表示为：___________.推论2：经过两条_______直线，有且只有一个平面. 用符号表示为：___________.推论3：经过两条_______直线，有且只有一个平面. 用符号表示为：___________.⑶判断两个平面有交线及交线位置的依据公理 3. 如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们_____________________过这个点的公共直线. 用符号表示为：______________________________.2. 点、线、面之间关系的符号表示：点A在直线a上，记作________________,点A不在直线a上，记作：______________；点A在平面α内，记作________________, 点A不在α内，记作________________；直线l在平面α内，记作________________, 直线l不在α内，记作________________.【基础知识检测】1. 若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可表示为（）A. M∈b∈βB. M∈b⊆βC. M⊆b⊆βD. M⊆b∈β2. 下列命题：⑴空间不同的三点确定一个平面；⑵有三个公共点的两个平面必重合；⑶空间两两相交的三条直线确定一个平面；⑷三角形是平面图形；⑸平行四边形、梯形都是平面图形；⑹垂直于同一直线的两直线平行；⑺一条直线和两条平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑻两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是_______.3. 直线AB,AD⊆α,直线CB,CD⊆β,E∈BC,F∈AB,G∈CD,H∈DA,若直线EG⋂直线FH=M,则点M必在直线__________上.【典型例题探究】题型1. （点线共面问题）两两相交且不共点的三条直线必共面.变式训练：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.题型2. （三点共线、三线共点问题）已知△ABC 在平面α外，它的三边所在直线分别交α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.变式训练：已知在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD 上的点，且32GD CG CB CF ==，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.题型3 （平面基本性质的应用）如图正方体的棱长为4，M 、N 分别是A 1B 1和CC 1的中点. 画出过点D 、M 、N 的平面与平面BB 1C 1C 及平面AA 1B 1B 的两条交线.变式训练：正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。