复旦大学大学物理 1-5 第5章 角动量变化定理与角动量守恒

F P
t2
力 动量
力矩 角动量
Fdt 力的冲量
t1
Mdt 力矩的冲量 t1 或者角冲量
§5.3有心运动
一、有心力的基本性质 有心力 : 质点所受力的作用线始终通过定点，定点 为力心。 如万有引力
可写成： F f ( r )e r
有心力又分为引力、斥力；
F
有心运动: 质点在有心力作用下的运动叫有心运动。
L
O
方向不变
L
r
m

v

v
r
三、质点角动量变化定理
=
由动量定理:
定义合力对参考点O的力矩：
O
质点的角动量定理：质点所受合力对某固定参考点 的力矩等于质点对同一参考点的角动量的变化率。
角动量定理是描述质点转动的动力学方程 (微分形式)
(积分形式) 称合力矩在 时间内的力矩的冲量。
[例] : 一条缆索绕过一定滑轮拉动一重物,滑轮半
径r为 0.5m, 如果重物从静止开始以
a 0.4 m
s
2
匀加速上升，求：
r
(1) 滑轮的角加速度；(2) 开始上升后，5 秒末滑轮的角速度；(3) 在这5 秒内滑轮 转过的圈数；(4) 开始上升后，1 秒末滑 轮边缘上一点的加速度(不打滑) 。 (1) 轮缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等 a 0 .4 0 . 8 ( rad 2 ) s 0 .5 r
(2)
a
t 0.8 5 4(rad s )
(3)
1 2 1 t 0.8 52 10 ( rad ) 2 2 10 N 1 .6 2
r
(4) 开始上升后，1 秒末滑轮边缘上一点的加速度
t 0.8 rad / s
' '
[例] 将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形碗的内面水平 地投射, 碗保持静止, 如图, 设 v0 是质点恰好能达到碗口所 需的初速率. (1) 试说明质点为什么能到达碗口? (2) 求 v0 z 与 0 的关系。 (0 是质点的初始角位置) (1) 当 Ncos 0> mg 时，质点将 向上加速，向碗口运动。 (2) 质点的角动量不守恒。 o o’
一、角动量（动量矩）
引入质点相对于参 考点O的角动量：
m
r
r
m

O
大小： 方向：右手螺旋
O
分量式：
即质点角动量的三个分量。
讨论
（1）质点对点的角动量，不但与质点 运动有关，且与参考点位置有关。
(2）做匀速圆周运动时，由于 r v ，质点对圆心 的角动量大小为 L rmv
大小不变
an r
2 n
at a r 0.4 m / s
2 t

' 2
0.32 m / s 2
2

a a a 0.51 m
合加速度的方向与 轮缘切线方向夹角
an arctan 38.7 0 at
s
2


a
a
at

an
二、质点的角动量
动量 动量定理 和 动量守恒定律 用于描述平动问题，但不能描述转动问题。
Z
Fz
F Fx
（1）M Z
rFx sin Fx d
转动 平面
（2） Fz 对转轴的力矩为零 在定轴转动中不予考虑。
r
四、质点角动量守恒定律
若
则
(恒矢量)
各分量具有独立性： 时， 时， 时，
在中心力场中，相对于力心的角动量守恒
M
F
m
开普勒第二定律——面积定律
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
§5.1 质点的角动量与力矩
一、转动的描述 角量
转动平面内：取转心O，参考轴x 1. 角位置与角位移 P点：角位置 角位移 转动平面 O’ O P x
2. 刚体的角速度 角加速度 大小： 方向： 角速度 的方向:右手螺旋
角加速度： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。
0
P
但 Mz=0，则 Lz为常量，且系统的机械能守恒。
讨论 1）角动量守恒定律的条件
M 0
2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律 如行星运动 动量不守恒 角动量守恒
3） 有心力: 力始终过某一点
o
M 0
角动量守恒
F
行星在速度和有心力所组成的平面内运动 4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不仅 适用于宏观体系，也适用于微观系统。
3线量与角量的关系：
切向加速度：
法向加速度：
3.14159265 1.5708rad 90 180 2 2
o


对于匀角加速转动，则有： 匀加速直线运动：
式中：
是 t =0 时刻的角速度和角位置。
说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量， 但不同位置的质点具有不同的线量。


盘状星系 角动量守恒的结果
WZ-10直升飞机
角动量定理.
LN f F N’
mg
机翼：
ᇱ
机翼受到的摩擦力力矩 发动机给机翼的驱动力矩 机翼给发动机的一个反向驱动力矩 尾桨给机身驱动力矩
抵消 抵消
直升机旋翼水平旋转提供升力
尾桨抵消反扭力
直升机通过将旋翼前倾产生推力
V-22 鱼鹰（偏转翼飞机）
关于力矩的说明
F 对O 点的力矩：
（一）如果力在转动平面内
M r F M rF sin Fd
是转轴到力作用线的距离，称为力臂。
d r sin
M

F
r
（二）如果力不在转动平面内
M r F r ( Fx Fz ) r Fx r Fz
k dr （ 1） E p 2 r r k k r r r

v v0 b R O
（2）由机械能守恒和角动量守恒得：
1 1 k 2 2 mv0 mv 2 2 R
(1)
mv0 b mvR (2)
R, v
课后作业 第五章 5.4，5.5，5.8
若
则
——质点系角动量守恒定律
质点系的角动量定理
讨论 动量定理 dP F dt t2
比较 角动量定理 dL M dt t2
t1

t1
Fdt Δ P
M dt Δ L
M 0, L 0
M L
t2
F 0, P 0
两个守恒量： 1、机械能守恒
W F (r )dr
r1
r2
有心力所做的功与路径无关， 有心力是保守力 2、角动量守恒 有心力的力矩为零 角动量方向不变 角动量大小不变
r1 r2
M r F 0
质点的运动轨道始终 在一个平面内 掠面速度不变
例：图中O为有心力场的力心，排斥力于距离平方成反 比：f = k/r2（k为一常量） 求：(1) 此力场的势能 (2) 一质量为m的粒子以速度v0、瞄准距离b从远处 入射，求它能达到的最近距离和此时的速度。
§5.2 质点系的角动量变化定理
一、作用于质点系的力矩
x
z
c
O y
1. 重力矩
质心 c
2. 内力矩 i i、j 对支点O的力矩 O j

质点系内力矩的矢量和为零。
二、质点系的角动量变化定理
对参考点O ，质点系的总角动量：
O
=
࢏由质点系动量定理外 Nhomakorabea 内力质点系内力矩的矢量和为零。
质点系的角动量定理

(常量)
M
F
m
[例]:光滑的桌面上质量m的球以v1 的速度作半径为
r1的匀速圆周运动，当穿过小孔的绳子将桌面上的 绳子拉成 r2 时，小球的速率？
L
L 常量
即： mv2 r2
v1
r
F
mv1r1
1 1 2
vr v r
2
[例] 发射宇宙飞船去考察一质量为 m1、半径为 R 的行星， 当飞船静止于距行星中心 4R 处时，以速度 发射一质量 为 m2 (m2远小于飞船质量)的仪器, 要使仪器恰好掠着行星 的表面着陆，发射角θ应是多少? 着陆滑行初速度 v 多大? 有心力场中, 运用角动量 守恒和(m1 , m2 )系统机 械能守恒定律： R o