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转动动能定理、角动量守恒原理一，转动动能定理：1， 力矩的功设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义：相应的元功为：ϕθϕθMd Frd ds F ds F dA o ==-⋅=⋅=sin )90cos(所以力矩的功为：⎰⎰==21ϕϕϕMd dA A2， 转动动能定理设M 为作用刚体上的合外力矩。
将转动定律应用于功的定义中：222121)(0ωωωωϕωϕβϕωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====⎰⎰⎰⎰ 所以转动动能定理为：222121ωωϕJ J Md -=⎰ 说明，（1）⎰ϕMd 为合外力矩的功，是过程量221ωJ E K =为刚体在t 时刻的转动动能。
是时刻量。
（2）其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系，同一转轴。
【例】：质量为m 长度为l 的匀质细棒，可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动，求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。
解：取细棒为研究对象，视之为刚体。
细棒下摆到 任意θ位置时受外力有：重力mg ，端轴支持力N (对o 不成矩) 。
由功的定义：2cos 2)90sin(2900l mg d l mg d lmg Md o o ===-=⎰⎰⎰θθθθθ由转动动能定理：lgml J l mg 331210212222=∴⎪⎭⎫⎝⎛=-=ωωω二，角动量守恒定律设M 为作用于刚体的合外力矩，由定轴转动定律：dtdLdt J d dt d J J M ====)(ωωβ 所以，刚体定轴角动量定理为00L L dL Mdt LL tt -==⎰⎰特别当整个过程中合外力矩为零时，刚体的角动量守恒。
即刚体定轴转动角动量守恒定律为：常矢==L M 0说明：（1）刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。
（2）守恒式各量（M 、J 、ω）均需是对同一惯性系中的同一转轴。
（3）⎩⎨⎧==都变，但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L（4）角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
刚体的角动量及守恒定律
一、选择题
1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举二哑铃。
在该人把此二哑
铃水平收缩到胸前的过程中，对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说，正确的
是： 。
A.机械能守恒，角动量守恒；
B.机械能守恒，角动量不守恒；
C.机械能不守恒，角动量守恒；
D.机械能不守恒，角动量不守恒；
2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
(A) 刚体不受外力矩的作用．
(B) 刚体所受合外力矩为零．
(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零．
(D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变．
3、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今
有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，
在碰撞中守恒的量是 。
(A) 动能． (B) 绕木板转轴的角动量．
(C) 机械能． (D) 动量．
4、光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细
杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同
速率v 相向运动，如图所示。
当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与
杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。
(A)
L 32v ． (B) L
54v ． (C) L 76v ． (D) L
98v ． (E) L 712v ． 5、如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O
旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。
(A) 只有机械能守恒．
(B) 只有动量守恒．
(C) 只有对转轴O 的角动量守恒．
(D) 机械能、动量和角动量均守恒．
6、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直
光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地
面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向
分别为 。
(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作
系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统 。
(A) 动量守恒．
(B) 机械能守恒．
O
v
俯视图
(C) 对转轴的角动量守恒．
(D) 动量、机械能和角动量都守恒．
(E) 动量、机械能和角动量都不守恒．
8、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为23
1ML 。
一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2
1，则此时棒的角速度应为 。
(A) ML m v ． (B) ML
m 23v ． (C) ML
m 35v ． (D) ML m 47v ． 9、一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，
(A) 它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变．
(B) 它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小．
(C) 它受热或遇冷时，角速度均变大．
(D) 它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大． 10、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转
动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反
并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω 。
(A) 增大． (B) 不变．
(C) 减小． (D) 不能确定．
二、填空题
1、力矩的定义式为______________________________________________。
在力
矩作用下，一个绕轴转动的物体作__________________________运动。
若系统所
受的合外力矩为零，则系统的________________________守恒。
2
、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每10 s 转一周，转台对轴的转动惯量为1200 kg ·m 2。
质量为80kg 的人，开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台中心2m 时， 转台的角速度为__________________。
3、如图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而
嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的
______________守恒，原因是_______________木球被击中后棒和球升
高的过程中，木球、子弹、细棒、地球系统的__________守恒。
4、有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴OO ＇转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(r ＜R )，转台和人一起以ω1的角速度
转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转
台和人一起转动的角速度ω2＝______________。
5、在一水平放置的质量为m 、长度为l 的均匀细杆上，套着一质量也为m 的套管B (可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO ＇的距离为l 21，杆和套管所组成的系统以角速度ω0绕OO ＇轴转动，如图所示。
若在转动过程中细线被拉断，
套管将沿着杆滑动．在套管滑动过程中，该系统转动的角速度ω
与套管离轴的距离x 的函数关系为_______________。
(已知杆本身对OO ＇轴的转动惯量为231ml )
俯视图
m m 1
6、质量为m 、长为l 的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴O 在水平面内自由转动(转动惯量J ＝m l 2 / 12)．开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m ，在水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中．则子弹嵌入后棒的角速度ω ＝_____________________。
7、一飞轮以角速度ω0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J 1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝__________________。
8、长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为231Ml ，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入杆上A 点，并嵌在杆中，OA ＝2l / 3，
则子弹射入后瞬间杆的角速度ω ＝____________________。
三计算题
1、如图所示，一半径为R 的匀质小木球固结在一长度为l
的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一质量为m ，速度为0v 的子弹，沿着与水平面成α角的方向射向球心，且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过O 的水平轴的转动惯量的总和为J ．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．
2、一均匀木杆，质量为m 1 = 1 kg ，长l = 0.4 m ，可绕通过它的中点且与杆身垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动．设杆静止于竖直位置时，一质量为m 2 = 10 g 的子弹在距杆中点l / 4处穿透木杆(穿透所用时间不计)，子弹初速度的大小v 0 = 200 m/s ，方向与杆和轴均垂直．穿出后子弹速度大小减为v = 50 m/s ，但方向未变，求子弹刚穿出的瞬时，杆的角速度的大小．(木杆绕通过中点的垂直轴的转动惯量J = m 1l 2 / 12)
3、一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一
粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过
其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为
m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘
边上，求 (1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．
(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为
221MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩) m 0 俯视图。
