江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备四二级结论巧用学案

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--分类讨论思想注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答、实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略、分类原那么：(1)所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3)对多级讨论，应逐级进行，不能越级、讨论的基本步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2)确定分类的标准，进行合理的分类；(3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4)总结概括，得出结论、引起分类讨论的常见因素：(1)由概念引起的分类讨论；(2)使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3)由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论、简化和避免分类讨论的优化策略：(1)直接回避、如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2)变更主元、如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3)合理运算、如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4)数形结合、利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论、注：能回避分类讨论的尽可能回避、1.一条直线过点(5,2)且在x 轴，y 轴上截距相等，那么这直线方程为________、2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，那么它的体积为________.3.函数f(x)＝ax 2－a a ＋1x ＋12a ＋1的定义域为一切实数，那么实数a 的取值范围是________、4.数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n －1(n ∈N *)，那么其通项a n ＝________.【例1】在△ABC 中，sinB ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长、【例2】解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)、【例3】设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n>0(n＝1,2，…)、(1)求q的取值范围；(2)设b n＝a n＋2－a n＋1，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小.【例4】函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)假设h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围、1.(2017·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，那么该双曲线的离心率为________、2.(2017·辽宁)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x>1，那么满足f(x)≤2的x 的取值范围是________、3.(2017·江苏)实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1，假设f(1－a)＝f(1＋a)，那么a 的值为________、4.(2017·福建)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋lnx ，x>0，的零点个数为________、5.(2017·江西)设f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx.(1)如果g(x)＝f ′(x)－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m ＋n<10(m ，n ∈N ＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值、(注：区间(a ，b)的长度为b －a)6.(2017·江苏)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f ′(x)、如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x ∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f ′(x)＝h(x)(x 2－ax ＋1)，那么称函数f(x)具有性质P(a)、设函数f(x)＝lnx ＋b ＋2x ＋1(x>1)，其中b 为实数、(1)求证：函数f(x)具有性质P(b);(2)求函数f(x)的单调区间、(2017·南通)(本小题总分值16分)各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c,2S n ＝a n a n ＋1＋r.(1)假设r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？假设能，求c 满足的条件；假设不能，请说明理由、(2)设P n ＝a 1a 1－a 2＋a 3a 3－a 4＋…＋a 2n －1a 2n －1－a 2n ，Q n ＝a 2a 2－a 3＋a 4a 4－a 5＋…＋a 2na 2n －a 2n ＋1，假设r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立、(1)解：n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵a 1＝c ≠0，∴2c ＝ca 2＋r ，a 2＝2－rc .(1分) n ≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，①2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)、∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝2.(3分)那么a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)、 a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…成公差为2的等差数列，a 2n ＝a 2＋2(n －1)、 要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1.即2－rc －c ＝1，r ＝c －c 2.(4分) ∵r ＝－6，∴c 2－c －6＝0，得c ＝－2或3.∵当c ＝－2时，a 3＝0不合题意，舍去、∴当且仅当c ＝3时，数列{a n }为等差数列.(5分)(2)证明：a 2n －1－a 2n ＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝c ＋rc －2.a 2n －a 2n ＋1＝[a 2＋2(n －1)]－(a 1＋2n)＝a 2－a 1－2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋r c .(8分)∴P n ＝1c ＋r c －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋n n －12×2＝1c ＋r c －2n(n ＋c －1)(9分) Q n ＝－1c ＋r c⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 2＋n n －12×2＝－1c ＋r cn ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c .(10分)P n －Q n ＝1c ＋r c －2n(n ＋c －1)＋1c ＋r cn ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1－r c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1c ＋r c －2＋1c ＋r c n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1c ＋r c －2＋1－r cc ＋r c n.(11分) ∵r ＞c ＞4，∴c ＋r c ≥2r ＞4，∴c ＋rc －2＞2，∴0＜1c ＋r c －2＋1c ＋r c<12＋14＝34＜1.(13分)且c －1c ＋r c －2＋1－r c c ＋r c ＝c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c －1＞－1.(14分) 又∵r ＞c ＞4，∴r c >1，那么0＜c －1<c ＋r c －2,0<c ＋1<c ＋rc . ∴c －1c ＋r c －2＜1，c ＋1c ＋r c <1.∴c －1c ＋r c －2＋c ＋1c ＋r c －1＜1.(15分) ∴对于一切n ∈N *，不等式－n<P n －Q n <n 2＋n 恒成立、(16分)专题七数学思想方法 第18讲分类讨论思想1.函数f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|，那么f(x)的值域是____________、 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22解析：f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12|sinx －cosx|＝⎩⎪⎨⎪⎧cosxsinx ≥cosx sinx sinx ＜cosxf(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.2.(2017·徐州三模)设函数f(x)＝x 2－alnx 与g(x)＝1a x －x 的图象分别交直线x ＝1于点A 、B ，且曲线y ＝f(x)在点A 处的切线与曲线y ＝g(x)在点B 处的切线平行、(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)当a>1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3)当a<1时，不等式f(x)≥mg(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，求实数m 的取值范围、解：(1)由f(x)＝x 2－alnx ，得f ′(x)＝2x －a x ，由g(x)＝1a x －x ，得g ′(x)＝1a －12x .又由题意得f ′(1)＝g ′(1)，即2－a ＝1a －1，故a ＝2或a ＝12. 当a ＝2时，f(x)＝x 2－2lnx ，g(x)＝12x －x ，当a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.(2)当a>1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－2lnx －12x ＋x ，得h ′(x)＝2x －2x －12＋12x ＝2x －1x ＋1x－x －12x＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x x ＋x ＋x ＋1x 2x . 由x>0，得4x x ＋x ＋x ＋1x2x>0. 故当x ∈(0,1)时，h ′(x)<0，h(x)递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)递增、 所以h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln1－12＋1＝32. (3)a ＝12时，f(x)＝x 2－12lnx ，g(x)＝2x －x.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f ′(x)＝2x －12x ＝4x 2－12x <0，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数，f(x)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12ln2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12时，g ′(x)＝2－12x ＝4x －12x >0，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为增函数， 且g(x)≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－22，且g(x)≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，要使不等式f(x)≥mg(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，m 为任意实数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，m ≤f x g x ，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤f xg x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋24ln(4e)，所以m ≤2＋24ln(4e)、 3.设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|.(1)假设f(0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集、点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力、解：(1)假设f(0)≥1，那么－a|a|≥1⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1a ≤－1.(2)当x ≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f a a ≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0.当x ≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧fa a ≥0，f aa ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0.综上可得f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a23，a ＜0.(3)x ∈(a ，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a ≤－62或a ≥62时，Δ≤0，x ∈(a ，＋∞)；当－62＜a ＜62时，Δ>0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a.讨论得：当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)； 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞；当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞. 基础训练1.2x －5y ＝0或x ＋y －7＝0解析：分直线过原点和不过原点两种情况、2.43或833解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况、3.0≤a ≤1解析：由题知ax 2－a(a ＋1)x ＋12(a ＋1)≥0对x ∈R 恒成立，分a ＝0和a ＞0两种情况讨论、4.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，4n －1，n ≥2且n ∈N*解析：在使用公式a n ＝S n －S n －1时要注意条件n ≥2，n ∈N *.例题选讲例1解析：sinB ＝154，a ＜b ，假设B 为锐角，那么cosB ＝14，由余弦定理得， c 2＋36－2×6×c ×cosB ＝64，即c 2－3c －28＝0，∴c ＝7；假设B 为钝角，那么cosB ＝－14，由余弦定理得c 2＋36－2×6×c ×cosB ＝64，即c 2＋3c －28＝0，∴c ＝3，故边c 的长为7或3.(注：在三角形中，内角的取值范围是(0，π)，b ＞a ，cosB ＝14，那么B 可能是锐角也可能是钝角，故要分两种情况讨论、但此题如改成a ＝8，b ＝6，那情况又如何呢？)变式训练△ABC 中，sinA ＝12，cosB ＝513，求cosC.解：∵0＜cosB ＝513＜22，B ∈(0，π)，∴45°＜B ＜90°，且sinB ＝1213. 假设A 为锐角，由sinA ＝12，得A ＝30°，此时cosA ＝32； 假设A 为钝角，由sinA ＝12，得A ＝150°，此时A ＋B ＞180°. 这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见A ≠150°. ∴cosC ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－(cosA ·cosB －sinA ·sinB)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32·513－12·1213＝12－5326.例2解：(1)当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1＜0，∴x ＞1.(2)当a ≠0时，原不等式化为a(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0， ①假设a ＜0，那么原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，∵1a ＜0，∴1a ＜1，∴不等式解为x ＜1a 或x ＞1.②假设a ＞0，那么原不等式化为(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.(ⅰ)当a ＞1时，1a ＜1，不等式解为1a ＜x ＜1； (ⅱ)当a ＝1时，1a ＝1(ⅲ)当0＜a ＜1时，1a ＞1，不等式解为1＜x ＜1a . 综上所述，得原不等式的解集为：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x1＜x ＜1a ；当a ＝1当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 1a ＜x ＜1.变式训练解关于x 的不等式a x －1x －2＞1(a ∈R 且a ≠1)、 解：原不等式可化为：a －1x 2－ax －2＞0， ①当a ＞1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＞0同解、由于a －2a －1＝1－1a －1＜1＜2，∴原不等式的解为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)、②当a ＜1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)＜0同解、由于a －2a －1＝1－1a －1，假设a ＜0，a －2a －1＝1－1a －1＜2，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2； 假设a ＝0时，a －2a －1＝1－1a －1＝2假设0＜a ＜1，a －2a －1＝1－1a －1＞2，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1.综上所述，当a ＞1时不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)；当0＜a ＜1时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1；当a ＝0a ＜0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2.例3解：(1)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0.当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 11－qn1－q＞0，即1－qn1－q ＞0(n ＝1,2,3，…)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＞0，1－q n ＞0n ＝1，2，3或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＜0，1－q n ＜0n ＝1，2，3.由于n 可为奇数，可为偶数，故q ＞1或－1＜q ＜1且q ≠0.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)、(2)由b n ＝a n ＋2－a n ＋1＝a n (q 2－q)，∴T n ＝(q 2－q)S n .∴T n －S n ＝(q 2－q －1)S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫q －1－52S n .又S n ＞0，－1＜q ＜0或q ＞0，－1＜q ＜1－52或q ＞1＋52时T n ＞S n ； 1－52＜q ＜0或0＜q ＜1＋52时，T n ＜S n . q ＝1±52时，S n ＝T n .(注：等差、等比数列的通项、前n 项的和是数列的基础，一个数列的前n 项和求其通项时，对n ＝1与n ≥2要分别予以研究，而涉及等比数列求和或用错位相减法求和时，要对公比q 是否为1进行分类讨论、)例4解：(1)利用函数图象的对称求解函数的问题、容易求出g(x)＝－x 2＋2x.(2)h(x)＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1，(解法1)为求实数λ的取值范围，就要对λ的取值分类、(1)当λ＝－1时，h(x)＝4x ＋1，此时h(x)在[－1,1]上是增函数，(2)当λ≠－1时，对称轴方程为x ＝1－λ1＋λ.①当λ＜－1时，需满足1－λ1＋λ≤－1，解得λ＜－1； ②当λ＞－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1＜λ≤0.综上可得λ≤0.(解法2)由题知，h ′(x)＝－2(1＋λ)x ＋2(1－λ)≥0对x ∈[－1,1]恒成立、 即(1＋x)λ≤1－x 对x ∈[－1,1]恒成立，显然x ＝－1时上式恒成立，λ∈R ， x ∈(－1,1]时，λ≤1－x 1＋x ＝21＋x －1，函数y ＝21＋x －1在x ∈(－1,1]上单调减，函数的最小值为0.∴λ≤0，经检验符合题意、(注：两种解法，值得思考，在做分类讨论题时要尽可能回避复杂的讨论、) 变式训练设0<x<1，a>0，且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小、解：(解法1)因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，那么0<1－x 2<1. ①当0<a<1时，由log a (1－x)>0，log a (1＋x)<0，所以|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)] ＝log a (1－x 2)>0，即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.②当a>1时，由log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0，得|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x)－log a (1＋x) ＝－log a (1－x 2)>0，即|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.由①②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.(注：在解答该类问题时，首先从概念出发判断出绝对值内的数(或式子)的符号，然后再去掉绝对值符号(这时需按条件进行分类讨论确定)，再按照相关的法那么去计算，直至得出结论、其实这道题是可以回避讨论的、)(解法2)因为0<x<1，所以0<1－x<1,1＋x>1，那么0<1－x 2<1.|log a (1－x)|＝|lg 1－x ||lga|＝－lg 1－x |lga|，|log a (1＋x)|＝lg 1＋x|lga| |log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－lg 1－x 2|lga|＞0， ∴|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|. 高考回顾1.132或133解析：由渐近线方程为3x －2y ＝0知a b ＝32或b a ＝32.2.[0，＋∞)解析：f(x)≤2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，21－x ≤20≤x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 2x ≤2x ＞1.3.a ＝－34解析：分a ＜0和a ≥0两种情况讨论、4.2解析：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋lnx ＝0，解得x ＝100，所以函数有两个零点、 5.解：(1)f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx ，∴f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n.又∵g(x)＝f ′(x)－2x －3＝x 2＋(2m －2)x ＋n －3在x ＝－2处取极值，那么g ′(－2)＝2(－2)＋(2m －2)＝0m ＝3，又在x ＝－2处取最小值－5.那么g(－2)＝(－2)2＋(－2)×4＋n －3＝－5n ＝2， ∴f(x)＝13x 3＋3x 2＋2x.(2)要使f(x)＝13x 3＋mx 2＋nx 单调递减，那么f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＜0.又递减区间长度是正整数，所以f ′(x)＝x 2＋2mx ＋n ＝0两根设为a ，b(a ＜b)、即有：b －a 为区间长度、又b －a ＝a ＋b 2－4ab ＝4m 2－4n ＝2m 2－n(m ，n ∈N ＋)、又b －a 为正整数，且m ＋n<10，所以m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝5符合、 6.(1)证明：f ′(x)＝1x －b ＋2x ＋12＝1xx ＋12(x 2－bx ＋1)、∵x ＞1时，h(x)＝1xx ＋12＞0恒成立，∴函数f(x)具有性质P(b)、(2)解：设φ(x)＝x 2－bx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋1－b 24，φ(x)与f ′(x)的符号相同、 当1－b24＞0，－2＜b ＜2时，φ(x)＞0，f ′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＝±2时，对于x ＞1，有f ′(x)＞0，所以此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＜－2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x ＝b2＜－1，而φ(0)＝1.对于x ＞1，总有φ(x)＞0，f ′(x)＞0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，φ(x)图象开口向上，对称轴x ＝b 2＞1，方程φ(x)＝0的两根分别为：b ＋b 2－42，b －b 2－42， 而b ＋b 2－42＞1，b －b 2－42＝2b ＋b 2－4∈(0,1)、 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42时，φ(x)＜0，f ′(x)＜0，故此时f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减；同理得：f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增、综上所述，当b ≤2时，f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b ＞2时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b ＋b 2－42上递减； f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ＋b 2－42，＋∞上递增、。

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1 (2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sinx-x+-,则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.▲审题指导sin(-x)=-sinx,2-x=f'(x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx-1--2x ln2,∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+ )≤f[( x+a)2]恒成立,则a的取值范围为.二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2 已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导思路:证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=e x-x2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明曲线y=e x与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1- =0,∴φ(x)存在零点x=0.又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mlnx+(m∈R,x>0).(1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;(3)设 <m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[ ,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案. 典型例题例3 设数列{a n}( = , ,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.000▲审题指导(1)n取10(2)a n=2n→=→T n=1-→解不等式|T n-1|<000解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1( ≥ ),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1( ≥ ),即a n=2a n-1( ≥ ).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n. (2)由(1)得=,所以T n = ++…+=--=1-.由|T n -1|<000,得 -- <000,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以 ≥ 0. 所以使|T n -1|<000成立的n 的最小值为10.跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n }中,a 1= ,a n+1=3-,b n = 0,其中 ∈N *. (1)求证:数列{b n }为等差数列;(2)设c n =b n b n+1cosn π, ∈N *,数列{c n }的前n 项和为T n ,若当 ∈N *且n 为偶数时,T n ≤t 2恒成立,求实数t 的取值范围;(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ,试求数列{S 2n -S n }的最大值.四审 审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键. 典型例题例4 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ∈R, 0,0的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f --f的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx的单调区间,通过解不等式求得结果.解析(1)由题图知,周期T=2-=π,所以ω==2,因为点,0在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.,又因为0<φ<,所以<+φ<3从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin--2sin2+=2sin2x-2s 3cos=2sin2x-2sin3.=sin2x-3cos2x=2sin-3由2kπ-≤ x-≤ kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.3所以函数g(x)的单调递增区间是-,k ,k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)= .五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij( ,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j= .12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24…▲审题指导i是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数, 0 = × 00 -1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 30× = ,前32个奇数行内奇数的总个数为3 × +3 3 × = 0 ,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是 × -1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训,把数列{a n}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项, 5.已知数列{a n},a n= ·3则A(10,8)= .a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…6.下表给出一个“三角形数阵”.333…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij( ≥j, ,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6 已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值lna+a-1<0g(a)=lna+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,∞时,f'(x)<0,所以f(x)在0,上单调递增,在,∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,(1)求角α的值;,,求cosβ的值.(2)若cos(β-α)=3,其中β∈3七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题.例7 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为3(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ 是平行四边形S ▱OPTQ =2S △OPQ →S △OPQ =|OF||y 1-y 2|→y 1与y 2的关系→联立直线PQ 的 方程与椭圆的方程解析 (1)由已知可得 =3,c=2,所以a= . 由a 2=b 2+c 2,得b= ,所以椭圆C 的标准方程是 +=1. (2)设T 点的坐标为(-3,m), 则直线TF 的斜率k TF =-0-3-(- )=-m.当m≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =,则直线PQ 的方程是x=my-2. 当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2, 也满足方程x=my-2.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得 - ,,消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,∴Δ=16m 2+8(m 2+3)>0,y 1+y 2= 3,y 1y 2=-3, 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=-3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形, 所以 = ,即(x 1,y 1)=(-3-x 2,m-y 2). 所以-3 -3,3m,解得m=± .所以S 四边形OPTQ =2S △OPQ = ×·|OF|·|y 1-y 2|=2 3- ·-3=2跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.b2.已知AM⊥MN,且·=3(1)求椭圆C的离心率e;a,求椭圆C的标准方程.(2)若S△ANM+S△POF= 03答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案{a|a≥ 或a≤-8}解析因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+ )≤f[( x+a)2]得x+ ≤( x+a)2,则问题转化为x+ ≤( x+a)2对x∈[0,3]恒成立,即4x2+(4a-1)x+a2- ≥0对x∈[0,3]恒成立,令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,若-<0,则h(0)≥0,此时a≥ ;若->3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤-≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2- )≤0,此时无解.综上,a的取值范围是{a|a≥ 或a≤-8}.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是,g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以- .又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.(2)f(x)=g+mlnx+=x2+m x(m∈R,x>0).当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;当m=0时,f(x)=,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+=0⇒x=-,列表:这时,f(x)min =f( - )=-+mln - .f(x)min >0⇔ -m -0, 0⇒-e<m<0. 所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m 的取值范围是(-e,0]. 故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m 的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞). (3)证明:因为∀x∈[ ,m],H'(x)=( - )( - )≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x 1)-H(x 2)|≤H( )-H(m)=m 2-mlnm-, |H(x 1)-H(x 2)|<1⇒m 2-mlnm- <1⇒ m-lnm-3<0, 记h(m)=m-lnm-3( <m≤e),则h'(m)= - +3 =3- 3+3>0, 所以函数h(m)=m-lnm-3在(1,e]上是单调增函数,所以h(m)≤h(e)=e -1-3 e =(e -3)(e )e<0,故命题成立.三审 审结构定方案跟踪集训3.解析 (1)证明:∵b n+1= 0=·3 - =0() (3- ) ( )=,∴b n+1-b n =- 0=1. ∴数列{b n }是公差为1的等差数列. (2)由题意可知,b 1==1,故b n =n.因为c n =b n b n+1cosn π, ∈N *,所以T n =c 1+c 2+…+c n =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)nb n b n+1. 当 ∈N *且n 为偶数时,设 = m,m∈N *. 则T n =T 2m =-b 1b 2+b 2b 3-b 3b 4+b 4b 5-…+(-1)2mb 2m b 2m+1. =b 2(-b 1+b 3)+b 4(-b 3+b 5)+…+b 2m (-b 2m-1+b 2m+1) =2(b 2+b 4+…+b 2n )= ( + +…+m)= m 2+2m=n 2+n. 要使T n ≤t 2对 ∈N *且n 为偶数恒成立,只要使n2+ ≤t 2对 ∈N*且n为偶数恒成立,即使t≥+对n为正偶数恒成立.=+= ,∴t≥ ,∵m故实数t的取值范围是[ ,+∞).(3)由(2)知b n=n,又b n= 0,∴a n= 0-.∴S n=10…-,∴S2n=10……-,设M n=S2n-S n=10…-,∴M n+1=…-,103∴M n+1-M n=10---,=10--= 0( )( )->0,即M1<M2,∴当n=1时,M n+1-M n= 03当 ≥ 时,M n+1-M n<0,即M2>M3>M4>….-1=.∴(M n)max=M2= 0×3因此数列{S2n-S n}的最大值为.四审审图形抓特点跟踪集训4.答案-=,解得ω=3 .又f(1)=sin 3 =1,解析由三角函数的图象可得3T=3-1=2,所以最小正周期T=3解得φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin 3 x- k ,k∈Z,则f(2)=sin 3 -=sin=-.五审审图表找规律跟踪集训5.答案 ×33解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9=( )=45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53= ×3 3 ,故答案为 ×3 3.6.解析(1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a11=,a21=,所以公差d=,a81=+(8- )×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=3,a32=3,所以,每行的公比q=,故a83= ×=.(2)由(1)知a i1=+(i-1)=,所以a ij=a i1·-=·-= ·.(3)A n=a n1…-=--=-n.B m=( + +…+m)-3….设T m=++3+…+,①则T m=++3+…+,②由①-②,得T m=+++…+-=1--=1-,所以B m=·()--=()+-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析(1)由2·=||·||,得2||·||cosα=||·||,所以cosα=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=3.(2)由(1)知sinα=3,且β-α∈0,,又cos(β-α)=3,所以sin(β-α)=, 故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=3×-×3=33.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析(1)由题意知,,消去y,得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-,所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=3b2,=3,所以e=3.(2)由(1)知M-3b,-3b,右准线方程为x=3b,直线MN的方程为y=所以P33b,3b,S△POF=OF·y P=3b·3b=22,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|= b×3b=3b2,所以2b2+3b2= 03a,0 3b2= 03b2,所以b=,a=2,椭圆C的标准方程为+=1.。

必备四二级结论巧用结论一函数的奇偶性1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.3.如果f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.跟踪集训1.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数),若f(2)=-1,则f(-6)的值为.2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是.3.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,则不等式()-(-)<0的解集为. 结论二函数的单调性、极值与最值1.函数的单调性(1)∀x1,x2∈D,x1≠x2,()- ()->0(<0)⇔y= (x),x∈D单调递增(递减).(2)复合函数的单调性:“同增异减”;单调区间是定义域的子集.(3)f(x)在(a,b)上是增函数⇒ '(x)≥0在区间(a,b)上恒成立;f(x)在(a,b)上是减函数⇒ '(x)≤0在区间(a,b)上恒成立.注意:①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“∪”连接.(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间⇒ '(x)>0,x∈D有解.(5)存在x1,x2∈D,x1≠x2,f(x1)=f(x2)⇔y= (x),x∈D不单调.2.函数的单调性与极值:(1)函数f(x)有三个单调区间⇔f(x)有两个极值点⇔f'(x)=0有两个不等根;(2)函数f(x)在[a,b]上不单调⇔f(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点x0∈(a,b).3.函数的最值:函数f(x)在D上的最大值为M⇔ 0∈D, (0)= ,()≤,∈恒成立.函数f(x)在D上的最小值为m⇔ 0∈D, (0)= ,()≥,∈恒成立.跟踪集训4.设f(x)=4x3+mx2+(m- )x+n( ,n∈R)是R上的单调增函数,则m的值为.5.已知函数f(x)=|x2-4|+a|x- |,x∈[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是.6.已知函数f(x)=x3-x2+mx+2,若对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则实数m的取值范围是.7.已知函数f(x)=-ax x- (),若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是.结论三抽象函数的周期性与单调性1.函数的周期性(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.2.函数图象的对称性(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.(4)若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点,对称.跟踪集训8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)= .9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)= .10.函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.结论四函数零点1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的函数值的符号.2.函数有零点(方程有解)问题,利用分离参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画图形时尽量是动直线与定曲线的图形.跟踪集训11.已知函数f(x)=,x ,(x+ ),x≥ ,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点,则实数m的取值范围是.13.已知函数f(x)=,x ,( -)(),(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(0,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是. 结论五三角函数1.sin=(- ) n(), (- )(2.cos=(- )(), (- ) n(3.asinα+bcosα=sin(α+φ)辅助角φ所在象限由点(a,b)所在象限决定,tanφ=.4.求三角函数在给定范围上的单调区间:一般是求出所有的单调区间,再与给定区间取交集.5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法: (a)≤ (x),∀x成立等价于f(a)是f(x)的最小值,x=a 是函数的一条对称轴.跟踪集训14.已知角α的始边为x轴正半轴,终边上一点P的坐标为(-4,3),则n)- n的值为.15.设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为.16.设f(x)=sin2x-cosxcos,则f(x)在0上的单调增区间为.结论六解三角形1.sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C);2.A>B⇔sinA>sinB,cosA<cosB(要会证明);3.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;4.对锐角三角形的理解和应用:三个角都是锐角的三角形;任意两个角的和是钝角的三角形;在锐角三角形中,任意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,任意两边的平方和大于第三边的平方,即sinA>cosB,sinA>cosC,, , .跟踪集训17.在斜△ABC中,若tanA∶tanB∶tanC= ∶ ∶ ,则cosA= .18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.(1)求B的大小;(2)求cosA+sinC的取值范围.结论七不等式1.≤≤≤(a,b>0)..( )xy≤;( )xy≤;(3)当x>0时,x+≥ ;(4)当x,y同号时,+≥ ;当x,y异号时,+≤-2.3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分离参数是常用方法.通过分离参数,不等式恒成立问题可以转化为a (x),x∈D恒成立,则a<f(x)min,x∈D;若是a (x),x∈D有解,则a<f(x)max,x∈D.如果不能分离参数,则利用函数的最值或图象求解最值,如 (x)>0,x∈D恒成立,即为f(x)min>0,x∈D.跟踪集训19.若在区间[1,3]内,存在实数满足不等式2x2+mx-1<0,则实数m的取值范围是.20.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为.21.已知实数x,y满足x2+y2=1,则的最小值为.22.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2-(4a2+b2)的最大值是.结论八平面向量1.三点共线的判定A,B,C三点共线⇔,共线;向量,,中,A,B,C三点共线⇔存在实数α,β使得=α+β,且α+β=1.2.三角形“四心”的向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔| |=| |=| |=n =n =n . (2)O 为△ABC 的重心⇔ + + =0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔ · = · = · . (4)O 为△ABC 的内心⇔a +b +c=0. 3.向量中线定理:△ABC 中,点D 为BC 的中点,则 + =2 . 4.||a|-|b||≤|a -b|≤|a|+|b|,注意等号成立的条件.5.若a,b 都是非零向量,则a∥b ⇔a=λb ⇔x 1y 2=x 2y 1⇔夹角等于0°或 80°⇔|a·b|=|a||b|.6.若a,b 都是非零向量,则a⊥b ⇔a·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0⇔夹角等于 0°⇔|a+b|=|a-b|.7.数量积的其他结论:当a 与b 同向共线时,a·b=|a|·|b|;当a 与b 反向共线时,a·b=-|a|·|b|;当a 与b 共线时,|a·b|=|a|·|b|;当a 与b 为任意向量时,|a·b|=|a|·|b|·| θ|≤|a|·|b|(θ为a 与b 的夹角);a 与b 的夹角为锐角的充要条件是· x x y y 0,x y -x y 0a 与b 的夹角为钝角的充要条件是· x x y y 0,x y -x y 0跟踪集训23.已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为.24.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)25.已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过△ABC的.(填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种)结论九等差数列1.在等差数列{a n}中,a p=q,a q=p(p≠q)⇒a p+q=0;S m+n=S m+S n+mnd.2.若S m,S2m,S3m分别为{a n}的前m项,前2m项,前3m项的和,则S m,S2m-S m,S3m-S2m成等差数列.3.若等差数列{a n}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(a m+a m+1),S偶-S奇=md,奇偶=.4.若等差数列{a n}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)a m,S奇=ma m,S偶=(m-1)a m,S奇-S偶=a m,奇偶=-.跟踪集训26.等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=20,S20=50,则S30= .27.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为 ∶ 7,则该数列的公差为.结论十等比数列1.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S m,S2m-S m,S3m-S2m均不为0,则S m,S2m-S m,S3m-S2m成等比数列.2.S m+n=S m+q m S n=S n+q n S m.3.在有限等比数列{a n}中,公比为q,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶.若n为偶数,则S偶=qS奇;若n为奇数,则S奇=a1+qS偶.4.如果数列{a n}是等差数列,那么数列{}(总有意义)必是等比数列.如果数列{a n}是等比数列,那么数列{log a|a n|}(a>0,且a≠ )必是等差数列.跟踪集训28.在等比数列{a n}中,若S10=10,S20=30,则S30= .29.数列{a n}中,=4a n,a1=1,a n>0,则a n= .30.等比数列{a n}共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1= .结论十一直线与圆1.阿波罗尼斯圆:若点A、B是定点,M是动点,且 A=k B,k>0,k≠ ,则动点M的轨迹是圆(阿波罗尼斯圆).2.定点A到动直线l的距离等于定长的直线l是以A为圆心,定长为半径的圆的切线.3.以AB为直径的圆经过点C,则AC⊥BC,可以利用斜率或向量求解.4.对角互补的四边形有外接圆.5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.6.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,过圆外一点可以作圆的两条切线.7.过圆内一定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦.跟踪集训31.若A(1,1),B(3,4),且点A和B到直线l的距离都等于1,则这样的直线l有条.32.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是.33.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1,圆O2均与x轴相切且圆心O1,O2与原点O共线,O1,O2两点的横坐标之积为6,设圆O1与圆O2相交于P,Q两点,直线l:2x-y-8=0,则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为.结论十二圆锥曲线1.椭圆中的常用结论:(1)焦点弦长公式:左焦点弦AB=2a+e(x1+x2);右焦点弦AB=2a-e(x1+x2);(2)通径长为;(3)焦点三角形的面积S=b2tan;(4)若A、B是椭圆C:+=1(a>b>0)上关于坐标原点对称的两点,P为椭圆C上任意一点,则k PA k PB=-..2.双曲线中焦点三角形的面积S=tan3.若点M(x0,y0)在曲线±=1上,则过M的切线方程为0x±0y=1.4.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦AB有如下结论:(α是直线AB的倾斜角).(1)x A·x B=;(2)y A·y B=-p2;(3)|AB|=n跟踪集训34.设P是有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2=3e1,则e1= .35.已知椭圆+=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN 的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为.36.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为 0°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案精解精析结论一函数的奇偶性跟踪集训1.答案 4解析由已知得f(0)=0=1+b,∴b=-1,又f(2)=2+2(a-1)-1=-1,∴a=0,∴ (x)= 2(x+2)-x- (x≥0),∴ (-6)=-f(6)=-3+6+1=4.2.答案,解析由f(x)是偶函数知f(x)=f(-x)=f(|x|),则f(2x-1)<f ⇔f(|2x-1|)<f,结合f(x)在[0,+∞)上单调递增得|2x-1|<,解这个不等式得,x的取值范围是,.3.答案(- ,0)∪(0, )解析由已知得,函数f(x)在(-∞,0)上也为增函数.画出函数的草图(如图),可得在(-2,0)和( ,+∞)上f(x)>0,在(-∞,-2)和(0,2)上f(x)<0.当x>0时,由()-(-)<0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)<0,结合图象可知,x∈(0, );当x<0时,由()-(-)<0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)>0,结合图象可知x∈(-2,0).综上,x∈(- ,0)∪(0, ).结论二函数的单调性、极值与最值跟踪集训4.答案 6解析由f(x)=4x3+mx2+(m- )x+n( ,n∈R)是R上的单调增函数,得f'(x)=12x2+2mx+m- ≥0在R上恒成立,则4m2-48(m- )≤0,即(m-6)2≤0,故m=6.5.答案(-∞,-5]解析易知f(2)=0,则要使 (x),x∈[-3,3]的最大值是0,只需 (x)≤0,x∈[-3,3]恒成立,则-a|x- |≥|x2- |,x∈[-3,3],-a≥|x+ |max= ,x∈[- , )∪( , ],所以a≤-5,实数a的取值范围是(-∞,-5].6.答案,+∞解析由对任意x1,x2∈R,均满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,得函数f(x)=x3-x2+mx+2在R上递增,则f'(x)=3x2- x+ ≥0在R上恒成立,则 ≥(-3x2+2x)max=,当x=时取等号,故实数m的取值范围是,+∞.7.答案(-∞, )解析由∃x1≠x2,x1,x2∈R, (x1)=f(x2),得f(x)在R上不单调.若f(x)在R上单调,只能单调递增,解得a≥ ,故函数不单调时实数a的取值范围是a<4.此时0,- +- ,结论三抽象函数的周期性与单调性跟踪集训8.答案 1解析因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.9.答案 3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.10.答案 4解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以 ( 0 7)= ( 0 × + )= ( )= ,又因为f(2016)+f(2018)=-f(2014)+f(2014+4)=-f(2014)+f(2014)=0,所以f(2016)+f(2017)+f(2018)=4.结论四函数零点跟踪集训11.答案( ,+∞)解析画出函数y=f(x),y=m的图象如图,由图象可得当m>1时,函数y=f(x)-m有两个不同的零点.12.答案-6,解析令3x=t,t∈, ,则函数f(x)=3x-32x-m在[-1,1]上有零点⇔m=-t2+t,t∈, ,则 ∈-6,.13.答案[-5,-2-2)解析曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点,则该切线与f(x)=(1-x)(a+x),x≥ 有两个不同交点,即关于x的方程x+1=(1-x)(a+x),x∈[ ,+∞)有两个不等根,整理得x2+ax+1-a=0,x∈[ ,+∞)有两个不等根,所以- ( -a)>0, -,解得- ≤a -2-2.结论五三角函数跟踪集训14.答案-解析由已知得,tanα=-,则n) - n=- n- n=- n --=- n- n=tanα=-.15.答案[-1,1]解析由sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],得α-β=,所以α=β+,β=α-,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sinπ2+sinπ2-β=cosα+cosβ=cosβ+cos+π2=cosβ-sinβ=2cos+π4,由α,β∈[0,π],α=β+得β∈0,则β+∈,,则cos∈-,,所以cos∈[-1,1].16.答案0解析f(x)=+cosxsinx=sin2x-cos2x+=sin-6+,由2kπ-≤ x-6≤ kπ+,k∈Z得kπ-6≤x≤kπ+,k∈Z,与0取交集得所求递增区间是0.结论六解三角形跟踪集训17.答案解析设tanA=k,k>0,则tanB=2k,tanC=3k,由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得6k=6k3,k=1,则tanA=1,则A=,cosA=.18.解析(1)由a=2bsinA得sinA=2sinBsinA,因为 nA≠0,所以sinB=,又B是锐角,则B=6.(2)cosA+sinC=cosA+sin(A+B)=cosA+sin6=sinA+cosA=sin,又由△ABC为锐角三角形得0,6-A ,则<A<,则A+∈,6,sin∈,,即cosA+sinC的取值范围是,.结论七不等式跟踪集训19.答案m<-1解析由题意知,不等式m<- x(x∈[ , ]),易知函数y=- x,x∈[ , ]单调递减,则y max=- ,∴ -1,即实数的取值范围是m<-1.20.答案[-8,4]解析由题意知a2-λab+(8-λ)b2≥0∀a∈R恒成立,则Δ=λ2b2-4(8-λ)b2≤0,即λ2+4λ- ≤0,解之得-8≤λ≤ .即实数λ的取值范围是[-8,4].21.答案--1解析因为2xy=(x+y)2-(x2+y2)=(x+y)2- =(x+y+ )·(x+y-1),又≤=,所以=x+y- ≥-)-1=--1,当且仅当x=y时取等号.故的最小值为--1.22.答案-解析由( )≥≥·,得≤,且4a2+b2≥,所以S=2-(4a2+b2)= ·-(4a2+b2)≤-,当且仅当2a=b=时取等号,即S的最大值为-.结论八平面向量跟踪集训23.答案{-1}解析∵=-,∴x2+x+-=0,即=-x2+(1-x),∵点A、B、C都在直线l上,点O不在l上,∴-x2+(1-x)=1,即x=0(舍去)或x=-1,∴x的取值集合为{-1}.24.答案重心解析由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.25.答案重心解析取AB的中点D,则2=+,∵=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],∴=[2(1-λ)+(1+2λ)]=)+,∵)+=1,∴P,C,D三点共线,∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.结论九等差数列跟踪集训26.答案90解析(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),则S30=3S20-3S10= × 0- × 0= 0.27.答案 5解析设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,公差为d.由已知条件,得奇偶7偶奇解得偶6奇又S偶-S奇=6d,所以d= 6=5.6结论十等比数列跟踪集训28.答案70解析解法一:∵S10=a1+a2+…+a10,S20-S10=a11+a12+…+a20=a1q10+a2q10+…+a10q10=q10S10,S30-S20=a21+a22+…+a30=a1q20+a2q20+…+a10q20=q20S10,∴S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,公比为q10.∴(S20-S10)2=S10(S30-S20),∵S10=10,S20=30,∴( 0-10)2=10(S30- 0),∴S30=70.解法二:∵S10=10,S20=30,∴S20=S10+a11+a12+…+a20=S10+a1q10+a2q10+…+a10q10=S10+q10S10=10(1+q10)=30,∴q10=2,∴S30=S20+a21+a22+…+a30=S10+q10S10+q20S10=10(1+q10+q20)=70.29.答案-解析对于=4a n,等号两边取以2为底的对数得,2log2a n+1=log2a n+2. 令b n=log2a n,则2b n+1=b n+2,即2(b n+1-2)=b n-2.令C n=b n-2,则C n+1=C n,∵a1= ,∴b1=0,C1=-2,∴{C n}是首项为-2,公比为的等比数列,∴C n=-2-=--,∴b n=2--,a n=-.30.答案 3解析等比数列{a n}共有 k+ (k∈N*)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+…+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+…+a2k)+a2k+1=S偶+a2k+1=- 6+192=255,解得q=-2,而S奇=-=- ×(- ))=255,解得a1=3.结论十一直线与圆跟踪集训31.答案 4解析由题意可得直线l与圆A:(x-1)2+(y-1)2=1和圆B:(x-3)2+(y-4)2=1都相切,又AB=>2,则圆A和圆B相外离,所以两圆有4条公切线,即直线l有4条.32.答案[1,5]解析由题意可得过点A作圆M的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于60°,连接CM,则CM与一条切线的夹角大于等于 0°,又圆M的半径为2,设A(x,6-x),则MA=(- )x)≤ ,解得 ≤x≤ .33.答案8-6解析设圆O1:(x-a1)+(y-b1)2=,圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=.两式相减得2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+-=0(1),由O1,O2,O共线可得==k,则b1=ka1,b2=ka2,代入(1)化简得2x+2ky-(a1+a2)=0(2).两圆方程相加得2x2+2y2-2(a1+a2)x-2(b1+b2)y++=0(3),又因为a1a2=6,所以(3)可变为2x2+2y2-2(a1+a2)x-2(b1+b2)y+(a1+a2)2-12=0(4),(2)代入(4)可得x2+y2=6,即为点P的轨迹方程.圆心(0,0)到直线l:2x-y-8=0的距离为,所以点P到直线的距离的最小值为-6=8-6.结论十二圆锥曲线跟踪集训34.答案解析设椭圆的长,短半轴分别为a1,b1,双曲线的实,虚半轴分别为a2,b2,因为点P是椭圆与双曲线的一个交点,则由焦点三角形的面积得tan °=tan °,=,又由e2=3e1得=,a2=a1,-c2=c2-,-c2=c2-, 0=2c2,则e1==.35.答案 1解析设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则k1k2=0-0-·0=0--=-=--=-1+=-,所以|k1|+|k2|≥ ||=1,当且仅当|k1|=|k2|=时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为1.36.答案解析由已知得焦点坐标为F,0,因此直线AB的方程为y=-,即4x-4y-3=0.解法一:与抛物线方程联立,消去x得4y2-12y-9=0,则y A+y B=3,y A y B=-,故|y A-y B|=()-=6.因此S△OAB=|OF||y A-y B|=××6=.解法二:与抛物线方程联立,消去y得x2-x+6=0,故x A+x B=.根据抛物线的定义有|AB|=x A+x B+p=+=12,又原点到直线AB的距离d=)=8 ,因此S△OAB=|AB|·d=.解法三:∵|AB|=n =n 0°=12,原点到直线AB的距离d=|OF|· n 0°=8,∴S△OAB=|AB|·d=× ×8=.。

必备三 解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质例1 若z=sinθ-35+(cos θ-45)i 是纯虚数,则tan (θ-π4)的值为 .易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan (θ-π4)的值为多个,从而错解.答案 -7正确解析 由纯虚数的概念,可知{sin θ-35=0,①cos θ-45≠0,②由①,得sinθ=35,故cosθ=±√1-sin 2θ=±√1-(35)2=±45,而由②,可得cosθ≠45,故cosθ=-45,所以tanθ=sin θcos θ=-34,则tan (θ-π4)=tan θ-tanπ41+tan θtanπ4=-34-11+(-34)×1=-7.▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,设a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是 .陷阱二 错用结论——公式定理要记准例2 将函数g(x)=4sinxcosx 的图象向左平移π6个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f (π4)= .易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案√6+√22正确解析 将函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin2(θ+π6)=2sin (2θ+π3)的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin (12×2x +π3)=2sin (θ+π3).所以f (π4)=2sin (π4+π3)=2sin π4cos π3+cos π4sin π3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22. ▲跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数f(x)=sin (2θ+π6)-cos (2θ+π3)+2cos 2x.(1)求f (π12)的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)函数f(x)的图象可由y=sinx 的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记 例3 已知椭圆θ29+θ28=1的半焦距为c,曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y 轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l 过点F,交曲线Γ于A,B 两点,过A,B 分别作曲线Γ的切线交于点P,判断θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是不是定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析 直线l 过点F 交曲线Γ于A,B 两点,由于思维定势,经常只考虑直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0的情况,从而漏掉了过点F 的直线l 与x 轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析 (1)因为椭圆θ29+θ28=1的半焦距为c,所以c=√9-8=1,因为曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比该点到y 轴的距离大1, 所以曲线Γ上的任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于该点到直线x=-1的距离. 根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线. 设曲线Γ的方程为y 2=2px(p>0),所以θ2=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y 2=4x. (2)θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值.证明如下:①当过点F 的直线l 与x 轴垂直时,直线l 的方程为x=1, 根据抛物线的对称性知,点P 在x 轴上, 所以PF⊥AB,所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.②当过点F 的直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x-1),k≠0, 由{θ=θ(θ-1),θ2=4x得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,所以Δ=[-(2k 2+4)]2-4k 2·k 2=16k 2+16>0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x P ,y P ),y 1>0,y 2<0, 则x 1+x 2=2+4θ2,x 1x 2=1.由y 2=4x(y>0),得y=2√θ,y'=√θ,所以过点A 的切线PA 的方程为y-y 1=√θ(x-x 1),即y=√θ+√θ1; 由y 2=4x(y<0),得y=-2√θ,y'=-√θ,所以过点B 的切线PB 的方程为y-y 2=-√θ(x-x 2),即y=-√θ-√θ2. 由{θθ=θθ+√θ1,θθ=θ√θ√θ2得{θθ=-√θ1θ2=-1,θθ=2θ,即P (-1,2θ),所以直线PF 的斜率k PF =2θ-0-1-1=-1θ,所以k PF ·k=-1θ×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值,且定值为0. 跟踪集训3.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:θ2θ2+θ2θ2=1(a>b>0)与直线l:x=m(m∈R).四点(3,1),(3,-1),(-2√2,0),(√3,√3)中有三个点在椭圆C上,剩余一个点在直线l上.(1)求椭圆C的方程;(2)若动点P在直线l上,过P作直线交椭圆C于M,N两点,使得PM=PN,再过点P作直线l'⊥MN.证明:直线l'过定点,并求出该定点的坐标.陷阱四讨论漏解——参数标准要恰当例4 已知函数f(x)=lnx-ax+1-θθ-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当0≤a<12时,讨论f(x)的单调性.易错分析该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析(1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+2θ-1,x∈(0,+∞).所以f'(x)=θ2+x-2θ2,x∈(0,+∞).因此f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为0.又f(1)=ln1+1+2-1=2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2.(2)因为f(x)=lnx-ax+1-θθ-1,所以f'(x)=1θ-a+θ-1θ2=-θθ2-x+1-aθ2,x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).①当a=0时,g(x)=-x+1,当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增.②当0<a<12时,由f'(x)=0,即ax 2-x+1-a=0,亦即(x-1)(ax+a-1)=0,解得x 1=1,x 2=1θ-1. 此时1θ-1>1>0,所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,1θ-1)时,g(x)<0,此时f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(1θ-1,+∞)时,g(x)>0,此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<12时,函数f(x)在(0,1),(1θ-1,+∞)上单调递减,在(1,1θ-1)上单调递增.▲跳出陷阱 含参的函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参的函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序:①最高次幂的系数是不是0;②方程f'(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,常画出导函数的图象,根据图象与x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.跟踪集训4.已知函数f(x)=a x+x 2-xlna(a>0,a≠1). (1)求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)若存在x 1,x 2∈[-1,1],使得|f(x 1)-f(x 2)|≥e -1(e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏例5 在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=8,b=10,△ABC 的面积为20√3,则△ABC 中最大角的正切值是 .易错分析 本题易忽视锐角三角形这一条件. 答案5√33解析 由题意得20√3=12×8×10×sinC ⇒sinC=√32⇒C=π3或C=2π3(舍),由余弦定理得,c 2=82+102-2×8×10×12=84,因为a=8,b=10,所以a 2<c 2<b 2,因此B 角最大, 由余弦定理的推论得,cosB=22=√84,则tanB=√1-cos 2B cos 2B=5√33.▲跳出陷阱 审题时一定要仔细,注意题中正数、整数、锐角、钝角、x 轴上方等限制条件. 跟踪集训5.已知钝角△ABC 的三个内角成等差数列,最大边长与最小边长的比值为m,则实数m 的取值范围为 .陷阱六 推理不当——归纳类比要合理例6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x 2=4y 和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理可知,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为 .易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误的类比.答案 32π正确解析 设图(1)中的阴影部分绕y 轴旋转一周得到的旋转体Γ1的体积为V',则V'=2θθ1,圆(1)、(2)中的两图形绕y 轴旋转所得的旋转体均夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S 1=π(42-4|y|),S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S 1=S 2,由祖暅原理知,Γ1与Γ2的体积相等.因为Γ2是由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该是一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为4π3·43-2·4π3·23=64π,所以Γ1的体积为32π.▲跳出陷阱 类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.跟踪集训6.先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a 1,a 2∈R,a 1+a 2=1,求证:θ12+θ22≥12.证明:构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2,则f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+θ12+θ22=2x 2-2x+θ12+θ22,∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,∴Δ=4-8(θ12+θ22)≤0,从而得θ12+θ22≥12.(1)若a 1,a 2,…,a n ∈R,a 1+a 2+…+a n =1,请写出上述结论的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.陷阱七 画图不准——数化“形”要准确 例7 已知定义在R 上的函数f(x)满足:①f(x)+f(2-x)=0; ②f(x -2)=f(-x);③在[-1,1]上的表达式为f(x)={√1-θ2,x∈[-1,0],cos (π2x ),x∈(0,1].则函数f(x)与函数g(x)={2θ,x ≤0,1-θ,θ>0的图象在区间[-3,3]上的交点个数为 .易错分析 该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数. 答案 6正确解析 由①可得,f(1-x)+f(1+x)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)对称; 由②可得f(x-1)=f(-x-1),即f(x)的图象关于直线x=-1对称.如图,根据③先作出函数f(x)在[-1,1]上的图象,然后作出其关于直线x=-1对称的图象,则得函数f(x)在[-3,-1]上的图象,再作其关于(1,0)对称的图象,则得函数f(x)在[-3,3]上的图象,最后作出函数g(x)的图象.由图象可知两函数的图象在[-3,3]上有6个交点.▲跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.跟踪集训7.(2018江苏南通阶段检测)设函数f(x)是定义域为R,周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)={lg|θ|,θ≠0,1,θ=0,则函数f(x)和g(x)的图象在区间[-5,10]内交点的个数为.陷阱八推理跳步——步骤过程要合理例8 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1.(2)求证:EF⊥B1C.易错分析证明立体几何中平行和垂直问题时,易出现的问题是对判定定理的条件书写不完整导致推理不严密或者使用课本上没有的、但是是正确的命题作为推理条件.正确证明(1)如图,连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为DD1,DB的中点,则EF∥D1B.因为EF∥D1B,D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)因为立体图形ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB⊥平面BCC1B1,又B1C⊂平面BCC1B1,所以B1C⊥AB.又因为B1C⊥BC1,AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1.因为BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1.又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.▲跳出陷阱 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,通过恰当地转化达到最终目的.解这类问题时要注意推理要严谨,使用定理时要找足条件,不要用没有证明的结论作为推理条件,同时书写要规范.跟踪集训8.(2018江苏海安高级中学阶段检测)如图,在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形,∠A 1AC=60°.在平面ABC 中,AB=2√3,BC=4,M 为BC 的中点,过A 1,B 1,M 三点的平面交AC 于点N. 求证:(1)N 为AC 的中点; (2)AC⊥平面A 1B 1MN.陷阱九 转化不当——由此及彼要等价 例9 f(x)=12x 2-2alnx+(a-2)x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a 恒成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.易错分析 该题易出现的问题是直接把θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a 转化为函数f(x)的导数的范围,即f'(x)>a,导致错解.正确解析 f'(x)=x-2θθ+a-2=(θ-2)(θ+θ)θ(x>0).(1)当a=1时,f(1)=-12, f'(x)=(θ-2)(θ+1)θ,f'(1)=-2,所以所求的切线方程为y-(-12)=-2(x-1), 即4x+2y-3=0.(2)①当-a=2,即a=-2时, f'(x)=(θ-2)2θ≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当0<-a<2,即-2<a<0时,因为0<x<-a 或x>2时,f'(x)>0;-a<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减. ③当-a>2,即a<-2时,因为0<x<2或x>-a 时,f'(x)>0;当2<x<-a 时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,2),(-a,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减. (3)假设存在这样的实数a 满足条件,不妨设x 1<x 2. 由θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1>a恒成立,知f(x 2)-ax 2>f(x 1)-ax 1恒成立.令g(x)=f(x)-ax=12x 2-2alnx-2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x-2θθ-2≥0,即2a≤x 2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立,因为(x-1)2-1在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a≤-12, 故存在这样的实数a 满足题意,其取值范围为(-∞,-12].▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“θ(θ2)-f(θ1)θ2-θ1”,其几何意义是曲线上两点(x 1,f(x 1))与(x 2,f(x 2))连线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数g(x)=f(x)-ax 的单调性问题进行求解.跟踪集训9.(2018江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数f(x)=x-θθ,g(x)=2alnx. (1)若b=0,函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求a 的值;(2)若a>0,b=-1,函数F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意x 1,x 2∈(0,1](x 1≠x 2),都有|F(x 1)-F(x 2)|<3|1θ1-1θ2|恒成立,求a 的取值范围;(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x),且G(x)有两个极值点x 1,x 2,其中x 1∈(0,13],求G(x 1)-G(x 2)的最小值.陷阱十 新定义不明——用新定义要明确例10 定义:用[x](x∈R)表示不超过x 的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x 的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:①函数f(x)=[sinx]是奇函数; ②2π是函数f(x)=[sinx]的周期;③若x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)<x 的解集为(43,2); ④函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1}. 其中正确的是 .(填上所有正确结论的序号)易错分析 未读懂新定义“[x](x∈R)”与“[x)(x∈R)”的含义,导致判断结论是否正确时出错. 答案 ②③④正确解析 对于①,因为f (π6)=[sin π6]=[0.5]=0, f (-π6)=[sin (-π6)]=[-0.5]=-1,所以f (-π6)≠-f (π6),所以函数f(x)=[sinx]不是奇函数,所以①错. 对于②,因为f(x)=[sinx]={0,2θπ≤θ<2θπ+π且θ≠2θπ+π2,1,θ=2θπ+π2,-1,2θπ+π<θ<2θπ+2π,k∈Z.数形结合可知,2π是函数f(x)=[sinx]的周期,所以②正确. 对于③,当x∈(1,2)时,[x)=2,由([x)-x)[x)<x,得{1<θ<2,(2-θ)·2<θ,解得43<x<2,故其解集为(43,2).所以③正确.对于④,因为g(x)=[sinx]+[cosx) ={ 2,θ=2θπ或θ=2θπ+π2,1,2θπ<θ<2θπ+π2,0,θπ+π2<x <kπ+π或θ=2θπ+π或θ=2θπ+3π2,-1,2θπ+π<θ<2θπ+3π2,k∈Z.所以函数g(x)=[sinx]+[cosx)的值域是{2,1,0,-1},所以④正确.▲跳出陷阱解新定义问题时,一定要过好审题关,仔细辨析试题中待求的问题.在准确理解新定义的前提下求解,这样才能避免掉入新定义问题的陷阱里.跟踪集训10.若函数f(x)(x1≤x≤x2)图象上的两端点A,B的横坐标分别为x1,x2,动点M(x M,y M)在函数f(x)的图象⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则称向量θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的上,且满足x M=x2+λ(x1-x2)(λ∈R),O为坐标原点,且点N满足θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λθθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =θθ模的最大值为函数f(x)的“向高”.函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为.答案精解精析陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质跟踪集训1.答案 {θ|θ>-12且λ≠2} 解析 因为θ为锐角,所以0<cosθ<1. 又因为cosθ=θ·θ|θ||θ|=5·√2+1, 所以5·√2+1>0且5·√2+1≠1,所以{2θ+1>0,2θ+1≠√5·√θ2+1,解得{θ>-12,θ≠2,所以λ的取值范围是{θ|θ>-12且λ≠2}.陷阱二 错用结论——公式定理要记准跟踪集训2.解析 (1)f(x)=sin (2θ+π6)-cos (2θ+π3)+2cos 2x=√32sin2x+12cos2x-12cos2x+√32sin2x+cos2x+1=√3sin2x+cos2x+1=2sin (2θ+π6)+1, ∴f (π12)=2sin (2×π12+π6)=√3+1.(2)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z);令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z),解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[θπ-π3,kπ+π6](k∈Z),f(x)的单调递减区间为[θπ+π6,kπ+2π3](k∈Z).(3)变换步骤:(答案不唯一) y=sinx y=sin2xy=sin (2θ+π6) y=2sin (2θ+π6)y=2sin (2θ+π6)+1.陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记跟踪集训3.解析 (1)由题意有3个点在椭圆C 上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆C 上,即9θ2+1θ2=1(a>b>0)①, 若点(-2√2,0)在椭圆C 上,则点(-2√2,0)必为椭圆C 的左顶点,而3>2√2,则点(-2√2,0)一定不在椭圆C 上,故点(√3,√3)在椭圆C 上,点(-2√2,0)在直线l 上, 所以3θ2+3θ2=1②,联立①②可解得a 2=12,b 2=4, 所以椭圆C 的方程为θ212+θ24=1.(2)证明:由(1)可得直线l 的方程为x=-2√2, 设P(-2√2,y 0),y 0∈(-2√33,2√33),当y 0≠0时,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),显然x 1≠x 2,联立{θ1212+θ124=1,θ2212+θ224=1,则θ12-θ2212+θ12-θ224=0,即θ1-θ2θ1-θ2=-13·θ1+θ2θ1+θ2,又PM=PN,即点P 为线段MN 的中点, 故直线MN 的斜率为-13·-2√2θ0=2√23θ0,又直线l'⊥MN,所以直线l'的方程为y-y 0=-(x+2√2),即y=-θ+4√23),显然直线l'过定点(-4√23,0);当y 0=0时,直线MN 为x=-2√2,此时直线l'为x 轴亦过点(-4√23,0).综上所述,直线l'过定点,且该定点的坐标为(-4√23,0).陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当跟踪集训4.解析 (1)因为函数f(x)=a x+x 2-xlna(a>0,a≠1), 所以f'(x)=a xlna+2x-lna,f'(0)=0,又因为f(0)=1,所以函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (2)由(1)知,f'(x)=a xlna+2x-lna=2x+(a x-1)lna.因为当a>0,a≠1时,总有f'(x)在R上是增函数,又f'(0)=0,所以不等式f'(x)>0的解集为(0,+∞),所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).(3)因为存在x1,x2∈[-1,1],使得|f(x1)-f(x2)|≥e-1成立,当x∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min,所以只要f(x)max-f(x)min≥e-1即可.又因为x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x (-∞,0)0 (0,+∞) f'(x) - 0 +f(x) 减函数极小值增函数所以f(x)在[-1,0)上是减函数,在(0,1]上是增函数,所以当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值f(x)min=f(0)=1,f(x)的最大值f(x)max为f(-1)和f(1)中的最大值.因为f(1)-f(-1)=(a+1-lna)-(1θ+1+lnθ)=a-1θ-2lna,令g(a)=a-1θ-2lna(a>0),因为g'(a)=1+1θ2-2θ=(1-1θ)2≥0(当a=1时,取“=”),所以g(a)在(0,+∞)上是增函数.而g(1)=0,故当a>1时,g(a)>0,即f(1)>f(-1);当0<a<1时,g(a)<0,即f(1)<f(-1).所以,当a>1时,f(1)-f(0)≥e-1,即a-lna≥e-1,函数y=a-lna在(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;当0<a<1时,f(-1)-f(0)≥e-1,即1θ+lna≥e-1,函数y=1θ+lna在(0,1)上是减函数,解得0<a≤1e.综上可知,实数a的取值范围为(0,1e]∪[e,+∞).陷阱五条件遗漏——细心审题不遗漏跟踪集训5.答案(2,+∞)解析不妨设A<B<C,则a<b<c,A+C=2B=π-B,B=π3,{0<θ<π3,π2<C=2π3-A<π⇒0<A<π6,0<tanA<√33,√32tanθ>32,m=θθ=sin θsin θ =sin (2π3-A )sin θ=√32cos θ+12sin θsin θ=12+√32tan θ>2, 即实数m 的取值范围是(2,+∞).陷阱六 推理不当——归纳类比要合理跟踪集训6.解析 (1)若a 1,a 2,…,a n ∈R,a 1+a 2+…+a n =1,则θ12+θ22+…+θθ2≥1θ.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x -a n )2,则f(x)=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+…+θ12+θ22+…+θθ2=nx 2-2x+θ12+θ22+…+θθ2,∵对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(θ12+θ22+…+θθ2)≤0, 从而得θ12+θ22+…+θθ2≥1θ.陷阱七 画图不准——数化“形”要准确跟踪集训 7.答案 15解析 函数y=f(x),y=g(x),x∈[-5,10]的图象的交点个数即为函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数,在同一坐标系中作出函数图象如图,当x∈[9,10]时,f(9)=0<g(9)=lg9,f(10)=1=g(10)=lg10,所以在区间(9,10)内还有一个交点,由图可得两个函数图象有15个交点,故函数零点个数是15.陷阱八 推理跳步——步骤过程要合理跟踪集训8.证明 (1)在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB∥A 1B 1,平面ABC∥平面A 1B 1C 1, 平面A 1B 1M∩平面ABC=MN, 平面A 1B 1M∩平面A 1B 1C 1=A 1B 1, 所以MN∥A 1B 1.因为AB∥A 1B 1,所以MN∥AB,所以θθθθ=θθθθ. 因为M 为AB 的中点,所以N 为AC 的中点.(2)在三角形A 1AN 中,AN=1,AA 1=2,∠A 1AC=60°,由余弦定理得A 1N=√3, 故A 1A 2=AN 2+A 1N 2,从而可得∠A 1NA=90°,即A 1N⊥AC. 在三角形ABC 中,AB=2√3,AC=2,BC=4,则BC 2=AB 2+AC 2,从而可得∠BAC=90°,即AB⊥AC. 又MN∥AB,则AC⊥MN.因为MN∩A 1N=N,MN ⊂面A 1B 1MN,A 1N ⊂面A 1B 1MN, 所以AC⊥平面A 1B 1MN.陷阱九 转化不当——由此及彼要等价跟踪集训9.解析 (1)当b=0时,函数f(x)=x 的图象与g(x)=2alnx 的图象相切,设切点为(x 0,2alnx 0),则切线方程为y=2θθx-2a+2alnx 0,所以{2θθ0=1,-2θ+2θln θ0=0,得{θ0=e,θ=e 2,所以a=e 2.(2)当a>0,b=-1时,F(x)=x 2+1+2alnx,F'(x)=2x+2θθ>0,所以F(x)在(0,1]上递增. 不妨设0<x 1<x 2≤1,原不等式⇔F(x 2)-F(x 1)<3(1θ1-1θ2),即F(x 2)+3θ2<F(x 1)+3θ1.设h(x)=x 2+1+2alnx+3θ,则原不等式⇔h(x)在(0,1]上递减,即h'(x)=2x+2θθ-3θ2≤0在(0,1]上恒成立,所以2a≤3θ-2x 2在(0,1]上恒成立. y=3θ-2x 2在(0,1]上递减,所以y min =3-2=1,所以2a≤1,又a>0,所以0<a≤12. (3)当b=1时,函数G(x)=f(x)+g(x)=x-1θ+2alnx,G'(x)=θ2+2ax +1θ2(x>0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根,∴x 1x 2=1,x 1+x 2=-2a,x 2=1θ1,2a=-x 1-1θ1,G(x 1)-G(x 2)=G(x 1)-G (1θ1)=2[θ1-1θ1-(θ1+1θ1)ln θ1].令H(x)=2[θ-1θ-(θ+1θ)ln θ], H'(x)=2(1θ2-1)lnx=2(1+θ)(1-θ)ln θθ2.当x∈(0,13]时,H'(x)<0,所以H(x)在(0,13]上单调递减,H(x)的最小值为H (13)=20ln3-163,即G(x 1)-G(x 2)的最小值为20ln3-163.陷阱十 新定义不明——用新定义要明确跟踪集训 10.答案 9解析 易知A(-1,7),B(5,7),所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,0),所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λθθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-6λ,7). 因为x M =x 2+λ(x 1-x 2),所以x M =5+λ(-1-5)=5-6λ. 因为点M(x M ,y M )在函数f(x)的图象上, 所以-1≤5-6λ≤5,解得0≤λ≤1.所以y M =f(5-6λ)=(5-6λ)2-4(5-6λ)+2=36λ2-36λ+7,所以θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-6λ,7)-(5-6λ,36λ2-36λ+7)=(0,-36λ2+36λ), 所以|θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|-36λ2+36λ|=36|-(θ-12)2+14|, 当λ=12时,|θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最大值,为9.所以函数f(x)=x 2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为9,故填9.。

必备五解题模板给力模板一函数性质的应用典型例题例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数，若当x∈[0,1)时,f(x)=2x—1，则f（lo g126）的值是。

答案-12解析因为-3〈lo g126〈—2,所以—1〈lo g126+2〈0,即-1〈lo g1232〈0.（转化)又f（x)是周期为2的奇函数,所以f(lo g126)=f(log1232)=-f(-log1232)=-f(log232)=-（2log232-1)=-12.(求值)故填-12。

(结论)▲模板构建已知函数解析式求函数值，常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:跟踪集训1.（2018南京第一学期期中考试)已知奇函数f（x）的图象关于直线x=—2对称,当x∈[0，2]时，f(x）=2x,那么f（6）的值为。

模板二函数的零点典型例题例2 根据表格中的数据,可以断定方程e x—(x+2)=0(e≈2。

72）的一个根所在的区间是（填序号）.x—10123e x0.3712。

727。

4020。

12x+212345①（-1,0）;②（0,1)；③(1，2）;④（2，3).答案③解析令f(x)=e x-(x+2),显然f（x）在R上为连续函数，由已知得,f(-1）=0。

37-1〈0，f(0）=1—2<0,f （1）=2.72—3<0,f（2）=7。

40-4〉0，f(3）=20.12—5〉0。

由于f(1)·f(2)<0，因此方程e x-（x+2）=0的一个根在区间(1，2）内，故填③。

▲模板构建函数零点存在性定理就是根据函数f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间的方法。

这种方法适用于不需要确定零点的具体值，只需确定其大致范围的问题。

基本的解题要点为:跟踪集训2。

(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数f（x）=lgx+32x-9在区间（n,n+1)(n∈Z）上存在零点，则n= 。

必备六 解题技法增分技法一 特例法在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果. 典型例题例1 (1)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等差数列,则cos A +cos A 1+cos A cos A= .(2)AD,BE 分别是△ABC 的中线,若|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案 (1)45 (2)23解析 (1)利用特例法,令a=3,b=4,c=5,则△ABC 为直角三角形,cosA=45,cosC=0,从而所求值为45. (2)易知等边三角形为符合题意的△ABC 的一个特例,则|AB|=2√33,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=23.【方法归纳】当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理. 跟踪集训1.求值:cos 2a+cos 2(a+120°)+cos 2(a+240°)= .2.已知m,n 是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若n⊥α,n⊥β,则α∥β;③若α内不共线的三点到β的距离都相等,则α∥β;④若n ⊄α,m ⊄α,且n∥β,m∥β,则α∥β;⑤若m,n 为异面直线,n ⊄α,n∥β,m ⊄β,m∥α,则α∥β.其中正确的命题是 .(把你认为正确的命题序号都填上)3.如图,点P 为椭圆A 225+A 29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点C,过点P 引BC,AC 的平行线,分别交AC 于点N,交BC 于点M,交AB 于D 、E 两点,记矩形PMCN 的面积为S 1,三角形PDE 的面积为S 2,则S 1∶S 2= . 技法二 图解法 典型例题例2 (1)直线y=x+m 与曲线x=√1-A 2有且仅有一个公共点,则m 的取值范围是 .(2)已知函数f(x)={A 2+(4a -3)x +3a,A <0,log A (x +1)+1,A ≥0(a>0,且a≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f(x)|=2-A3恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 .答案 (1)-1<m≤1或m=-√2 (2)[13,23)解析 (1)作出曲线x=√1-A 2的图形,如图所示.由图形可得,当直线y=x+m 在b 和c 之间变化时,满足题意,同时,当直线在a 的位置时也满足题意,所以m 的取值范围是-1<m≤1或m=-√2.(2)因为函数f(x)在R 上单调递减,所以{02+(4a -3)·0+3a ≥f(0),3-4A 2≥0,0<A <1.解得13≤a≤34.在同一平面直角坐标系中作出函数y=|f(x)|,y=2-A3的图象,如图.由图象可知,在[0,+∞)上,方程|f(x)|=2-A 3有且仅有一个解;在(-∞,0)上,方程|f(x)|=2-A3同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<23.综上,a 的取值范围是[13,23).【方法归纳】图解法实质上是数形结合的思想在解题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果. 跟踪集训4.(2018江苏连云港期末)若方程组{A 2+A 2+8x -10y +5=0,A 2+A 2+2x -2y +2-t =0有解,则实数t 的取值范围是 .5.向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cosα,√2sinα),则向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的取值范围是 .6.(2018镇江高三期末考试)已知k 为常数,函数f(x)={A +2A +1,x≤0,|ln A |,A >0,若关于x 的方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则实数k 的取值范围为 . 技法三 等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果.典型例题例3 对任意的|m|≤2,函数f(x)=mx 2-2x+1-m 恒负,则x 的取值范围为 .答案 (√7-12,√3+12) 解析 对任意的|m|≤2,有mx 2-2x+1-m<0恒成立,等价于|m|≤2时,(x 2-1)m-2x+1<0恒成立.设g(m)=(x 2-1)m-2x+1,则原问题转化为g(m)<0在[-2,2]上恒成立,则{A (-2)<0,A (2)<0,即{2A 2+2x -3>0,2A 2-2x -1<0,解得√7-12<x<√3+12.从而实数x 的取值范围是(√7-12,√3+12). 【方法归纳】在处理多元的数学问题时,我们可以选取其中的常量(或参数),将其看做“主元”,通过构造函数进行求解.运用转化方法解题,要注意转化的方向性,使转化的目的明确,使解题思路自然流畅,此外还要注意转化前后的等价性. 跟踪集训7.无论k 为何实数,直线y=kx+1与曲线x 2+y 2-2ax+a 2-2a-4=0恒有交点,则实数a 的取值范围是 .8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别是AB,CD 的中点,点G 是EF 上的动点,记△A 1B 1G,△C 1D 1G 的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的最小值为 .技法四 待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于一个任意的a 值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等. 典型例题例4 已知圆M 的方程为x 2+(y-2)2=1,直线l 的方程为x-2y=0,点P 在直线l 上,过P 点作圆M 的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若P 点的坐标为(2,1),过P 作直线与圆M 交于C,D 两点,当CD=√2时,求直线CD 的方程; (2)求证:经过A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.解析 (1)易知直线CD 的斜率k 存在,设直线CD 的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由题知圆心M 到直线CD 的距离为√22,所以√22=√,解得k=-1或k=-17,故所求直线CD 的方程为x+y-3=0或x+7y-9=0. (2)证明:设P(2m,m),则MP 的中点Q (A ,A 2+1).因为PA 是圆M 的切线,所以经过A,P,M 三点的圆是以Q 为圆心,MQ 为半径的圆, 故其方程为(x-m)2+(A -A 2-1)2=m 2+(A2-1)2,化简得x 2+y 2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m 的恒等式,故{A 2+A 2-2y =0,2A +A -2=0,解得{A =0,A =2或{A =45,A =25.所以经过A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或(45,25). 【方法归纳】待定系数法解题的基本步骤: 第一步:确定含有待定系数的式子;第二步:根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步:解方程(组)或者消去待定系数,得到结果. 跟踪集训9.已知二次函数f(x)的图象与x 轴的两交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10,则f(x)的解析式为 .10.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,其离心率为√53,短轴的端点是B 1,B 2,点M(2,0)是x 轴上的一定点,且MB 1⊥MB 2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A,B 两点.试问x 轴上是否存在定点P,使直线PA 与PB 的斜率互为相反数?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.技法五 换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等. 典型例题例5 已知函数f(x)=x 2,g(x)=alnx+bx(a>0).设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x 1,x 2,且x 1,x 0,x 2成等差数列,试探究G'(x 0)的符号.解析 因为G(x)=x 2+2-alnx-bx 有两个零点x 1,x 2,所以{A 12+2-aln A 1-b A 1=0,A 22+2-aln A 2-b A 2=0,两式相减得A 22-A 12-a(lnx 2-lnx 1)-b(x 2-x 1)=0,即x 2+x 1-b=A (ln A 2-ln A 1)A 2-A 1, 于是G'(x 0)=2x 0-A A 0-b=(x 1+x 2-b)-2A A 1+A 2=A (ln A 2-ln A 1)A 2-A 1-2A A 1+A 2=A A 2-A 1[ln A 2A 1-2(A 2-A 1)A 1+A 2] =A A 2-A 1[ln A 2A 1-2(A 2A 1-1)1+A 2A1]. ①当0<x 1<x 2时,令A2A 1=t,则t>1,且G'(x0)=AA2-A1[ln A-2(A-1)1+A].设u(t)=lnt-2(A-1)1+A(t>1),则u'(t)=1A -4(1+A)2=(1-A)2A(1+A)2>0,则u(t)=lnt-2(A-1)1+A在(1,+∞)上为增函数,而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt-2(A-1)1+A>0.又因为a>0,x2-x1>0,所以G'(x0)>0.②当0<x2<x1时,同理可得,G'(x0)>0.综上所述,G'(x0)的符号为正.【方法归纳】本题涉及两个变量x1,x2,在解题时利用换元法简化过程,然后构造函数,再利用导数法,结合函数单调性进行符号的判断.本题把式子A2A1看成一个整体,用变量t去代替它,从而达到化二元为一元的目的,同时使本来零乱、分散的问题得到简化.这种技巧在解题时非常重要,需要灵活运用.跟踪集训11.若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式为.12.已知函数f(x)=4x,g(x)=2x,则方程f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=229的解为.13.y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6 在四面体ABCD中,若AB=CD=√13,AC=BD=5,AD=BC=2√5,则该四面体的体积V= .答案8解析构造如图所示的长方体,并且满足AB=CD=√13,AC=BD=5,AD=BC=2√5.设AP=p,AQ=q,AR=r,则p 2+q 2=AB 2=13,r 2+p 2=AD 2=20,q 2+r 2=AC 2=25. 由上述三式得p 2+q 2+r 2=29,于是r=4,q=3,p=2. 故V=V 长方体-4V C-AQB =2×3×4-4×13×4×12×2×3=8. 【方法归纳】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题.在立体几何中,补形构造是最常用的解题技巧.通过补形可以将一般几何体的有关问题放在特殊的几何体中求解,如将三棱锥补成长方体等. 跟踪集训14.设函数f(x)=lnx+A A ,m∈R,若对任意b>a>0,A (A )-A (A )A -A<1恒成立,则m 的取值范围为 .15.(2018南通调研)已知a 为常数,函数f(x)=的最小值为-23,则a 的所有值为 . 技法七 逆向思维法解数学问题时,一般总是从正面入手进行思考.但时常会遇到从正面入手较复杂或不易解决的情况,这时若灵活运用逆向思维来分析解题,则能使问题得到非常简捷的解决,起到事半功倍之效. 典型例题例7 若二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一个数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是 .答案 (-3,32)解析 若f(x)在[-1,1]上不存在使f(c)>0的数c,则f(x)在[-1,1]内小于等于0,又Δ=36p 2≥0,故f(-1)≤0且f(1)≤0,因此若要满足题意,则只需f(-1)>0或f(1)>0即可,由f(1)>0,得2p 2+3p-9<0,即-3<p<32;由f(-1)>0,得2p 2-p-1<0,即-12<p<1.故所求实数p 的取值范围是(-3,32).【方法归纳】直接利用二次函数在区间[-1,1]上的图象特征求至少存在一个实数c,使f(x)>0,这个问题似乎无从下手,困难较大.若用逆向思维利用补集思想求解,则很直观简捷.跟踪集训16.已知集合A={x|x 2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠⌀,则实数m 的取值范围是 . 技法八 分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该方法也适用于含参方程有解、无解等问题.但要注意该方法仅适用于分离参数后能求出相应函数的最值或值域的情况. 典型例题例8 已知函数f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.(1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图象相切的直线方程; (2)若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a 的取值范围; (3)若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)<g(x 0),求a 的取值范围.解析 (1)设切点为(x 0,y 0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为e A 0(3x 0+1),所以切线方程为y-y 0=e A 0(3x 0+1)(x-x 0),因为切线过点(2,0), 所以-e A 0(3x 0-2)=e A 0(3x 0+1)(2-x 0), 化简得3A 02-8x 0=0, 解得x 0=0或x 0=83,当x 0=0时,切线方程为y=x-2, 当x 0=83时,切线方程为y=9e 83x-18e 83.(2)由题意,对任意x∈R 有e x(3x-2)≥a(x -2)恒成立, ①当x∈(-∞,2)时,a≥e A (3x -2)A -2⇒a≥[e A (3x -2)A -2]max,令F(x)=e A (3x -2)A -2,则F'(x)=e A (3A 2-8x)(A -2)2,令F'(x)=0,得x=0,x (-∞,0) 0 (0,2) F'(x) + 0 - F(x)单调递增极大值单调递减F max (x)=F(0)=1,故此时a≥1, ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.③当x∈(2,+∞)时,a≤e A (3x -2)A -2⇒a≤[e A (3x -2)A -2]min,令F'(x)=0⇒x=83,x (2,83)83 (83,+∞) F'(x) - 0 + F(x)单调递减极小值单调递增F min (x)=F (83)=9e 83,故此时a≤9e 83.综上,1≤a≤9e 83.(3)因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2), 由(2)知a∈(-∞,1)∪(9e 83,+∞), 令F(x)=e A (3x -2)A -2,则x (-∞,0) 0 (0,2) (2,83)83 (83,+∞) F'(x) + 0 - - 0 + F(x)单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增当x∈(-∞,2)时,存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<g(x 0),等价于存在唯一的整数x 0使得a<e A (3x -2)A -2成立,因为F(0)=1最大,F(-1)=53e,F(1)=-e,所以当a<53e时,至少有两个整数成立,所以a∈[53e ,1).当x∈(2,+∞)时,存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<g(x 0), 等价于存在唯一的整数x 0使得a>e A (3x -2)A -2成立,因为F (83)=9e 83最小,且F(3)=7e 3,F(4)=5e 4,所以当a>5e 4时,至少有两个整数成立,所以当a≤7e 3时,没有整数成立,所以a∈(7e 3,5e 4], 综上,a∈[53e ,1)∪(7e 3,5e 4]. 【方法归纳】对于求不等式成立时参数范围的问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上的具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,那么就不要使用分离参数法. 跟踪集训17.若不等式2xlnx≥-x 2+ax-3恒成立,则实数a 的取值范围为 .18.已知函数f(x)=13x 3-x 2-3x+43,直线l:9x+2y+c=0,当x∈[-2,2]时,函数f(x)的图象恒在直线l 下方,则c 的取值范围是 . 技法九 整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将多个数之和的表达式或多项式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算. 典型例题例9 在等比数列{a n }中,公比q=2,前87项和S 87=140,则a 3+a 6+a 9+…+a 87= .答案 80解析 设b 1=a 1+a 4+a 7+…+a 85,b 2=a 2+a 5+a 8+…+a 86,b 3=a 3+a 6+a 9+…+a 87, 因为b 1q=b 2,b 2q=b 3,且b 1+b 2+b 3=140, 所以b 1(1+q+q 2)=140,而1+q+q 2=7, 所以b 1=20,则b 3=q 2b 1=4×20=80. 【方法归纳】整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系. 跟踪集训19.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2a 4a 6a 8=120,且1A 4A 6A 8+1A 2A 6A 8+1A 2A 4A 8+1A 2A 4A 6=760,则S 9的值为 .20.在正项等比数列{a n }中,a 4+a 3-2a 2-2a 1=6,则a 5+a 6的最小值为 . 技法十 判别式法判别式法就是利用一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有解的充要条件(判别式Δ=b 2-4ac≥0)求解. 典型例题例10 已知α,β,γ为任意三角形的三个内角,求证:x 2+y 2+z 2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.证明设f(x)=x2+y2+z2-(2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ)=x2-2(ycosα+zcosγ)x+y2+z2-2yzcosβ,又Δ=4(ycosα+zcosγ)2-4(y2+z2-2yzcosβ)=-4(ysinα-zsinγ)2≤0,所以f(x)≥0,即x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.【方法归纳】判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用Δ≥0来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的一元二次函数,然后利用Δ≤0来证明.跟踪集训21.函数y=2A2+4x-7A2+2x+3的值域为.22.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.23.给定两个长度为1的平面向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心的AA⏜上运动,若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中x,y∈R,则x+y的最大值是.技法十一归纳法归纳法的过程可概括为从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出结论发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.典型例题例11 (2018江苏沭阳调研)观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……据其中规律,可以猜想出:1+122+132+142+…+1102< .答案1910解析由已知中的不等式:1+122<32=2×2-12,1+122+132<53=2×3-13,1+122+132+142<74=2×4-14,……我们可以推断出:不等式右边分式的分母与左边最后一项分母的底数相等,分子是分母的2倍减1,即1+122+132+142+…+1A 2<2A -1A,∴1+122+132+142+…+1102<2×10-110=1910,故答案为1910.【方法归纳】归纳问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性. 跟踪集训24.(2018江苏如皋调研)已知函数f 0(x)=Ae A ,设f n+1(x)为f n (x)的导函数,f 1(x)=[f 0(x)]'=1-Ae A ,f 2(x)=[f 1(x)]'=A -2e A ,……根据以上结果,推断f 2017(x)= . 25.某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°组成的;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端再生成两条长度为原来的13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°;……,依此规律得到n 级分形图.(1)n 级分形图中共有 条线段;(2)n 级分形图中所有线段长度之和为 . 技法十二 等积转化法等积转化法是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式求解相关问题的方法.其主要用于立体几何体中求解点到面的距离. 典型例题例12 如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形,M 为PC 的中点.(1)求证:PC⊥AD;(2)求点D 到平面PAM 的距离.解析 (1)证明:如图,取AD 的中点O,连接OP,OC,AC,△PAD,△ACD 均为正三角形,所以OC⊥AD,OP⊥AD. 又OC∩OP=O,所以AD⊥平面POC, 又PC ⊂平面POC,所以PC⊥AD.(2)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离,由(1)可知,PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO ⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO 为三棱锥P-ACD 的高.在Rt△POC 中,PO=OC=√3,PC=√6,在△PAC 中,PA=AC=2,PC=√6,边PC 上的高AM=√AA 2-P A 2=√22-(√62)2=√102, 所以△PAC 的面积S △PAC =12PC·AM=12×√6×√102=√152. 设点D 到平面PAC 的距离为h,因为V D-PAC =V P-ACD , 所以13S △PAC ·h=13S △ACD ·PO,又S △ACD =12×2×√3=√3,所以13×√152×h=13×√3×√3,解得h=2√155.故点D 到平面PAM 的距离为2√155.【方法归纳】等积变换法求解点到平面的距离,关键是选择合适的底面,选择的底面应具备两个特征:一是底面的形状规则,面积可求;二是底面上的高比较明显,即线面垂直比较明显. 跟踪集训26.如图所示,四边形ABCD 是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F 分别是AC,PC 的中点,PA=2,AB=1,则三棱锥C-PED 的体积为 .CD=1.27.如图所示,已知正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=12(1)当点M为ED的中点时,求证:AM∥平面BEC;(2)求点D到平面BEC的距离.答案精解精析技法一特例法跟踪集训1.答案32解析题目中“求值”二字暗示答案为一定值,于是不妨令a=0°,得结果为32.2.答案②解析依题意可取特殊模型正方体AC1(如图),在正方体AC1中逐一判断各命题,易得正确的命题是②.3.答案 1解析不妨取点P(4,95),则可计算S1=(3-95)×(5-4)=65,易求得PD=2,PE=65,所以S2=12×2×65=65,所以S1∶S2=1.技法二图解法跟踪集训4.答案[1,121]解析原方程组有解,即两圆(x+4)2+(y-5)2=36与(x+1)2+(y-1)2=t有交点,则|√A-6|≤5≤√A+6,解得1≤√A≤11,则1≤t≤121.5.答案[105°,165°]解析不妨令O为坐标原点.∵AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),∴B(2,0),C(2,2),∵AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cosα,√2sinα),∴|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴点A在以点C为圆心,√2为半径的圆上.∴当OA与圆C相切时,向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角取得最大值或最小值.设切点分别为点A和点A',连接OC,OA,OA',如图,则OC=2√2,AC⊥OA,∵sin∠AOC=AA AA =12,∴∠AOC=∠A'OC=30°, ∴∠AOB=∠A'Oy=15°,∴当切点为点A 时,向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角取得最小值15°+90°=105°, 当切点为点A'时,向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角取得最大值180°-15°=165°. 故答案为[105°,165°]. 6.答案 {1e 3}∪(-e,-1)解析 当x=0时,A +2A +1=kx+2成立,故当x≠0时,方程有三个根, 当x<0时,A +2A +1=kx+2⇒k=-1A +1,当x>0时,|lnx|=kx+2⇒k=|ln A |A -2A={-ln A -2A,0<x <1,ln A -2A,x ≥1,故k={-1A +1,x <0,-ln A -2A ,0<x <1,ln A -2A ,x ≥1,令k=g(x), 当0<x<1时,g'(x)=-1-(-ln A -2)A 2=ln A +1A 2,令g'(x)=0,则x=1e ,g (1e )=-e,当x≥1时,g'(x)=1-(ln A -2)A 2=-ln A +3A 2,令g'(x)=0,则x=e 3,g(e 3)=1e 3. 画出图象可得k∈(-e,-1)∪{1e 3}.技法三 等价转化法跟踪集训 7.答案 [-1,3]解析 题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,即等价于点(0,1)到圆心(a,0)的距离小于或等于圆半径,即√A 2+1≤√2A +4,解得-1≤a≤3. 8.答案 2√5解析 设EG=x,则FG=2-x,0≤x≤2,则S 1+S 2=12×2√A 2+4+12×2√(2-A )2+4=√(A -0)2+(0-2)2+√(A -2)2+(0-2)2,在平面直角坐标系中,它表示x 轴上的点P(x,0)到M(0,2)与N(2,2)两点的距离之和,而点M 关于x 轴的对称点为M'(0,-2),且当P 在直线M'N 上时,PM+PN 最小,为2√5,则S 1+S 2的最小值为2√5.技法四 待定系数法跟踪集训9.答案 f(x)=x 2-7x+10解析 设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0).∵二次函数f(x)的图象与x 轴的两交点坐标为(2,0),(5,0),f(0)=10, ∴{4A +2A +A =0,25A +5A +A =0,A =10,∴{A =1,A =-7,A =10,∴f(x)=x 2-7x+10. 10.解析 (1)设椭圆的标准方程为A 2A 2+A 2A 2=1(a>b>0), ∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,b),AA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-b),∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,解得b 2=4,又e=√A 2-A 2A=√1-A 2A2=√53,解得a 2=9,故椭圆的标准方程为A 29+A 24=1.(2)是.假设存在满足条件的定点P,其坐标为(t,0),由题意可设直线AB 的方程为x=my+2,代入A 29+A 24=1,整理得(4m 2+9)y 2+16my-20=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∴y 1+y 2=-16A4A 2+9,y 1·y 2=-204A 2+9.又PA,PB 所在直线斜率分别为k PA =A 1A1-t,k PB =A 2A 2-t,∴k PA +k PB =0⇔y 1(x 2-t)+y 2(x 1-t)=0⇔2my 1y 2+(2-t)(y 1+y 2)=0⇔-40m-16m(2-t)=0. 上式对任意m∈R 恒成立,其充要条件为-40m-16m(2-t)=0,解得t=92. 故存在满足条件的定点P,其坐标为(92,0).技法五 换元法跟踪集训11.答案 f(x)=3e x+4解析 令lnx=t,则x=e t,f(t)=3e t+4,即f(x)=3e x+4. 12.答案 x=log 23或x=log 213解析 由f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=229,得4x +4-x -2(2x +2-x)=229,令t=2x +2-x ,则4x +4-x =t 2-2,故原方程可化为9t 2-18t-40=0,解得t=103或t=-43(舍去),则2x +2-x=103,即2x+12A =103, 解得2x=3或2x=13,所以x=log 23或x=log 213. 13.答案 12+√2解析 设sinx+cosx=t,则t∈[-√2,√2],则y=A 22+t-12=12(t+1)2-1,当t=√2时,y 取最大值,y max =12+√2.技法六 构造法跟踪集训14.答案 [14,+∞)解析 对于任意的b>a>0,A (A )-A (A )A -A<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a 恒成立,设h(x)=f(x)-x=lnx+A A-x(x>0),则h(b)<h(a),所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h'(x)=1A -AA 2-1≤0在(0,+∞)上恒成立,所以m≥-x 2+x=-(A -12)2+14(x>0),所以m≥14,即实数m 的取值范围为[14,+∞). 15.答案 4,14解析 构造平面向量的数量积.由函数解析式可得a>0,a≠1,f(x)=A √A -A 2+x √1-A 2A -1,令m=(x,√1-A 2),n=(√A -A 2,x),则|m|=1,|n|=√A ,设m,n 的夹角是α,α∈[0,π],则x √A -A 2+x √1-A 2=m·n=√A cosα∈[-√A ,√A ],当0<a<1时,f(x)min =√AA -1=-23,解得a=14,适合;当a>1时,f(x)min =-√AA -1=-23,解得a=4,适合,故a 的值为4或14.技法七 逆向思维法跟踪集训16.答案 (-∞,-1] 解析 若A∩B=⌀,则①当A=⌀时,有Δ=(-4m)2-4(2m+6)<0,解得-1<m<32;②当A≠⌀时,方程x 2-4mx+2m+6=0的两根x 1,x 2均为非负数,则{(-4A )2-4(2m +6)≥0,A 1+A 2=4m ≥0,A 1·A 2=2m +6≥0,解得m≥32,则当A∩B=⌀时,m>-1,故所求实数m 的取值范围为(-∞,-1].技法八 分离参数法跟踪集训 17.答案 (-∞,4]解析 已知条件可转化为a≤2lnx+x+3A 恒成立. 设f(x)=2lnx+x+3A ,则f'(x)=(A +3)(A -1)A 2(x>0).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以f(x)min =f(1)=4,所以a≤4. 18.答案 (-∞,-6)解析 根据题意知13x 3-x 2-3x+43<-92x-A 2在x∈[-2,2]上恒成立,则-A 2>13x 3-x 2+32x+43,设g(x)=13x 3-x 2+32x+43,则g'(x)=x 2-2x+32,因为g'(x)>0恒成立,所以g(x)在[-2,2]上单调递增, 所以g(x)max =g(2)=3,则c<-6.技法九 整体代换法跟踪集训 19.答案 632 解析1A 4A 6A 8+1A 2A 6A 8+1A 2A 4A 8+1A 2A 4A 6=A 2120+A 4120+A 6120+A 8120=760,则2(a 2+a 8)=14,即a 2+a 8=7,所以S 9=9(A 2+A 8)2=632.20.答案 48解析 设正项等比数列的公比为q,q>0,则a 4+a 3-2a 2-2a 1=(a 2+a 1)(q 2-2)=6, 则a 2+a 1=6A 2-2>0,q 2>0, a 5+a 6=(a 2+a 1)q 4=6A 4A 2-2=6(q 2-2)+24A 2-2+24≥12√(A 2-2)·4A 2-2+24=48,当且仅当q=2时取等号,故a 5+a 6的最小值是48.技法十 判别式法跟踪集训 21.答案 [-92,2)解析 已知函数式可变形为yx 2+2yx+3y=2x 2+4x-7,即(y-2)x 2+2(y-2)x+3y+7=0, 当y≠2时,将上式视为关于x 的一元二次方程, ∵x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)·(3y+7)≥0,整理得2y 2+5y-18≤0,因式分解得2(y-2)·(A +92)≤0,解得-92≤y<2(也可以依据二次函数y=2x 2+5x-18在x 轴下方的图象求解).当y=2时,3×2+7≠0,不符合题意,应舍去. 故函数的值域为[-92,2).22.答案 (-∞,-2√2]∪[2√2,+∞) 解析 因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0, 化简得2A 12+9da 1+10d 2+1=0.因为a 1∈R,所以Δ=81d 2-8(10d 2+1)≥0, 得d≥2√2或d≤-2√2. 23.答案 2解析 因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2,所以x 2+y 2-xy=1.(*)记x+y=t,则x=t-y,代入(*),得(t-y)2+y 2-(t-y)y=1,化简得3y 2-3ty+t 2-1=0,因为Δ=(-3t)2-12(t 2-1)≥0,所以t 2≤4,所以x+y 的最大值是2.技法十一 归纳法跟踪集训24.答案 2017-Ae A解析 f 3(x)=[f 2(x)]'=1×e A -(x -2)e A (e A )=3-Ae ⇒f n (x)=(-1)n-1A -A e ⇒f 2017(x)=(-1)2017-12017-A e =2017-A e . 25.答案 (1)3·2n -3 (2)9-9·(23)A解析 (1)由题图知,一级分形图中有3=3×2-3条线段,二级分形图中有9=3×22-3条线段,三级分形图中有21=3×23-3条线段,按此规律得n 级分形图中的线段条数为3·2n -3.(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,∴n 级分形图中第n 级的(最短的)所有线段的长度和为3·(23)A -1(n∈N *),∴n 级分形图中所有线段的长度之和为 3·(23)0+3·(23)1+…+3·(23)A -1=3·1-(23)A1-23=9-9·(23)A. 技法十二 等积转化法跟踪集训26.答案 16 解析 ∵PA⊥平面ABCD,∴PA 是三棱锥P-CED 的高,PA=2.∵四边形ABCD 是正方形,E 是AC 的中点,∴△CED 是等腰直角三角形,∵AB=1,∴CE=ED=√22,∴S △CED =12CE·ED=12×√22×√22=14. ∴V C-PED =V P-CED =13·S △CED ·PA=13×14×2=16. 27.解析 (1)证明:如图,取EC 的中点N,连接MN,BN.在△EDC 中,M,N 分别为ED,EC 的中点,所以MN∥CD,且MN=12CD.又AB∥CD,AB=12CD,所以MN∥AB,且MN=AB.所以四边形ABNM 为平行四边形,所以BN∥AM. 因为BN ⊂平面BEC,且AM ⊄平面BEC,所以AM∥平面BEC.(2)如图,连接BD.在正方形ADEF 中,ED⊥AD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD, 所以ED⊥平面ABCD,而BC ⊂平面ABCD,所以ED⊥BC. 在直角梯形ABCD 中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=√2. 在△BCD 中,BD=BC=√2,CD=2,所以BD 2+BC 2=CD 2,所以BC⊥BD.又DE∩DB=D,所以BC⊥平面EDB.又BE ⊂平面EDB,所以BC⊥BE.设点D 到平面BEC 的距离为d,由V D-BEC =V E-BCD ,得13S △BEC ·d=13S △BCD ·ED, 即S △BEC ·d=S △BCD ·ED.在△EDB 中,BE=√AA 2+D A 2=√3,所以S △BEC =12·BE·BC=12×√3×√2=√62,又S △BCD =12·BD·BC=12×√2×√2=1, 所以√62d=1×1,得d=√63,于是点D 到平面BEC 的距离为√63.。

必备一主干知识回扣技法一函数性质1.函数的单调性(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在这个区间I上是增(减)函数.(2)证明方法:定义法、导数法.2.函数的奇偶性(1)定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.(2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.3.函数零点(1)对于函数y=f(x),x∈D,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x(x∈D)称为函数y=f(x)的零点,实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,它是实数而不是点.函数y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程f(x)-g(x)=0的根或函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标.(2)零点存在性定理:一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.这一定理一般用来证明函数有零点,其逆命题是假命题.技法二导数1.导数的几何意义:f'(x0)表示曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.2.常见的导数公式:(x n)'=nx n-1;(a x)'=a x lna(a>0且a≠1);(e x)'=e x;(log a x)'=1(a>0且a≠1);( x)'=1;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx.3.导数的运算法则:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x);() ()'='()()-()'()[()](g(x)≠0).4.导数与函数的单调性:f'(x)>0⇒函数f(x)在相应区间上为单调增函数;f'(x)<0⇒函数f(x)在相应区间上为单调减函数.5.导数与函数的极值、最值:(1)函数的极值:设函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近的所有点都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大(或小)值,其中x0称为极值点,f(x0)称为极值,所以极值点是实数而不是点.(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.技法三基本初等函数1.指数的概念及运算性质:(1)()n=a( ∈N*);当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|;(2)正数的分数指数幂的意义:=;-=1=(a>0,m、 ∈N*,且n>1).2.对数的概念及运算性质:(1)a b=N⇔log a N=b(a>0且a≠1);(2)对数的运算法则:log a(M·N)= og a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=nlog a M(a>0且a≠1);(3)换底公式:log a N= og Nog a(a>0且a≠1,b>0且b≠1).3.指数函数的定义:一般地,函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数;对数函数的定义:一般地,函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数;幂函数的定义:一般地,形如y=x a的函数叫做幂函数.4.指数函数、对数函数的图象和性质:技法四三角函数1.任意角的三角函数的定义:sinα=,cosα=,tanα=.2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2α+cos2α=1,商数关系:tanα=o.3.诱导公式:k·±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限.4.三角函数的图象和性质:x x∈R,x≠+kπ,k∈Z2kπ-, 2kπ+,k∈Zkπ-, kπ+,k∈Z2kπ+,2kπ+,k∈Z特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域.(2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式化为标准型y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0);二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sinx+1,y=sin2x+sinx+cosx均可以通过换元转化为二次函数;三是利用导数法.(3)三角函数的周期:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)都可以利用周期公式T=求解;y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)利用周期公式T=求解.y=|Asin(ωx+φ)|(A>0,ω>0)、y=|Acos(ωx+φ)|(A>0,ω>0)和y=|Atan(ωx+φ)|(A>0,ω>0)的周期都是T=;y=|Asin(ωx+φ)+b|(A>0,ω>0,b≠0)的周期公式是T=.(4)奇偶性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ+,k∈Z.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)是奇函数⇔φ=kπ+,k∈Z,是偶函数⇔φ=kπ,k∈Z.(5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法).5.三角恒等变换:(1)两角和与差的三角函数:sin(α±β)=sinαcosβ± o αsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;;.tan(α±β)= a a1 a a.(2)二倍角公式:sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α= a1- a(3)降幂公式:sin2α=1- o ;cos2α=1 o .6.解三角形:(1)正弦定理:===2R;S△ABC=1absinC=1bcsinA=1casinB.(2)余弦定理:cosA=-,cosB=-,cosC=-,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.技法五平面向量1.平面向量共线定理:(1)向量b与非零向量a共线⇔存在唯一的实数λ,使得b=λ a.(2)平面向量共线定理的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.2.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,其中e1、e2称为基底.3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b 的夹角.注意:夹角的范围是[0,π];作图时两向量一定要共起点.(2)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a·b=|a||b|· o θ.注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量.技法六数列1.等差数列与等比数列:2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法.3.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常用方法:(1)并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分析通项,再选择求和方法.技法七不等式1.不等式的重要性质:①若a<b,且ab>0,则1>1,即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变;②如果不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.基本不等式:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即若a,b>0,则≥(当且仅当a=b时,取等号).基本变形:①a+b≥ ;≥ab;②若a,b∈R,则a2+b2≥ ab,≥.(2)基本应用:求函数最值注意:①一正二定三相等;②积定和最小,和定积最大.已知a,b为正数.当ab=p(常数)时,a+b≥ ,当且仅当a=b=时,a+b取得最小值2;当a+b=s(常数)时,ab≤,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.技法八直线与圆1.几个距离公式:(1)两点间距离公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(1-)(1-);(2)点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式:d=;(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离公式:d=.2.(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把一般方程配方得+=-(D2+E2-4F>0).(2)判断直线与圆的位置关系的方法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小,若d>r,则相离;若d=r,则相切;若d<r,则相交.3.圆与圆的位置关系.设☉C1的半径为r1,☉C2的半径为r2,d=|C1C2|,则☉C1与☉C2相外离⇔d>r1+r2;☉C1与☉C2相外切⇔d=r1+r2;☉C1与☉C2相交⇔|r1-r2|<d<r1+r2;☉C1与☉C2相内切⇔d=|r1-r2|;☉C1与☉C2相内含⇔0≤d<|r1-r2|.技法九椭圆1.椭圆的定义(1)第一定义平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.需要注意的是:常数大于|F1F2|.若常数等于|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若常数小于|F1F2|,则无轨迹.表达式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).(2)第二定义:平面内动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)的轨迹是椭圆,定点是椭圆的一个焦点,定直线是与焦点同侧的准线,常数e是椭圆的离心率,焦点在x轴上的椭圆,准线方程是x=±;焦点在y轴上的椭圆,准线方程是y=±.2.椭圆的标准方程及其几何性质技法十空间直线与平面的位置关系1.平行公理(公理4):平行于同一条直线的两条直线平行,符号语言:a∥b,b∥ ⇒a∥ .2.直线和平面平行:(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号表示:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)性质定理:若一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.3.直线和平面垂直:(1)判定定理:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,符号表示为:a⊥b,a⊥ ,b, ⊂α,b∩ =A⇒a⊥α.(2)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.符号表示为:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.4.平面与平面平行:(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;符号表示:a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β.(2)性质:①如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一平面;②性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.5.平面与平面垂直:(1)判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,符号表示为:a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.(2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示为:α⊥β,α∩β= ,a⊥ ,a⊂α⇒a⊥β.。

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--高考题中的填空题解法注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

江苏数学高考试题中填空题共14题，每题5分，共计70分、填空题在整个试卷中占有相当大的比重，填空题的得分不仅对做整个试卷影响很大，而且对学生整个高考都起非常重要的作用、填空题是一种客观性试题，它只要求写出结果(简练、概括、准确)，不要求写出解答过程、高考数学填空题涉及考点少，目标比较集中，以基础题和中档题为主，只有一两道题综合性较强，难度较大；填空题主要还是考查数学的基础知识和基本方法、目前高考填空题，基本上都是计算型和概念判断型的试题，求解填空题的基本策略是在“准”、“巧”、“快”上下功夫，合情推理、优化思路、少算多思，充分利用各种数学思想方法是准确解答填空题的基本要求、解填空题的常用方法： (1) 直接法：指直接从题目的条件或的公理、定理等出发，通过严密推理或准确计算(注意运算技巧)而得出正确的结果、(2) 特例法：题中的条件提供的信息暗示结论是一个定值或结论是唯一的，这样可以把题中变化的量(图形、式子、位置等)用特殊的图形或值等代替，而得出正确的结果、(3) 数形结合法：借助于图形进行直观的分析，辅之简单的计算而得出正确的结果、 此外在解填空题的过程中，定义法、等价转化法、逆向思维法等也是我们必须掌握的解题方法、1. a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3那么|5a －b | ＝________. ________、3.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，那么目标函数z ＝x ＋y 的最大值是________、4.设a ，b 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出以下命题： (1)假设a ∥α且b ∥α，那么a ∥b ； (2)假设a ⊥α且b ⊥α，那么a ∥b ；(3)假设a ∥α且α∥β，那么α∥β； (4)假设a ⊥α且a ⊥β，那么α∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________.【例1】数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，假设{a n }前n 项和为24,那么n ＝________.【例2】三棱锥PABC 中，PA ＝BC ＝42，PC ＝AB ＝AC ＝25，那么三棱锥PABC 的外接球的体积是________、【例3】不等式log a x>x 2(a>0，a ≠1)对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，那么实数a 的取值范围是________、【例4】n ∈N *且n ≥2，那么3n ＋4n 与5n的大小关系是________、1.(2017·全国)a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数、假设向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，那么k ＝________.2.(2017·重庆)假设函数f(x)＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处有最小值，那么实数a ＝________.3.(2017·北京)在△ABC 中，假设b ＝5，B ＝π4，sinA ＝13，那么a ＝________. 4.(2017·安徽)△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么△ABC 的面积为________、5.(2017·天津)设函数g(x)＝x 2－2(x ∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧gx x ＋4，x<g x gxx ，x ≥gx那么f(x)的值域是________、6.(2017·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，那么AD →·BE →＝________.7.(2017·辽宁)F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为________、8.(2017·山东)函数f(x)＝loga x －x ＋b(a>0，a ≠1)，当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，那么n ＝________.第22讲高考题中的填空题解法1.设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，…，a 20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，那么这样不同的等差数列的个数最多有__________个、【答案】180解析：此题要进行分类讨论、设原数列公差为d ，那么抽出的三个数公差为±d 的有36个；公差为±2d 的有32个；公差为±3d 的有28个，…，公差为±9d 的有4个，所以共计180个、2.如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点A(x ，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y ＝f(x)，那么f(x)在区间[－2,1]上的解析式是____________、【答案】y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，1－x 2，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，13.关于函数y ＝f(x)，有以下命题：①假设a ∈[－2,2]，那么函数f(x)＝x 2＋ax ＋1的定域为R ；②假设f(x)＝log 12(x 2－3x ＋2)，那么f(x)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32；③函数f(x)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －4(a ＞0且a ≠1)的值域为R ，那么实数a 的取值范围是0＜a ≤4且a ≠1；④定义在R 上的函数f(x)，且对任意的x ∈R 都有f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，那么4是y ＝f(x)的一个周期、其中真命题的序号是__________、 【答案】①③④ 基础训练1.7解析：本小题考查向量的线性运算、|5a －b|2＝(5a －b )2＝25a 2－10a ·b ＋b 2＝49，故|5a －b|＝7.2.a ＞3或a ＜－1解析：由(1－a)2－4＞0，得a ＞3或a ＜－1.3.6解析：不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0)，(6,0)，(2,2)，目标函数z ＝x ＋y 在(6,0)取最大值6.画图，数形结合、4.(2)(4)解析：取一个正方体，将其中的棱、面分别看成是直线a 、b ，平面α、β.例题选讲例1解：a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，{a n }前n 项和为S n ＝n ＋1－1，∴n ＋1－1＝24，n ＝624.此题通过直接对通项变形，求和，从而求出结果、例2解：将三棱锥P —ABC 放入长方体中，那么PA ，BC ；PC ，AB ，AC 是长方体对应的面对角线、设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2＝32，a 2＋b 2＝20，a 2＋c 2＝20.从而a 2＋b 2＋c2＝36，那么三棱锥P —ABC 的外接球的半径R 满足2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，外接球体积为36π.例3解：在同一直角坐标系中作出函数y ＝log a x ，y ＝x 2的图象，那么log a 12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122,故116≤a ＜1.例4解：构造函数f(n)＝3n ＋4n 5n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，f(n ＋1)－f(n)＜0，故函数f(n)在n ≥2时单调减，f(2)＝1，∴3n ＋4n ≤5n (当且仅当n ＝2时取等号)、高考回顾1.1解析：由|a|＝|b|＝1，且(a ＋b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(k －1)a ·b －b 2＝(k －1)(1＋a ·b )＝0，所以k ＝1.2.3解析：此题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运算求解能力、∵x ＞2，∴f(x)＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，x ＝3时取等号，即a ＝3，f min (x)＝4.3.523解析：由正弦定理可得、4.153解析：设三角形的三边长分别为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a(a －4)cos120°，那么a ＝10，所以三边长为6、10、14.△ABC 的面积为S ＝12×6×10×sin120°＝15 3.5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：由题意f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g x x 2－x －2，x ≥g x＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x 12x 2－x －2，x ∈[－1，2]＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ，－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ∈[－1，2].所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x ∈[－1,2]时，f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.6.－14解析：由题AD →＝CD →－CA →＝12CB →－CA →，BE →＝CE →－CB →＝13CA →－CB →， 所以AD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →－CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13CA →－CB →＝－12－13＋76CB →·CA →＝－14.7.54解析：此题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|是解题的关键、利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标、由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.8.5解析：此题考查函数的零点、方程的解和函数图象的综合、方程log a x －x ＋b ＝0(a ＞0，a ≠1)的根为x 0，即函数y ＝log a x(2＜a ＜3)的图象与函数y ＝x －b(3＜b ＜4)的图象交点横坐标为x 0，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *.结合图象，因为当x ＝a(2＜a ＜3)时，y ＝1，此时对应直线上y ＝x －b 的点的横坐标x ＝1＋b ∈(4,5)；当y ＝2时，对数函数y ＝log a x(2＜a ＜3)的图象上点的横坐标x ∈(4,9)，直线y ＝x －b(3＜b ＜4)的图象上点的横坐标x ∈(5,6)，故所求的n ＝5.。

必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sin x-x+-,则关于x 的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.▲审题指导sin(-x)=-sin x,2-x=f'(x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cosx-1--2x ln2,∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+1)≤f[(2x+a)2]恒成立,则a的取值范围为.二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导思路:证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=e x-x2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明曲线y=e x与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mln x+(m∈R,x>0).(1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→=→T n=1-→解不等式|T n-1|<n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1(n≥2),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+=-=1-.-由|T n-1|<,得--<,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10.所以使|T n-1|<成立的n的最小值为10.跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n}中,a1=,a n+1=-,b n=,其中n∈N*.(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)设c n=b n b n+1cos nπ,n∈N*,数列{c n}的前n项和为T n,若当n∈N*且n为偶数时,T n≤tn2恒成立,求实数t的取值范围;(3)设数列{a n}的前n项和为S n,试求数列{S2n-S n}的最大值.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键.典型例题例4已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)∈的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f--f的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x的单调区间,通过解不等式求得结果.解析(1)由题图知,周期T=2-=π,所以ω==2,因为点在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin--2sin2+=2sin2x-2sin=2sin2x-2=sin2x-cos2x=2sin-.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是-,k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)=.五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j=.12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24…▲审题指导i是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2015=2×1008-1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+×2=1024,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列{a n},a n=2·,把数列{a n}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…6.下表给出一个“三角形数阵”.…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值ln a+a-1<0g(a)=lna+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈∞时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,(1)求角α的值;(2)若cos(β-α)=,其中β∈,求cosβ的值.七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题例7已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形S ▱OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=|OF||y1-y2|→y1与y2的关系→联立直线PQ的方程与椭圆的方程解析(1)由已知可得=,c=2,所以a=.由a2=b2+c2,得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF=----=-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,则直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也满足方程x=my-2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得-消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,∴Δ=16m2+8(m2+3)>0,y1+y2=,y1y2=-,则x1+x2=m(y1+y2)-4=-.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以--解得m=±1.所以S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2| =2-·-=2.跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,且·=b2.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若S△ANM+S△POF=a,求椭圆C的标准方程.答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案{a|a≥1或a≤-8}解析因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+1)≤f[(2x+a)2]得x+1≤(2x+a)2,则问题转化为x+1≤(2x+a)2对x∈[0,3]恒成立,即4x2+(4a-1)x+a2-1≥0对x∈[0,3]恒成立,令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,若-<0,则h(0)≥0,此时a≥1;若->3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤-≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2-1)≤0,此时无解.综上,a的取值范围是{a|a≥1或a≤-8}.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以-又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.(2)f(x)=g+mln x+=x2+mln x(m∈R,x>0).当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;当m=0时,f(x)=,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+=0⇒x=-,列表:这时,f(x)min=f(-)=-+mln-.f(x)min>0⇔ --⇒-e<m<0.所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(-e,0].故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞).(3)证明:因为∀x∈[1,m],H'(x)=--≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=m2-mln m-,|H(x1)-H(x2)|<1⇒m2-mln m-<1⇒m-ln m-<0,记h(m)=m-ln m-(1<m≤e),则h'(m)=-+=-+>0,所以函数h(m)=m-ln m-在(1,e]上是单调增函数,所以h(m)≤h(e)=-1-=-<0,故命题成立.三审审结构定方案跟踪集训3.解析(1)证明:∵b n+1==·-=-=,∴b n+1-b n=-=1.∴数列{b n}是公差为1的等差数列.(2)由题意可知,b1==1,故b n=n.因为c n=b n b n+1cos nπ,n∈N*,所以T n=c1+c2+…+c n=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)n b n b n+1.当n∈N*且n为偶数时,设n=2m,m∈N*.则T n=T2m=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)2m b2m b2m+1.=b2(-b1+b3)+b4(-b3+b5)+…+b2m(-b2m-1+b2m+1)=2(b2+b4+…+b2n)=4(1+2+…+m)=2m2+2m=n2+n.要使T n≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,只要使n2+n≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,即使t≥+对n为正偶数恒成立.∵=+=1,∴t≥1,故实数t的取值范围是[1,+∞).(3)由(2)知b n=n,又b n=,∴a n=-.∴S n=10…-,∴S2n=10……-,设M n=S2n-S n=10…-,∴M n+1=10…-,∴M n+1-M n=10--=10--=-,∴当n=1时,M n+1-M n=->0,即M1<M2,当n≥2时,M n+1-M n<0,即M2>M3>M4>….∴(M n)max=M2=10×-1=.因此数列{S2n-S n}的最大值为.四审审图形抓特点跟踪集训4.答案-解析由三角函数的图象可得T=3-1=2,所以最小正周期T==,解得ω=.又f(1)=sin=1,解得φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin-,k∈Z,则f(2)=sin-=sin=-.五审审图表找规律跟踪集训5.答案2×解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9==45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53=2×,故答案为2×.6.解析(1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a11=,a21=,所以公差d=,a81=+(8-1)×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=,a32=,所以,每行的公比q=,故a83=2×=.(2)由(1)知a i1=+(i-1)=,所以a ij=a i1·-=·-=i·.(3)A n=a n1…-=--=-n.B m=(1+2+…+m)-….设T m=+++…+,①则T m=+++…+,②由①-②,得T m=+++…+-=1--=1-,所以B m=·--=+-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析(1)由2·=||·||,得2||·||cosα=||·||,所以cosα=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=.(2)由(1)知sinα=,且β-α∈,又cos(β-α)=,所以sin(β-α)=,故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=×-×=.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析(1)由题意知消去y,得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-,所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=b2,=,所以e=. (2)由(1)知M--,右准线方程为x=b,直线MN的方程为y=x,所以P,S△POF=OF·y P=b·b=2b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|=2b×b=b2,所以2b2+b2=a,b2=b2,所以b=,a=2,椭圆C的标准方程为+=1.。

2019-2020学年度最新数学高考江苏专版二轮专题复习教学案：专题四数列-含答案新高考数列在江苏高考中地位十分突出，考分比例远远大于课时比例，常在压轴题位置考查代数论证能力.江苏卷数列解答题始终与特殊数列密切联系，源于课本，高于课本，不搞“递推式”“数列不等式”之类的超教学范围的知识考查，导向非常好.但由于能力考查要求较高，多年来造成区分度很差的困惑.2013年的数列解答题降低了难度，但2014年又回升了.到2015年不仅是超纲了，而且难度也加大了，2016年把数列、集合结合命题，难度较大，2017年考查数列的新定义问题和论证等差数列，难度也不低.数列题的常规类型可分两类：一类是判断、证明某个数列是等差、等比数列；另一类是已知等差、等比数列求基本量.这个基本量涵义很广泛，有项、项数、公差、公比、通项、和式以及它们的组合式，甚至还包括相关参数.但江苏考题真正的难度在等差、等比数列的性质灵活运用上.第1课时数列中的基本量计算(基础课)[常考题型突破][必备知识]1．通项公式等差数列：a n＝a1＋(n－1)d；等比数列：a n＝a1·q n－1.2．求和公式等差数列：S n＝n(a1＋a n)2＝na1＋n(n－1)2d；等比数列：S n＝a1(1－q n)1－q＝a1－a n q1－q(q≠1)．[题组练透]1．(2017·镇江期末)已知数列{a n}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 3＝a 1q 2，a 5＝a 1q 4，由a 1＋1，a 3＋4，a 5＋7成等差数列， 得2(a 1q 2＋4)＝a 1＋1＋a 1q 4＋7， 即q 2＝1.所以d ＝a 1q 2＋4－a 1－1＝3. 答案：32．(2017·镇江调研)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________. 解析：因为 S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，所以令n ＝1可得，S 1S 2＝26＝13，即a 12a 1＋d ＝13，化简可得d ＝a 1，所以a 3a 5＝a 1＋2d a 1＋4d ＝3a 15a 1＝35.答案：353．(2017·苏北四市期末)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，则公比q 的值为________．解析：因为S 2＝2a 2＋3，S 3＝2a 3＋3，所以a 3＝2a 3－2a 2，所以a 3－2a 2＝a 1q 2－2aq ＝0，所以q 2－2q ＝0，q ≠0，则公比q ＝2.答案：24．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n}的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：325．(2017·苏锡常镇一模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，所以a 8＝ a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2.答案：2 [方法归纳][必备知识][题组练透]1．(2017·苏州考前模拟)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝________.解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n ，则a n ＝2n，故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.答案：n 22．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6.答案：63.(2017·南通二调)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝27，则a 1的值是________．解析：因为等差数列{a n }满足S 9＝27，所以S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3，因为a 2a 3＝a 4a 5，所以(a 5－3d )(a 5－2d )＝(a 5－d )a 5,4a 5d ＝6d 2，又因为等差数列{a n }的公差不为0，所以d ＝2，所以a 1＝a 5－4d ＝3－4×2＝－5.答案：－54．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217＜d ＜－19，则当S n 取最大值时，n 的值为________．解析：法一：∵S n ＝n ＋n (n －1)2d ，∴S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2n . ∵函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2x 的图象的对称轴方程为x ＝－1d ＋12，且开口向下，又－217＜d ＜－19， ∴9＜－1d ＋12＜192.∴S n 取最大值时，n 的值为9.法二：由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)d ＞0， 得n －1＜1－d.∵19＜－d ＜217，∴172＜1－d＜9. 又n ∈N *，∴n －1≤8，即n ≤9.故S 9最大． 答案：9 [方法归纳](1)等差、等比数列性质的应用的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ”这一性质与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2的综合应用. [课时达标训练] [A 组——抓牢中档小题]1．(2017·南通三模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若公差d ＝2，a 5＝10，则S 10的值是________．解析：法一：因为等差数列{a n }中a 5＝a 1＋4d ＝10，d ＝2，所以a 1＝2，所以S 10＝10×2＋10(10－1)2×2＝110.法二：在等差数列{a n }中，a 6＝a 5＋d ＝12，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝5×(10＋12)＝110.答案：1102．(2017·全国卷Ⅲ改编)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23， 即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以数列{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.答案：－243．(2017·高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3； b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2， 所以a 2b 2＝1.答案：14．已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．解析：由题意S 5S 3＝5a 1＋10d3a 1＋3d ＝3，化简得d ＝4a 1，则a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 答案：1795．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n 1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2nn ＋1. 答案：2nn ＋16．(2017·盐城期中)在数列{a n }中，a 1＝－2101，且当2≤n ≤100时，a n ＋2a 102－n ＝3×2n恒成立，则数列{a n }的前100项和S 100＝________.解析：因为当2≤n ≤100时，a n ＋2a 102－n ＝3×2n 恒成立，所以a 2＋2a 100＝3×22，a 3＋2a 99＝3×23，…，a 100＋2a 2＝3×2100，以上99个等式相加， 得3(a 2＋a 3＋…＋a 100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a 2＋a 3＋…＋a 100＝2101－4，又因为a 1＝－2101，所以S 100＝a 1＋(a 2＋a 3＋…＋a 100)＝－4. 答案：－47．(2017·常州前黄中学国际分校月考)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n，a 1＝2，则a 20＝________.解析：由a n ＋1＝a n 1＋3a n ，a 1＝2，可得1a n ＋1＝1a n ＋3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．即1a n ＝12＋3(n －1)，可得a n ＝26n －5，所以a 20＝2115.答案：21158．(2017·苏州期中)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前10项的和S 10＝________.解析：因为a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，所以1a n ＋1－1a n ＝1，1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ，所以b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前10项的和S 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011. 答案：10119．已知{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.解析：由a 11a 10＜－1，得a 11＋a 10a 10＜0，且它的前n 项和S n 有最大值，则a 10＞0，a 11＜0，a 11＋a 10＜0，则S 19＞0，S 20＜0，那么当S n 取得最小正值时，n ＝19.答案：1910．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案：20011．(2017·扬州期末)在正项等比数列{a n }中，若a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6，则a 5＋a 6的最小值为________．解析：令a 1＋a 2＝t (t >0)，则a 4＋a 3－2a 2－2a 1＝6可化为tq 2－2t ＝6(其中q 为公比)，所以a 5＋a 6＝tq 4＝6q 2－2q 4＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤4q 2－2＋(q 2－2)＋4≥6⎣⎢⎡⎦⎥⎤24q 2－2×(q 2－2)＋4＝48(当且仅当q ＝2时等号成立)． 答案：4812．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＋2n －2n －1＝2a n ＋2n －1，从而a n ＋1＋2n ＝3(a n＋2n －1)．又a 2＝2a 1＋2＝4，a 2＋2＝6，故数列{a n ＋1＋2n }是以6为首项，3为公比的等比数列，从而a n ＋1＋2n ＝6×3n －1，即a n ＋1＝2×3n －2n ，又a 1＝1＝2×31－1－21－1，故a n ＝2×3n －1－2n －1.答案：2×3n －1－2n －113．数列{a n }中，若对∀n ∈N *，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝k (k 为常数)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则该数列的前100项的和等于________．解析：由a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝k ，a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝k ，得a n ＋3＝a n . 从而a 7＝a 1＝2，a 9＝a 3＝3，a 98＝a 2＝4.因此a 1＋a 2＋a 3＝9.所以S 100＝33(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝33×9＋2＝299. 答案：29914．(2017·南京考前模拟)数列{a n }中，a n ＝2n －1，现将{a n }中的项依原顺序按第k 组有2k 项的要求进行分组：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，…，则第n 组中各数的和为________．解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n 2，因为2＋4＋…＋2n ＝n ( n ＋1)＝n 2＋n,2＋4＋…＋2( n －1)＝n ( n －1)＝n 2－n .所以第n 组中各数的和为S n 2＋n －S n 2－n ＝( n 2＋n )2－(n 2－n )2＝4n 3.答案：4n 3[B 组——力争难度小题]1．在等差数列{a n }中，若任意两个不等的正整数k ，p 都有a k ＝2p ＋1，a p ＝2k ＋1，数列{a n }的前n 项和记为S n .若k ＋p ＝m ，则S m ＝________.(用m 表示)解析：设数列{a n }的公差为d ， 由题意，a 1＋(k －1)d ＝2p ＋1，① a 1＋(p －1)d ＝2k ＋1，② 两式相减，得(p －k )d ＝2(k －p )． 又k －p ≠0，所以d ＝－2. 则a 1＝2p ＋2k －1＝2m －1.因此S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝m (2m －1)－m (m －1)＝m 2.答案：m 22．(2016·全国乙卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.∵a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8. 故a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝⎛⎭⎫12n n (-1)2＝n nn n n 2273++22222=2--.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：643．(2017·南京考前模拟)已知函数f (x )＝(x －2)3，数列{a n }是公差不为0的等差数列，若∑11i ＝1f (a i )＝0，则数列{a n }的前11项和S 11为________．解析：f (x )＝(x －2)3为增函数，且关于点(2,0)中心对称，则f (2＋x )＋f (2－x )＝0.设数列{a n }的公差为d ，若a 6＞2，则f (a 6)＞0，f (a 5)＋f (a 7)＝f (a 6－d )＋f (a 6＋d )＞f (2－d )＋f (2＋d )＝0，即f (a 5)＋f (a 7)＞0，同理，f (a 4)＋f (a 8)＞0，…，f (a 1)＋f (a 11)＞0，则∑11i ＝1f (a i )＞0；同理，若a 6＜2，则∑11i ＝1f (a i )＜0，所以a 6＝2.所以S 11＝11a 6＝22. 答案：224．(2017·全国卷Ⅰ改编)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是________．解析：设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2.由题意可知，N >100，令n (n ＋1)2>100，得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组的所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数，即2t －1＝k ＋2，∴2t ＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)，∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×(13＋1)2＋4＝95<100，不满足题意； 当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×(29＋1)2＋5＝440； 当t >5时，N >440.答案：440第2课时等差、等比数列的综合问题(能力课)[常考题型突破][例1] n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a 2n －1＋a 2n .(1)若数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若对任意n ∈N *，S n ＝a 2n ＋n 2恒成立，求数列{a n }的通项公式； (3)若S 2n ＝3(2n －1)，数列{a n a n ＋1}为等比数列，求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由题意，b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，则S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)当n ≥2时，由2S n ＝a 2n ＋n ，得2S n －1＝a 2n －1＋n －1，两式相减得2a n ＝a 2n ＋n －(a 2n －1＋n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1，整理得(a n －1)2－a 2n －1＝0，即(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1－1)＝0，故a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1.(*)下面证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立．事实上，因为a 1＋a 2＝3，所以a n ＋a n －1＝1不恒成立；若存在n ∈N *，使a n ＋a n －1＝1，设n 0是满足上式最小的正整数，即an 0＋an 0－1＝1，显然n 0>2，且an 0－1∈(0,1)，则an 0－1＋an 0－2≠1，则由(*)式知，an 0－1－an 0－2＝1，则an 0－2<0，矛盾．故a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立，所以a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立.因此{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝1＋(n －1)＝n .(3)设等比数列{a n a n ＋1}的公比为q ，则当n ≥2时，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q . 即{a 2n －1}，{a 2n }分别是以1,2为首项，公比为q 的等比数列；故a 3＝q ，a 4＝2q .令n ＝2，有S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋q ＋2q ＝9，则q ＝2.当q ＝2时，a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2×2n －1＝2n ，b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝3×2n －1，此时S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)． 综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －12，当n 为奇数，2n 2，当n 为偶数.[方法归纳]已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝a n b n，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．解：(1)因为a n ＝23×⎝⎛⎭⎫－13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫－13n ， S n ＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n 1－⎝⎛⎭⎫－13＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n ， 所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫－13n －2⎝⎛⎭⎫－13n ＋2＝12. (2)若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ，①所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)，②由②－①得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2，③当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，④由④－③得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ，即a n －1＋a n ＋1＝2a n ，由2S 1＝a 1＋2，得a 1＝2，又a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列，故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1.(3)证明：由(2)得c n ＝n ＋1n ，对于给定的n ∈N *，若存在k ≠n ，t ≠n ，k ，t ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ，只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t ，即1＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k ·⎝⎛⎭⎫1＋1t ， 即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n (k ＋1)k －n， 取k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，所以对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和c n 2＋2n ＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n，使得c n ＝c n ＋1·c n 2＋2n .[例2] n n 1)a 2n －na 2n ＋1＝0，设数列{b n }满足b n ＝a 2n t n .(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等比数列； (2)若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值；(3)若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 21S n －a 41n 2＝16b m 成立，求满足条件的所有整数a 1的值．[解] (1)证明：由题意得4(n ＋1)a 2n ＝na 2n ＋1，因为数列{a n }各项均为正，得a 2n ＋1n ＋1＝4·a 2n n ，所以a n ＋1n ＋1＝2·a n n ， 因此a n ＋1n ＋1a nn ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 1为首项，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n n＝a 1·2n －1，即a n ＝a 1·2n －1·n ， 所以b n ＝a 2n t n ＝a 21·4n －1·n t n， 如果数列{b n }是等差数列，则2b 2＝b 1＋b 3，即2·a 21·2·42－1t 2＝a 21·40t ＋a 21·3·43－1t 3， 整理得16t2＝1t ＋48t 3，则t 2－16t ＋48＝0， 解得t ＝4或t ＝12.当t ＝4时，b n ＝a 21·n 4， 因为b n ＋1－b n ＝a 21(n ＋1)4－a 21n 4＝a 214，所以数列{b n }是等差数列，符合题意；当t ＝12时，b n ＝a 21n 4·3n ， 因为b 2＋b 4＝2a 214·32＋4a 214·34＝22a 214·34＝11162a 21，2b 3＝2·a 21·34·33＝a 2118，b 2＋b 4≠2b 3， 所以数列{b n }不是等差数列，t ＝12不符合题意，综上，如果数列{b n }是等差数列，则t ＝4.(3)由(2)得b n ＝a 21n 4，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 21S n －a 41n 2＝16b m ， 则8·a 414·n (n ＋1)2－a 41n 2＝16a 21m 4，所以m ＝na 214. 当a 1＝2k ，k ∈N *时，m ＝4k 2n 4＝k 2n ，对任意的n ∈N *，m ∈N *，符合题意； 当a 1＝2k －1，k ∈N *，当n ＝1时，m ＝4k 2－4k ＋14＝k 2－k ＋14∉N *，故不合题意. 综上，当a 1＝2k ，k ∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 21S n －a 41n 2＝16b m .[方法归纳]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 解：(1)因为数列{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n＝a 1＋n －1. 因为(n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，所以c n ＝1. (2)证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n .从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝(n ＋2)b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)， 因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)． 因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ. 所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n，① (n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n ，② ②－①得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ，故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)． 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)． 所以数列{a n }是等差数列.[例3] (2017·n a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列．[证明] (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n≥4时，a n－k＋a n＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2a n，k＝1,2,3，所以a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n，因此等差数列{a n}是“P(3)数列”．(2)数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＝4a n，①当n≥4时，a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n.②由①知，a n－3＋a n－2＝4a n－1－(a n＋a n＋1)，③a n＋2＋a n＋3＝4a n＋1－(a n－1＋a n)．④将③④代入②，得a n－1＋a n＋1＝2a n，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{a n}是等差数列．[方法归纳]设数列{a n}的前n项的和为S n.定义：若∀n∈N*，∃m∈N*，S n＝a m，则称数列{a n}为H数列．(1)求证：数列{(n－2)d}(n∈N*，d为常数)是H数列；(2)求证：数列{(n－3)d}(n∈N*，d为常数，d≠0)不是H数列．证明：(1)∵a n＝(n－2)d，∴S n＝n(－1＋n－2)2d＝n(n－3)2d.令n(n－3)2d＝(m－2)d.(*)当d＝0时，存在正整数m满足(*)．当d ≠0时，m ＝2＋n (n －3)2， ∵∀n ∈N *，n (n －3)2∈Z ， ∴m ∈Z ，且n (n －3)2≥－1， ∴m ≥1，m ∈N *，故存在m ∈N *满足(*)．所以数列{(n －2)d }是H 数列．(2)数列{(n －3)d }的前n 项之和为S n ＝n (－2＋n －3)2d ＝n (n －5)2d . 令n (n －5)2d ＝(m －3)d . 因为d ≠0，所以m ＝3＋n (n －5)2，当n ＝2时，m ＝0，故{(n －3)d }不是H 数列． [课时达标训练]1．(2017·苏州期中)已知等比数列{a n }的公比q >1，满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值． 解：(1)∵a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，∴2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12， ∵q >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)∵b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ， ∴S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，①2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1)，② ②－①得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1. ∵S n ＋n ·2n ＋1>62，∴2n ＋1－2>62，∴n ＋1>6，n >5，∴使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值为6.2．已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝n 2，求a 4的值； (2)若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列．解：(1)由a 1＝1，b n ＝n 2，知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8. (2)证明：法一：显然公比q ≠1，因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，所以a 1q n b n ＝a 1(1－q n )1－q＋1， 所以q nb n ＝11－q ＋1a 1－q n 1－q ， 即b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝⎛⎭⎫1q n －11－q， 所以存在实数λ＝11－q， 使得b n ＋λ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－q ＋1a 1⎝⎛⎭⎫1q n ， 又b n ＋λ≠0(否则{b n }为常数数列，与题意不符)， 所以当n ≥2时，b n ＋λb n －1＋λ＝1q ，此时{b n ＋λ}为等比数列， 所以存在实数λ＝11－q，使得{b n ＋λ}为等比数列．法二：因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，①所以当n ≥2时，a n b n －1＝S n －1＋1，②①－②得，a n ＋1b n －a n b n －1＝a n ，③由③得，b n ＝a n a n ＋1b n －1＋a n a n ＋1＝1q b n －1＋1q ， 所以b n ＋11－q＝1q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1＋11－q . 又b n ＋11－q≠0(否则{b n }为常数数列，与题意不符)， 所以存在实数λ＝11－q，使得{b n ＋λ}为等比数列． 3．设数列{H n }的各项均为不相等的正整数，其前n 项和为Q n ，称满足条件“对任意的m ，n ∈N *，均有(n －m )·Q n ＋m ＝(n ＋m )(Q n －Q m )”的数列{H n }为“好”数列．(1)试分别判断数列{a n }，{b n }是否为“好”数列，其中a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，n ∈N *，并给出证明；(2)已知数列{c n }为“好”数列，其前n 项和为T n . ①若c 2 016＝2 017，求数列{c n }的通项公式； ②若c 1＝p ，且对任意给定的正整数p ，s (s >1)，有c 1，c s ，c t 成等比数列，求证：t ≥s 2. 解：(1)若a n ＝2n －1，则S n ＝n 2，所以(n －m )S n ＋m ＝(n －m )(n ＋m )2，而(n ＋m )(S n －S m )＝(n ＋m )(n 2－m 2)＝(n ＋m )2(n －m )， 所以(n －m )S n ＋m ＝(n ＋m )(S n －S m )对任意的m ，n ∈N *均成立， 即数列{a n }是“好”数列．若b n ＝2n －1，则S n ＝2n －1，取n ＝2，m ＝1， 则(n －m )S n ＋m ＝S 3＝7，(n ＋m )(S n －S m )＝3b 2＝6， 此时(n －m )S n ＋m ≠(n ＋m )(S n －S m )，即数列{b n }不是“好”数列．(2)因为数列{c n }为“好”数列，取m ＝1， 则(n －1)T n ＋1＝(n ＋1)(T n －T 1)，即2T n ＝(n －1)c n ＋1＋(n ＋1)c 1恒成立． 当n ≥2时，有2T n －1＝(n －2)c n ＋nc 1，两式相减，得2c n ＝(n －1)c n ＋1－(n －2)c n ＋c 1(n ≥2)， 即nc n ＝(n －1)c n ＋1＋c 1(n ≥2)， 所以(n －1)c n －1＝(n －2)c n ＋c 1(n ≥3)，所以nc n －(n －1)c n －1＝(n －1)c n ＋1－(n －2)c n (n ≥3)， 即(2n －2)c n ＝(n －1)c n －1＋(n －1)c n ＋1(n ≥3)， 即2c n ＝c n －1＋c n ＋1(n ≥3)，当n ＝2时，有2T 2＝c 3＋3c 1，即2c 2＝c 3＋c 1， 所以2c n ＝c n －1＋c n ＋1对任意的n ≥2，n ∈N *恒成立， 所以数列{c n }是等差数列． 设数列{c n }的公差为d ，①若c 2 016＝2 017，则c 1＋2 015d ＝2 017， 即d ＝2 017－c 12 015，因为数列{c n }的各项均为不相等的正整数， 所以d ∈N *，所以d ＝1，c 1＝2，所以c n ＝n ＋1. ②证明：若c 1＝p ，则c n ＝dn ＋p －d ， 由c 1，c s ，c t 成等比数列，得c 2s ＝c 1c t ， 所以(ds ＋p －d )2＝p (dt ＋p －d )，即(p －d )(2ds ＋p －d －p )＋d (ds 2－pt )＝0， 化简得，p (t ＋1－2s )＝d (s －1)2， 即d ＝t ＋1－2s (s －1)2p .因为p 是任意给定的正整数，要使d ∈N *，必须t ＋1－2s(s －1)2∈N *，不妨设k ＝t ＋1－2s(s －1)2，由于s 是任意给定的正整数，所以t ＝k (s －1)2＋2s －1≥(s －1)2＋2s －1＝s 2. 故不等式得证．4．(2017·常州前黄中学国际分校月考)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1. ①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(2)①∵b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，∴b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13，b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15，…，b n －b n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1(n ≥2)，累加得：b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝n －12n －1，∴b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列， 则b 2＋b n ＝2b m .又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，∴43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14m －2， 即12m －1＝16＋14n －2， 化简得：2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，不合题意，舍去； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．∴存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．5．(2017·镇江丹阳高级中学期初考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝r (r >0)，且{a n a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，设b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求使a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＋2>a n ＋2a n ＋3(n ∈N *)成立的q 的取值范围； (2)求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)试证明：当q ≥2时，对任意正整数n ≥2，S n 不可能是数列{b n }中的某一项． 解：(1)依题意得q n －1＋q n >q n ＋1， ∵q >0，∴q 2－q －1<0， ∴0<q <5＋12.(2)∵b n ＋1b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 2n －1＋a 2n ＝a 2n a 2n ＋1a 2n ＋a 2n ＋1a 2n ＋2a 2n ＋1a 2n －1＋a 2n ＝a 2n －1a 2n a 2n q ＋a 2n a 2n ＋1a 2n ＋1q a 2n －1＋a 2n ＝q (q >0)，且b 1＝a 1＋a 2＝1＋r >0，∴ 数列{b n }是以1＋r 为首项，q 为公比的等比数列，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (1＋r )，q ＝1，(1＋r )(1－q n)1－q，q ≠1.(3)证明：当q ≥2时，S n ＝(1＋r )(1－q n )1－q ，∵S n －a n ＋1＝(1＋r )(1－q n )1－q－(1＋r )q n＝1＋r 1－q[(1－q n )－q n (1－q )]＝1＋r 1－q[1＋q n (q －2)]<0，∴S n <a n ＋1，又S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n >0，n ∈N *，∴S n >a n ，故当q ≥2时，对任意正整数n ≥2，S n 不可能是数列{b n }中的某一项．6．(2017·南通二调)设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且满足：①|a 1|≠|a 2|；②r (n －p )S n ＋1＝()n 2＋n a n ＋(n 2－n －2)a 1，其中r ，p ∈R ，且r ≠0.(1)求p 的值；(2)数列{a n }能否是等比数列？请说明理由； (3)求证：当r ＝2时，数列{a n }是等差数列． 解：(1)n ＝1时，r (1－p )S 2＝2a 1－2a 1＝0， 因为|a 1|≠|a 2|，所以S 2≠0， 又r ≠0，所以p ＝1.(2)数列{a n }不是等比数列．理由如下： 假设{a n }是等比数列，公比为q ，当n ＝2时，rS 3＝6a 2，即ra 1(1＋q ＋q 2)＝6a 1q ， 所以r (1＋q ＋q 2)＝6q ，①当n ＝3时，2rS 4＝12a 3＋4a 1，即2ra 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝12a 1q 2＋4a 1， 所以r (1＋q ＋q 2＋q 3)＝6q 2＋2，②由①②得q ＝1，与|a 1|≠|a 2|矛盾，所以假设不成立. 故{a n }不是等比数列．(3)证明：当r ＝2时，易知a 3＋a 1＝2a 2.由2(n －1)S n ＋1＝(n 2＋n )a n ＋(n 2－n －2)a 1，得 n ≥2时，2S n ＋1＝n (n ＋1)a n n －1＋(n ＋1)(n －2)a 1n －1，①2S n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)a n ＋1n ＋(n －1)(n ＋2)a 1n，② ②－①得，2a n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)a n ＋1n －n (n ＋1)a n n －1＋(n 2－n ＋2)a 1n (n －1)， 即2(a n ＋2－a 1)＝(n ＋1)(n ＋2)(a n ＋1－a 1)n －n (n ＋1)(a n －a 1)n －1， 两边同除(n ＋1)得，2(a n ＋2－a 1)n ＋1＝(n ＋2)(a n ＋1－a 1)n －n (a n －a 1)n －1，即a n ＋2－a 1n ＋1－a n ＋1－a 1n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1－a 1n －a n －a 1n －1 ＝n (n －1)2×2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －a 1n －1－a n －1－a 1n －2＝……＝n (n －1)×…×3×22×2×…×2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－a 13－1－a 2－a 12－1＝0，所以a n －a 1n －1＝a n －1－a 1n －2＝…＝a 2－a 11，令a 2－a 1＝d ，则a n －a 1n －1＝d (n ≥2)．所以a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥2)． 又n ＝1时，也适合上式， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *)． 所以a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)．所以当r ＝2时，数列{a n }是等差数列．第3课时数列的综合应用(能力课)[常考题型突破][例1](2017·n}的前n项和为S n，且2S n＝a n ＋1 (n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若正项等比数列{b n}，满足b2＝2,2b7＋b8＝b9，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n；(3)对于(2)中的T n，若对任意的n∈N*，不等式λ(－1)n＜12n＋1(T n＋21)恒成立，求实数λ的取值范围．[解](1)因为2S n＝a n＋1，所以4S n＝(a n＋1)2，且a n＞0，则4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1，又4S n＋1＝(a n＋1＋1)2，所以4a n＋1＝4S n＋1－4S n＝(a n＋1＋1)2－(a n＋1)2，即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)－2(a n＋1＋a n)＝0，因为a n＞0，所以a n＋1＋a n≠0，所以a n＋1－a n＝2，所以{a n}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以a n＝2n－1.(2) 设数列{b n}的公比为q，因为2b7＋b8＝b9，所以2＋q＝q2，解得q＝－1(舍去)或q ＝2，由b2＝2，得b1＝1，即b n＝2n－1.记A＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，则2A＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，两式相减得－A＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n，故A＝(2n－1)×2n－1－2(2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)×2n－1－2(2n－2)＝(2n－3)×2n ＋3所以T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)·2n ＋3. (3)不等式λ(－1)n ＜12n ＋1(T n＋21)可化为(－1)nλ＜n －32＋62n －1. 当n 为偶数时，λ＜n －32＋62n －1，记g (n )＝n －32＋62n －1.即λ＜g (n )min .g (n ＋2)－g (n )＝2＋62n ＋1－62n －1＝2－92n ，当n ＝2时，g (n ＋2)＜g (n )，n ≥4时，g (n ＋2)＞g (n )，即g (4)＜g (2)，当n ≥4时，g (n )单调递增，g (n )min ＝g (4)＝134，即λ＜134.当n 为奇数时，λ＞32－n －62n －1，记h (n )＝32－n －62n －1，所以λ＞h (n )max .h (n ＋2)－h (n )＝－2－62n ＋1＋62n －1＝－2＋92n ，当n ＝1时，h (n ＋2)＞h (n )，n ≥3时，h (n ＋1)＜h (n )，即h (3)＞h (1)，n ≥3时，h (n )单调递减，h (n )max ＝h (3)＝－3，所以λ＞－3. 综上所述，实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，134. [方法归纳]已知数列{a n }满足a 1＝6，a 2＝20，且a n －1·a n ＋1＝a 2n －8a n ＋12(n ∈N *，n ≥2)．(1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等差数列； (2)令c n ＝(n ＋1)a n na n ＋1＋na n ＋1(n ＋1)a n，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：2n <T n <2n ＋23.证明：(1)当n ＝2时，a 1·a 3＝a 22－8a 2＋12， 所以a 3＝42.当n ≥2时，由a n －1·a n ＋1＝a 2n －8a n ＋12， 得a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1－8a n ＋1＋12，两式相减得a 2n ＋1－a 2n －8a n ＋1＋8a n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1， 所以a 2n ＋a n a n ＋2－8a n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1－8a n ＋1，即a n (a n ＋a n ＋2－8)＝a n ＋1(a n ＋1＋a n －1－8)，所以a n ＋a n ＋2－8a n ＋1＝a n ＋1＋a n －1－8a n ＝…＝a 3＋a 1－8a 2＝2.所以a n ＋2＋a n －8＝2a n ＋1， 即a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝8， 即(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝8， 当n ＝1时，也满足此式． 又a 2－a 1＝14，所以数列{a n ＋1－a n }是以14为首项，8为公差的等差数列． (2)由(1)知a n ＋1－a n ＝14＋8(n －1)＝8n ＋6.由a 2－a 1＝8×1＋6，a 3－a 2＝8×2＋6，…，a n －a n －1＝8×(n －1)＋6，累加得a n －a 1＝8×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋6(n －1)＝8×(n －1)(1＋n －1)2＋6(n －1)＝4n 2＋2n －6，所以a n ＝4n 2＋2n .所以c n ＝(n ＋1)a n na n ＋1＋na n ＋1(n ＋1)a n ＝2n ＋12n ＋3＋2n ＋32n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22n ＋3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22n ＋1＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以T n ＝2n ＋2⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3，又13>13－12n ＋3＝2n ＋3－33(2n ＋3)＝2n 3(2n ＋3)>0， 所以2n <T n <2n ＋23.[例2] n n S n ，T n ，满足对一切n ∈N *，都有S n ＋3＝T n .(1)若a 1≠b 1，试分别写出一个符合条件的数列{a n }和{b n }；(2)若a 1＋b 1＝1，数列{c n }满足：c n ＝4a n ＋λ(－1)n －1·2b n ，求最大的实数λ，使得当n ∈N *，恒有c n ＋1≥c n 成立．[解] (1)设数列{a n }，{b n }的公差分别是d 1，d 2. 则S n ＋3＝(n ＋3)a 1＋(n ＋3)(n ＋2)2d 1，T n ＝nb 1＋n (n －1)2d 2.∵对一切n ∈N *，有S n ＋3＝T n ，∴(n ＋3)a 1＋(n ＋3)(n ＋2)2d 1＝nb 1＋n (n －1)2d 2，即d 12n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1＋52d 1n ＋3a 1＋3d 1＝d22n 2＋⎝⎛⎭⎫b 1－12d 2n . ∴⎩⎨⎧d 12＝d 22，a 1＋52d 1＝b 1－12d 2，3a 1＋3d 1＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧d 2＝d 1，a 1＝－d 1，b 1＝2d 1.故答案不唯一．例如取d 1＝d 2＝2，a 1＝－2，b 1＝4， 得a n ＝2n －4(n ∈N *)，b n ＝2n ＋2(n ∈N *)． (2)∵a 1＋b 1＝1，又由(1)，可得d1＝d2＝1，a1＝－1，b1＝2.∴a n＝n－2，b n＝n＋1.∴c n＝4n－2＋λ(－1)n－12n＋1.∴c n＋1－c n＝4n－1＋λ(－1)n2n＋2－4n－2－λ(－1)n－12n＋1＝3·4n－2＋λ(－1)n(2n＋2＋2n＋1)＝316·22n＋6λ(－1)n·2n.∵当n∈N*时，c n＋1≥c n恒成立，即当n∈N*时，316·22n＋6λ(－1)n·2n≥0恒成立．∴当n为正奇数时，λ≤132·2n恒成立，而1 32·2n≥116.∴λ≤116；当n为正偶数时，λ≥－132·2n恒成立，而－132·2n≤－18，∴λ≥－18.∴－18≤λ≤116，∴λ的最大值是116.[方法归纳][变式训练](2017·南京三模)已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2a n ＋p ，n ∈N *.(1)若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n .(2)若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．解：(1)因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2a n ＋1.①因为a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2a 1＋1＝1，a 3＝|1－a 2|＋2a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2a 3＋1＝9.②因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2a n ＋1＝a n －1＋2a n ＋1＝3a n ，于是有a n ＝3n －2(n ≥2) .故当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ，当n ＝1时，S 1＝－1，符合上式，故S n ＝3n －1－32，n ∈N *. (2)因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即数列{a n }单调递增．(ⅰ)当a 1 p ≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2a n ＋p ＝a n －p ＋2a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1.若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2a s ＝a r ＋a t ，即2×3s －1＝3r －1＋3t －1. (*)因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即(*)不成立． 故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列．(ⅱ)当－1＜a 1 p＜1时，有－p ＜a 1＜p . 此时a 2＝|p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2a 1＋p ＝a 1＋2p ＞p ，于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2a n ＋p ＝a n －p ＋2a n ＋p ＝3a n .所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，由(ⅰ)可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2p＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0. 因为2×3s －2－3t －2是整数，所以a 1 a 1＋2p≤－1， 于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列．(ⅲ)当a 1p ≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝|p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，此时2a 2＝a 1＋a 3，则a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知，a 1p≤－1. 故a 1p 的取值范围为(－∞，－1].[例3] 已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a ，a 2＝b ，a n ＋1＝a n a n ＋2＋m (n ∈N *)，其中m ，a ，b 均为实常数．(1)若m ＝0，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．①求b a的值； ②若a ＝2，令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，2log 2a n －1，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n ； (2)是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意的n ∈N *都成立？若存在，求出实数λ的值(用m ，a ，b 表示)；若不存在，请说明理由．[解] (1)①因为m ＝0，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，所以正项数列{a n }是等比数列，不妨设其公比为q .又a 4,3a 3，a 5成等差数列，所以q 2＋q ＝6，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，所以b a＝2. ②当a ＝2时，数列{a n }是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －1，n 为偶数， 即数列{b n }的奇数项依次构成首项为2、公比为4的等比数列，偶数项依次构成首项为3、公差为4的等差数列．当n 为偶数时，S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－4n 21－4＋n 2(3＋2n －1)2＝2n ＋13＋n 2＋n 2－23； 当n 为奇数时， S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4n ＋121－4＋n －12(3＋2n －3)2＝2n ＋23＋n 2－n 2－23.。

必备五解题模板给力模板一函数性质的应用典型例题例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f(lo16)的值是.答案-1解析因为-3<lo16<-2,所以-1<lo16+2<0,即-1<lo1<0.(转化)又f(x)是周期为2的奇函数,所以f(lo16)=f1=-f-1=-f=-(-1)=-1.(求值)故填-1.(结论)▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:跟踪集训1.(2018南京第一学期期中考试)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,当x∈[0, ]时,f(x)=2x,那么f(6)的值为.模板二函数的零点典型例题例2 根据表格中的数据,可以断定方程e x-(x+ )=0(e≈ .7 )的一个根所在的区间是(填序号).①(-1,0);②(0,1);③(1, );④( , ).答案③解析令f(x)=e x-(x+2),显然f(x)在R上为连续函数,由已知得,f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.40-4>0,f(3)=20.12-5>0.由于f(1)·f( )<0,因此方程e x-(x+2)=0的一个根在区间(1,2)内,故填③.▲模板构建函数零点存在性定理就是根据函数f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间的方法.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:跟踪集训2.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数f(x)=lgx+x-9在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .模板三三角函数的性质典型例题例3 已知函数f(x)=2sin cos-sin(2x+3π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.解析(1)f(x)=2sin cos-sin(2x+3π)=sin+sin2x=sin2x+cos2x=2sin,(化简)∴f(x)的最小正周期T==π.(2)由已知得g(x)=f=2sin,=2sin=2cos,∵x∈0,,∴ x+∈,,(换元)故当2x+=π,即x=时,g(x)min=g=-2;当2x+ = ,即x=0时,g(x)max =g=1.(结论)▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路:跟踪集训3.已知函数f(x)=2 2x-acos 2x+b(a,b∈R). (1)若a>0,求函数f(x)的单调增区间; (2)当x∈ -,时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1- ,求ab 的值.模板四 解三角形 典型例题例4 如图,在△ABC 中,已知AC=7,∠B= 5°,D 是边AB 上的一点,AD= ,∠ADC=1 0°.求:(1)CD 的长; ( )△ABC 的面积.解析 (1)在△ACD 中,AC=7,AD= ,∠ADC=1 0°,(定已知) 由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2- AD·CDc s∠ADC,(选定理) 72=32+CD 2- × ·CDc s1 0°,解得CD=5.(得结论) (2)在△BCD 中,∠B= 5°,CD=5,(定已知) 由正弦定理得s n∠ =s n =s n75°=5s n 5°,(选定理)解得BD=5 5,(得结论)所以S △ABC =S △ACD +S △BCD =1AD·CDs n∠ADC+1CD·BDs n∠BDC=1× ×5s n1 0°+1×5×5 5s n60°=75 55.▲模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形边角之间的互化,当已知三角形中的两边及其一边的对角,或两角及其一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;若已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:跟踪集训4.(2018江苏淮海中学模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2=b2+c2-bc,a=15b.(1)求sinB的值;的值.(2)求cos1模板五利用函数性质解不等式典型例题例5 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(-2)=9,且f(x)的导数f'(x)在[0,+∞)上恒有f'(x)<4x,则不等式f(x)<2x2+1的解集为.答案(-∞,- )∪( ,+∞)解析设g(x)=f(x)-2x2-1,(构函数)则g'(x)=f'(x)-4x.(析性质)因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),而g(-x)=f(-x)-2(-x)2-1=f(x)-2x2-1=g(x),所以函数g(x)为偶函数,故g(x)=g(|x|),(析性质)因为当x∈[0,+∞)时,f'(x)<4x,故g'(x)=f'(x)-4x<0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递减.(析性质)而g(2)=f(2)- × 2-1=f(-2)-9=0,故由g(x)<0,即g(|x|)<g(2),得|x|>2.(巧转化)解得x<-2或x>2.所以不等式f(x)<2x2+1的解集为(-∞,- )∪( ,+∞).(写解集)▲模板构建 利用函数性质解题主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:跟踪集训5.设函数f(x)是奇函数,其导函数为f'(x),f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是 . 模板六 基本不等式的应用 典型例题例6 设x,y 是正实数,且x+y=1,则+1的最小值是 . 答案 1解析 设x+2=s,y+1=t,则s+t=4,(换元) 所以+1=( - )+( -1)= - + - 1=1-2,(巧拼凑)因为 +1 =1 1 (s+t)=1 5 ≥ ,当且仅当t= ,s= ,即x= ,y=1时,取等号,(得定值) 所以+1≥1,即 +1的最小值是1.(得结论)▲模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:跟踪集训6.(2018江苏盐城中学高三考前热身)已知正实数a,b 满足1+1- =1,则3a+2b 的最小值为 .模板七 不等式恒成立问题 典型例题例7 已知x>0,y>0,且+1=1,若x+2y-(m2+2m)>0恒成立,则实数m的取值范围为.答案(-4,2)解析记t=x+2y,由原不等式恒成立可得m2+2m<t min.(分离参数)因为+1=1,所以t=x+2y=(x+2y)1=4++.而x>0,y>0,所以+≥ ·=4当且仅当=,即x=2y时等号成立.所以t=4++≥ + = ,即t min=8.(求最值)故m2+2m<8,即(m-2)(m+4)<0,(建关系)解得-4<m<2.(求范围)所以实数m的取值范围为(-4,2).▲模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:跟踪集训7.若g(x)=--,h(x)=-,不等式 a (x)+h( x)≥0对任意x∈[1, ]恒成立,则实数a的取值范围是.模板八线性规划问题典型例题例8 设变量x,y满足约束条件-0,-5100,-0,则目标函数z=3x-4y的最大值为.答案 3解析如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分),当直线z=3x-4y在x轴上的截距取最大值时,目标函数z取得最大值.由图可知,当直线z=3x-4y经过点C时,z取最大值,由-5100,-0,解得5,,即C(5,3),故目标函数z的最大值z max= ×5- × = .▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合.其基本的解题步骤如下:跟踪集训8.(2018江苏盐城时杨中学月考)若变量x,y 满足约束条件 ,1 -1,,且z=2x+y 的最大值和最小值分别为m 和n,则m-n= . 模板九 数列的通项与求和 典型例题例9 已知数列 1是等差数列,且a 3=1,a 2=4a 7.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =a n a n+1(n∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1) 1为等差数列,设其公差为d,由已知得,1=8,1 =17,(找关系)即1 1+2d=8,1 1+d=1 1 16 ,解得11=2,d=3,于是1=2+3(n-1),整理得a n =1-1.(求通项)(2)由(1)知a n =1-1,故b n =a n a n+1=1( -1)( )=11-1-1,(求通项)所以S n =1 1-15 15-11-1-1(定方法) =1 1-1=( ).(求结论)▲模板构建 数列的通项与求和问题的解题步骤如下:跟踪集训9.(2018江苏泰州期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=2,S 5=15.等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .模板十空间中的平行与垂直典型例题例10 如图,平面ABB1A1为圆柱的轴截面,O1、O分别为上、下底面圆的圆心,点C为底面圆周上异于A,B 的任意一点.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC.证明(1)因为AB为☉O的直径,点C为☉O上异于A,B的任意一点,所以BC⊥AC.(巧转化)又在圆柱中,AA1⊥底面☉O,所以AA1⊥BC,而AA1∩AC=A,(用定理)所以BC⊥平面A1AC.(得结论)(2)如图,取BC的中点E,连接DE,O1E.因为D为AC的中点,所以在△ABC中,DE∥AB,且DE=1AB.(巧转化)又在圆柱中,A1O1∥AB,且A1O1=1AB,所以DE∥A1O1,且DE=A1O1,所以四边形A1DEO1为平行四边形,所以A1D∥O1E.又A1D⊄平面O1BC,EO1⊂平面O1BC,(用定理)所以A1D∥平面O1BC.(得结论)▲模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:跟踪集训10.(2018江苏盐城中学模拟)在如图所示的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥EF∥BC,BE=AD=EF=1BC,G是BC的中点.求证:(1)AB∥平面DEG;( )EG⊥平面BDF.模板十一直线与圆典型例题例11 在平面直角坐标系xOy中,圆C的半径为1,圆心在直线l:y=2x-4上.存在直线,使其交圆C的弦长总为,则该直线的方程为.答案y=2x-4-5或y=2x-4+5.解析显然,所求直线的斜率存在.设所求直线的方程为y=kx+b,圆心C(m,2m-4),由已知得,所以圆心C到所求直线的距离总为1,则=1对任意的m恒成立,(求距离)即|(k-2)m+4+b|=11对任意的m恒成立,∴-0,11,∴,-5,(恒成立)∴所求直线的方程为y=2x-4-5或y=2x-4+5.(得结论)▲模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:跟踪集训11.(2018江苏联考)已知点A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y2=r2(r>0)上恰有两点M,N,使得△MAB和△NAB的面积均为4,则r的取值范围是.模板十二圆锥曲线中的最值与范围问题典型例题例12 平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点 ,1在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.①求的值;②求△ABQ面积的最大值.解析(1)将1代入椭圆方程,有+1=1,又e==-=,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为16+=1.①设P(x0,y0),=λ(λ>0),由题意知Q(-λx0,-λy0).因为0+0=1,(-0)16+(-0)=1,即00=1,所以λ=2或λ=-2(舍去),即=2.②设A(x1,y1),B(x2,y2),(设点)将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,(联立方程) 由Δ>0,可得m2<4+16k2,(a)又x1+x2=-1,x1x2=-161,所以|x1-x2|=16-1.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=1 m · x1-x2|=16-1=(16-)1=2-11.设1=t.(设出参数)将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由Δ≥0,可得m2≤1+ k2.(b)由(a)(b)可知0<t≤1,S= ( -)=2- t,(目标函数)故S≤ ,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时,S取最大值2.由①知△ABQ的面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.(得出结论)▲模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素较多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:跟踪集训12.(2018江苏南通模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A、B是椭圆C上的任意两点,O是坐标原点,且OA垂直OB.①求证:存在一个定圆,使得直线AB始终为该定圆的切线,并求出该定圆的方程;②求△AOB面积的最大值.模板十三圆锥曲线中的探索性问题典型例题例13 在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)在y轴上是否存在点P,使得当k变化时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).对于y=,因为y'=1x,所以y=在x=2处的导数值为,在x=-2处的导数值为-,所以曲线C在(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0,在(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)假设存在符合题意的点P(0,b),(假设存在) 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入曲线C 的方程,整理得x 2-4kx-4a=0,(联立方程) 所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4a, 所以k 1+k 2= 1-b 1+ -b =1 (a -b)( 1 ) 1=( ) . 当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以存在点P(0,-a)符合题意.(得出结论)▲模板构建 圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:跟踪集训13.(2018江苏兴化一中模拟)椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点在椭圆M 上.(1)求椭圆M 的方程;(2)如图,椭圆M 的上、下顶点分别为A 、B,过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C,D. ①求 · 的取值范围;②当AD 与BC 相交于点Q 时,试问:点Q 的纵坐标是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.模板十四 应用性问题 典型例题例14 (2018江苏淮阴中学阶段检测)如图所示,江苏省淮阴中学有一块矩形空地ABCD,其中AB=10米,BC=10 ,计划在此矩形空地区域内为学生建灯光运动场,△BEF 区域内安装一批照明灯(E,F 点在线段AC 上),且∠EBF= 0°,△BEF 外其余区域建运动场. (1)若E 在距离A 点4米处,求点E,F 之间的距离;(2)为了使运动场地区域最大化,要求△BEF 面积应尽可能地小,记∠ABE=θ,请用θ表示△BEF 的面积S(θ),当S(θ)最小时,求θ的值.解析 (1)由题意得∠BAC=60°,∠ACB= 0°,AC= 0米. ∵∠BFE=∠BCF+∠CBF= 0°+∠CBF,∠ABE=∠ABC -∠EBF -∠CBF= 0°- 0°-∠CBF, ∴∠BFE+∠ABE= 0°.△ABE 中,由余弦定理得BE=2 1 米. c s∠ABE=1 1,△BEF 中,s n 0°=s n∠ =c s∠ , ∴EF=c s∠ =1米.( )△ABE 中,s n60°=s n[1 0°-( 60°)]=10s n(60°),则BE=5s n( 60°).△BCF 中, s n 0°= s n(60° 0°)=10s n( 0°),则BF=5c s 米. ∴S(θ)=1BE·BFs n 0°=75c s s n( 60°)= s n(60°).∵θ∈(0°,60°),∴当2θ+60°= 0°,即θ=15°时,S(θ)最小. 答:当θ=15°时,三角形BEF 的面积最小. ▲模板构建跟踪集训14.(2018江苏兴化一中模拟)某公司拟购买一块地皮建休闲公园,如图,从公园入口A沿AB,AC方向修建两条小路,休息亭P与入口的距离为3米(其中a为正常数),过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带,步行带交.两条小路于E、F处,已知∠BAP= 5°,tan∠CAB=15(1)设AE=x米,AF=y米,求y关于x的函数关系式及定义域;(2)试确定E,F的位置,使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低.模板十五求空间角(理科专用)典型例题例15 (2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥A-BOC中,AO,OB,OC两两互相垂直,点D,E分别为棱BC,AC的中点,F在棱AO上,且满足OF=1OA,已知OA=OC=4,OB=2.(1)求异面直线AD与OC所成角的余弦值;(2)求二面角C-EF-D的正弦值.解析(1)如图,以O为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(0,0,1),所以=(1,2,-4),=(0,4,0),所以cos<,>=·== 11.因此异面直线AD与OC所成角的余弦值为 11.(2)平面AOC的一个法向量为=(2,0,0).设m=(x,y,z)为平面DEF的一个法向量,又=(0,-2,-1),=(-1,0,2),则·EF0,·DE0,即0,-0.不妨取z=2,则x=4,y=-1,所以m=(4,-1,2)为平面DEF的一个法向量,从而cos<,m>=OB·OB == 11,设二面角C-EF-D的大小为θ,则|cosθ|=1.因为θ∈[0,π],所以sinθ=1-c s=1051.因此二面角C-EF-D的正弦值为1051.▲模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:跟踪集训15.(2018南京、盐城一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M 为PC的中点,AC=4,BD=2,OP=4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.模板十六离散型随机变量典型例题例16 现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.解析(1)设事件A为“张同学至少取到1道乙类题”,则事件为“张同学所取3道题都是甲类题”.(定性)因为P()=C6C10=16,(定型)所以P(A)=1-P()=56.(求值)(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3.(定元) P(X=0)=C × 5×15=1 5,P(X=1)=C 1×5×5×15+C × 5× 5=1 5, P(X=2)=C× 5 ×15+C 1× 5× 5× 5=571 5, P(X=3)=C× 5 × 5= 61 5.(定型)故X 的分布列为X 0123P1 5 1 5 571 5 61 5所以E(X)=0× 1 5+1× 1 5+ ×571 5+ × 61 5=2.(求值)▲模板构建 公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:跟踪集训16.盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数.求X 的概率分布和数学期望E(X).答案精解精析模板一函数性质的应用跟踪集训1.答案-4解析奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,则最小正周期是8,则f(6)=f(-2)=-f(2)=-4.模板二函数的零点跟踪集训2.答案 5解析函数f(x)在(0,+∞)上递增,且f(5)=lg5-<0,f(6)=lg6>0,所以函数零点在区间(5,6)上,则n=5.模板三三角函数的性质跟踪集训3.解析(1)因为f(x)=2asinxcosx+asin2x-acos2x+b==2asin-6+b.又a>0,所以函数f(x)的单调增区间为-6k ,k ,k∈Z.(2)当x∈-,时,2x-6∈-,,2sin-6∈[-2,],则当a>0时,函数f(x)的最大值为a+b,最小值为-2a+b.所以a b , -1- ,解得a=1,b=3-.当a<0时,函数f(x)的最大值为-2a+b,最小值为a+b.所以a b1- , - ,解得a=-1,b=1.综上,a=1,b=3-a=-1,b=1.模板四解三角形跟踪集训4.解析(1)在△ABC中,根据余弦定理及a2=b2+c2-bc得,cosA=-=1. 因为A∈(0,π),所以A=.在△ABC 中,由正弦定理s n =s n得sinB=sinA=15× = 55.(2)因为a=15b>b,所以A>B,即0<B<.又sinB= 55,所以cosB= 1-s n B = 55.在△ABC 中,A+B+C=π, 所以cos1 =cos - -1 =-cos=- c s c s -s n s n=-55- 55 =- 1010. 模板五 利用函数性质解不等式跟踪集训5.答案 {x|x<-1或0<x<1} 解析 令g(x)= ( ),则当x>0时,g'(x)= ( )- ( )<0,则g(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是奇函数,则g(-x)= (- )- = ( )=g(x),则g(x)是偶函数,g(-1)=(-1)-1=0=g(1),f(x)>0⇔xg(x)>0⇔ 0, ( ) 0或0,( ) 0,解得0<x<1或x<-1.模板六 基本不等式的应用跟踪集训 6.答案 3+ 5解析 令a+b=x,a-b=y,则1 +1=1,1 = -1>0,x>0,则x>1,y>0,a=,b= -,3a+2b=+x-y=5 =1 (5x+y)· 1 1 =1 6 5 ≥ +1 × ·5 =3+ 5,当且仅当 =5,y= 5x 时,取等号,故3a+2b 的最小值为3+ .模板七 不等式恒成立问题跟踪集训 7.答案 a≥-171解析 a (x)+h( x)≥0,即 a·- -+-≥0,a·( x -2-x )+22x +2-2x ≥0,令2x -2-x=t,t∈,15,则22x +2-2x =t 2+2,2at+t 2+ ≥0,t 2+ ≥-2at,- a≤m n,y=t+t,∈,15递增,t=时,y min =176,则- a≤176,解得a≥-171.模板八 线性规划问题跟踪集训 8.答案 6解析 画出可行域如图所示,由z=2x+y 得y=-2x+z.当直线y=-2x+z 经过点A(-1,-1)时,z 取得最小值n=-3; 当直线y=-2x+z 经过点C(2,-1)时,z 取得最大值m=3. ∴m -n=6.模板九 数列的通项与求和跟踪集训9.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,因为满足a 2=2,S 5=15, 所以1 ,5 1515,解得 1 1, 1,所以a n =1+(n-1)·1=n,因为等比数列{b n }满足b 2=4,b 5=32,设其公比为q,则 1 , 1 ,解得 1 , , 所以数列{b n }的通项公式为b n =b 1q n-1=2n.(2)由(1)知:a n b n =n· n ,所以T n =1× + × 2+ +n× n,① 所以2T n =1× 2+ × 3+ +n× n+1,② 由②-①得T n =-(2+22+23+ + n)+n· n+1=- (1- )1-+n· n+1,故T n =(n-1)2n+1+2.模板十 空间中的平行与垂直跟踪集训10.证明 (1)∵BC= AD,G 是BC 的中点,∴AD=BG,又∵AD∥BC,∴四边形ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. ∵AB ⊄平面DEG,DG ⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.(2)易知四边形ADFE 是矩形,连接GF,∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,∴DF⊥平面BCFE,EG ⊂平面BCFE,∴DF⊥EG. ∵EF∥BG,EF=BG,且EF=BE,∴四边形BGFE 为菱形,∴BF⊥EG, 又BF∩DF=F,BF ⊂平面BFD,DF ⊂平面BFD,∴EG⊥平面BDF.模板十一 直线与圆跟踪集训 11.答案,解析 由题意可得|AB|= (-1 )(- -0)=2 ,根据△MAB 和△NAB 的面积均为4,可得两点M,N 到直线AB 的距离为2 . 由于直线AB 的方程为-0- -0=-1,即x+y+3=0.若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为=r+2 ,解得r=;若圆上只有3个点到直线AB 的距离为2 则圆心(2,0)到直线AB 的距离为=r-2 解得r=.综上,r 的取值范围是,.模板十二 圆锥曲线中的最值与范围问题跟踪集训12.解析 (1)设椭圆的半焦距为c,由题意得 =,且a=2,得c= ,b=1, ∴所求椭圆方程为+y 2=1.( )①证明:当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为x=±55,原点O 到直线AB 的距离为55.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则由1, ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, Δ=16(1+4k 2-m 2)>0, x 1+x 2=-1 ,x 1x 2= -1 ,由 · =x 1x 2+y 1y 2=5 - -1=0,得m 2=5(1+k 2),∴原点O 到直线AB 的距离d==(1 )=5.综上所述,原点O 到直线AB 的距离为 55,即该定圆方程为x 2+y 2=5.②当直线AB 的斜率不存在时,AB=55,当直线AB 的斜率存在时,|AB|= 1 |x 1-x 2|=5116 1, 当k≠0时,|AB|= 5116≤ ,当且仅当k=±1时等号成立.当k=0时,|AB|=55,∴ AB 的最大值为 5.由①知,点O 到直线AB 的距离为 5,∴S △AOB 的最大值为1× 5× 5=1.模板十三 圆锥曲线中的探索性问题跟踪集训13.解析 (1)因为点P(0,2)关于直线y=-x 的对称点为(-2,0),且(-2,0)在椭圆M 上,所以a=2.又e=,故c= ,则b 2=a 2-c 2=4-3=1.所以椭圆M 的方程为+y 2=1.( )①当直线l 的斜率不存在时,C(0,1),D(0,-1),所以 ·=-1. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+2,C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), ,1,消去y 整理得(1+4k 2)x 2+16kx+12=0,由Δ>0,可得4k 2>3,且x 1+x 2=-161 ,x 1x 2= 11 , 所以 · =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=-1+171,所以-1< · <1,综上, · ∈ -1,1. ②是.由题意得,AD:y= -1x+1,BC:y= 1 11x-1,联立方程组,消去x 得y=1 1 - 1,又4kx 1x 2=-3(x 1+x 2),解得y=1,故点Q 的纵坐标为定值1.模板十四 应用性问题跟踪集训14.解析 (1)解法一:由tan∠CAB=15得s n∠CAB=11,c s∠CAB=51,且s n∠FAP=s n(∠CAB -∠PAE)=s n(∠CAB - 5°)=76. 由题可知S △AEF =S △AEP +S △AFP ,所以1AE·AF·s n∠CAB=1AE·AP·s n∠PAE+1AP·AF·s n∠FAP, 得1xy·1 1 =1x· a· +1·y· a·76, 即11xy=3ax+ 11ay,所以y=1-7.由 0,1 -70得定义域为 7, ∞ . 解法二:由tan∠CAB=1 5,得s n∠CAB=1 1 ,c s∠CAB=51 , s n∠FAP=s n(∠FAE -∠PAE)=s n(∠FAE - 5°)=7 6.设∠FPA=θ,△APF 中,由正弦定理得 s n∠ = s n∠ =s n∠ , 所以PF=7 6y s n,s n∠AFE=.同理可得PE=x s n ,FE= 11xy as n.由PF+PE=FE, 即7 6y s n +x s n =1 1xy ,整理得y=1-7,由 0,1 -70,得定义域为 7, ∞ . 解法三:以AB 所在直线为x 轴,点A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则E(x,0),P(3a,3a),由tan∠CAB=15,得s n∠CAB=11,c s∠CAB=51,所以F 51 y,11 y , 因为 与 共线,所以 51 y - a (-3a)= 11 y - a (x-3a),所以y=1-7,由 0,1 -70 得定义域为 7, ∞ .(2)设三条路围成地皮购价为y 元,地皮购价为k 元/平方米,则y=k·S △AEF (k 为正常数), 所以要使y 最小,只要使S △AEF 最小即可.由题可知S △AEF =1 AE·AF·s n∠CAB=1 xy·1 1 =61 xy=61 x·1 -7 =6-7,定义域为 7, ∞ .令t=4x-7a>0, 则S △AEF =67= ·1 at =1 a≥·1 a = 1a 2.当且仅当t=7a,即x=7时取等号, 所以,当x=7时,S △AEF 最小,所以y 最小.答:当点E 距离A 点7米时,三条路围成地皮购价最低.模板十五 求空间角(理科专用)跟踪集训15.解析 (1)因为四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,所以以O 为原点,直线OA,OB,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2). 所以 =(-2,0,4), =(-1,-1,2), 所以 · =10, | |=2 5,| |= 6.则cos<,>=·== 06.故直线AP与BM所成角的余弦值为 06.(2)=(-2,1,0),=(-1,-1,2).设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,z),则·AB0,·BM0,即-0,--0.令x=2,则y=4,z=3.所以平面ABM的一个法向量为n=(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为=(0,1,0),所以n·=4,|n|=,||=1.则cos<n,>=·OBOB==.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.模板十六 离散型随机变量跟踪集训16.解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球, 所以P=C C C C=6 1 6=51.(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)=CC =11 6.{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)=C C 51 C C 61C= 0 61 6=16 .于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-16 -11 6=111 . 所以随机变量X 的概率分布如下表:因此随机变量X 的数学期望 E(X)= ×111+ ×16+ ×11 6= 0.。

必备三 解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况。

数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节，在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题。

这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷。

陷阱一 混淆概念--理解概念抓本质例1 若z=sinθ-35+(cos θ-45)i 是纯虚数,则tan (θ-π4)的值为 。

易错分析 本题易混淆复数的相关概念，忽视虚部不为零的限制条件，导致所求tan (θ-π4)的值为多个，从而错解。

答案 —7正确解析 由纯虚数的概念，可知{sin θ-35=0,①cos θ-45≠0,②由①，得sinθ=35，故cosθ=±√1-sin 2θ=±√1-(35)2=±45，而由②，可得cosθ≠45，故cosθ=—45,所以tanθ=sin θcos θ=-34,则tan (θ-π4)=tan θ-tanπ41+tan θtanπ4=-34-11+(-34)×1=—7.▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答。

本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量a=（2，1),b=(λ,1),λ∈R，设a 与b 的夹角为θ。

若θ为锐角，则λ的取值范围是 .陷阱二错用结论-—公式定理要记准例2 将函数g（x）=4sinxcosx的图象向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），得到函数f（x)的图象，则f(π4)= 。

易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案√6+√22正确解析将函数g(x）=4sinxcosx=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度后得到函数y=2sin2(θ+π6)=2sin(2θ+π3)的图象,将该函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)后所得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin(12×2x+π3)=2sin(θ+π3).所以f(π4)=2sin(π4+π3)=2sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系，熟记相关的规律.跟踪集训2。

必备六 解题技法增分技法一 特例法在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果. 典型例题例1 (1)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等差数列,则cosA+cosC 1+cosAcosC = .(2)AD,BE 分别是△ABC 的中线,若|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 (1)45 (2)23解析 (1)利用特例法,令a=3,b=4,c=5,则△ABC 为直角三角形,cos A=45,cos C=0,从而所求值为45.(2)易知等边三角形为符合题意的△ABC 的一个特例,则|AB|=2√33,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 60°=23.【方法归纳】当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理.跟踪集训1.求值:cos 2a+cos 2(a+120°)+cos 2(a+240°)= .2.已知m,n是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若n⊥α,n⊥β,则α∥β;③若α内不共线的三点到β的距离都相等,则α∥β;④若n⊄α,m⊄α,且n∥β,m∥β,则α∥β;⑤若m,n为异面直线,n⊄α,n∥β,m⊄β,m∥α,则α∥β.其中正确的命题是.(把你认为正确的命题序号都填上)3.如图,点P为椭圆x 225+y29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=.技法二图解法典型例题例2(1)直线y=x+m与曲线x=√1-y2有且仅有一个公共点,则m的取值范围是.(2)已知函数f(x)={x2+(4a-3)x+3a,x<0,log a(x+1)+1,x≥0(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案(1)-1<m≤1或m=-√2(2)[13,2 3 )解析(1)作出曲线x=√1-y2的图形,如图所示.由图形可得,当直线y=x+m在b和c之间变化时,满足题意,同时,当直线在a的位置时也满足题意,所以m的取值范围是-1<m≤1或m=-√2.。