不等式和绝对值不等式课件

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．

含参数不等式及绝对值不等式的解法

例1解关于x的不等式：2(1)0xxaa 0)(322axaax

01)1(2xaax 02)12(2xaax

22axax 11axx

11xax 0221xaxa

0)2(xxax 012xax

xaxx 0)2)(1(1xxkkx

例2: 关于x的不等式01)1(2axaax 对于Rx恒成立，求a的取值范围。

例3：若不等式210xax＋＋对于一切1(0,)2x成立，则a的取值范围.

例4：若对于任意a1,1，函数axaxxf2442的值恒大于0，求x的

取值范围。

例5：已知19a,关于x的不等式: 0452xax恒成立，求x的范围。

例 6： 对于x（0，3）上的一切实数x,不等式122xmx恒成立，求实数m的取值范围。

例7：2212xx 1332xx

321xx xx332

例8、 若不等式axx34，对一切实数x恒成立，求a的取值范围

若不等式axx34，对一切实数x恒成立，求a的取值范围

若不等式axx34有解，求a的取值范围

若不等式axx34的解集为空集，求a的取值范围

若不等式axx34解集为R，求a的取值范围

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba 特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

（2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

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不等式和绝对值不等式测试题

班级 姓名 学号 得分

一、选择题

1.已知全集U=R,集合A={x||x-1|<1},则∁UA=( ).

A.(-∞,0] B.[2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]

2.已知集合M={x||2x-1|<1},N={x|3x>1},则M∩N=( ).

A.⌀ B.{x|x<0} C.{x|x<1} D.{x|0

3已知A=｛x︱︱2x+1︱＞3｝,B=｛x︱x2+x-6≤0｝,则A∩B等于 ( )

A.2,3,1 B.2,12,3

C.2,12,3 D.2,13,

4.若a,b是任意的实数,且a>b,则( )

(A )22ba (B)1ab (C ) lg(a-b)>0 ( D )ba)21()21(

5、若a、b为实数，则a＞b＞0是a2＞b2的 （ ）

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6、下列结论不正确的是 ( )

(A)2,,xyyxyx则为正数 (B)21222xx

(C)210loglgxx (D) 4)11)(1(,aaa则为正数

7. 已知12yx，则yx42的最小值为（ ）

A．8 B．6 C．22 D．23

8. 不等式1312xx的解集是（ ）

A. ),4( B. ),21( C. ),21()3,( D. ),4()3,(