高中数学人教A版选修2-2学业测评3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析

1．下列不等式正确的是()A．3i＞2i B．|2＋3i|＞|1－4i|C．|2－i|＞2 D．i＞－i解析：选C.两虚数不能比较大小，A、D错误；又|2＋3i|＝13＜|1－4i|＝17，B不正确，故选C.2．向量a＝(1，－2)所对应的复数是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i解析：选B.∵a＝(1，－2)，∴复平面内对应的点Z(1，－2)，∴a对应的复数为Z＝1－2i.3．a，b∈R，复数(a2－4a＋6)＋(－b2＋2b－4)i表示的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.a2－4a＋6＝(a－2)2＋2＞0，－b2＋2b－4＝－(b2－2b＋4)＝－[(b－1)2＋3]＜0.∴实部为正数，虚部为负数．4．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．a＜－1或a＞1B．－1＜a＜1C．a＞1 D．a＞0解析：选B.∵|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，∴a2＋4＜5，即a2＋4＜5，∴a2＜1，即－1＜a＜1.5．(2013·石家庄高二检测)复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则() A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1C．a＝0 D．a＝2或a＝0解析：选D.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，所以a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.6．(2013·杭州高二检测)实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________．解析：依题意设z＝5＋b i，则|z|＝25＋b2，而|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，所以25＋b2＝5，即b ＝0.答案：17．设z ＝(k 2－k )＋(k 2－1)i ，k ∈R ，且z 对应的复平面上的点在第三象限，则k 的取值范围是________．解析：复数z 在复平面内对应的点为(k 2－k ，k 2－1)，此点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2－k ＜0，k 2－1＜0，解得0＜k ＜1.答案：(0,1)8．已知复数z ＝a －13i(a ∈R )对应的点都在圆心在原点的单位圆内(不含边界)，则a 的取值范围为________．解析：z ＝a －13i(a ∈R )对应的点(a ，－13)在圆x 2＋y 2＝1内， ∴a 2＋19＜1解得－223＜a ＜223. 答案：⎝⎛⎭⎫－223，223 9．求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小． 解：|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝ (－12)2＋(－2)2＝32. ∵5>32，∴|z 1|>|z 2|. 10．求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模．解：|z |＝ (1＋cos α)2＋(sin α)2＝2＋2cos α＝2|cos α2|， 因为π＜α＜2π，所以π2＜α2＜π， 所以cos α2＜0， 所以|z |＝－2cos α2.。

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1.如何理解复数与点、向量间的对应关系? 剖析每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定.当把实部和虚部 作为一个有序数对时,就和点的坐标一样,从而可以用点表示复数. 复平面内的每一个点都可以与从原点出发的一个向量一一对应,从 而复数也可以与复平面内的向量一一对应.
方法二:复数→向量→向量运算→������������→点 D 对应的复数
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题型一
题型二
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解:方法一:由已知,得点A,B,C的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,2),
则线段 AC 的中点坐标为
2,
3 2
.
由平行四边形的性质,知点
2,
3 2
也是线段BD 的中点.
知知识识梳梳理理
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【做一做1-1】 复数z=4-7i在复平面内对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:复数z=4-7i在复平面内对应点的坐标是(4,-7),在第四象限. 答案:D 【做一做 1-2】 若������������ = (-2,0),则������������对应的复数 ( ) A.等于2 B.等于-2i C.在实轴上 D.在虚轴上 解析:向量������������对应的复数为-2,在实轴上. 答案:C
设点 D 的坐标为(x,y),则
������ +1 2
=
2,
������ +0 2
=
3 2
,
∴
������ ������
= =
3, 3,

第三章 3.1 3.1.2基础练习1．(2017年某某某某模拟)复数1－i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【答案】D3．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点为A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．(2019年某某某某模拟)在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i【答案】D5.在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为，|z |的值为.【答案】9626．已知复数z ＝lg(x 2－1)＋ilg(x －1)(其中i 是虚数单位)，若z 在复平面上对应的点位于第三象限，则实数x 的取值X 围是________．【答案】(1，2)【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ lg (x 2－1)<0，lg (x －1)<0，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－1<1，0<x －1<1，解得1<x < 2.7．(2017年某某某某期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试某某数m 的取值，使得：(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3，m ≠－1且m ≠－2，解得m ＝3.(2)复数对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＜0，m 2＋3m ＋2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜3，m ＞－1或m ＜－2，解得－1＜m ＜3.8．已知i 是虚数单位，z ＝(m 2－2m －3)＋(2m 2＋m －1)i ，m ∈R . (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若m ＝1时z 对应的点为A ，m ＝2时对应的点为B ，求A ，B 两点的距离．【解析】(1)∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝3.(2)当m ＝1时，z ＝－4＋2i ，∴点A 的坐标为(－4,2)． 当m ＝2时，z ＝－3＋9i ，∴点B 的坐标为(－3,9)． ∴|AB |＝(－4＋3)2＋(2－9)2＝52.能力提升9.(多选)(2020年某某某某模拟)已知复数z ＝1＋cos 2θ＋isin 2θ－π,2＜θ＜π,2(其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B.复数z 在复平面上对应的点可能落在第三象限C.z 可能为实数D.|z |＝2cos θ 【答案】ACD【解析】z ＝1＋cos 2θ＋isin 2θ＝2cos θ(cos θ＋isin θ)，因为－π,2＜θ＜π,2，所以cos θ＞0，sin θ∈(－1,1).所以复数z 在复平面上对应的点可能落在第一、第二象限，不可能落在第三、第四象限，A 正确，B 错误；当θ＝0时，z ＝2，为实数，C 正确；|z |＝|2cos θ(cos θ＋isin θ)|＝|2cos θ|·|cos θ＋isin θ|＝2cos θ，D 正确.10．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．5D ．3【答案】D【解析】∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心在原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大距离为3.故选D ．11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A ．34＋12πB ．12＋1πC ．14－12πD ．12－1π【答案】C【解析】复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分，y ≥x 的图形是图中阴影部分，复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为π4－12×1×1π＝14－12π.故选C ．12．若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值X 围为________．【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－55，55【解析】由题意，对一切θ∈R ，(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤2恒成立，整理得5a 2－3≤2a (2sin θ－cos θ)．又2sin θ－cos θ＝5sin(θ＋φ)∈[－5，5]，①a ＝0时，满足题意；②a >0时，必有5a 2－3≤－25a 恒成立，解得0<a ≤55；③a <0时，必有5a 2－3≤25a 恒成立，解得－55≤a <0.所以－55≤a ≤55.13．已知z 1＝1－i ，z 2＝2＋2i ，z 3＝－3＋2i ，若在复平面上z 1，z 2，z 3对应的点分别为A ，B ，C ，试判断△ABC 的形状．【解析】由复数的几何意义，可得A (1，－1)，B (2,2)，C (－3,2)． 因为|CA |＝(1＋3)2＋(－1－2)2＝5，|CB |＝(2＋3)2＋(2－2)2＝5，所以|CA |＝|CB |. 又|AB |＝(2－1)2＋(2＋1)2＝10≠5，所以△ABC 是等腰三角形．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】 D2．已知复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2，且a ≠1C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0 【解析】 由题意，得a 2－2a ＝0，得a ＝0或a ＝2.故选D.【答案】 D3．在复平面内，O 为原点，向量O A→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量O B →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以O B →对应的复数为－2＋i.【答案】 B4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆【解析】 由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，∵|z |≥0，∴|z |＝3，∴复数z 对应点的轨迹是1个圆．【答案】 A5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由题意可得复数z ＝－2＋i ，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.【答案】 B二、填空题6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝______.【解析】 复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)，所以z 2＝－2＋3i.【答案】 －2＋3i7．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】 －1－5i8．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________. 【导学号：60030076】【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝错误!＝错误!， ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．【解】 ∵复数z 对应的点在第一象限．∴⎩⎨⎧m2＋m －1>0，4m2－8m ＋3>0， 解得m <－1－52或m >32. 所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 10．求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．【解】 |z |＝错误!＝错误!＝2错误!，因为π<α<2π，所以π2<α2<π，所以cos α2<0，所以|z |＝－2cos α2.[能力提升]1．已知复数z 对应的向量为O Z →(O 为坐标原点)，O Z →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i【解析】 设复数z 对应的点为(x ，y )，则x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3，∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i.【答案】 D2．与x 轴同方向的单位向量e 1，与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i【解析】 e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．【答案】 A3．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为__________．【解析】 复数z ＝－5－12i 在复平面内对应点Z (－5，－12)，所以点Z 与原点O 的距离为|OZ |＝错误!＝13.【答案】 134．已知O 为坐标原点，O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若O Z →1与O Z →2共线，求a 的值．【解】 因为O Z →1对应的复数为－3＋4i ，O Z →2对应的复数为2a ＋i ，所以O Z →1＝(－3,4)，O Z →2＝(2a,1)．因为O Z →1与O Z →2共线，所以存在实数k 使O Z →2＝k OZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎨⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.。