绝对值三角不等式 课件

绝对值三角不等式

公式：bababa

证明过程如下：

显然baba成立，取等条件是0ab，将b用b代替，可得baba，即baba，取等条件是0ab

综上可得①baba

在baba中a用ba代替，可得bbaa，移项得baba，调换ba,的位置可得abab，因为baab，所以可得baba，取等条件是0ab。将b用b代替可得baba，取等条件是0ab。

综上可得②baba

结合①②绝对值三角不等式bababa得证

绝对值三角不等式经常用来解决形如cnxmxcnxmx,恒成立型的需要结合最值原理求解的问题

巩固练习

1、已知a和b是任意非零实数．

（1）求ababa22的最小值

（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x的取值范围

2、已知，，，333scCsbBsaA求)()(cbaCBA的最大值

3、不等式aaxx3132对x都成立，求实数a的取值范围 4、已知函数54)(xxxf

（1）试求使等式12)(xxf成立时，x的取值范围

（2）若关于x的不等式axf＜)(的解集不是空集，求实数a的取值范围

5、已知函数),,11(12)(22Rcaxcaxxxf，记)(xf在1,1上的最大值为M，求证：若a＞1，则对于Rc，恒有M＞2

6、求证bbaababa111

绝对值三角不等式公式

绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。绝对值三角不等式公式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，||a|-|b||=|a±b|成立。另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|a-b|=|a|+|b|成立。当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，||a|-|b||=|a-b|成立。三角不等式证明设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA至点D，使DA=CA，连接DC.则因DA=AC，∠ADC=∠ACD（等边对等角，《几何原本》命题5）所以∠BCD大于∠ADC（整体大于部分公理）由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大（大角对大边，命题19）所以DBBC，而DA=AC则DB=AB+AD=AB+ACBC.

教案5 简单的含绝对值不等式和分式不等式的解法

一、课前检测

1．不等式230xxa的解集是2,1xxx或，则实数a的值为 ．2

2. 不等式x2-2x-5>2x的解集是（ A）

(A){|51}xxx或 (B){|51}xxx或

(C){|15}xx (D){|15}xx

3. 函数f(x)=lg (kx2+kx+2) 的定义域为R，则实数k的取值范围是_______ k=0或k>8

4. 在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则( C )

A. B. C. D.

二、知识梳理

1.绝对值符号的代数意义_________________________aaa0

000aaa

).1(:yxyx1)()(axaxx11a20a2321a2123a2. 简单绝对值不等式:

axaxaax2______________

axax_________________或ax22ax

3、绝对值的几何意义：

21xx_________________________________表示数轴上两点2,xxx的距离

特别：x表示__________________________x到原点的距离

4.绝对值不等式：

绝对值不等式：||||||||||||bababa

等号成立的条件：________________________________________左端a,b异号，或至少一个为0；右端等号成立的条件：a,b同号或至少一个为0.

5.简单的含绝对值的不等式的解法

axfaaxf)(_________________)(；

axforaxfaxf)()(____________________)(

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．