2021年清华大学强基计划数学试题及其详解

2023清华强基计划数学题解析
【原创实用版】
目录
1.2023 清华强基计划数学试题概述
2.试题解析：线性代数与微积分
3.试题解析：概率论与数理统计
4.总结与建议
正文
【1.2023 清华强基计划数学试题概述】
2023 年清华大学强基计划数学试题主要分为线性代数与微积分、概率论与数理统计两大部分。

试题旨在考查考生对基本概念、原理和方法的理解和运用能力，以及解决实际问题的能力。

本文将对这些试题进行详细解析，帮助考生更好地掌握考试重点。

【2.试题解析：线性代数与微积分】
线性代数与微积分部分主要包括矩阵运算、线性方程组、特征值与特征向量等内容。

试题难度适中，要求考生熟练掌握基本概念和运算方法。

在解题过程中，要注意灵活运用矩阵的性质，如行列式、秩等，同时要熟练掌握解线性方程组的方法，如高斯消元法、克莱姆法则等。

【3.试题解析：概率论与数理统计】
概率论与数理统计部分主要包括概率分布、多维随机变量、假设检验等内容。

试题难度适中，要求考生熟练掌握基本概念和方法。

在解题过程中，要注意灵活运用概率分布的性质，如离散型和连续型分布、边缘分布、条件分布等。

同时，要熟练掌握假设检验的方法，如 t 检验、卡方检验等。

【4.总结与建议】
对于准备参加 2023 清华强基计划数学考试的考生来说，首先要扎实掌握教材中的基本概念、原理和方法。

在复习过程中，要注重理论联系实际，多做习题，提高解题能力。

此外，要关注历年试题，了解考试趋势和题型，做到心中有数。

在考试中，要保持冷静，合理分配时间，注意审题，做到细心、严谨。

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2021年清华或者北大强基计划的第一题2021年，清华大学与北京大学作为我国顶级学府，其强基计划招生考试备受关注。

以下是针对该年度清华大学或北京大学强基计划第一题的解析与回答。

---标题：2021年清华或北大强基计划第一题解析2021年，清华大学与北京大学在强基计划招生考试中，分别设置了具有挑战性的试题，旨在选拔具有学科特长及创新潜质的优秀学生。

以下为其中一校的第一题解析：题目：某数列的前n项和为( S_n = frac{n^2 + n}{2} )，求该数列的第n 项( a_n )。

分析：根据数列的前n项和( S_n ) 求解第n项( a_n )，我们可以利用数列的性质：( S_n - S_{n-1} = a_n )。

解答：1.首先，我们计算出数列的前( n-1 ) 项和( S_{n-1} )：[ S_{n-1} = frac{(n-1)^2 + (n-1)}{2} ]2.接下来，利用( S_n - S_{n-1} = a_n ) 的性质，求解( a_n )：[ a_n = S_n - S_{n-1} ][ a_n = frac{n^2 + n}{2} - frac{(n-1)^2 + (n-1)}{2} ][ a_n = frac{n^2 + n - (n^2 - 2n + 1) - (n - 1)}{2} ][ a_n = frac{n^2 + n - n^2 + 2n - 1 - n + 1}{2} ][ a_n = frac{2n}{2} ][ a_n = n ]3.因此，该数列的第n项( a_n ) 为( n )。

结论：通过分析及计算，我们得出了该数列的第n项( a_n ) 为( n )。

2021北大强基数学试题2021年北京大学强基数学试题涵盖了高中数学知识的各个方面，包括代数、几何、函数、微积分等内容。

下面是对其中一些试题的解析和参考内容：1. 一个有趣的排列问题：将1到n这n个整数排成一个圆环，要求相邻两个数的和是一个完全平方数。

试问n能否为奇数？如果能，求出一种排列方式。

解析：此问题属于组合数学中的排列问题。

可以通过逐个计算n的值，找到满足条件的排列方式。

当n为奇数时，可以找到一种排列方式，满足相邻两个数的和为完全平方数。

2. 函数极限问题：已知函数f(x) = {x^2 (x≤1)，x^3+ln(x) (x>1)}，求lim(x→1)f(x)。

解析：利用数列极限的性质，可以证明对于任意一个实数a，lim(x→a) x^n = a^n。

则对于本题中函数f(x)，当x≤1时，lim(x→1) x^2 = 1^2 = 1；当x>1时，lim(x→1) (x^3+ln(x)) =1^3+ln(1) = 1。

因此，lim(x→1) f(x) = 1。

3. 组合数学问题：求证：对于任意正整数n，有C(n-1, 0)-C(n, 1)+C(n+1, 2)-...+(-1)^(n-1)C(2n-1, n) = 1。

解析：利用组合数学中的性质，可以证明C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即组合数的性质。

在本题中，利用组合数的性质可以展开等式的左边，然后利用组合数的递推关系进行化简。

这样就可以证明等式的成立。

以上只是对部分试题的解析和参考内容，真正的试题可能更加复杂，需要根据具体情况进行分析和求解。

在准备数学考试时，掌握基础知识、理解概念的意义和运用、灵活运用各种数学方法和技巧，以及进行充分的练习是非常重要的。

2021年清华大学自主招生暨领军方案试题1．函数f(x)(x2a)e x有最小值，那么函数g(x)x22xa的零点个数为〔〕A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)e x g(x)，答案C．2．ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．以下条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有〔〕A．a1,b2,c ZB．A1500,asinA csinC2asinCbsinB C．cosAsinBcosC cos(B C)cosBsinC0,C600 D．a3,b1,A600【答案】AD．3．函数f(x) x21,g(x) lnx，以下说法中正确的有〔〕A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点开心快乐每一天【答案】BD【解析】注意到y x1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线y 2 4x 的焦点F 作直线交抛物线于 A,B 两点，M 为线段AB 的中点．以下说法中正确的有〔〕A ．以线段AB 为直径的圆与直线x3一定相离2B ．|AB|的最小值为 4C ．|AB|的最小值为 2D ．以线段BM 为直径的圆与 y 轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线x1的距离为1(|AF||BF|)1|AB|，于是以线段AB 为直径3 2212, 1的圆与直线x1一定相切，进而与直线x 一定相离；对于选项B ，C ，设A(4a 2,4a)，那么B( )，124aa于是 |AB|4a22，最小值为 4AB 中点到准线的距离的 2 倍去得到最小值；4a．也可将|AB|转化为2对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与1|BM|不一定相等，因此命题错误．22 25．F 1,F 2是椭圆C:x2y21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．以下说法中正确的有ab〔〕A ．a 2b 时，满足 F 1PF 2900的点P 有两个B ．a2b 时，满足 F 1PF 2900的点P 有四个C ． PF 1F 2的周长小于4aa 2 D ． PF 1F 2的面积小于等于2开心快乐每一天【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周长为2a2c4a；选项D，F1PF2的面积为1|PF1|1|PF1||PF2|21a2．|PF2|sin F1PF222226．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．AB为圆O的一条弦〔非直径〕，OC AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有〔〕A．O,M,B,P四点共圆B．A,M,B,N四点共圆C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OBM OAM OPM即得；对于选项B，假设命题成立，那么MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MBN MOP MAN即得．答案：AC．8．sinA sinB sinC cosA cosB cosC是ABC为锐角三角形的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件开心快乐每一天【答案】B【解析】必要性：由于sinB sinCsinB sin(2B)sinB cosB1，类似地，有sinC sinA1,sinB sinA1，于是sinA sinB sinC cosA cosBcosC．不充分性：当A,B C4时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．29．x,y,z为正整数，且x y z，那么方程1111的解的组数为〔〕x y z2A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于11113，故3x6．2x y z x假设x3，那么(y6)(z6)36，可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；假设x4，那么(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；假设x5，那么3112,y20,y5,6，进而解得(x,y,z)(5,5,10)；10y z y3假设x6，那么(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6))．答案：B．10．集合A{a1,a2, ,a n}，任取1 i j k n,a i a j A,a j a k A,a k a i A这三个式子中至少有一个成立，那么n的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】B11．10,610,1210，那么以下各式中成立的有〔〕A．tan tan tan tan tan tan3开心快乐每一天B ．tan tantan tantan tan3C ．tantan tan3tan tan tanD ．tantantan3tan tan tan【答案】BD【解析】令xtan ,ytan,ztan，那么yx z y x z3，所以1 xy 1 yz 1 zxyz3(1 xy),z y 3(1 yz),xz 3(1zx)，以上三式相加，即有xyyzzx3．类似地，有113(11),11 3(11),11 3(11)，以上三式相加，即有xyxy yzyzzxzx1 11xy z3．答案BD ．xyyz zx xyz12．实数a,b,c 满足a bc1，那么4a 14b14c 1的最大值也最小值乘积属于区间〔〕A ．(11,12)B ．(12,13)C ．(13,14)D ．(14,15)【答案】B【解析】设函数f(x)4x1，那么其导函数f /(x)2 ，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x 14x13处的切线y221(x1) 21，以及函数f(x)的图象过点(1,0)和(3,7)的割线73342y4x1 ，如图，于是可得 4x 14x12 21(x 1)21 ，左侧等号当 x1 或77777 3 34x3时取得； 右侧等号当x1时取得．因此原式的最大值为21，当ab c1时取得；最小值为233开心快乐每一天7，当ab 1,c3时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73(144,169)．答案B．4213．x,y,z R,x y z1,x2y2z21，那么以下结论正确的有〔〕A．xyz的最大值为0B．xyz的最大值为4 27C．z的最大值为2D．z的最小值为1 33【答案】ABD14．数列{a n}满足a11,a22,a n26a n1a n(n N*)，对任意正整数n，以下说法中正确的有〔〕A．a n21a n2a n为定值B．a n1(mod9)或a n2(mod9)C．4a n1a n7为完全平方数D．8a n1a n7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为a n22a n3an1a n22(6a n2an1)an1a n226an2an1a n21a n2(a n26a n1)a n21a n21a n2a n，选项A正确；由于a311，故a n21a n2a n a n21(6a n1a n)a n a n216a n1a n a n27，又对任意正整数恒成立，所以4a n1a n7(a n1a n)2,8a n1a n7(a n1a n)2，应选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错误．说明：假设数列{a n }满足an2pa n1a n，那么a2a a为定值．n1n2n15．假设复数z满足z 11，那么z可以取到的值有〔〕z开心快乐每一天1B．1C．51D．51A．222 2【答案】CD【解析】因为|z|1z11，故51|z|51，等号分别当z51i和z51i时|z|z2222取得．答案CD．16．从正2021边形的顶点中任取假设干个，顺次相连构成多边形，假设正多边形的个数为〔〕A．6552B．4536C．3528D．2021【答案】C【解析】从2021的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2021个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有2021个，因此所求的正多边形的个数就是2021的所有约数之和减去2021 k和1008．考虑到202125327，因此所求正多边形的个数为(12481632)(139)(17)202110083528．答案C．x2y21(a b0)与直线l1:y1xl2:y1x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，17．椭圆b22a22a分别交l1,l2于M,N两点．假设|MN|为定值，那么〔〕bA．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】设点P(x0,y0)，可得M(1x0y0,1x01y0),N(1x0y0,1x01y0)，成心242242|MN|1x024y02为定值，所以a2416,a2，答案：C．4b21b4说明：〔1〕假设将两条直线的方程改为y kxa1M,N，使得|MN|，那么；〔2〕两条相交直线上各取一点b k为定值，那么线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．18．关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为〔〕A．0B．1C．2D．3开心快乐每一天【答案】B 19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以假设干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c 相乘的时候，可以有 (ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有I n 种，那么〔 〕A ．I 22B ．I 312C ．I 496D ．I 5120【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得n1n1n1I nC n1AnnC2n2n!(n1)!C 2n1．答案：AB ．关于卡特兰数的相关知识见?卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利? ．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军 ．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是 ，乙击败丁的概率是．那么甲刻冠军的概率是 ．【答案】【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为 0.3(0.5 0.3 0.5 0.8) ．21．在正三棱锥PABC 中，ABC 的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线AB,CP 的距离为y ．那么limy ．x【答案】32开心快乐每一天【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为3．222．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，中心为O,BF 1BC,A1E1A1A，那么四面体OEBF 24的体积为．1【答案】96【解析】如图，V OEBF V OEBF 1V GEBF1V EGBF11V EBCCB1．2221611962sin2n x)dx23．(x)2n1(1．【答案】02)2n1(1sin2n x)dx x2n1(1sin2n x)dx0．【解析】根据题意，有(x24．实数x,y满足(x2y2)34x2y2，那么x2y2的最大值为．【答案】1【解析】根据题意，有(x2y2)34x2y2(x2y2)2，于是x2y21，等号当x2y21时取得，2因此所求最大值为1．25．x,y,z均为非负实数，满足(x1)2(t1)2(z3)227，那么xy z的最大值与最小值分别224为．【答案】223 2开心快乐每一天【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z) (1,1,0)时，xy z 取到最大值3．根据题意，有22x 2 y 2 z 2 x2y3z 13 ，于是 13 (x yz)23(x y z)y,解得x y z223 ．于是4 42x y z 的最小值当(x,yz)(0,0,22 3)时取得，为22 3．2226．假设O 为ABC 内一点，满足S AOB :S BOC :S COA4:3:2，设AOABAC ，那么．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有2 4 29 9 ．327．复数zco s 2isin 2 ，那么z 3z 2 z 2 2 ．3 3 z【答案】132i2【解析】根据题意，有z 3z 212z5 isin5 1 3 i ．z 2 z2zcos32 2328．z 为非零复数，z ,40的实部与虚部均为不小于1的正数，那么在复平面中，z 所对应的向量OP 的10 z端点P 运动所形成的图形的面积为.【答案】200 100 3300340z2，于是x1,y1,【解析】设zxyi(x,yR)，由于4010 1040y如图，弓形面积为z|z|40x 1,1,x 2y 22 y 2x开心快乐每一天(word 版)清华大学自主招生暨领军方案数学试题(精校word 版,带解析)历年自主招11 / 11111202(sin ) 100 100，四边形ABCD 的面积为21(10310)101003100.26 632于是所示求面积为2(100100)(1003100)2001003300.3329．假设tan4x3，那么sin4x sin2xsinxsinx ．3cos8xcos4x cos4xcos2xcos2xcosxcosx【答案】3【解析】根据题意，有sin4x sin2xsinx sinxcos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosx cosx(tan8x tan4x) (tan4x tan2x) (tan2xtanx)tanxtan8x 3．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个 4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合{1,2,3, ,14}的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列， 那么A中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设A {a 1,a 2,,a k }，其中kN *,1k 14．不妨假设a 1a 2a k．假设k 9，由题意，a 3 a 1 3,a 5 a 37，且a 5a 3 a 3 a 1，故a 5a 17．同理a 9a 57．又因为a 9 a 5 a 5 a 1，所以a 9a 1 15，矛盾！故k8．另一方面，取 A {1,2,4,5,10,11,13,14}，满足题意．综上所述， A 中元素个数的最大值为8．开心快乐每一天。

清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了函数图像与性质类清华领军2015.25.设函数()f x 的定义域是（-1，1），若(0)(0)1f f ='=，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A.()0,(,)f x x δδ>∈- B.()f x 在(,)δδ-上单调递增 C.()1,(0,)f x x δ>∈ D.()1,(,0)f x x δ>∈-北大博雅2016.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对 1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。

清华领军2016.17. ∫(x −π)2π−1(1+sin 2πx)dx =2π? 17.【解答】0()()()()()()()()()()()()()()()212121222220021221220021212201sin 1sin 1sin 1sin 21sin 221sin 1sin 0n n n nnnn n nnn n nnx x dx x x dx x x dxx x dx x x d x x x dx x x dx πππππππππππππππππππ--------+=-++-+⎡⎤=-++--+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【评析】考察大学的微积分知识，运用到换元积分法，清华的考试中常出现这类问题。

清华领军2016.22.2()()x f x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______22.【解答】2()()()2222x x x f x x a e xe x x a e '=++=++，当220x x a ++=无解或者只有一解时，220x x a ++≥恒成立，从而()0f x '≥，此时()f x 无最小值，故()f x 有最小值时220x x a ++=有两个解。

一、选择题 1.设复数z=cos23π+isin 23π，那么2111-1z z+-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，那么“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分没必要要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也没必要要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，假设OA ⊥OB,那么( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的核心 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的概念域为(-1,1)，且知足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，那么()f x 为(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，那么F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边别离为a 、b 、c ．假设c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,那么有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23△ABC 237.设函数2()(3)xf x x e =-，那么（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)假设方程()f x =b 恰有一个实根，那么b>36e (D)假设方程()f x =b 恰有三个不同实根，那么0<b<36e8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，那么（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 知足22244x y z +++2z=3，那么5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，假设对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，那么（ ） （A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项都可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米竞赛，观众甲猜想：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜想：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜想：1,2,6道选手中的一名取得第一名；观众丁猜想：4,5,6道的选手都不可能取得第一名．竞赛后发觉没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对竞赛结果，这人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，那么A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)2313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，那么（ ）(A)假设S=4，那么k 的值唯一 (B)假设S=12，那么k 的值有2个 (C)若D 为三角形，那么0<k ≤23(D)若D 为五边形，那么k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，那么OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212 (D)−29215.设随机事件A 与B 相互独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，那么（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部份，那么这两部份的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的极点当选出3个组成钝角三角形，那么不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，那么n 能够等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 知足2|z|≤|z −1|，那么（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23 (D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．概念向量12a =(2α2α),12b =(2β2β)，记θ=α−β，那么（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥ (D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }知足：1a =6，13n n n a a n++=，那么（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2021 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，以下方程表示的图形是椭圆的有（ ）（A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，那么（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边别离为a ,b,c ，假设△ABC 为锐角三角形，那么（ ）(A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的概念域是(−1,1)，假设(0)f =(0)f '=1，那么存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．假设关于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，那么n 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 知足2x+y=1，那么的（ ）(A)最小值为45 (B)最小值为25 (C)最大值为1 (D)28.关于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），那么（ ）(A)存在一个黑球，它右边的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右边的白球和黑球一样多 (C)存在一个黑球，它右边的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右边的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，那么能取得的不同的五位数有（ ）(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，那么（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer##1.【解析】 2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z+-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+-- =212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )662i i ππ+-=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅==≥=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),核心(0,14)不知足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离≤1，正确。

2023清华强基计划数学题解析数学一直被认为是理工科学生必备的基本能力。

在清华大学强基计划中，数学作为重要的考察内容之一，经常出现各类难度较高的数学题。

本文将为大家解析2023清华强基计划中的数学题，帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

一、几何题第一道题是一道几何题，考察了平行四边形的性质和计算能力。

题目要求如下：已知平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为AC的中点，连接BE，交直线AD于F，求BF的长度。

解题思路：根据平行四边形的性质，我们知道AD||BC，因此根据等角定理，∠ABF和∠CBD相等。

又由于BE是AC的中线，根据中线定理，BE=EC=2. 进一步，我们可以利用相似三角形求解：∠ABF是三角形ABF与三角形CBD的内角，且∠FAB和∠BDC为其中的对应角，因此可以得到两个三角形相似。

根据比例关系，我们可以得到BF/BDC=AB/AC=1/2。

由此可以计算得出BF=BC/2=8/2=4。

二、函数题第二道题是一道函数题，考察了对函数的运用和解方程的能力。

题目要求如下：已知函数f(x)满足f(1)=3，f(2x)+f(1-x)=4x+5，求f(4)的值。

解题思路：首先，我们可以根据题目给定的条件，代入x=1，得到f(2)+f(0)=9。

又因为 x=1 时，2x + (1-x)= 2+1 = 3。

根据等式的等价性，我们可以得到f(3)+ f(0) = 3+5 = 8。

进一步，我们可以将 f(2) 和 f(3) 用 f(1) 的表达式表示，即 f(1) + f(0) = 9和 f(1) + f(0) = 8。

由此可以得到 f(0) = 9 - f(1) = 9 - 3 = 6。

由于 f(4) = f(2*2) = f(2 + 2)，根据等式的等价性，我们知道 f(4) +f(0) = f(2 + 2) + f(0) = (f(2) + f(2)) + f(0) = 4*(2+2) + f(0) = 16 + 6 = 22。

一道２０２１年清华大学强基计划试题的推广栾㊀功(南宁市第三中学ꎬ广西壮族自治区南宁５３００２１)摘㊀要:文章给出了一道２０２１年清华大学强基计划试题的多种解法ꎬ并对试题进行推广探究.关键词:清华大学ꎻ强基计划ꎻ试题推广中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３１－０５收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:栾功(１９８２.１０－)ꎬ男ꎬ甘肃省陇西人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事数学教学研究.基金项目:南宁市教育科学 强基计划ꎬ拔尖人才培养 专项课题(项目编号:２０２１ＱＪ０１０).㊀㊀文[１]给出了２０２１年清华大学强基计划数学试题的解答ꎬ其中第１１题从学生惯用的斜率ｋ入手设参求解ꎬ不论是定值的求解还是最值的取得ꎬ都忽略了斜率不存在的情况ꎬ这也正是学生解题时容易疏漏的地方.笔者对文[１]的解答做出了改进ꎬ并探究试题的其他解法及推广ꎬ以开阔学生的解题视野ꎬ构建知识体系ꎬ探寻试题本质规律.１试题呈现题目㊀(２０２１年清华大学强基计划第１１题)已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２＝１的左顶点为Ａ－２ꎬ０()ꎬ过点Ｐ１ꎬ０()的直线交椭圆与ＭꎬＮ两点ꎬ直线ＡＭꎬＡＮ与直线ｘ＝１分别交于ＢꎬＤ两点ꎬ则下列选项正确的是(㊀㊀).Ａ.ＰＢ ＰＤ为定值Ｂ.ＰＢ＋ＰＤ为定值Ｃ.ＰＢ ＰＤ的值可以是２Ｄ.ＰＢ＋ＰＤ的值可以是２分析㊀如图１ꎬ试题以椭圆Ｃ与过其长轴上一定点的动直线交于ＭꎬＮ两点为背景ꎬ设计了与之相关的定值㊁最值问题的探究ꎬ解题的关键在于几何关系ＰＢ ＰＤꎬＰＢ＋ＰＤ如何转化为坐标运算ꎬ而直线ＡＭꎬＡＮꎬＭＮ的内在联系为考生构图设参提供了丰富的视角.问题的设计给广大考生充分发挥自己能力的空间ꎬ有助于创新人才和拔尖人才的选拔.图１２解法分析解法１㊀由题设知直线ＭＮ的斜率不为０ꎬ因此设直线ＭＮ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１ꎬＭｘ１ꎬｙ１()ꎬＮｘ２ꎬｙ２().联立ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬｘ＝ｍｙ＋１ꎬìîíïïï得４＋ｍ２()ｙ２＋２ｍｙ－３＝０.所以ｙ１＋ｙ２＝－２ｍ４＋ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝－３４＋ｍ２.所以ｙ１－ｙ２＝４ｍ２＋３４＋ｍ２.又直线ＡＭ的方程为ｙ＝ｙ１ｘ１＋２ｘ＋２()ꎬ令ｘ＝１ꎬ则ｙＢ＝３ｙ１ｘ１＋２.同理ｙＤ＝３ｙ２ｘ２＋２ꎬ且ｙＢｙＤ<０.所以ＰＢ ＰＤ＝ｙＢ ｙＤ＝９ｙ１ｙ２ｘ１＋２()ｘ２＋２()＝－９ｙ１ｙ２ｍｙ１＋３()ｍｙ２＋３()＝－９ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋３ｍｙ１＋ｙ２()＋９＝－９ －３４＋ｍ２４＋ｍ２－３ｍ２＋－６ｍ２()＋９４＋ｍ２()＝２７４＋ｍ２４＋ｍ２３６＝３４.ＰＢ＋ＰＤ＝ｙＢ－ｙＤ＝３ｙ１ｘ１＋２－３ｙ２ｘ２＋２＝３ｙ１ｍｙ１＋３－３ｙ２ｍｙ２＋３＝３ｙ１ｍｙ２＋３()－ｙ２ｍｙ１＋３()ｍｙ１＋３()ｍｙ２＋３()＝９ｙ１－ｙ２ｍｙ１＋３()ｍｙ２＋３()＝９ ４ｍ２＋３４＋ｍ２４＋ｍ２３６＝ｍ２＋３ȡ３(ｍ＝０时取等号).因此ꎬ选项ＡꎬＤ正确ꎬＢꎬＣ错误.点评㊀该解法与文[１]的解法都是从直线ＭＮ入手构图设参ꎬ将所求几何问题转化为点Ｂ与点Ｄ纵坐标的相关运算ꎬ区别在于直线ＭＮ的表达ꎬ该解法中直线ＭＮ的方程用ｘ＝ｍｙ＋１的设法回避了讨论斜率的存在性ꎬ避免了解题时因斜率不存在的情况而造成的疏漏.解法２㊀记直线ＡＭꎬＡＮ在ｙ轴上的截距分别为ｍꎬｎｍｎ<０()ꎬ则直线ＡＭꎬＡＮ的方程分别为ｘ－２＋ｙｍ＝１ꎬｘ－２＋ｙｎ＝１ꎬ当ｘ＝１时ꎬｙＢ＝３２ｍꎬｙＤ＝３２ｎꎬＰＢ ＰＤ＝ｙＢｙＤ＝９４ｍｎ.联立ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬｘ－２＋ｙｍ＝１ꎬìîíïïïï得１＋ｍ２()ｙ２－２ｍｙ＝０.由于ｙＡ＝０ꎬ则ｙＭ＝２ｍ１＋ｍ２.从而ｘＭ＝２－２ｍ２１＋ｍ２.由直线ＡＭꎬＡＮ方程的同构性ꎬ同理可得ｙＮ＝２ｎ１＋ｎ２ꎬｘＮ＝２－２ｎ２１＋ｎ２.于是ＰＭң＝１－３ｍ２１＋ｍ２ꎬ２ｍ１＋ｍ２æèçöø÷ꎬＰＮң＝１－３ｎ２１＋ｎ２ꎬ２ｎ１＋ｎ２æèçöø÷.由ＭꎬＰꎬＮ三点共线知ＰＭңʊＰＮң.所以１－３ｍ２１＋ｍ２ ２ｎ１＋ｎ２＝１－３ｎ２１＋ｎ２ ２ｍ１＋ｍ２.整理ꎬ得ｍ－ｎ()１＋３ｍｎ()＝０.即有ｍｎ＝－１３.从而ＰＢ ＰＤ＝９４ｍｎ＝３４ꎻＰＢ＋ＰＤ＝３２ｍ－ｎ＝３２ｍ＋ｎ()２＋４３ȡ３(ｍ＝－ｎ时取等号).点评㊀该解法从直线ＡＭꎬＡＮ入手构图设参ꎬ亮点在于抓住了直线ＡＭ与ＡＮ逻辑结构的对称性ꎬ巧妙地利用直线方程的截距式设参求解ꎬ不仅简化了数学运算ꎬ还发现了直线ＡＭ与ＡＮ在ｙ轴上的截距之积ｍｎ为定值这一规律ꎬ为进一步揭示试题本质提供了思考途径.解法３㊀如图１ꎬ不妨设点Ｍ在ｘ轴上方ꎬ记直线ＡＭꎬＡＮ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｔａｎøＢＡＰ＝ｋ１＝ＢＰＡＰꎬｔａｎøＤＡＰ＝－ｋ２＝ＤＰＡＰ.所以ＢＰ ＤＰ＝－ＡＰ２ｋ１ｋ２.即ＢＰ ＤＰ＝－９ｋ１ｋ２.设Ｍ２ｃｏｓαꎬｓｉｎα()ꎬＮ２ｃｏｓβꎬｓｉｎβ()ꎬＰ１ꎬ０()ꎬ则ＰＭң＝２ｃｏｓα－１ꎬｓｉｎα()ꎬＰＮң＝２ｃｏｓβ－１ꎬｓｉｎβ().由ＭꎬＰꎬＮ三点共线知ＰＭңʊＰＮң.所以２ｃｏｓα－１()ｓｉｎβ＝２ｃｏｓβ－１()ｓｉｎα.即２ｓｉｎβ－α()＝ｓｉｎβ－ｓｉｎα.于是ꎬ４ｓｉｎβ－α２ｃｏｓβ－α２＝２ｓｉｎβ－α２ｃｏｓβ＋α２.由于ｓｉｎβ－α２ʂ０ꎬ所以２ｃｏｓβ－α２＝ｃｏｓβ＋α２.即２ｃｏｓβ２－α２æèçöø÷＝ｃｏｓβ２＋α２æèçöø÷.整理ꎬ得ｃｏｓβ２ｃｏｓα２＝－３ｓｉｎβ２ｓｉｎα２.又ｋ１ｋ２＝ｓｉｎα２ｃｏｓα＋２ｓｉｎβ２ｃｏｓβ＋２＝２ｓｉｎα２ｃｏｓα２ ２ｓｉｎβ２ｃｏｓβ２４２ｃｏｓ２α２ ２ｃｏｓ２β２æèçöø÷＝１４ ｓｉｎα２ｓｉｎβ２ｃｏｓα２ｃｏｓβ２＝－１１２ꎬ所以ＢＰ ＤＰ＝－９ｋ１ｋ２＝３４ꎻＰＢ＋ＰＤȡ２ＰＢ ＰＤ＝３(当且仅当ＰＢ＝ＰＤ＝３２时取等号).点评㊀该解法从形入手ꎬ利用几何关系将所求问题ＢＰ ＤＰ转化为两直线ＡＭ与ＡＮ的斜率之积ｋ１ｋ２的代数运算ꎬ从而问题最终落在了点Ｍ与Ｎ的坐标表达上ꎬ该解法在设点时选择了椭圆的参数方程ꎬ从参数的视角阐释了直线ＭＮ在运动变化过程中保持的规律性ꎬ与解法２揭示的规律相得益彰.解法４㊀由题设知直线ＡＭꎬＡＮ的斜率均存在ꎬ故设直线ＡＭꎬＡＮ的方程分别为ｙ＝ｋ１ｘ＋２()ꎬｙ＝ｋ２ｘ＋２()ꎬ因此点ＡꎬＭꎬＮ的坐标满足方程ｙ－ｋ１ｘ＋２()[]ｙ－ｋ２ｘ＋２()[]＝０.当ｘ＝１时ꎬ有ｙ２－３ｋ１＋ｋ２()ｙ＋９ｋ１ｋ２＝０.从而ｙＢ＋ｙＤ＝３ｋ１＋ｋ２()ꎬｙＢｙＤ＝９ｋ１ｋ２.联立ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬｙ－ｋ１ｘ＋２()[]ｙ－ｋ２ｘ＋２()[]＝０ꎬìîíïïï得ｘ＋２()２－ｘ４－ｋ１＋ｋ２()ｙ＋ｘ＋２()ｋ１ｋ２[]＝０.因此ꎬ由曲线系方程知直线ＭＮ的方程为２－ｘ４－ｋ１＋ｋ２()ｙ＋ｋ１ｋ２ｘ＋２()＝０.又直线ＭＮ过点Ｐ１ꎬ０()ꎬ所以１４＋３ｋ１ｋ２＝０.即ｋ１ｋ２＝－１１２.所以ＰＢ ＰＤ＝ｙＢ ｙＤ＝９ｋ１ｋ２＝３４ꎻＰＢ＋ＰＤȡ２ＰＢ ＰＤ＝３(当且仅当ＰＢ＝ＰＤ即ｋ１＋ｋ２＝０时取等号).点评㊀单墫教授在«解析几何的技巧»中写道将两个一次方程乘起来是一个重要的手法ꎬ在组成二次曲线束时常常需要这样做 ꎬ这也是该解法的特点.站在曲线系的视角ꎬ这类问题的解答显得更为简洁㊁高效ꎬ试题所揭示的规律也更为清晰㊁直白.上述四种解法从不同侧面阐释了过点Ｐ１ꎬ０()的直线ＭＮ在运动变化过程中保持的规律性ꎬ即直线ＡＭ与ＡＮ斜率之积为定值ꎬ并在这一规律基础上衍生了相关定值㊁最值.同时ꎬ也给了我们继续深入探究试题本质的启发与思考.３推广探究思考１㊀若试题中的点Ｐ１ꎬ０()一般化为长轴上异于顶点的任一点Ｐｔꎬ０()ꎬ结论还是否成立?经探究ꎬ得到如下结论:推广１㊀已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左顶点为Ａ－ａꎬ０()ꎬ过点Ｐｔꎬ０()ｔ<ａ()的直线交椭圆于ＭꎬＮ两点ꎬ直线ＡＭꎬＡＮ与直线ｘ＝ｔ分别交于ＢꎬＤ两点ꎬ则有(１)直线ＡＭꎬＡＮ的斜率之积为定值ｔ－ａｔ＋ａ ｂ２ａ２ꎻ(２)ＰＢ ＰＤ为定值ａ２－ｔ２() ｂ２ａ２ꎻ(３)ＰＢ＋ＰＤ的最小值为２ｂａａ２－ｔ２.证明㊀由题设知直线ＭＮ的斜率不为０ꎬ因此设直线ＭＮ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔꎬＭｘ１ꎬｙ１()ꎬＮｘ２ꎬｙ２()ꎬ联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬｘ＝ｍｙ＋ｔ.ìîíïïï得ａ２＋ｂ２ｍ２()ｙ２＋２ｔｍｂ２ｙ＋ｔ２ｂ２－ａ２ｂ２＝０.又直线ＡＭ的方程为ｙ＝ｙ１ｘ１＋ａｘ＋ａ()ꎬ令ｘ＝ｔꎬ则ｙＢ＝ａ＋ｔ()ｙ１ｘ１＋ａ.同理ｙＤ＝ａ＋ｔ()ｙ２ｘ２＋ａꎬ且ｙＢｙＤ<０.因此ｋＡＭｋＡＮ＝ｙ１ｙ２ｘ１＋ａ()ｘ２＋ａ()＝ｙ１ｙ２ｍｙ１＋ｔ＋ａ()ｍｙ２＋ｔ＋ａ()＝ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋ｍｔ＋ａ()ｙ１＋ｙ２()＋ｔ＋ａ()２＝ｔ２ｂ２－ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２ｍ２ａ２＋ｂ２ｍ２ａ２ｔ＋ａ()２＝ｔ－ａｔ＋ａ ｂ２ａ２ꎬＰＢ ＰＤ＝ｙＢ ｙＤ＝ａ＋ｔ()２ｙ１ｙ２ｘ１＋ａ()ｘ２＋ａ()＝ａ＋ｔ()２ｋＡＭｋＡＮ＝ａ２－ｔ２()ｂ２ａ２ꎬＰＢ＋ＰＤȡ２ＰＢ ＰＤ＝２ｂａａ２－ｔ２ꎬ(当且仅当ＰＢ＝ＰＤꎬ即ｍ＝０时取等号).思考２㊀若把问题背景中的椭圆变为双曲线或抛物线ꎬ是否还有类似的规律?变式１㊀已知双曲线ｘ２４－ｙ２＝１的左顶点为Ａ－２ꎬ０()ꎬ过点Ｐ３ꎬ０()的直线交双曲线右支于ＭꎬＮ两点ꎬ直线ＡＭꎬＡＮ与直线ｘ＝３分别交于ＢꎬＤ两点ꎬ试求:(１)直线ＡＭꎬＡＮ斜率之积ｋ１ ｋ２为定值ꎻ(２)ＰＢ ＰＤ为定值ꎻ(３)ＰＢ＋ＰＤ的最小值.解析㊀设直线ＡＭꎬＡＮ的方程分别为ｙ＝ｋ１ｘ＋２()ꎬｙ＝ｋ２ｘ＋２()ꎬ因此点ＡꎬＭꎬＮ的坐标满足方程ｙ－ｋ１ｘ＋２()[]ｙ－ｋ２ｘ＋２()[]＝０.当ｘ＝３时ꎬ有ｙ２－５ｋ１＋ｋ２()ｙ＋２５ｋ１ｋ２＝０.从而ｙＢ＋ｙＤ＝５ｋ１＋ｋ２()ꎬｙＢｙＤ＝２５ｋ１ｋ２.联立ｘ２４－ｙ２＝１ꎬｙ－ｋ１ｘ＋２()[]ｙ－ｋ２ｘ＋２()[]＝０ꎬìîíïïï得ｘ＋２()ｘ－２４－ｋ１＋ｋ２()ｙ＋ｘ＋２()ｋ１ｋ２[]＝０.由曲线系方程知直线ＭＮ的方程为ｘ－２４－ｋ１＋ｋ２()ｙ＋ｋ１ｋ２ｘ＋２()＝０.又直线ＭＮ过点Ｐ３ꎬ０()ꎬ所以１４＋５ｋ１ｋ２＝０.即ｋ１ｋ２＝－１２０.所以ＰＢ ＰＤ＝ｙＢ ｙＤ＝２５ｋ１ｋ２＝５４ꎻＰＢ＋ＰＤȡ２ＰＢ ＰＤ＝５ꎬ(当且仅当ＰＢ＝ＰＤꎬ即ｋ１＋ｋ２＝０时取等号).推广２㊀已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左顶点为Ａ－ａꎬ０()ꎬ过点Ｐｔꎬ０()ｔ>ａ()的直线交双曲线右支于ＭꎬＮ两点ꎬ直线ＡＭꎬＡＮ与直线ｘ＝ｔ分别交于ＢꎬＤ两点ꎬ则有:(１)直线ＡＭꎬＡＮ的斜率之积为定值ａ－ｔａ＋ｔ ｂ２ａ２ꎻ(２)ＰＢ ＰＤ为定值ｔ２－ａ２() ｂ２ａ２ꎻ(３)ＰＢ＋ＰＤ的最小值为２ｂａｔ２－ａ２.对于双曲线ꎬ为了保持和椭圆具有统一的规律性ꎬ此处只推广直线交双曲线于同一支的情形ꎬ证明过程如变式１的解法ꎬ不再赘述.变式２㊀已知抛物线ｙ２＝４ｘ的顶点为Ｏꎬ过点Ｐ２ꎬ０()的直线交抛物线于ＭꎬＮ两点ꎬ直线ＯＭꎬＯＮ与直线ｘ＝２分别交于ＢꎬＤ两点ꎬ(１)求证:ＰＢ ＰＤ为定值ꎻ(２)求ＰＢ＋ＰＤ的最小值.解析㊀设直线ＯＭꎬＯＮ的方程分别为ｙ＝ｋ１ｘꎬｙ＝ｋ２ｘꎬ则点ＯꎬＭꎬＮ满足方程ｙ－ｋ１ｘ()ｙ－ｋ２ｘ()＝０.联立ｘ＝２ꎬ得ｙ２－２ｋ１＋ｋ２()ｙ＋４ｋ１ｋ２＝０.所以ｙＢｙＤ＝４ｋ１ｋ２ꎬｙＢ＋ｙＤ＝２ｋ１＋ｋ２().联立ｙ－ｋ１ｘ()ｙ－ｋ２ｘ()＝０ꎬｙ２＝４ｘꎬ{得ｘ[ｋ１ｋ２ｘ－ｋ１＋ｋ２()ｙ＋４ə＝０.因此直线ＭＮ的方程为ｋ１ｋ２ｘ－ｋ１＋ｋ２()ｙ＋４＝０.由于直线ＭＮ过点Ｐ２ꎬ０()ꎬ故２ｋ１ｋ２＋４＝０.即ｋ１ｋ２＝－２ꎬＰＢ ＰＤ＝ｙＢｙＤ＝４ｋ１ｋ２＝８ꎬＰＢ＋ＰＤ＝ｙＢ－ｙＤ＝ｙＢ＋ｙＤ()２－４ｙＢｙＤ＝４ｋ１＋ｋ２()２－１６ｋ１ｋ２＝２ｋ１＋ｋ２()２＋８ȡ４２ꎬ当ｋ１＋ｋ２＝０时取等号.推广３㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘｐʂ０()的顶点为Ｏꎬ过点Ｐｔꎬ０()ｔʂ０()的直线交抛物线于ＭꎬＮ两点ꎬ直线ＯＭꎬＯＮ与直线ｘ＝ｔ分别交于ＢꎬＤ两点ꎬ则有(１)ｋＯＭｋＯＮ＝－２Ｐｔꎻ(２)ＰＢ ＰＤ为定值２ｐｔꎻ(３)ＰＢ＋ＰＤ的最小值为２２ｐｔ.经由上述解法探索㊁变式思考和推广探究ꎬ试题的本质逐渐显现ꎬ解题活动也由对解法的初步探索逐步深化到对试题的领悟和对数学的理解ꎬ正如罗增儒教授所讲的解题的四个水平在不断深入探究中得以展开.在强基计划实施的当下ꎬ深入挖掘试题价值ꎬ对培养学生的解题能力和创新能力大有裨益.参考文献:[１]甘志国.２０２１年清华大学强基计划数学试题及其详解[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(０４):８８－８９.[２]管良梁.立足经验生长㊀实现解答自然 以一道解析几何定值问题的教学为例[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(２２):８９－９１.[３]田鹏.一道椭圆中两线段长度乘积为定值试题的探究[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２２(０６):１５－１８.[４]周文国.解析几何中定值定点问题的解决策略[Ｊ].理科考试研究ꎬ２０２０ꎬ２７(１５):１７－２０.[责任编辑:李㊀璟]。