(甘志国)谈谈人教版教材中函数极值的定义

函数的极值和最值考纲要求】1. 掌握函数极值的定义。

2. 了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3. 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4. 会求给定闭区间上函数的最值。

知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数 f (x) 在点x x0 及其附近有定义，( 1)若对于 x 0附近的所有点，都有 f (x) f (x0)，则 f(x0)是函数 f (x)的一个极大值，记作 y极大值f (x0) ；(2)若对 x0附近的所有点，都有 f(x) f(x0) ，则 f(x0)是函数 f(x) 的一个极小值，记作y极小值f(x0).极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数 f (x) ；③求方程 f (x) 0 的根；④检查f '(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x) 在这个根处取得极小值.( 最好通过列表法)要点二、函数的最值1. 函数的最大值与最小值定理若函数y f (x)在闭区间 [a,b] 上连续，则 f(x)在[a,b] 上必有最大值和最小值；在开区间 (a, b)内连1 续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小值.如f(x)(x 0).x 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2. 通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数y f (x)在闭区间 [a,b] 有定义，在开区间(a, b)内有导数，则求函数y f ( x)在[a,b] 上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求函数 f(x)在(a,b) 内的导数 f (x)；(2)求方程 f (x) 0在 (a, b)内的根；(3)求在 (a,b) 内使 f (x) 0的所有点的函数值和 f (x)在闭区间端点处的函数值 f (a)， f(b)；( 4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y f(x)在闭区间 [a,b] 上的最大值，最小者为函数y f ( x)在闭区间 [a,b] 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例 1.已知函数f (x) mx3 3x 2 3x,m R.若函数f (x)在x 1处取得极值，试求m 的值，并求f (x) 在点M (1, f (1)) 处的切线方程；【解析】f '(x) 3mx2 6x 3,m R.因为f(x)在x 1处取得极值所以f '( 1) 3m 6 3 0所以m 3。

谈谈人教版教材中函数极值的定义甘志国(该文已发表 中学数学杂志2011(5)：15-16)普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) (下简称《选修2-2》)第27页给出了函数极值的定义：定义1 如图1，以b a ,两点为例，我们可以发现，函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它在点a x =附近其他点的函数值都小，0)(='a f ；而且在点点a x =附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f .类似地，函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它在点a x =附近其他点的函数值都大，0)(='b f ；而且在点点b x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f .图1我们把点a 叫做函数)(x f y =的极小值点，)(a f 叫做函数)(x f y =的极小值；点b 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(b f 叫做函数)(x f y =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值点统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.《选修2-2》第29页又作了以下说明：导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数3)(x x f =，……所以0=x 不是函数3)(x x f =的极值点.一般地，函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的必要条件，而非充分条件.一般地，求函数)(x f y =的极值的方法是：解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时：(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值；(2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值.显然，以上函数极值的定义是针对可导函数的，而在某些点不可导的函数也可以有极值，例如函数∈=x x y (R )在0=x 处取极小值.但《选修2-2》并没有给出“可导函数”的定义，而是在第5页直接给出导数的定义：一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000 我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 显然，《选修2-2》这样处理的目的是为了帮助学生易于理解.但笔者认为这样不科学，至少没有注意定义的合理性，笔者建议把此定义改述为：一般地，若函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000 存在，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个瞬时变化率叫做函数)(x f y =在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 在本章(指《选修2-2》第一章)中，我们所研究的函数在定义域上的每一点都是可导的. 在此约定下，《选修2-2》第一章后面的叙述都没有问题了，包括《选修2-2》第7页的叙述“我们发现，当点n P 趋近于点P 时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线”也是正确的(否则割线n PP 不一定趋近于确定的位置).我们再来看看全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II)》(2006年人民教育出版社)(下简称《选修II 》)第141页给出的函数极值的定义：定义 2 一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()()(0x f x f ><，我们就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大(小)值. 极大值与极小值统称为极值.大学中的一些《数学分析》、《微积分》教材中也是这样定义极值的，比如樊映川等编的《高等数学讲义》(人民教育出版社，1964年第2版)第305页的定义.首先，定义1与定义2中的“点的附近”意义不同：由定义1中的“)(a f 比它在点ax =附近其他．．点的函数值都小”知“点a x =附近”包括点a x =，即指点a x =的一个无限小的邻域；而定义2中的“点0x 附近”指点0x 的一个无限小的空心邻域.笔者认为，前者正确.即使按照后者的理解，定义也不不严谨.]1[ 由定义2知：常数函数c x f =)(是没有极值的，所以它在任何开区间上也无极值 ①又由上述《高等数学讲义》第311页的叙述(以下也是显然的事实)：“设函数)(x f 在闭区间],[b a 上是连续的，则它的最大值及最小值必然是存在的.我们来讨论怎样求出最大值的方法(求最小值的方法也可同样讨论).如果函数在a 与把b 之间的某一点达到最大值，这个最大值显然也是极大值；但最大值也可以在区间的端点b a ,处达到，…”可知：在开区间上可导函数的最值一定是极值 ②又常数函数在任何开区间上都是可导的，所以由结论①②知：常数函数在开区间上没有最值 ③众所周知，函数的最大(小)值就是所有函数值中最大(小)的，常数函数的最大值、最小值均存在，并且都是这个常数本身.这与③矛盾！这说明《选修II 》中函数极值的定义不严谨，可修正为：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()()(0x f x f ≥≤，我们就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大(小)值.极大值与极小值统称为极值.注 以上“0x 附近”是不严格的表述(限于高中生的理解只能这样表述).罗元等主编、路见可主审《数学分析简明教程(上册)》(1988年武汉工业大学出版社)第169页，赵慈庚编《一元函数微分学》(1980年上海科技出版社)第316页及谷超豪主编《数学词典》(1992年上海辞书出版社)第275页的函数极值的定义均与该“修正”一致.文献[2]认为定义1有误(但没有指出产生错误的原因)，定义2正确，这也是值得商榷的.笔者还认为，在《选修2-2》中先给出极限的描述性定义(同《选修II 》)，再由极限给出导数的严格定义是可取的.一方面，极限的定义在数学中很有用，在高一时很多求函数值域的问题(包括恒成立问题)就必须要用到极限；另外，这样不会加重学生负担，反而会减轻学生在理解上的负担，在教学老教材(即大纲教材)时，我校在高一上学期讲完《第二章 函数》后就立即讲授《导数》，很受学生欢迎且教学效果良好，就不曾有理解困难，那要是在高二下学期的《选修2-2》中讲极限、讲导数，学生在理解上绝无困难；第三，学生肯定还会遇到在某些点不可导的函数，如何用导数研究它们呢(若不用导数肯定有难度)？对于导数，讲就讲彻底、讲清楚，只有好处，绝无坏处！参考文献1 甘志国著.初等数学研究(I)[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.266-2672 刘焕芬.值得商榷的问题——谈新人教版与旧人教版教材中对极值的处理[J].中学数学(高中)，2010(12):14。

微专题17 函数的极值一、基础知识： 1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 5、求极值点的步骤： （1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。

一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。

通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。

最值（最优化）问题占有较大比重。

最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。

二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。

该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。

定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。

这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

设函数f（x）在x。

附近有定义，如果对x。

附近的所有的点都有f（x）<f（x。

），则f（x。

）是函数f（x）的一个极大值。

如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。

），则f （x）。

是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。

三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。

若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。

变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。

（xi,其中i是下标。

下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。

探究高中数学中的函数极值问题与取值范围高中数学中的函数极值问题与取值范围在高中数学中，函数极值问题与取值范围是一个重要的话题。

函数极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值，而取值范围则是函数在整个定义域内的所有可能取值的范围。

通过研究函数的极值和取值范围，我们可以更好地理解函数的性质和特点。

首先，我们来探究函数的极值问题。

在数学中，我们常常遇到需要求函数的最大值或最小值的情况。

例如，我们要设计一个长方形的围墙，使得围墙的面积最大，那么我们就需要求解函数的极大值。

同样地，如果我们要确定一个函数的最小值，比如求解一个优化问题，我们也需要找到函数的极小值。

为了求解函数的极值，我们可以使用导数的概念。

导数是函数在某一点的变化率，它可以帮助我们确定函数的增减性和极值点。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的驻点，即导数为零的点。

在这些驻点中，我们可以通过二阶导数的符号来确定函数的极值。

如果二阶导数大于零，那么函数在该点附近取得极小值；如果二阶导数小于零，那么函数在该点附近取得极大值。

通过这种方法，我们可以解决很多实际问题，如求解最优化问题、最大化利润等。

接下来，我们来研究函数的取值范围。

函数的取值范围是指函数在整个定义域内可能取得的值的范围。

为了确定函数的取值范围，我们需要考虑函数的性质和定义域。

首先，我们需要确定函数的定义域，即函数的自变量的取值范围。

然后，我们可以通过分析函数的图像、性质和极值点来确定函数的取值范围。

对于一些简单的函数，我们可以通过观察函数的图像来确定函数的取值范围。

例如，对于一个二次函数，如果开口向上，则函数的取值范围是从顶点到正无穷；如果开口向下，则函数的取值范围是从负无穷到顶点。

对于一些复杂的函数，我们可以通过分析函数的性质和极值点来确定函数的取值范围。

例如，对于一个有界函数，我们可以通过求解函数的极值来确定函数的取值范围。

在实际问题中，函数的取值范围也具有重要的意义。

例如，在经济学中，我们常常需要确定某个经济指标的取值范围，以便评估经济的发展情况。