江西省高考数学考前压轴（理）试题（含答案）一、单选题1．若1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 26πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．79B ．13 C ．89D ．232．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2783622011a a a a a ++=+，则118S S =（ ） A ．37B ．16 C ．511D ．543．51⎫⎪⎭的展开式中1x 项的系数为（ ）A ．5-B ．10-C ．5D ．104．执行如图的程序框图，若输入x =y 值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．151．已知集合{}2A =<，{}5B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}5x x ≤B ．{}35x x ≤≤C ．{}37x x ≤<D ．{}35x x <≤2．复数z 满足i 12i z ⋅=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．将曲线22x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A ．12π+ B ．11π+ C ．22π+ D ．21π+ 8．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示1~9的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用7根小木棍表示“”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．279．已知函数()[]()22cos ,2xf x x x ππ=-++∈-，则不等式()()120f x f +->的解集为（ ） A ．[)(],31,ππ-- B ．[)(],13,ππ--C ．()3,1-D ．()1,3-10．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作斜率为2的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B C D 12．已知函数22xxy e x e =+和函数()a y a R x =∈，关于这两个函数图象的交点个数，下列四个结论：①当a <时，两个函数图象没有交点；②当221e a e +=时，两个函数图象恰有三个交点；③当221e a e +<<时，两个函数图象恰有两个交点；④当221e a e+>时，两个函数图象恰有四个交点.正确结论的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、双空题13．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，...，如表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是________.中位数是________.三、填空题14．若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最大值为______.15．在扇形OAB 中，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+，则2x y +的取值范围是________.16．正方形ABCD 的两个顶点,A B 在直线40x y +-=上，另两个顶点,C D 分别在直线210x y --=，4230x y +-=上，那么正方形ABCD 的边长为________.四、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足2sin 2C C +=C 为锐角.（1）求角C 的大小； （2）若cos 3BAC ∠=-，点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BC //AD ，23πBAD ∠=，2PA AB BC ===，4=AD ，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//CM 平面PAB ； （2）求二面角M AC D --的大小.19．为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及期望； （2）若经过n 轮投篮，用i p 表示第i 轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.①求123,,P P P ；②规定00P =，经过计算机模拟计算可得()111,i i i P aP bP i i N +-=+≥∈，请根据①中123,,P P P 值求出,a b 的值，并由此求出数列{}n P 的通项公式.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点到准线的最小距离为1.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于,A B 两点，2l 与抛物线C 交于,C D 两点，,M N 分别为弦,AB CD 的中点，求MF NF ⋅的最小值. 21．已知函数()()2ln f x ax xa R =+∈.（1）讨论函数()f x 的单调区间情况； （2）若函数()()2ln 0f x ax xa =+≠有且只有两个零点12,x x，证明：12112e x x e -<+<-.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线1C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 100ρθρθ+-=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()11,M ρθ，()22,N ρθ（以上两点坐标均为极坐标，10ρ>，20ρ>，102θπ≤<，202θπ≤<），使点M 、N 到l 的距离都为1？若存在，求出12θθ-的值；若不存在，请说明理由. 23．设函数()cos 21f x x a a =+-++. （1）若1132f π⎛⎫>⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. （2）证明：对于任意的x ∈R ，()1214f x a a≥---成立.答 案1．A 【详解】5sin 2sin 2626πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 27cos 212sin 669ππαα⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A 2．D 【详解】因为27857636363622242011a a a a a a a a a a a a +++===+++，所以636511a a a =+，可得()()66118183611115444a a S S a a a a ===++. 故选：D. 3．B 【详解】51⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()()55215511rr rrr rr T C C x--+=-=-.令512r -=-，解得3r =.所以51⎫⎪⎭展开式中1x 项的系数3510C -=-.故选：B 4．D. 【详解】第一次循环，x =，1y =，13k =≤，继续循环，1213y =⨯+=， 第二次循环， 23k =≤，继续循环，3217y =⨯+=第三次循环，33k =≤，继续循环，72115y =⨯+=， 第四次循环，43k =>，停止循环，输出15y =. 故选：D1．B 5【详解】3023734x x x -≥⎧<⇒⇒≤<⎨-<⎩， 所以{}37A x x =≤<. 所以{}35A B x x ⋂=≤≤. 故选：B 6．D 【详解】 由题意，()12i i 12i 2i i 1z ++===--，则复数z 在复平面内所对应的点为()2,1-，在第四象限. 7．C 【详解】当0,0x y >>时,曲线22x y x y +=+、曲线1x y +=分别为2222111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1x y +=.又22x y x y +=+、1x y +=均关于,x y 轴，原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ（正方形和四个半圆）、Ⅱ(正方形）如图：可知区域Ⅰ的面积为2222S ππ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭正方形；区域Ⅱ的面积为22=；∴由几何概率公式得：22p π=+.故选：C. 8．C 【详解】数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共24个符合要求的三位数. 故选:C. 9．C 【详解】∵[]()()22,,()2cos()2cos 22x xx f x x x f x ππ-∈--=--++=-++= ()f x ∴为偶函数.由函数的单调性的性质可知： 当[]0,x π∈时，()f x 为单调递减函数. 由()()120f x f +->()()12f x f ⇒+>， 根据偶函数的性质由()()12f x f +>，可得()()12fx f +>，所以有12x +<.∴212x -<+<，且1x ππ-≤+≤， 解得不等式的解集为()3,1-. 故选：C 10．B 【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则2O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =，()222222221291212124322x xS x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭，当且仅当x =S =故选：B. 11．D 【详解】如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连结2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF a -=，则12AF x a =-，又因为122BF BF a -=，则12BF x a =+，114AB BF AF a =-=，则2AMBM a ==，则1FM x =， 在12RtF F M中有2=F M 2RtAF M ∆中有2=F M=，解得22222x a c =+，因为直线l， 所以2121tan 2F M MF F F M ∠===，所以222212c a a c -=+，223c a =， 所以离心率e =故选：D 12．D 【详解】由题意,两个函数22xxy e x e =+和函数()a y a R x =∈图像交点个数, 即为方程22xx a e x e x +=的解的个数，即方程2xxa x e x e =+的解的个数， 令(),0,0x xx xe x f x x e xe x ⎧-<==⎨>⎩，①当0x >时，函数()xf x xe =，则()()10x x xf x e xe ex '=+=+>，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，值域为()0,∞+； ②当0x <时，()xf x xe =-，()()1xxxf x e xe ex '=--=-+，由()0f x '=，得1x =-.当(),1x ∈-∞-时，()()10xf x e x '=-+>，()f x 为增函数；当()1,0x ∈-时，()()10xf x e x '=-+<，()f x 为减函数；当x →-∞时，()0f x →，所以函数()f x 在(),0-∞上有最大值为()()1111f e e--=--=， 令()t f x =，方程2xx a x e x e =+，化为()20a t t t=+>，当a <()20a t t t =+>无解，原方程无解，两个函数图像无交点；当a =()20a t t t=+>有唯一解t =，xx e =两个函数图像恰有一个交点；当221e a e+<<时，方程()20a t t t =+>有两解11t e ⎛∈ ⎝，)2t e ∈，原方程有两解，两个函数图像恰有两个交点；当221e a e+=时，方程()20a t t t =+>有两解11t e =，22t e =，原方程有三解，两个函数图像恰有三个交点；当221e a e+>时，方程()20a t t t =+>有两解110,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()22,t e ∈+∞，原方程有四解，两个函数图像恰有四个交点. 故选D .13．4 3.5 【详解】解：由图中数据可知，该20颗种子发芽天数从小到大排列为：1、1、1、1、2、2、2、3、3、3、4、4、4、4、4、5、5、6、6、7；则众数是4，中位数为343.52+=. 故答案为：4，3.5. 14．13 【详解】实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，对应的可行域如下图所示：由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得3x =，2y =时，目标函数经过()3,2A 时，目标函数取得最大值，即3213z x y =+=.∴32z x y =+的最大值为13. 故答案为：13. 15．[]1,2 【详解】解：由题意可知，在扇形OAB 中，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 上的一个动点. 不妨设1OB =，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令COB θ∠=，则0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，()1,0B，1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()cos ,sin C θθ，又OC xOA yOB =+，则cos 2sin 2x y xθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则cos y x θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos 2sin(30)x y θθθ+=+=+，又0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，则3030,90θ⎡⎤+∈⎣⎦， 则[]2sin(30)1,2θ+∈， 即[]21,2x y +∈， 故答案为：[]1,2.16．【详解】解：设直线CD 的方程为0x y m ++=，联立2100x y x y m --=⎧⎨++=⎩，得112,33m m C ---⎛⎫⎪⎝⎭， 联立42300x y x y m +-=⎧⎨++=⎩，得23234,33m m D +--⎛⎫⎪⎝⎭，∴由两点的距离公式可得11CD =+，又直线AB 与CD 的距离为d =11+=解得8m =-或32m =-，即CD =.即正方形的边长为或故答案为：17．（1）6C π=（2）1,2λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【详解】解：（1）∵2sin 2C C +=∴)sin 21cos2C C -∴sin 220C C =∴tan 2C =∵C 为锐角，则()20,C π∈ ∴23C π=，∴6C π=，（2）由cos 0BAC ∠=<，可知2BAC π∠>， ∵在ADC 中，sin sin AD DCC DAC=∠， ∴sin 1sin 2sin AD C DC DAC DACλ===∠∠，∵0DAC BAC <∠∠≤， ∴(]sin 0,1DAC ∠∈， ∴1,2λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.故λ的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18．（1）见解析（2）6π【详解】证明：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM . ∵M 是PD 的中点，∴12EM AD =，//EM AD ， 又12BC AD =，//BC AD ，所以EM BC =，//EM BC ， ∴四边形BCME 为平行四边形， ∴//CM BE ，又BE ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，∴//CM 平面PAB .（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知2PA AB BC ===，4=AD ，23πBAD ∠=，可得()0,0,0A ，)C，()0,2,1M ，∴()3,1,0AC =，()0,2,1AM =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y y z +=+=⎪⎩，令3y =-，则x =6z =，∴()3,3,6n =-为平面MAC 的一个法向量.∵PA ⊥底面ABCD ，∴可取平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =，∴cos ,248n m n m n m⋅===⋅， ∵二面角M AC D --为锐二面角， ∴二面角M AC D --的大小为6π.19．（1）见解析，()16E X =（2）①116P =，27=36p ，343216P =②67a =，17b =.11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】解：（1）X 的可能取值为1,0,1-， 则()1111326P X =-=⨯=； ()1212101123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()2111323P X ==⨯=.∴X 的分布列为：期望()11111016236E X =-⨯+⨯+⨯=. 即经过1轮投篮，甲得分的期望为16分.（2）①由（1）知116P =， 经过两轮投球，甲的累计得分低的有两种情况：一是甲两轮都得分为1-；二是两轮中甲一轮得0分，另一轮得1-分，则2122111762636P C ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭. 经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：111---；110--+；100-++；111--+，则322221233331111111436626263216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ②将0123,,,P P P P 的值分别代入11i i i P aP bP +-=+得176367431362166a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 得67a =，17b =. ∴116177i i i P P P +-=+，即()1116i i i i P P P P +--=-， 又1016P P -=，所以{}1n n P P --是首项16、公比都是16的等比数列. ∴116nn n P P -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()()()1121001111166 (115616)n n n n n n n P P P P P P P P ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-+-++-+==- ⎪⎝⎭-， ∴数列{}n p 的通项公式为11156n n P ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 20．（1）24y x =（2）8【详解】（1）∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1，∴12p=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为：24y x =； （2）由（1）可知焦点为()1,0F ，由已知可得AB CD ⊥，∴两直线,AB CD 的斜率都存在且均不为0， 设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k-， ∴直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 得：2440ky y k --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y k+=， ∵(),M M M x y 为弦AB 的中点，所以()12122M y y y k=+=， 由()1M M y k x =-，得2211M M y x k k=+=+， ∴点2221,M k k ⎛⎫+⎪⎝⎭， 同理可得：()221,2N k k +-，∴NF ==2MF k=，∴21448k MF NF k +==⨯≥⨯=， 当且仅当1k k=，即1k =±，等号成立， ∴MF NF ⋅的最小值为8. 21．（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()22ax f x a x x+'=+=， 当0a =时，0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞上递减，0x >时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上递增；当0a >时，在()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，在2,0x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 在2,0a⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,∞+上分别递增；当0a <时，在20,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，()0f x '>，在()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 在(),0-∞和2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上分别递减，在20,a⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增.（2）由（1）可知，当0a >时，()f x 在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,∞+上分别递增，在()0,x ∈+∞上，当0x +→时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，()f x 在()0,x ∈+∞上有且只有一个零点；在(),0x ∈-∞上，当0x -→时，()f x →-∞，当x →-∞时，()f x →-∞，为使()f x 有且只有两个零点，则()f x 在(),0x ∈-∞上有且只有一个零点，则需()f x 在(),0x ∈-∞的最大值()max2222ln 0f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，可得2a e =，零点12x e a =-=-； 而当2a e =时，()22ln f x x x e =+，()210f e =>，111ln 24f e⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵14ee e <<，∴1114e e >，111ln ln 4ee >，11ln 4e ->，111ln 024f e⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，∴另一个零点满足：2112x <<， ∴12112e x x e -+<+<-+， 由（1）可知，当0a <时，()f x 在(),0-∞和2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上分别递减，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在(),0x ∈-∞上，当0x →时，()f x →-∞，当x →-∞时，()f x →+∞，()f x 在(),0x ∈-∞上有且只有一个零点；在()0,x ∈+∞上，当0x +→时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，为使()f x 有且只有两个零点，则()f x 在()0,x ∈+∞上有且只有一个零点，则需()f x 在()0,x ∈+∞的最大值()max 2222ln 0f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2a e =-，零点22x e a =-=； 而当2a e =-时，()22ln f x x x e =-+，()210f e-=>，111ln 24f e ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由上面证明可知，111ln 024f e ⎛⎫-=+< ⎪⎝⎭， ∴另一个零点满足：1112x -<<-， ∴12112e x x e -<+<-， 综上可知，12112e x x e -<+<-. 22．（1）2ρ=，43100x y +-=；（2）存在，1243πθθ-=. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 得到曲线1C 的直角坐标方程为224x y +=，其极坐标方程为2ρ=，又直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 100ρθρθ+-=，故其直角坐标方程为43100x y +-=.（2）曲线1C 是以O 为圆心，2为半径的圆，圆心O 到直线l 的距离2d ==，所以存在这样的点,M N ，MN l ∥，且点O 到直线MN 的距离为1OD =，如图所示：因为1cos 22OD DON ∠==，所以3DON π∠=， 即：23MON π∠=. 又因为10ρ>，20ρ>，102θπ≤<，202θπ≤< 所以1243πθθ-=. 23．（1）3a >或2a <-；（2）见解析【详解】（1）∵()cos 21f x x a a =+-++， ∴1132f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，可化为：215a a -++>， 12215a a a a <-⎧⇒<-⎨--->⎩， 12215a a a -≤<⎧⇒∅⎨-++>⎩， 23215a a a a ≥⎧⇒>⎨-++>⎩. 综上所述：3a >或2a <-.（2）要证()1214f x a a≥---恒成立，即证1cos 21214x a a a a+-++≥---恒成立， 也就是证明111cos 4a x a-++≥-恒成立. ∵cos y x =-的最大值为1， 即证11114a a-++≥. ∴()11111144a a a a ⎛⎫-++≥-++ ⎪⎝⎭11144a a a a =+=+≥=. ∴原结论成立.。
