2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第八章 第三节 直线、平面平行的判定及其性质

江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十八直线平面平行的判定及其性质文含解析苏教版课时跟踪检测（三十八） 直线、平面平行的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·汇龙中学测试)已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的位置关系为________．解析：依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．答案：平行或直线b 在平面α内2．(2018·南京模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________．解析：如图，由AE EB ＝CF FB得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .答案：AC ∥平面DEF3．(2018·天星湖中学测试)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列四对截面中彼此平行的是________(填序号)．①平面A 1BC 1和平面ACD 1；②平面BDC 1和平面B 1D 1A ；③平面B 1D 1D 和平面BDA 1；④平面ADC 1和平面A 1D 1C .解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A 1BC 1∥平面ACD 1，平面BDC 1∥平面B 1D 1A .答案：①②4．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：因为α∥β，所以CD ∥AB ，则PC PA ＝CD AB ，所以AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：525．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MN Q 平行的是________．(填序号)解析：因为点M ，N ，Q 分别为所在棱的中点，所以在①中AB 与平面MN Q 相交，在②③中均有AB ∥M Q ，在④中，有AB ∥N Q ，所以在②③④中均有AB 与平面MN Q 平行．答案：②③④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·滨海期末)已知m ，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m ，n ⊂γ，若增加一个条件就能得出m ∥n ，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．①m ∥γ，n ∥β；②α∥γ，n ⊂β；③n ∥β，m ⊂γ.解析：对于①，若β∥γ，由m ⊂β，满足m ∥γ，由n ⊂γ，满足n ∥β，但m ，n 可为异面直线，则不成立；对于②，由α∥γ，且α∩β＝m ，β∩γ＝n ，由面面平行的性质定理可得m ∥n ，则成立；对于③，n ∥β，m ⊂γ，则γ∩β＝m ，由线面平行的性质定理可得n ∥m ，则成立． 答案：②或③2．(2019·连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角，且被两平面所截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是________．解析：由题意知，两个平行平面间的距离d ＝2sin 30°＝1.答案：13．(2018·前黄高级中学检测)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的是________(填序号)．①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：如图，因为AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证AB 1∥DC 1，BD ∥B 1D 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值；③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确命题的个数是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V )，所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V . 所以BE ·BF ＝2V BC(定值)，即④是正确的． 答案：35．在三棱锥P ­ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③7．(2018·盐城期末)已知棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，E 为棱AD 的中点，现有一只蚂蚁从点B 1出发，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1表面上行走一周后再回到点B 1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A 1EB 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．解析：要满足题意，则需在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1上过B 1作与平面A 1EB 平行的平面．取A 1D 1和BC 的中点分别为F ，G ，连结B 1F ，FD ，DG ，GB 1，则A 1F 綊ED ，所以四边形A 1FDE 是平行四边形，所以A 1E ∥FD .因为FD ⊄平面A 1EB ，A 1E ⊂平面A 1EB ，所以FD ∥平面A 1EB .同理：DG ∥平面A 1EB .又FD ∩DG ＝D ，所以平面DFB 1G ∥平面A 1EB ，则四边形DFB 1G 所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB 1G 为菱形，由正方体的棱长为2，得菱形DFB 1G 的边长为5，cos ∠A 1EB ＝15，∴sin ∠A 1EB ＝265，∵∠A 1EB ＝∠FDG ， ∴S 菱形DFB 1G ＝5×5×sin∠FDG ＝2 6.答案：2 68．(2019·海安中学检测)如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是________．解析：取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连结A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上，因为A 1M ＝A 1N ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，MN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，所以当点P 位于M ，N 处时，A 1P 的长度最长，取MN 的中点O ，连结A 1O ，当P 位于MN 的中点O 时，A 1P 的长度最短，此时A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，所以A 1O ≤A 1P ≤A 1M ，即324≤A 1P ≤52，所以线段A 1P 长度的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 9．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．求证：(1)AP ∥平面BEF ；(2)GH ∥平面PAD .证明：(1)连结EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC 綊AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连结FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是AC 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面PAD .10.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连结MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连结EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ，又D 1G 綊12DC ，所以OE 綊D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期中)若半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，则这两个平面之间的距离为________．解析：∵半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，∴圆心到两个平面的距离分别为： 52－32＝4，52－42＝3，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为4－3＝1，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或72．如图所示，设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a 3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于P Q ，Q 在直线CD 上，则P Q ＝________.解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD＝P Q ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥P Q.又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥P Q ，设P Q ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，所以△APM ∽△DP Q.所以P Q PM ＝PD AP ＝2， 即P Q ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，所以PM BD ＝AP AD ＝13， 所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ， 所以P Q ＝223a . 答案：223a 3．(2019·南通调研)如图，已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，E ，F 分别为CC 1，BB 1上的点，且EC ＝B 1F ，过点B 做截面BMN ，使得截面交线段AC于点M ，交线段CC 1于点N .(1)若EC ＝3BF ，试确定M ，N 的位置，使平面BMN ∥平面AEF ，并说明理由；(2)若K ，R 分别为AA 1，C 1B 1的中点，求证：KR ∥平面AEF .解：(1)当AM AC ＝EN EC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF . 理由如下：∵EN ＝13EC ，BF ＝13EC ， ∴EN 綊BF ，∴四边形BFEN 是平行四边形，∴BN ∥EF .∵AM AC ＝EN EC，∴MN ∥AE ，∵MN ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，且MN ∩BN ＝N ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，且AE ∩EF ＝E ， ∴当AM AC ＝EN EC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF . (2)证明：连结BC 1，交FE 于点Q ，连结Q R .∵△B Q F ≌△C 1Q E ，∴B Q ＝C 1Q ，∴Q R ∥BB 1，且Q R ＝12BB 1， ∴Q R 綊AK .∴四边形AKR Q 为平行四边形．连结A Q ，则A Q ∥KR ，∵A Q⊂平面AEF，KR⊄平面AEF，∴KR∥平面AEF.。

一、填空题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1(n ∈N *)，且a n b n ＝(－1)n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于________．解析：由S n ＝(－1)n (2n 2＋4n ＋1)－1可求得a n ＝(－1)n ·4n (n ＋1)，所以b n ＝14n (n ＋1)，于是T 10＝14(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝522. 答案：5222．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.解析：由题意得数列{a n }的各项为－12，1，－12，1，…，以2为周期的周期数列，所以S 2 014＝12×1 007＝1 0072.答案：1 00723．在数列{a n }中，若对任意的n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值(n ∈N *)，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则此数列{a n }的前100项的和S 100＝________.解析：由题设得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，∴a n ＝a n ＋3，∴a 3k ＋1＝2(k ∈N)，a 3k ＋2＝4(k ∈N)，a 3k ＝3(k ∈N *)，∴S 100＝34×2＋33×4＋33×3＝299.答案：2994．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n－1＝3n，故b n＝log3a n＝n，所以1b n b n＋1＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1.则数列{1b n b n＋1}的前n项和为1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案：nn＋15．若数列{a n}是正项数列，且a1＋a2＋…＋a n＝n2＋3n(n∈N*)，则a12＋a23＋…＋a nn＋1＝________.解析：令n＝1得a1＝4，即a1＝16，当n≥2时，a n＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n －1)]＝2n＋2，所以a n＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合，所以a n＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是a nn＋1＝4(n＋1)，故a12＋a23＋…＋a nn＋1＝2n2＋6n.答案：2n2＋6n6．设a1，a2，…，a50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有________个．解析：(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a21＋a22＋…＋a250＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a21＋a22＋…＋a250＝39，∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11个．答案：117．设函数f(x)＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是________．解析：f′(x)＝mx m－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， 用裂项法求和得S n ＝n n ＋1. 答案：n n ＋18．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析：由x 2－x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100. 答案：10 1009．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.解析：f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2 (n 为奇数)n 2 (n 为偶数)＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1) ＝(－1)n ·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n ＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.答案：－100二、解答题10．已知函数f (x )＝2n －3n －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，a n 的前n 项和为S n .(1)求使a n <0的n 的最大值；(2)求S n .解析：(1)依题意a n ＝2n －3n －1，∴a n <0即2n －3n －1<0.当n ＝3时，23－9－1＝－2<0，当n ＝4时，24－12－1＝3>0，∴2n －3n －1<0中n 的最大值为3.(2)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n＝2(1－2n )1－2－3·n (n ＋1)2－n ＝2n ＋1－n (3n ＋5)2－2. 11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的导函数f ′(x )＝－2x ＋7，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值；(2)令b n ＝2a n ，其中n ∈N *，求数列{nb n }的前n 项和．解析：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b ，又∵f ′(x )＝－2x ＋7，得a ＝－1，b ＝7，∴f (x )＝－x 2＋7x .又∵点P n (n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，∴有S n ＝－n 2＋7n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，∴a n ＝－2n ＋8(n ∈N *)．令a n ＝－2n ＋8≥0，得n ≤4，∴当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.(2)由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4.∴b n ＋1b n＝12，即数列{b n }是首项为8，公比为12的等比数列， 故数列{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4，① 12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3，② 由①－②得：12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3， ∴T n ＝16×[1－(12)n ]1－12－n ·24－n ＝32－(2＋n )24－n . 12．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和． 解析：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n ) ＝12(12n －3－12n －1)， 从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为 12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n .。

一、填空题1．已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________．解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，可求得 A (2,2)，B (12，12)，C (2，－1)．作出目标函数直线y ＝2x －z ，当直线经过点C (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝5. 答案：52．在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤22y －x ≥1下，(x －1)2＋y 2的最小值为________．解析：画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分)，所求的(x －1)2＋y 2的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的点之间的距离，其最小值为点(1,0)到直线x －2y ＋1＝0的距离， 可求得(x －1)2＋y 2的最小值为|1－2×0＋1|12＋(－2)2＝255.答案：2553．若x 、y 满足 ⎩⎨⎧x ＋y ≥6x ≤4y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. 答案：34．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1,1)；使|PO |取得最大值的最优解为点B (1,3)． ∴|PO |min ＝2， |PO |max ＝10. 答案：2105．现要挑选x 名女同学，y 名男同学参加某项游戏活动，其中x 和y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥4，x ＋4≥y ，x ≤4，则挑选出男女同学总数和的最大值为________．解析：画图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(4,0)，(4,8)，(0,4)，把此三点坐标代入z ＝x ＋y ，知点在(4,8)时，z ＝x ＋y 的最大值是4＋8＝12，应填12. 答案：126．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 是常数)所表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．解析：由题易知当a ≤－2时，不等式组表示的平面区域不存在；当a >－2时，不等式组表示的平面区域为三角形ABC ，如图所示，分别求出三条直线的交点坐标：A (a ，a ＋4)，B (a ，－a )，C (－2, 2)，故|AB |＝a ＋4－(－a )＝2a ＋4，点C 到直线AB 的距离为d ＝a －(－2)＝a ＋2，所以三角形ABC 的面积S ＝12(2a ＋4)·(a ＋2)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)． 答案：17．不等式⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，y ≤－kx ＋4k(k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k . ∵k >1，∴k －1>0.于是，kS k －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8k －1，即k ＝2时取等号． 答案：328．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________． 解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点 A (2,9)．对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3. 答案：1<a ≤39．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数变形为y ＝x －z ，当z 最小时就是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8.故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，所以目标函数的最大值的取值范围是[3,6]． 答案：[3,6] 二、解答题10．若{(x ，y )|⎩⎨⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的范围．解析：设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |，由 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03－x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即P (3,4)，∴|PO |＝5，即m ≥5.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的一个零点为x ＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率． (1)求a ＋b ＋c ； (2)求ba 的取值范围．解析：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝－1.(2)由c ＝－1－a －b ，∴f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1－a －b ＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，从而另两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b＋1，由根的分布知识画图可得⎩⎨⎧g (0)>0g (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>02a ＋b ＋3<0，作出可行域如图所示．而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2，∴k ∈(－2，－12)，即b a ∈(－2，－12)． 12．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？ 解析：将已知数据列成下表：设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126.∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－x －y ≥07－x ≥08－y ≥0x ＋y －7≥0x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤120≤x ≤70≤y ≤8x ＋y ≥7，目标函数为z ＝x －2y ＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，则x ＝0， y ＝8时总运费最小．安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．。

课时作业河］籃易】现他站习：：：也升能“一、填空题1 •关于直线m, n和平面a B有以下四个命题:⑴若m// a n// B, all B,则m// n；⑵若m// n , m? a, n 丄B,贝Ua± B；⑶若aA B= m ,m// n ,则n// a且n//B；（4）若m±n ,aAB= m,贝U n丄a或n丄B其中假命题的序号是__________ • 解析：（1）中，m , n也可以相交，故（1）是假命题；（2）正确；⑶中，n还可以在a 内或B内，故⑶是假命题；⑷中，只有当a丄B 时，命题才成立•故假命题的序号是⑴（3）⑷.答案：（1）（3）⑷2 •对于不重合的两个平面a与B,给出下列条件：①存在平面Y使得a B都平行于Y②存在直线l? a,直线m? B,使得I / m；③存在异面直线I , m ,使得I //a, I // B, m//a, m//B其中可以判定a与B平行的条件有 ___________ •解析：①正确；②中，当a与B相交时，仍有I? a, m? B且I // m成立；③正确，将I , m平移成相交直线，所确定的平面就平行于a, B,所以all B答案：23 •考察下列三个命题,在“__________ 都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中I、m为直线，a、B为平面），则此条件为___________ •m? a①1 // m ? | // a；I // m 1 丄B②m// a 卜？| // a ③ a!B 卜？1 //aJ J解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l?a答案：l?a4. a, B 是两个不同的平面，a , b 是两条不同的直线，给出四个论断：① aG A b ;② a? B ③ a // b ;④ a // a以其中三个论断为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的命题： _____________ .（写 出一个即可）解析：开放性问题，答案不惟一. 答案：①②③？④（或①②④？③）5. 如图所示，ABCD-A i B i C i D i 是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱 A i B i , aB 1C 1的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP =3 过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，贝U PQ = _________ . 解析：•••平面 ABCD //平面 A i B i C i D i ，a••• MN // PQ.v M 、N 分别是 A i B i 、B i C i 的中点，AP = 3，^ CQ6. 已知m , n 是不同的直线，a B 是不重合的平面，给出下列命题：① 若m // a,则m 平行于平面a 内的任意一条直线； ② 若 all B, m? a, n? B,则 m // n ； ③ 若 m ± a, n 丄 B, m // n ,贝U all B ； ④ 若 all B, m? a,则 m // B其中真命题的序号是 _______ .（写出所有真命题的序号）解析：①由m // a,贝U m 与a 内的直线无公共点， ••• m 与a 内的直线平行或异面.故①不正确.②a// B,贝u a 内的直线与B 内的直线无共点， • m 与n 平行或异面，故②不正确. ③④正确. 答案：③④7. 在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ ACD 和厶BCD 的重心，则四面体的四个a3, 2a 从而 DP = DQ =—，••• PQ =簣a. 答案: 2,23 a A , M fii面中与MN平行的是__________ .解析：如图，取CD 的中点E ，则AE 过 M ，且 AM = 2ME ， BE 过 N ，且 BN = 2NE ，贝 U AB // MN ，••• MN //面 ABC 和面 ABD.答案：面ABC 和面ABD8. 如图，ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且 AC //平面EFGH ，BD //平面EFGH ，AC =m ，BD = n ,当 EFGH 是菱形时，AE : EB = __________ . 解析：设 AE = a ， EB = b ，由 EF // AC 可得 EF = a + b答案：m ： n9.如图，在正四棱柱 ABCD-A i B i C i D i 中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC i 、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件 ______________ 时， 有 MN //平面 B i BDD i .解析：如图，取B i C i 的中点P ,连结NP 、PF 、FH ，易证平面HNPF //平面BDD i B i ，故只需 M 位于FH 上就有 MN?平面 HNPF ，也就有 MN //平面 B i BDD i .答案：M €线段HF 二、解答题10.如图，在棱长为a 的正方体 ABCD-A i B i C i D i 中, Q 分别是BC 、C i D i 、AD i 、BD 的中点.⑴求证：PQ //平面DCC i D i ;(2)求证：EF //平面 BB i D i D.同理EHana + b••• EF = EH ，bm _ an a +b — a + b ， a-b是E 、F 、 P 、nDi F C IB证明：⑴连结AC、CD i, AC n BD = Q（图略）P、Q分别为AD i、AC的中点, ••• PQ// CD i.又CD i?平面DCC i D i,PQ?平面DCC i D i,PQ//平面DCC i D i.⑵取B i C i的中点E i, 连结EE i, FE i，则有FE i// B i D i, EE i// BB i, •••平面EE i F //平面BB i D i D，又EF?平面EE i F, ••• EF//平面BB i D i D.ii•如图所示，三棱柱ABC-A i B i C i, D是BC上一点，且A i B //平面AC i D, D i是B i C i的中点，求证：平面A i BD i //平面AC i D.证明：如图所示，连结A i C交AC i于点E,•••四边形A i ACC i是平行四边形，••• E是A i C的中点，连结ED,••• A i B//平面AC i D，平面A i BC n 平面AC i D = ED, ••• A i B//ED.••• E是A i C的中点，••• D是BC的中点.又••• D i是B i C i的中点，••• BD i // C i D, A i D i // AD.又A i D i n BD i = D i,•••平面A i BD i //平面AC i D.ai2.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA丄底面ABCD，侧面PBC内，有BE丄PC于E, 且BE=~3a,试在AB上找一点F,使EF //平面FAD，并求AF 的长.解析：在平面PCD 内，过E 作EG // CD 交PD 于G , 连结AG ,在AB 上取点F ，使AF = EG ,则F 即为所求作的点.EG / CD // AF , EG = AF ,•••四边形FEGA 为平行四边形,••• FE / AG , AG?平面 PAD , FE?平面 PAD. ••• EF //平面 PAD ,又在△ BCE 中,在 Rt A PBC 中，BC 2= CE CP ,CE = BC 2- BE 2 =3a.CP =3T a=J3a,EG _ PE CD =PC ,EG _ AF _ 2a ,•••点F为AB的一个靠近B点的三等分点.。

一、填空题1．已知p是真命题，q是假命题，则下列复合命题①p且q，②非p且非q，③非p或非q，④非p或q中真命题的个数是________．解析：∵p是真命题，q是假命题，∴非p是假命题，非q是真命题，由复合命题的真值表知，非p或非q为真命题，故1个．答案：12．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的是________．解析：依题意p假，q真，所以“p∨q”“綈p”是真命题．答案：p∨q，綈p3．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是________．答案：∃x∈R, 2x2－1≤04．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.答案：[－22，22]5．现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≠0”；②若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则A∩(∁R B)＝A；③函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋π2(k∈Z)；④若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与a－b的夹角为60°.其中为真命题的是________．解析：命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B＝(－1，＋∞)，所以A∩(∁R B)＝A；命题③真，若φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则f(x)＝sin(ωx＋kπ＋π2)＝±cos ωx为偶数；命题④假，因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以由三角形法则可得|a|，|b|的夹角为60°，b与(a－b)的夹角为120°.所以填写答案为②③.答案：②③6．已知命题p：∃x∈[0，π2]，cos 2x＋cos x－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是________．解析：依题意，cos 2x＋cos x－m＝0在x∈[0，π2]上恒成立，即cos 2x＋cos x＝m.令f(x)＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2(cos x＋14)2－98，由于x∈[0，π2]，所以cos x∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．答案：[－1,2]7．已知命题p1：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0成立；p2：对任意x∈[1,2]，x2－1≥0.以下命题：①(綈p1)∧(綈p2)；②p1∨(綈p2)；③(綈p1)∧p2；④p1∧p2.其中为真命题的是________(填序号)．解析：∵方程x20＋x0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x20＋x0＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.∴对任意x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．答案：③8．用“充分、必要、充要”填空：(1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的________条件；(2)綈p为假命题是p∨q为真命题的________条件．解析：(1)p∨q为真命题p∧q为真命题，反之成立．(2)綈p为假命题⇒p为真命题⇒p∨q为真命题，反之，p∨q为真命题綈p为假命题．答案：必要充分9．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.解析：∵命题p是假命题，命题q是真命题．∴綈p是真命题，綈q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．答案：①④二、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x0∈R，x20－4＝0；(2)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin x；(3)集合A是集合A∪B或A∩B的子集；(4)a，b是异面直线，∃A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.解析：它们的否定及其真假分别为：(1)∀x∈R，x2－4≠0(假命题)．(2)∃T 0＝2k π(k ∈Z)，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，∀A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．11．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2； (2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.12．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围． 解析：由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a <1，令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a (x ≥2a )，2a (x <2a ).不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >12.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值范围是0<a ≤12或a ≥1.。

一、填空题1．已知向量a ＝(3,0)，b ＝(0,1)，若a －λb 与2a ＋b 共线，则实数λ的值为________． 解析：由题知，a －λb ＝(3，－λ)，2a ＋b ＝(6,1)，∵a －λb 与2a ＋b 共线，∴－6λ＝3，λ＝－12.答案：－122．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m ，1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为________．解析：由题意可知a ＝λb ，所以(1，－2)＝λ(1＋m,1－m )，可得1＋m 1－m＝－12，解得m ＝－3.答案：－33．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a等于________．解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)． 又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.答案：24．已知△ABC 的三内角为A 、B 、C ，设p ＝(sin C －sin A ，sin B )，q ＝(sin B ，sin C ＋sin A )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．解析：由p ∥q ，得sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，∴c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴∠C ＝π2. 答案：π25．在复平面中，已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB →＋BC →＝CA →；③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中正确结论的个数是________．解析：k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12， ∴OC ∥AB ，①正确；∵AB →＋BC →＝AC →≠0，∴②错误；∵OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，∴③正确；∵OB →－2OA →＝(－4,0)，AC →＝(－4,0)，∴④正确．答案：36．如图，A 、B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是________．解析：由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③.答案：①③7．已知向量OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →的模的最大值是________．解析：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，∴|OA →|2＝(2＋2cos α)2＋(2＋2sin α)2＝10＋8sin(α＋π4)≤18，故|OA →|≤3 2.答案：3 28．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析：设D (x ，y )，因为AB ∥DC ，AD ∥BC ，所以AB →∥DC →，AD →∥BC →，而AB →＝(8,8)，CD →＝(x －8，y －6)，AD →＝(x ＋2，y )，BC →＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8(x －8)－8(y －6)＝0，－2(x ＋2)－2y ＝0.解之得x ＝0，y ＝－2，故D (0，－2)．答案：(0，－2)9．O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，若λ＝12时，P A →·(PB →＋PC →)的值为________．解析：由已知得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，当λ＝12时，AP →＝12(AB→＋AC →)，∴2AP →＝AB →＋AC →，即AP →－AB →＝AC →－AP →，∴BP →＝PC →，∴PB →＋PC →＝PB →＋BP →＝0，∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0.答案：0二、解答题10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .(1)设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，－cos C )，若z ∥(x ＋y )，求sin A ＋2cos B cos C 的值；(2)已知a 2－c 2＝8b ，且sin A cos C ＋3cos A sin C ＝0，求b 的值．解析：(1)由题意得x ＋y ＝(sin B ＋cos B ，sin C ＋cos C )，因为z ∥(x ＋y )， 所以cos C (sin B ＋cos B )＋cos B (sin C ＋cos C )＝0，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝－2cos B cos C ，所以sin A ＋2cos B cos C ＝0，(2)由已知可得sin A cos C ＝－3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有：a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝(－3)×b 2＋c 2－a 22bc ×c ，化简并整理得：a 2－c 2＝2b 2，又由已知a 2－c 2＝8b ，所以2b 2＝8b ，解得b ＝4或b ＝0(舍)，所以b ＝4.11．已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．解析：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴A 、B 、M 三点共线．(3)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2， 故OM →＝(－a 2，a 2)．又|AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|. ∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.12．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝ma ，OQ →＝nb ，求证：1m ＋1n ＝3.证明：显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－ma ＝(13－m )a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝nb －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －13)b ，所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]． 又因为a 、b 不共线，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ 13－m ＝－13λ13＝λ(n －13)，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。

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课时达标检测（三十五) 直线、平面平行的判定与性质小题常考题点——准解快解］1．（2018·河北保定模拟）有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4解析:选A 命题①l可以在平面α内，是假命题;命题②直线a与平面α可以是相交关系,是假命题；命题③a可以在平面α内，是假命题；命题④是真命题．2．（2018·湖南湘中名校联考）已知m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( ）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α，m⊂β，则α∥βC．若α⊥γ,β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α,则m∥n解析：选D A中，两直线可能平行，相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中,两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确,故选D。

3．设m，n是不同的直线,α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β"的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α,m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．4．(2018·襄阳模拟）如图，在正方体ABCD­A 1B1C1D1中，M，N分别是BC，CD1的中点，则下列说法错误的是（)1A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行解析：选D 如图所示,连接AC，C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN,故A、C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC,B正确．5。

一、填空题1．关于直线m ，n 和平面α，β有以下四个命题：(1)若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ；(2)若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β；(3)若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β；(4)若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β.其中假命题的序号是________．解析：(1)中，m ，n 也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n 还可以在α内或β内，故(3)是假命题；(4)中，只有当α⊥β时，命题才成立．故假命题的序号是(1)(3)(4)．答案：(1)(3)(4)2．对于不重合的两个平面α与β，给出下列条件：①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；②存在直线l ⊂α，直线m ⊂β，使得l ∥m ；③存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判定α与β平行的条件有________个．解析：①正确；②中，当α与β相交时，仍有l ⊂α，m ⊂β且l ∥m 成立；③正确，将l ，m 平移成相交直线，所确定的平面就平行于α，β，所以α∥β. 答案：23．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________． ⎭⎬⎫ m ⊂α①l ∥m⇒l ∥α； ⎭⎬⎫ l ∥m ②m ∥α⇒l ∥α； ⎭⎬⎫ l ⊥β③α⊥β⇒l ∥α. 解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.答案：l ⊄α4．α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出四个论断： ①α∩β＝b ；②a ⊂β；③a ∥b ；④a ∥α.以其中三个论断为条件，余下一个为结论，写出你认为正确的命题：________.(写出一个即可)解析：开放性问题，答案不惟一．答案：①②③⇒④(或①②④⇒③)5.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点， P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a 3，∴CQ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a . 答案：223a6．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，则m 平行于平面α内的任意一条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中真命题的序号是______．(写出所有真命题的序号)解析：①由m ∥α，则m 与α内的直线无公共点，∴m 与α内的直线平行或异面．故①不正确．②α∥β，则α内的直线与β内的直线无共点，∴m 与n 平行或异面，故②不正确．③④正确．答案：③④7．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：如图，取CD 的中点E ，则AE 过M ，且AM ＝2ME ，BE 过N ，且BN ＝2NE ，则AB ∥MN ，∴MN ∥面ABC 和面ABD .答案：面ABC 和面ABD8.如图，ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.解析：设AE ＝a ，EB ＝b ，由EF ∥AC 可得EF ＝bm a ＋b. 同理EH ＝an a ＋b. ∵EF ＝EH ，∴bm a ＋b ＝an a ＋b ， 于是a b ＝m n .答案：m ∶n9．如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：如图，取B 1C 1的中点P ，连结NP 、PF 、FH ，易证平面HNPF ∥平面BDD 1B 1，故只需M 位于FH 上就有MN ⊂平面HNPF ，也就有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段HF二、解答题10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；(2)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .。

一、填空题1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有________．(填序号)①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．解析：对于①，若过点P有直线n与l、m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于②，过点P与l、m都垂直的直线，即为过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于③，过点P与l、m都相交的直线有1条或0条；对于④，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．答案：①③④2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为________．解析：以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个．答案：33．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．解析：若a⊥b，b⊥c，则a与c可以相交、平行、异面，故①错．若a、b异面，b、c异面，则a 、c 可能异面、相交、平行，故②错．若a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 可以异面、相交、平行，故③错．同理④错，故真命题的个数为0.答案：04．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④5．对两条不相交的空间直线a 和b ，有下列命题：①a ⊂α，b ⊂α；②a ⊂α，b ∥α；③a ⊥α，b ⊥α；④a ⊂α，b ⊥α.必定存在平面α，使得成立的命题的序号是________．解析：因为两条不相交的空间直线a 和b ，所以存在平面α，使得a ⊂α，b ∥α.答案：②6．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有______对．解析：正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A ′B ，BC ′，A ′D ，C ′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有＝24对(每一对被计算两次，所以要除以2)．12×42答案：247.如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，给出下列五个命题：①直线AC 1在平面CC 1B 1B 内；②设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1；③由点A 、O 、C 可以确定一个平面；④由A 、C 1、B 1确定的平面是平面ADC 1B 1；⑤若直线l 是平面AC 内的直线，直线m 是平面D 1C 上的直线，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：①错误．若AC 1⊂平面CC 1B 1B ，又BC 1⊂平面CC 1B 1B ，∴AB ⊂平面CC 1B 1B ，与AB ⊄平面CC 1B 1B 矛盾；②正确．O 、O 1是两平面的两个公共点；③错误．∵A 、O 、C 共线；④正确．A 、C 1、B 1不共线，∴确定平面α，又AB 1C 1D 为平行四边形，AC 1、B 1D 相交于O 2点，而O 2∈α，B 1∈α，∴B 1O 2⊂α，而D ∈B 1O 2，∴D ∈α；⑤正确．若l 与m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD 为两平面的交线，∴交点一定在直线CD 上．答案：②④⑤8.如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M 到AB 的距离为；22②三棱锥C ­DNE 的体积是；16③AB 与EF 所成的角是.π2其中正确命题的序号是________．解析：依题意可作出正方体的直观图，显然M 到AB 的距离为MC ＝，1222∴①正确，而V C ­DNE ＝××1×1×1＝，131216∴②正确，AB 与EF 所成角为AB 与MC 所成的角，即为.π2答案：①②③9．在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG ，则GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉平面GMN，所以GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．答案：②④二、解答题10．正方体ABCD­A1B1C1D1中：(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解析：(1)如图，连结AB1、B1C，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成角为60°.(2)如图，连结AC、BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC∥A1C1∵E、F为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.11．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BC1D交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．证明：A1A∥C1C，则A1A与C1C可确定平面A1C.Error!⇒与平面BC 1D 的交线上．O 在平面A 1C AC ∩BD ＝M ⇒M ∈平面BC 1D .又M ∈平面A 1C ，所以平面BC 1D ∩平面A 1C ＝C 1M ，所以O ∈C 1M ，即C 1、O 、M 三点共线．12.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连结EH .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．解析：(1)∵＝＝2，AE EB CF FB ∴EF ∥AC .∴EF ∥平面ACD .而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，∴EF ∥GH .而EF ∥AC ，∴AC ∥GH .∴＝＝3，AH HD CG GD 即AH ∶HD ＝3∶1.(2)证明：∵EF ∥GH ，且＝，＝，EF AC 13GH AC 14∴EF ≠GH .∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH，而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．。

一、填空题1．已知f (x )＝⎩⎨⎧ －cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0， 则f (43)＋f (－43)的值等于________．解析：f (43)＝12；f (－43)＝f (－13)＋1＝f (23)＋2＝52，f (43)＋f (－43)＝3. 答案：32．已知f (1－x 1＋x )＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式可取为________． 解析：(换元法)令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－(1－t 1＋t )21＋(1－t 1＋t)2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析式可取为2x 1＋x 2. 答案：2x 1＋x 23．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝________.解析：f [f (12)]＝f (－32)＝413.答案：4134．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R)，f (1)＝2，则f (－3)等于________．解析：令x＝－3，y＝1，则f(－2)＝f(1)＋f(－3)－6.又∵f(1)＝2，∴f(－3)＝f(－2)＋4.令x＝－2，y＝1，则f(－1)＝f(1)＋f(－2)－4，∴f(－2)＝f(－1)＋2.令x＝－1，y＝1，f(0)＝f(－1)＋f(1)－2.又x＝y＝0时，f(0)＝0，∴f(－1)＝0，∴f(－3)＝f(－2)＋4＝f(－1)＋6＝6.答案：65．已知函数f(x)＝ax＋bx－4(a，b为常数)，f(lg 2)＝0，则f(lg12)＝________.解析：由题意得f(lg 2)＝a lg 2＋blg 2－4＝0，有a lg 2＋blg 2＝4，则f(lg 12)＝a lg12＋b lg 12－4＝－a lg 2－blg 2－4＝－8.答案：－86．定义在R上的函数f(x)满足f(m＋n2)＝f(m)＋2[f(n)]2，m，n∈R，且f(1)≠0，则f(2 014)＝________.解析：令m＝n＝0，得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1，得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2，由于f(1)≠0，所以f(1)＝12；令m＝x，n＝1，得f(x＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×(12)2，即f(x＋1)＝f(x)＋12，这说明数列{f (x )}(x ∈Z)是首项为12，公差为12的等差数列，所以f (2 014)＝12＋(2 014－1)×12＝1 007.答案：1 0077．已知f (2x ＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.解析：令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1(t >1)，f (x )＝lg 2x －1(x >1)．答案：lg 2x －1(x >1)8．函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则函数的解析式为________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2 9．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a, 0}，f ：x → x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b ＝________.解析：由题意可知b a ＝0，a ＝1，解得a ＝1，b ＝0，所以a ＋b ＝1.答案：1二、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x >0，2－x ，x <0， (1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值；(2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．解析：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时， f (x )<0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动．设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图象．解析：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3)32(x >3).函数图象如图所示．12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x .(1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)若有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式． 解析： (1)因为对任意x ∈R 有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，所以f (f (2)－22＋2)＝f (2)－22＋2，又f (2)＝3，从而f (1)＝1.又f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝a .(2)因为对任意x ∈R ，有f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ，又有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0， 故对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0.在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0.又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x 20＝0，故x 0＝0或x 0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易验证该函数满足题设条件．综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。