【重点推荐】2019高中数学 第三章 变化率与导数 3.4.2 导数在实际问题中的应用作业 北师大版选修1-1

高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。

它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。

下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。

1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。

在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。

对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。

如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。

如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。

导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。

- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。

切线的斜率可以用导数来表示。

- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。

- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。

3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。

函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。

在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。

本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。

一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。

形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。

导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。

二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。

2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。

3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。

常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。

三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。

当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。

函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。

平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。

瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。

四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。

以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。

在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。

导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。

五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。

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考点9 变化率与导数、导数的计算一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ文科·T10)曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 ( )A.x -y -π-1=0B.2x -y -2π-1=0C.2x +y -2π+1=0D.x +y -π+1=0【命题意图】考查函数的导数与切线斜率的关系、导数的运算.【解析】选C .由y =2sin x +cos x 可得y'=2cos x -sin x ,当x =π时,y'=-2,即切线的斜率为-2,所以切线方程为2x +y -2π+1=0. 2.(2019·全国卷Ⅲ理科·T6同2019·全国卷Ⅲ文科·T7)已知曲线y =a e x +x ln x 在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则( )A.a =e ,b =-1B.a =e ,b =1C.a =e -1,b =1D.a =e -1,b =-1【命题意图】本题考查导数的运算,导数在切线问题中的应用.意在考查考生导数公式、运算法则、切线的求法的求解能力.【解析】选D .令f (x )=a e x +x ln x ,则f'(x )=a e x +ln x +1,f'(1)=a e+1=2,得a =1e=e -1. f (1)=a e=2+b ,可得b =-1.二、填空题3.(2019·全国卷Ⅰ理科·T13同2019·全国卷Ⅰ文科·T13)曲线y =3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为 .【命题意图】本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程.【解析】y'=3(2x +1)e x +3(x 2+x )e x =3(x 2+3x +1)e x ,所以,k =y'|x =0=3,所以,曲线y =3(x 2+x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y =3x ,即3x -y =0.答案:3x -y =0【题后反思】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求.4.(2019·天津高考文科·T11)曲线y =cos x -x 2在点(0,1)处的切线方程为 .【命题意图】本题考查导数的概念,求导法则以及常见函数的导函数公式.【解题指南】利用导数值确定切线斜率,再用点斜式写出切线方程.【解析】y'=-sin x -12,当x =0时其值为-12,故所求的切线方程为y -1=-12x ,即x +2y -2=0.答案:x +2y -2=0【方法技巧】曲线切线方程的求法(1)以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤:①求出函数f (x )的导数f'(x );②求切线的斜率f'(x 0);③写出切线方程y -f (x 0)=f'(x 0)(x -x 0),并化简.(2)如果已知点(x 1,y 1)不在曲线上,则设出切点(x 0,y 0),解方程组{y 0=f (x 0)y 1-y 0x 1-x 0=f '(x 0)得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程. 5.(2019·江苏高考·T11)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是 .【命题意图】主要考查导数的几何意义,根据导数的几何意义求得斜率,表示出切线方程,然后将已知点代入可得.【解析】设点A(x0,y0),则y0=ln x0.又y'=1,x当x=x0时,y'=1,x0曲线y=ln x在点A处的切线为y-y0=1(x-x0),x0-1,即y-ln x0=xx0-1,代入点(-e,-1),得-1-ln x0=-ex0即x0ln x0=e,考查函数H(x)=x ln x,当x∈(0,1)时,H(x)<0,当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,且H'(x)=ln x+1,当x>1时,H'(x)>0,H(x)单调递增,注意到H(e)=e,故x0ln x0=e存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1,故点A的坐标为A(e,1).答案:(e,1)【误区警示】导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.(2)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.。

变化率与导数、导数的计算【考点梳理】1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．【考点突破】考点一、导数的计算【例1】(1)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.(2)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.(3)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2[答案] (1) 3 (2) 36－4π (3) B[解析] (1)因为f (x )＝(2x ＋1)e x， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.(2)因为f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2x f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos x . 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3×f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos π3. 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝36－4π.(3) f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 【类题通法】熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e[答案] B[解析] f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e[答案] B[解析] 由f (x )＝2x f ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2 f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.考点二、导数的几何意义【例2】已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 【类题通法】求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 【对点训练】 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．[解析] (1)根据已知得点P (2，4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4， ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.【例3】(1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.[答案] (1) (e ，e) (2) A (3) 8[解析] (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)． (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3，2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A. (3)法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.【类题通法】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【对点训练】1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1，1)处的切线互相垂直，则ab的值为( ) A ．13 B ．23 C ．－23 D ．－13 [答案] D[解析] 由题意，y ′＝3x 2，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3.所以a b ×3＝－1，即a b ＝－13.3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________. [答案] 1[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.。

变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。

而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。

在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。

那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。

这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。

变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。

平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。

而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。

二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。

导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。

导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。

1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。

（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。

（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。

（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。

（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。

2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。