反三角函数图像

反三角函数公式反三角函数图像与特征1，该点切线斜率为－：反三角函数的定义域与主值范围，则式中n为任意整数.反三角函数的相互关系sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)arccos x= π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)ArcSin(x) 函数功能：返回一个指定数的反正弦值，以弧度表示，返回类型为Double。

语法：ArcSin(x)。

说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。

程序代码：Function ArcSin(x As Double) As DoubleIf x >= -1 And x < -0.5 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) - 2 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcSin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End FunctionArcCos(x) 函数功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。

语法：ArcCos(x)。

说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反三角函数反正弦函数x=sin y在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反三角函数反余弦函数绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x 的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[0，π]。

反三角函数反正切函数x=tan y在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

定义域R，值域（-π/2，π/2）。

反三角函数反余切函数x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。

记作arccotx绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。

定义域R，值域（0，π）。

反三角函数反正割函数x=sec y在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。

记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。

定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

反三角函数公式
arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x =
2 arc tanx = cos (n arc cos x) =
反三角函数图像与特征
反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征
拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1
拐点(同曲线对称中心)：
，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征
拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率
为1
拐点：
，该点切线斜率为－1
渐近线：
渐近线：
名称反正割曲线反余割曲线
方程
图像
顶点
渐近线
反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围
反正弦若，则
反余弦若，则
反正切若，则
反余切若，则
反正割若，则
反余割若，则
式中n为任意整数.
反三角函数的相互关系arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x =。

1. 反正弦函数：y=arcsinx ，x属于[-1,1] , 值域[-ip/2,pi/2]
与函数y= sinx ，x属于[-ip/2,pi/2]的图像关于直线y=x对称
奇函数，在定义域上单调递增，所以arcsin(-x) = - arcsinx
2.反余弦函数：y = arccosx , x属于[-1,1] ，值域为[0,pi]
与函数y=cosx ，x属于[0,pi]的图像关于直线y=x对称
非奇非偶函数, 在定义域上单调递减，所以arccos(-x)= pi - arccosx (不要和y=cosx搞错）
3. 反正切函数：y= arctanx , x属于R，值域为(pi/2,pi/2)
奇函数，在定义域上单调递增所以arctan(-x)= - arctanx
与函数y=tanx , x属于(pi/2,pi/2)的图像关于直线y=x对称
渐近线为直线y= - pi/2 与y = pi /2
反三角函数与三角函数图象是不对称的，其外形如图，容易看出相当于把三角函数X,Y轴互换后形成的图象。

只是，我们都知道，函数的定义中是说一个X值（变量）要对应一个Y 值，而反三角函数显然不符合这一定义，所以反三角函数其实不属于严格意义上的函数范畴。

为了能把他在函数范畴内用图象表现出来，我们限制了了它的值域（如图所示），即反三角函数的图象是可以全部表现在图象上的，他的定义域和值域都是有界的，而三角函数定义域为无穷，自然不与之对称了。

三角函数公式和图象总结1．与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为S=｛β|β=α+k ×360，k ∈Z ｝2．弧长公式：α⋅=r l 扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

3．三角函数定义： sin ,cos ,tan y x yr r xααα===，其中P (,)x y 是α终边上一点,||r OP =4．同角三角函数的两个基本关系式 22sin sin cos 1 tan cos ααααα+==sin sin αsin βtan tan 1tan tan αβα±公式逆用1sin cos sin α=22cos 2cos sin ααα=- 212sin α=-22cos 1α=- 22cos sin cos 2ααα-= 212sin cos 2αα-=22cos 1cos 2αα-=降幂公式221cos 2sin 21cos 2cos 2αααα-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩22tan tan 21tan ααα=-22tan tan 21tan ααα=-10．辅助角公式22sin cos sin(),a x b x a b x ϕ+=++其中tan baϕ=，ϕ所在的象限与点(,)a b 所在的象限一致. 11．三角函数的图象和性质称 正弦y=sinx余弦y=cosx正切y=tanx象义R R|,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭且值1y 22max =+=时当ππk x 1y 22min -=-=时当ππk x1y 2max ==时当πk x 1y 2min -=+=时当ππk x无期 2k π（最小正周期2π）2k π（最小正周期2π）k π（最小正周期π)偶奇偶奇 称()2x k k Z ππ=+∈)( Z k k x ∈=π无称 心)( )0,(Z k k ∈π)( ,0)2(Z k k ∈+ππ )( ,0)2(Z k k ∈π调区)( ]22,22[Z k k k ∈+-ππππ )( ]2,2[Z k k k ∈-πππ)( )2,2(Z k k k ∈+-ππππ 调区)( ]232,22[Z k k k ∈++ππππ)( ]2,2[Z k k k ∈+πππ无减区间12．①sin()(0)y A x b A ωϕ=++>、cos()(0)y A x b A ωϕ=++>的最小正周期为||ω,最大值为A+b,最小值为-A+b 。

三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1. 正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时， 单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π 二、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质 函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数 反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 []1,1-[]1,1-值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2π函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数 反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域 ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性 (,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π。

反三角函数一、知识结构框图表解二、基础知识详解与要点点拨 1、反三角函数函数sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1].y x x =∈-函数[]cos ,0,y x x π=∈的反函数叫做反余弦函数，记作arccos ,[1,1].y x x =∈-函数tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭的反函数叫做反正弦函数，记作arctan ,(,)y x x =∈-∞+∞ 2、四种反三角函数的图像和性质名称反正弦函数 反余弦函数反正切函数 反余切函数定义y=sinx(x ∈〔-2π,2π 〕的反函数，叫做反正弦 函数，记 作y=arsinx y=cosx(x ∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作y=arccosx y=tanx(x ∈(-2π ,2π )的反函数，叫做反正切函数，记作 y=arctanx y=cotx(x ∈(0, π))的反函数， 叫做反余切函数，记作 y=arccotx理解arcsinx 表示属于［-2π,2π］ 且正弦值等于x 的角 arccosx 表示属于［0，π］，且余弦值等于x 的角arctanx 表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x 的角 arccotx 表示属于(0，π)且余切 值等于x 的角 图像反三角函反三角函数的定义反三角函数的图像和性质 对反正弦函数的理解性质 定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域［-2π，2π］ ［0，π］ (-2π，2π) (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数 在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数 奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arcta nxarccot(-x)=π-arccotx 周期性 都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x ∈［-1，1］)arcsin(sinx )=x(x ∈［-2π,2π］) cos(arccosx)=x(x ∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x ∈［0,π］)tan(arctanx)=x(x ∈R)arctan(tanx)=x（x ∈(-2π,2π)）cot(arccotx)=x (x ∈R)arccot(cotx)=x (x ∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2π(x ∈［-1,1］) arctanx+arccotx=2π(X ∈R) 3、常用运算关系（1）[]arcsin()arcsin ,1,1x x x -=-∈-；sin(arcsin ),[1,1]x x x =∈-，arcsin(sin )]22]]sin 2222sin ,[[[,{x x x x x x x x ππππππ=='∈-∉-∈-''，，时，，，当当 （2）[]arccos()arccos ,1,1,arctan()arctan ,x x x x x x R π-=-∈--=-∈。