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27.3二次函数的实践与探索课件(华师版九下)

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华东师大版九年级数学下册课件：27.3实践与探索(二次

华东师大版九年级数学下册课件：27.3实践与探索(二次
二次函数的应用 第三课时
学习目标： (1) 会求出二次函数 y ax2 bx ca 0 与x轴、y轴的交点
的坐标；
(2) 了解二次函数 y ax2 bx ca 0与一元二次方程、一元
二次不等式之间的关系； (3) 在具体的画图象及解决问题过程中，培养数学模型思想 在共同探究中增强应用数学的意识，民展应用意识。
探究与归纳： 问题2：二次函数 y ax2 bx ca 0 与相应的一元二次方 程 ax2 bx c 0a 0 之间有怎样的关系？
归纳：二次函数 y ax2 bx ca 0与x轴的交点的横坐标 等于相应的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的实数根； 二次函数 y ax2 bx ca 0 与x轴的交点的横坐标的正负 与一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 的实数根的正负一致。 二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴的交点个数与相应 的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0的实数根的个数有关。
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
分析: (2) 两个交点都在原点的左侧，也就是方程
x2 m 2x m 1 0 有两个负实数根，因而必须符合条
件① △>0；② x1 x2 0 ；③ x1 x2 0 ，综合以上条件 可解得所求m的值的范围。
解: 由 x1 x2 0 得：m-2<0 ∴ m<2 又 ∵ x1 x2 0 得：-m-1>0 ∴ m<-1
探究与归纳： 问题1：二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴的交点个
数取决于什么？
归纳：二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴的交点个

九年级数学下册 第27章二次函数27.3 实践与探索第2课时习题课件 华东师大版

九年级数学下册 第27章二次函数27.3 实践与探索第2课时习题课件 华东师大版

(2)根据1的分析,作出二次函数y=x2+2x-3的图象.
(3)根据图象找出二次函数与x轴的交点的坐标分别为: A_(_-3__,0_)__;B_(_1_,0__) _. (4)根据以上分析可知一元二次方程x2+2x-3=0的解为: x1=-_3__;x2=1__.
【总结提升】利用函数图象求ax2+bx+c=0(a≠0)的近似解的两
图象与x轴只有一个
交点
(
b
, 0)
2a
图象与x轴没有交点
方法 技巧
转 化 法
知识点 2 利用函数图象求一元二次方程(组)的解 【例2】利用函数图象,求方程x2+2x-3=0的解. 【解题探究】(1)如何利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定一元 二次方程ax2+bx+c=0的解? 提示:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,找到二次函数图象与x 轴的交点的横坐标,所得的横坐标的值就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的解.
知识点 1 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 【例1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象 解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根. (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集. (3)写出y随x的增大而减小的自变 量x的取值范围. (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【总结提升】
关键要点
二次 函数 与一 元二 次方 程的 关系
b2-4ac
一元二次方程 二次函数 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c

九年级数学下册 第27章二次函数27.3 实践与探索(第2课时)课件 华东师大版

九年级数学下册 第27章二次函数27.3 实践与探索(第2课时)课件 华东师大版

例3.已知二次函数 y -x2 (m - 2)x m 1
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必 与x轴有两个交点. （2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
分析:（1）要说明不论m取任何实数，二次函数
y -x2 (m - 2)x m 1 的图象必与x轴有两个交点， 只要说明方程 -x2 (m - 2)x m 1 0
例1.画出函数 y x2 - 2x - 3 的图象，
根据图象回答下列问题． （1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程 x2 - 2x - 3 0
有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值 y小于0？
解:图象如图 （1）图象与x轴的交点坐标为 （-1，0）、（3，0）， 与y轴的交点坐标为（0，-3）． （2）当x= -1或x=3时，y=0，
2
们交点A，B的横坐标 3 和2就是原方程的解.
2
对于小刘提出的解法，同学们展 开了热烈的讨论．你对这两种解 法有什么看法？
图 26.3.3
【做一做】 利用图象，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小 刘的方法是否合理．
（1）x2+x-1=0（精确到0.1）. （2）2x2-3x-2=0．
利用图（1），运用小刘的方法求下列方程的解，并
育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争
论：求方程 x2 1 x 3 的解时，几乎所有学生都是将方程化
2
为 x2 - 1 x - 3 0 ，画出函数 y x2 - 1 x - 3 的图象，观察它与x
2
2
轴的交点，得出方程的解．唯独小刘没有将方程移项，而
是分别画出了函数y=x2和 y 1 x 3 的图象，如图，认为它

华东师大版数学九年级下册第27章二次函数27.3实践与探索

华东师大版数学九年级下册第27章二次函数27.3实践与探索
温度x(℃) … -4 -2 0 2 4 4.5 …
植物每天 高度增长 … 41 49 49 41 25 19.75 … 量y(mm)
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函 数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种. (1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说 明不选择另外两种函数的理由. (2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量 的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择? 直接写出结果.
（2）由（1）得y=-x2-2x+49，∴y=-(x+1)2+50， ∵a=-1＜0，∴当x=-1时y的最大值为50. 即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大. (3)-6＜x＜4.
【想一想错在哪？】2013年4月20日08时02分，四川省雅安市 芦山县发生了7.0级地震，成都军区空军某部奉命赴灾区空投 救灾物资，已知空投物资在离开飞机后在空中沿抛物线降落， 抛物线的顶点在机舱舱口A处. （1）如图所示，当空投物资从A处下 落的垂直高度AB=160米时，它到A处 的水平距离BC=200米，那么要使飞机 在垂直高度AO=1 000米的高空进行空投，物资恰好准确落在居 民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？
次数n 速度x 指数Q
2
1
40
60
420
100
(1)用含x和n的式子表示Q. (2)当x=70,Q=450时,求n的值. (3)若n=3,要使Q最大,确定x的值. (4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而 Q的值仍为420,若能,求出m的值;若不能,请说明理由. 参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是

华东师大版九年级数学下册课件：27.3实践与探索(二次

华东师大版九年级数学下册课件：27.3实践与探索(二次

5
当X=1时，y有最大值，最大值为 9
5
∴
喷出的水流距水平面的最大高度为
9 5
（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么
水池的半径至少为多少时？才能使喷出的水流都落在水池
内？
A
y x2 2x 4 5
y
A
O 图①
O 图②
x
思考：求水池的半径，实际上就是要求什么？
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当 水面宽AB=1.6米，涵洞顶点与水面的距离为2.4米，这时， 离开水面1.5米处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1米。
解: (2) ∵ DE⊥AC，DF⊥BC
A
∴ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
∴
DE AE BC AC
即： x 8 y
48
∴ y=8-2x （0<x<4）
D
E
BF
C
（1）如图，已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8， 点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别 为点E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y。 (1) 用含y的代数式表示AE； (2) 求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3) 设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值。
x
将B点坐标代入抛物线，得：
E FD
∴ –2.4=a×0.82 ∴ a 15
4
∴ 抛物线的解析式为 y 15 x2
4
由题意，得：CF=1.5
A
C
B
设D(m,-1.5)
将D(m,-1.5)代入抛物线
y
15 x2 4
，得：

2实践与探索课件华东师大版九年级数学下册

2实践与探索课件华东师大版九年级数学下册
且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-20x2+100x+6000，
当 x 100 5 时,y 20(5)2 100 5 6000 6125.
2 (20) 2
2
2
即定价57.5元时，最大利润是6125元.
学习目标
自主学习
合作探究
2 (10)
即定价65元时，最大利润是6250元.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究二 利用二次函数解决商品利润问题
问题探究2：降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 降价销售
20
20-x
300
300+20x
6000
问题提出：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反 应：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：销售利润问题中常用的数量关系： （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
第26章 二次函数 26.3 实践与探索
第1课时
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.会建立二次函数模型,解决与之相关的运动物体中的实际问题. 2.会运用二次函数模型解决销售中最大利润等问题,体会运用数学 模型选择最优化方案. 3.体会数学建模的思想,感受数学的实际应用价值.
学习目标

初三下数学课件(华东师大)-实践与探索

【解】图象如图． (1)图象与x轴的交点坐标为(－1，0)、(3 ，0)，与y轴的交点坐标为(0，－3)． (2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，x的取值与 方程x2－2x－3＝0的解相同． (3)当x＜－1或x＞3时，y＞0；当－1＜x ＜3时，y＜0.
Байду номын сангаас
【探究】 (1)如何求抛物线与两轴交点的坐标． (2)抛物线与x轴的交点坐标与相应一元二次方程的解有什么关系？ (3)如何通过观察图象获得相应一元二次不等式的解集． 【归纳】二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的根．
●探究2：抛物线与x轴的位置关系 【活动2】已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴 上，则a＝________． 【答案】a＝2 【探究】二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上， 那么a－1＞0，且抛物线与x轴有唯一公共点，方程(a－1)x2＋2ax＋3a－2 ＝0有两个相等实数根，因此可令△＝0求a的值．
一、课前预习 阅读课本第28页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入 1．给出三个二次函数：(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝x2－x＋1 ；(3)y＝x2－2x＋1. 它们的图象分别为：
观 察 图 象 与 x 轴 的 交 点 个 数 ， 分 别 是 ________ 个 、 ________个、________个．你知道图象与x轴的交点个数 与什么有关吗？
2．能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx ＋c＜0(a≠0)的解？
三、新知探究 ●探究1：二次函数与一元二次方程的关系 【活动1】画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题． (1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ (2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？ (3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?

九年级数学下册第27章二次函数27.3实践与探索2实践与探索第2课时课件华东师大版


(4)函数y=-x2-2x+3图象在x轴的上方就是说y_>_0,此时x在图象与 x轴两交点之间取值,即_-_3_<_x_<_1_；函数y=-x2-2x+3图象在x轴的下 方就是说y_<_0,此时x在图象与x轴交点(_-_3_,0)的左边或在交点 (1,0)的右边取值,即x_<_-_3_或x_>_1_．
(3)解法三：利用两个函数图象的 交点求解①把方程x2-x-1=0的解看 成是二次函数y=x2-1的图象与一次 函数y=x的图象交点的横坐标. ②画出这两个函数的图象,用x1,x2 在x轴上标出方程的解. 请分别用上面的解法进行求x2-x-1=0的解.
【解析】(1)由原方程,得：
(x 1)2 即5 0, (x 1)2 5 ;
3.(2011·浙江中考)已知抛物线y=x2-5x+2与y=ax2+bx+c关于点 (3,2)对称,则3a+3c+b=_________．
【解析】设(x,y)是y=ax2+bx+c上的一点,
其关于(3,2)的对称点(x1,y1)在y=x2-5x+2上,
所以 x x1 3, y y1 2,
【解析】根据图象得，抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点分 别是(0.3,0)，(1.7,0), 又∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点的横坐标就是方程 x2-2x+0.5=0的两个根, ∴方程x2-2x+0.5=0的两个近似根是0.3或1.7． 答案：0.3或1.7
5.已知二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-m(m是常数,且m≠0).
5.小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解”整理了 以下几种方法,请你将有关内容补充完整： 例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解． (1)解法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式 法)．

初中数学华东师大九年级下册二次函数二次函数实践与探索(华师版)PPT

y=- x²+2.4
4
Ｂ(0.8,0)
x
离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
根据已知条件，要求涵洞ED的宽度，只要求出FD的长度即可，即 在如下所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标.
15
y=- x²+2.4
4
Ｅ
y
(0,2.4)
F Ｄ (?,1.5)
点题 分析
(-0.8,0)A
O

x
最小半径
线段OB的长度 (B点的横坐标)
令y = 0,即-(x-1)²+2.25 =0
则x的值为 x1=2.5 x2=-0.5 (不合题意,舍去)
∴最小半径为2.5m.
注意自变量的
实际意义
问题2 E AＡ
D ＢB
涵洞的截面边缘是抛物线，如图，现 测得当水面宽一个AB＝1.6m时，涵洞 顶点与水面的距离为2.4m，这时，离 开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是 否会超过1m？
当x=3时,S 取最大值9m2
此时最大费用是9000 元。
• ③8000元
建立直角找坐点标坐系标找（找点坐标）
求解析式 解决问题
把实际问题转化为点坐标
布置作业
习题26.3 1题、2题
∴最大高度为2.25m.
实际问题与函 数知识的对应
（2）如果不计其他因素，水池的半径至少为多少时，才能使喷出
的水流都落在水池内？
y
A
B
O
x
析题分意：
水池为圆形，O点在中央， 喷水的落点到圆心的距离相等。
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
y y=-x²+2x+1.25

初三下数学课件(华东师大)-实践与探索


三、新知探究
●探究：建立合适的坐标系解决与抛物线有关的实际问题
【活动1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖
一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水，柱子在水面以上
部分的高度为0.8m，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，
如图①所示．
根据设计图纸已知：在图②所示的平面直角 坐标系中，水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 y＝－x2＋2x＋45.
因为点D在涵洞截面的抛物线上，又由已知条件可得到点 D的纵坐标，所以利用抛物线所对应的函数表达式可以进一 步算出点D的横坐标．你会求吗？
【探究】(1)根据如图所示的坐标系可确定点A、B的坐标 ；
(2)用顶点式求抛物线的解析式，从而解决此实际问题．
【归纳】解抛物线型实际问题的一般步骤： 1．根据题意建立适当的平面直角坐标系． 2．把已知条件转化为点的坐标． 3．合理设出函数解析式． 4．利用待定系数法求出函数解析式． 5．根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算．
a＝－.
(2)可设点 N 的坐标为(5，yN)，于是 yN＝－530×52＋6＝4.5，所 以支柱 MN 的高度是 10－4.5＝5.5(m)．
(3)设DE是隔离带的宽，EG是三辆汽车的宽度和，则 点G的坐标是(7，0)．
过点G作GH垂直AB交抛物线于点H.
26.3 实践与探索 (第1课时)
教学目标 1．根据实际问题，建立适当的直角坐标系和确定二次 函数关系式． 2．利用二次函数知识解决实际问题．
教学重点和难点 重点：建立适当的直角坐标系． 难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的 作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题．
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一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得， 当水面宽AB＝2米，涵洞顶点与水面的距离为3米， 以O为原点，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系， 1.直接写出A,B,O的坐标 2.求出抛物线的函数解析式
3－1.08 3.离开水面1.08米处，涵洞宽ED是多少 由抛物线的对称性得ED=2FD 1.08 求D点的横坐标
y= O
－3x2
y 3( x 1) 2 3
P
A
B
以AB的中点为原点，以AB为x轴建立直角坐标系
图像可通过平移而得到
（4）对称轴右侧0.8米的点F处，对应的涵洞壁离水面 的高是多少 （5）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此 涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面） NF→求N点的纵坐标 OF=0.8
O
P
以AB的中点为原点，以AB为x轴建立直角坐标系
2
0
2
y 3( x 1) 2 3 求出抛物线的函数解析式_______________
一个涵洞成抛物线形，
探索一 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得， 当水面宽AB＝2米，涵洞顶点O与水面的距离为3米， 以O为原点，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系， 1.直接写出A,B,O的坐标 2.求出抛物线的函数解析式 A(-1,-3) B(1,-3) O(0,0) 3
若箱子从涵洞正中通 过，当通过的底为1.6 时，能通过的最大高 度为NF=1.08,小于正 方体的高1.6，
所以不能通过
N
c
o F
1.6 当通标 建立直角坐标系找（找点坐标）
求解析式
已知y求x，已知x求y
解决问题
练习： 如图一个抛物线隧道，隧道离地面的最大高度为4米， 跨度为８米，隧道内设有双行道，在隧道正中间设 有隔离带（宽度不记）， 一辆宽为2米，高为2.75米的货车能否通过隧道？ （货车视为长方体）
把x N 0.8代入y 3 x 2 3
E
o
N F
得y N 3 0.64 3 1.08
NF 1.08,即F处所对应 的涵洞壁离水面的高是 米 1.08
（4）对称轴右侧0.8米的点F处，对应的涵洞壁离水面 的高是多少（NF=1.08) （5）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此 涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面）
§27．3二次函数的实践与探索
复习
待定系数法求二次函数关系式几种方法 设一般式： y ax2 bx c (a 0) 设顶点式：
y a(x - h) k (a 0)
2
复习
观察图像，能从图中 获得什么信息 3
顶点D（1，3）
顶点（ ， 1 3） 设抛物线解析式 为y a ( x 1) 3
2
铅球落地点为B,则这个运动员的成绩为__________米
2.
探索二
根据题目选择哪一种坐标系建法
O
探索二 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得， 当水面宽AB＝2米，涵洞顶点D与水面的距离为3米， 若水面上涨1米，则此时的水面宽MN为多少 （1）建立适当的直角坐标系(几种建法） （2）根据你建立的坐标系，求出抛物线的解析式
1 2 y x 4 4
8
练习： 如图一个抛物线隧道，隧道离地面的最大高度为4米， 跨度为８米，隧道内设有双行道，在隧道正中间设 有隔离带（宽度不记）， 一辆宽为2米，高为2.75米的货车能否通过隧道？ （货车视为长方体）
1 2 y x 4 4
8
练习： 如图一个抛物线隧道，隧道离地面的最大高度为4米， 跨度为8米，隧道内设有双行道，在隧道正中间设 有隔离带（宽度不记）， 一辆宽为2米，高为2.75米的货车能否通过隧道？ 若要求车辆与隧道顶部的距离超过0.5米，能否通过 （货车视为长方体）
OF=1.92 →求D点的纵坐标
yD=-1.92 解方程 y= －3x2
探索二 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得， 哪一种坐标系建法比较简单 当水面宽AB＝2米，涵洞顶点D与水面的距离为3米， 若水面上涨1米，则此时的水面宽MN为多少 建系方法不一样，但求出的实际宽度是一样的 （1）建立适当的直角坐标系(几种建法） （2）根据你建立的坐标系，求出抛物线的解析式
E F
（4）对称轴右侧0.8米的点F处，对应的涵洞壁离水面 的高是多少（NF=1.08) （5）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此 涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面）
E
N
c
F
o F
1.6 当通过的底为1.6时，能通过的最大高度为NF, 比较NF与正方体的高
（4）对称轴右侧0.8米的点F处，对应的涵洞壁离水面 的高是多少（NF=1.08) （5）又一个边长为1.6米的正方体木箱，能否通过此 涵洞，说明理由（木箱底面与水面同一平面）
1 2 y x 4 4
N
C 8 2F
NF 3
CF 当通过的底为2时，能通过的最大高度为NF, CF 比较NF 与车的高
找点坐标 建立直角坐标系找（找点坐标）
求解析式
已知y求x，已知x求y
解决问题
把实际问题转化为点坐标
课后作业 1.一个运动员推铅球，铅球在A点处出手，铅球的 1 2 飞行线路为抛物线 y x x 1