《三角恒等变换》测试题__经典解析

《三角恒等变换》试 题一、选择题1、若α为第四象限角，则（ ）A. 02cos >αB.02cos <αC.02sin >αD. 02sin <α2、已知41tan =α，31)tan(=-βα，则=βtan （ ）A ．117B ．711-C ．131-D ．1313、已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则=α2cos （ ）A ．35-B ．95-C ．95D ．354、︒︒-︒︒15sin 45cos 15cos 45sin 的值为（ ）A ．23-B ．21C ．21-D ．235、设向量)sin ,2(),1,(cos αα=-=，若⊥，则=-)4tan(πα（ ）A ．3-B ．3C ．31D ．31-6、已知点)32cos ,32(sin ππP 落在角θ的终边上，则=θtan （ ） A. 3- B.33 C ．33-D.37、已知函数x x f 2sin )6(=-π，则)2(πf 等于（ ） A ．21 B ．21- C ．23D ．23-8、已知角α为三角形的一个内角，且满足0tan sin <αα，则角α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9、已知21tan =α，52)tan(-=-βα，那么)2tan(βα-的值为（ ）A.121 B.43 C. 89-D.8910、已知锐角βα、满足51cos sin =-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα、的大小关系是（ ）A ．βα<B ．βα>C ．βαπ<<4D ．αβπ<<411、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生 成”函数。

给出下列函数：①x x x f cos sin )(+=；②)cos (sin 2)(x x x f +=；③x x f sin )(=；④)1(sin 2)(+=x x f ，其中“互为生成”函数的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④12、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则2tan θ等于（ ）A ．m m --93B ．mm --93C ．31D ．5二、填空题13、若33sin =α，则=α2cos ___________． 14、计算=︒⋅︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan ___________．15、若)20(51cos sin π<≤-=+x x x ，则=x 2cos ___________．16、当函数)20(cos 3sin π<≤-=x x x y 取得最大值时，=x ___________．三、解答题17、已知43tan -=α，计算下列各题：（1）ααααcos 4sin cos 2sin 3-+； （2）αααα22cos cos sin 3sin 2-+．18、已知20,53cos παα<<=.（1）求αtan 的值；（2）求)cos(2cos απα--的值.19、已知点A 、B 、C 的坐标分别为)sin ,(cos )3,0()0,3(ααC B A 、、，)23,2(),sin ,(cos ππαααα∈∈.（1=，求角α的值；（2）若1-=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++的值.20、已知函数42cos )62sin()62sin()(++-++=x x x x f ππ.（1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值. （2）已知5)(=αf ，求αtan 的值.21、已知βα、为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα.（1）求α2cos 的值；（2）求)tan(βα-的值．22、设函数2cos 2)32cos()(2xx x f ++=π，[]π,0∈x . （1）求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值； （2）求)(x f 的最小值及)(x f 取最小值时x 的集合；（3）求)(x f 的单调递增区间。

三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。

高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.(12分)（１）求的值．（２）若，,，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】(1)原式……6分（2），①②①-②得，. ……12分【考点】本小题主要考查利用和差角公式、同角三角函数基本关系式等求三角函数值，考查学生的运算求解能力.点评：解决给值求值问题时，要尽量用已知角来表示未知角.2.设－3π<α<－，则化简的结果是()A．sin B．cosC．－cos D．－sin【答案】C【解析】∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.3.已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－B．C．－a D．a【答案】C【解析】法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.4.若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.【答案】【解析】∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝＝＝.5.求sin42°－cos12°＋sin54°的值．【答案】【解析】sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝＝＝＝＝.6.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.7.的值为()A．2＋B．C．2－D．【答案】C【解析】sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.8.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.9.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是() A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.10.若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝()A．－1B．1C．－D．【答案】B【解析】∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，选B.11.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.12.若π<α<，化简＋.【答案】－cos【解析】∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝＋＝－＋＝－cos.13. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.14.已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为() A．－1B．－1或－C．－D．±【答案】C【解析】∵0<α<， <β<π，∴<α＋β<π，∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－，故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.＝________.【答案】【解析】＝cos cos－sin sin＝cos cos＋sin sin＝cos＝cos＝.17.已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α为锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.18.函数y＝cos x＋cos的最大值是________．【答案】【解析】法一：y＝cos＋cos＝cos·cos＋sin sin＋cos＝cos＋sin＝＝cos＝cos≤.法二：y＝cos x＋cos x cos－sin x sin＝cos x－sin x＝＝cos，当cos＝1时，y＝.max19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。

三角恒等变换(测试题及答案)三角恒等变换测试题第I卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.求cos24cos36-cos66cos54的值。

A。

0.B。

1/2.C。

1/4.D。

1/82.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，则tan(2α)的值为：A。

1/2.B。

2/3.C。

3/4.D。

4/53.函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期为：A。

π。

B。

2π。

C。

4π。

D。

π/24.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4/5，则这个三角形底角的正弦值为：A。

3/5.B。

4/5.C。

5/6.D。

5/45.α,β都是锐角，且sin(α)=1/3，cos(α+β)=-1/2，则sin(β)的值是：A。

-2/3.B。

-1/3.C。

1/3.D。

2/36.已知-x<π/3且cos(-x)=-√3/2，则cos(2x)的值是：A。

-7/24.B。

-1/8.C。

1/8.D。

7/247.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是：A。

[0,1]。

B。

[-1,1]。

C。

[-1/2,1/2]。

D。

[1/2,√2]8.将y=2sin(2x)的图像向左平移π/4个单位，得到y=3sin(2x)-cos(2x)的图像，只需将y=2sin(2x)的图像：A。

向右平移π/4个单位。

B。

向左平移π/4个单位C。

向右平移π/2个单位。

D。

向左平移π/2个单位9.已知等腰三角形顶角的正弦值等于4/5，则这个三角形底角的余弦值为：A。

3/5.B。

4/5.C。

5/6.D。

5/410.函数y=sin(x)+3cos(2x)的图像的一条对称轴方程是：A。

x=π/4.B。

x=π/6.C。

x=π/2.D。

x=π/3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）11.已知α,β为锐角，cosα=1/10，cosβ=1/5，则α+β的值为__ π/6 __。

12.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程3x^2-7x+2=0的两个实根，则tanC=__ 1/2 __。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。

三角恒等变换一、单选题1．已知α是第二象限角，tan()74πα-=-，则sin()3πα+=（ ）A B C D 2．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A ．19-B C ．19D ． 3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。

如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于（ ）A ．45B ．725C ．725-D ．354．已知锐角α满足3cos()65πα+=，则sin(2)3πα+=（ ） A ．1225B ．1225±C ．2425D ．2425±5．sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D6．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3s i n πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3C ．3±D ．3±7．若,αβ都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= （ ）A B C D 8．已知方程x 2+3ax +3a +1=0（a ＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，则α+β=（ ）. A ．34π或34π-B ．4π-或4πC ．4π D ．34π-9．已知角,αβ均为锐角，且cos αβ==αβ-的值为（ ） A ．3πB ．4π C ．4π-D ．4π或4π-10．已知 πsin()4α+=，则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．B ．2C ．－12D ．1211．已知函数()212cos 2f x x x =+-，若其图象是由sin 2y x =图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ） A ．6πB ．56π C ．12πD ．512π 12．已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0,2]x πÎ，则()f x 的所有零点之和等于（ ） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π13．若函数()sin cos f x a x b x =+在3x π=处取得最大值4，则ab=（ ）A ．1B C ．2D ．314．已知函数()sin f x a x x =-图象的一条对称轴为6x π=-，若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A ．3π B ．πC ．23π D ．43π二、填空题15．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________.16．cos102cos20cos10-⋅=____________． 17．已知()2sin 3αβ+=，()2sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为__________；18．已知αβ，均为锐角，1sin())663ππαβ-=+=，cos()αβ+=________. 19．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 20．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．21．已知等腰三角形顶角的余弦值为725-，则这个三角形底角的正切值．．．为______ 22．o o oosin58+cos60sin2cos2=____________.23．已知π1sin cos 63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．24．设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则sin 2θ=______．25．若函数2()4sin sin cos 2(0)42x f x x x πωωωω⎛⎫=⋅++>⎪⎝⎭在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是____________.26．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC a =，ABC θ∠=，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，当a 固定，θ变化时，则12S S 的最小值是__________．27．已知函数()()()cos sin sin cos f x a x b x =-没有零点，则22a b +的取值范围是_______三、解答题 28．（1cos103sin10-；（2）求值tan 70tan 503tan 70tan 50+-= 29．已知()222x x x f x sincos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ （1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 30．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()c o s αβ-的值.31．（1）求值: sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒︒-︒︒；（2）已知10sin cos ,25x x x π-<<+=，，求sin cos x x -的值. 32．已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值 33．已知32ππα<<，32ππβ<<，sin α=，cos β=αβ-的值. 34．已知α，β为锐角，且17cos α=，()1114cos αβ+=-．求sinβ的值． 35．计算（1）已知2sin cos 0αα-=，求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值； （2）求()214cos 102sin10︒+︒-︒的值. 36．已知2sin cos 3αα+=，且2παπ<<，求下列各式的值（1）sin cos αα-（2）cos()24sin()4πααπα+++37．已知sin(2)7αβ-=11cos(2)14αβ-=-， 042ππβα<<<<，(1)求tan(2)αβ-的值； (2)求cos()αβ+以及αβ+的值38．计算（1）23sin12(4cos 122)--； （240sin 50(13tan10).701cos 40+++39．已知函数2()2cos cos cos .22x xf x x x =+ (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.40．已知函数2()sinsin 1(02f x x x x πωωωω⎫⎛⎫=+⋅+-> ⎪⎪⎝⎭⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求ω的值；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 41．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．42．已知函数2()sin cos (0)f x x x x =>ωωωω的最小正周期为2π， （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()g x =f x +m 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上有两个零点，求实数m 的取值范围. 43．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412ππθ≤≤.（1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.参考答案1．C 【解析】 由tan 74πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得171tan tan αα-=-+，解得34tan α=-. 又α是第二象限角，可得34sin ,cos 55αα==-.则314sin 333525sin cos cos sin πππααα⎛⎫+=+=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选C. 2．D 【解析】分析：由二倍角公式得cos 3πθ⎛⎫+⎪⎝⎭，再由5cos ?cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合同角三角函数关系可得解.详解：由2sin 263θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得28112sin 12699θπ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，即1cos 39πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由θ为锐角，且1cos 039πθ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以3πθ+因为锐角，所以sin 03πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭.5cos cos sin 6323ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用． 3．B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长,进而用三角函数表示边长求出三角函数值,再利用二倍角公式求解即可. 【详解】由大正方形面积为25,小正方形面积为1.易得大正方形边长为5,小正方形边长为1.由图有15cos 5sin 1cos sin 5θθθθ-=⇒-=,故221cos sin 5cos sin 1θθθθ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ ,因为较小的锐角为θ,故4cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了由图像求解三角函数值的问题,需要根据图像到三角函数的关系式再求解,属于中等题型. 4．C 【解析】 【分析】利用诱导公式，求得sin()6πα+的值，再利用倍角公式，即可求解.【详解】因为锐角α满足3cos()65πα+=，所以6πα+也是锐角，由三角函数的基本关系式可得4sin()65πα+==， 则24sin(2)2sin()cos()36625πππααα+=++=，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】根据sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭和0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭和cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，将所求的cos α转化为cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式，得到答案.【详解】因为sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， 所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12⎛=- ⎝⎭36+=. 故选：B. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题. 6．B 【解析】 【分析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩， 两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】先计算出()cos αβ+，再利用余弦的和与差公式，即可. 【详解】因为,αβ都是锐角，且1cos 2α=<，所以,32ππα<<又()31sin 52αβ+=>，所以2παβπ<+<，所以()4cos 5αβ+==-sin α==，cos β=()()()cos cos cos sin sin αβααβααβα+-=+++ 25=，故选A.【点睛】本道题考查了同名三角函数关系和余弦的和与差公式，难度较大。

答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】如图：在Rt△OCB中，设∠COB=α，则OB=2cosα,BC=2sinα，在Rt△OAD中，DAOA=tan45°=1，所以OA=DA=2sinα，∴AB=OB−OA=2cosα−2sinα，设矩形A BCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα−2sinα)⋅2sinα=4(12sin2α−sin2α)=2(sin2α+cos2α)−2=2√2sin(2α+π4)−2，由于0<α<π4，所以当α=π8时，S最大=2√2−2，故答案为：C【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型，利用三角函数的性质求最值。

2.【答案】D【解析】【解答】由f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由x=−5π6和x=π6为两条相邻的对称轴，所以周期T2=π6−(−5π6)=π，所以T=2πω=2π，解得ω=1.故答案为：D.【分析】直接由对称轴得半周期为π，再利用周期公式求解即可。

3.【答案】D【解析】【解答】y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，将函数的图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，可得y=2sin(x−m−π3)，此函数图像关于y轴对称，则−m−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，m取得最小值π6，故答案为：D。

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用图象的平移变换结合图象的对称性，从而推出函数图像关于y轴对称，再利用函数图象的对称性，从而求出m=−kπ−5π6(k∈Z)，因为m>0，则当k=−1时，从而求出m的最小值。

4.【答案】D【解析】【解答】解：由辅助角公式得：f(x)=√a2+b2sin(2x+φ)，由f(x)≤f(π6)恒成立，得2×π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，所以φ=2kπ+π6(k∈Z)，取φ=π6，从而f(x)=√a2+b2sin(2x+π6)，由f(11π12)=0得①正确，由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，所以函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)，②不正确，根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，得对称轴为x=kπ2+π6(k∈Z)，④正确，故答案为：D．【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再由f(x)≤f(π6)恒成立，得出φ的值，从而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称点和对称轴，并判断出正弦型函数的单调性，从而求出对应的单调递增区间，再利用奇函数和偶函数的定义判断出正弦型函数的奇偶性，从而找出说法正确的序号。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知中，那么角=【答案】π/4【解析】略2.已知f(α)＝(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.【解析】略3.已知函数为奇函数，且，其中（1）求的值;（2）若，求的值．【答案】（1） , ；（2）【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求试题解析：因为为奇函数，所以，，则（2），因为，即又因为，所以，【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质4.设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．为真B．为假C．为假D．为真【答案】C【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.5.（本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：5-5（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．【答案】（1）；（2）．【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得数据补全如下表：050-50函数表达式为（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是，其对称中心的横坐标满足，所以离原点最近的对称中心是．【考点】三角函数的性质，图像的变换．6.（本小题满分10分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．试题解析：（1）（2）∵，，的值域为．的递减区间为．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性7.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量，且∥．（1）求角的大小；（2）若成等差数列，求边的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．试题解析：（1）∥，得，由正弦定理可得，（2）成等差，所以化简整理得：即或得或若若【考点】正弦定理；平面向量数量积运算8.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．9.（本题满分12分）已知，,函数．（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的值域．试题解析：（1）因为=，所以的最小正周期为，令，得，∴故所求对称中心的坐标为（）（）．（2）∵，∴，∴，即的值域为．【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．10.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得：，解得，选A．【考点】正切函数性质11.（本小题满分12分）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，利用，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围．试题解析：（1），，，（2）由正弦定理得，得或，，因此，，即．【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．12.（2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π∴=π∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．13.已知向量，且函数在时取得最小值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．试题解析：（Ⅰ）由于（Ⅱ）由上知,于是由正弦定理得:【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积14.已知，函数在单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，．【考点】三角函数的单调性．【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．15.（2015秋•南京校级期中）将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x=对称，则m的最小值为．【答案】【解析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．解：将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移m个单位（m＞0），可得y=2sin[2（x+m）﹣]=2sin（2x+2m﹣）的图象．∵所得的图象关于直线x=对称，∴2•+2m﹣=kπ+，k∈Z，即 m=+，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．16.（2015秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间是．）【解析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的单调性即可求函数f（x）的单调递减区间．解：（Ⅰ）==所以最小正周期．（Ⅱ）由，得．所以函数f（x）的单调递减区间是．）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．17.已知函数．（1）求的最小正周期和在上的单调递减区间；（2）若为第四象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）对的表达式进行三角恒等变形，利用三角函数的性质即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系求得的值后即可求解．试题解析：（1）由已知，所以最小正周期，由，得，故函数在上的单调递减区间；（2）因为为第四象限角，且，所以，所以．【考点】三角函数综合．18.已知是第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由,得，又∵是第二象限角,∴，∴原式=；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．19.在中，角所对的边分别为，且，则的最大值为_____.【答案】【解析】由及正弦定理得，又因为，于是可得，所以，所以，则的最大值为，故答案填.【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数；3、基本不等式.20.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，再向左平移个单位，得，令，解得，令，得，即所得函数图象的一条对称轴的方程是，故选D．【考点】三角函数的图象变换与三角函数的性质．21.设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出，利用商数关系求出得值，再利用二倍角公式求出的值，最后代入到的展开式即可求得；（2）欲求，先求出，再根据求的范围，从而可得的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，∴，∴.（2），，.【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、二倍角公式；3、三角函数；4、商数关系；5、向量的模．22.设中的内角所对的边长分别为，且.（1）当时，求角的度数；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出,再由正弦定理求出,求出角；（2）求三角形面积的最大值,即求的最大值,由,,求出,就可以求出面积的最大值.试题解析：解：（1）因为，所以.因为，由正弦定理可得.因为，所以是锐角，所以.（2）因为的面积，所以当最大时，的面积最大.因为，所以.因为，所以，所以（当时等号成立）.所以面积的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.重要不等式.23.在中，内角的对边为，已知.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】根据正弦定理可得，根据内角和定理和两角和的正弦公式整理可得，即得角的值；（2）由的面积为，求得的值，根据余弦定理表示构造的另一个方程，解方程组即可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，又∵是三角形的内角，∴（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴【考点】正余弦定理解三角形.24.的三个内角满足：，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知条件以及正弦定理可得：，即，再由余弦定理可得，所以，故选B.【考点】正弦定理、余弦定理.25.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．（I）求的值；（II）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（I）；（II）【解析】（I）根据题意和正弦定理求出a的值；（II）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A 的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．试题解析：（I）因为，且，所以．因为，由正弦定理，得．（II）由得．由余弦定理，得．解得或（舍负）．所以．【考点】正弦定理；余弦定理26.如图所示的是函数和函数的部分图象，则函数的解析式是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】由题意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故选C.【考点】三角函数的图象和性质．27.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】和差倍半的三角函数．28.在中，角所对的边分别为,．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理将边统一成角：，再利用三角形内角关系、诱导公式、两角和正弦公式将三角统一成两角：，最后根据同角三角函数关系将弦化切：（Ⅱ）由（Ⅰ）易得，已知两角一对边，根据正弦定理求另一边：，利用三角形内角关系求第三角的正弦值：，最后根据面积公式求面积：试题解析：解：（Ⅰ）由及正弦定理得.所以,所以.（Ⅱ）,所以, ,,所以的面积为.【考点】正弦定理，弦化切【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.29.同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，函数的最小周期为，则，又函数图象关于直线对称，则函数为函数的最小值，则只有B、C满足，由当时，，则函数是单调递增函数，故选C．【考点】三角函数的性质．30.若函数的最大值为5，则常数______.【答案】【解析】，其中，故函数的最大值为，由已知得，，解得.【考点】三角函数的图象和性质.【名师】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.31.定义在区间[0，]上的函数的图象与的图象的交点个数是 .【答案】7【解析】由，因为，所以故两函数图象的交点个数是7.【考点】三角函数图象【名师】求函数图象的交点个数，有两种方法：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解；二是数形结合，分别画出函数图象，数出交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其是要明确函数的增长幅度.32.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（A）（B）（C）2 （D）3【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！33.将函数y=2sin（2x+）的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x–）D．y=2sin（2x–）【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.【考点】三角函数图像的平移【名师】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.34.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD＝．【答案】5【解析】，，所以，．【考点】解三角形．【名师】在解直角三角形时，直角三角形中的三角函数定义是解题的桥梁，利用它可以很方便地建立边与角之间的关系．35.设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线是它的一条对称轴，排除B，D，因为图象过点，排除选项A,选C.【考点】三角函数图象与性质.36.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，故应选A。

两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝ααcos sin 2；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．热身训练1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan αtan β的值为_______．2． 函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为______________________．3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝45，则 4． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34B.34C ．－43D.43 5． (2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ等于( )A ．－79B ．－19C.19D.79典例分析题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2； (2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°.在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πα＝－19，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β.题型三 三角变换的简单应用 例3 已知f (x )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+x tan 11sin 2x －2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πx ·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．已知函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值时x 的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx －1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．总结方法与技巧 1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·山东)若θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πβ＝14，那么tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα等于( )A.1318B.1322C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4，则sin 2α＝________. 5． 已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝1213，α∈⎪⎭⎫⎝⎛4,0π，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 6． 设x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15B.14C.13D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( )A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( )A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值为________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.7． sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，求cos β的值．。

三角恒等变换检测题（带解析）一、单选题 1．22cos sin 88ππ-=（ ）A．BC．D2．已知()()2sin 3cos f x x x α=++的最大值为5，则α可以为（ ） A ．0B ．π2C ．πD ．3π23．平面直角坐标系中，角α的终边经过点(P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A．BC ．12-D ．124201cos20-+的结果是（ ）AB．CD．5．已知函数()22tan21tan 2xf x x =+的最小正周期为f T ，值域为f M ，函数()221tan 21tan 2x g x x -=+的最小正周期为g T ，值域为g M ，则（ ） A ．f g T T =，f g M M = B ．f g T T ≠，f g M M = C ．f g T T =，f g M M ≠D ．f g T T ≠，f g M M ≠6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ<<的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α、β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()7tan 9αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍 A ．1B ．23C ．52D ．727．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D8．设,αβ均为锐角，且tan cos sin 1αββ-=，则（ ） πC ．3παβ-=D ．π22αβ-=9．若ππ2θ<<，tan 3θ=-，则()()1sin 2cos 2sin cos 22cos 2θθθθθ++-=+（ ） A ．35B ．54-C ．45-D ．4510．将函数()sin 23cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12π B ．6πC ．3π D ．56π 11．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v 喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为2D sin 2v g α=，能够达到的最高高度为2H (1cos 2)4v gα=-（如图所示，其中g 为重力加速度）若3tan 2α=，则H 与D 的比值为（ ）A 3B 3C 3D ．3812．已知函数()23sin cos sin f x x x x =+，给出下列结论： ①函数()f x 的最小正周期为π②π1,122⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 ③π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴 ④将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，即可得到函数1sin 22y x =+的图象其中所有正确的结论的序号是（ ） A ．①③④ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③二、填空题13．函数()ππ3sin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．14．已知,αβ 为锐角，且π6αβ-=，那么sin sin αβ 的取值范围是_____．15．设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______．16．已知函数()2cos cos cos ,22f x x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭若方程()23f x =在()0π，上的解为12,,x x 则()12cos x x -=________.三、解答题 17．(1)化简：2sin 42cos2sincos1222παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+-(2)若tan 3α=-，求sin 2cos 5cos sin αααα+-的值.18．已知函数()π1cos 42f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间[]0,π上的值域．19．已知函数()()2cos 2cos 0ωωωω=+>f x x x x 的最小正周期为π． (1)求ω的值以及函数()f x 的单调增区间；(2)若方程()f x m =在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．20．已知函数()2122cos sin f x x x ωω=-(1)求()0f 的值；(2)从①11ω=，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 21．函数())π4sin sin 6f x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R（1）说明函数()f x 的图像是由函数sin 2y x =经过怎样的变换得到的； （2）函数()1126212ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()g x 的值域，并指出()g x 的最小正周期（不需要证明）.22．如图，四边形ABCD是一块边长为10m的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为∠=，工9m，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧MN上一点，PABθ人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有两边分别在BC与CD上的矩形铁皮.(1)写出矩形铁皮PQCR的面积与角度θ的函数关系式；(2)求矩形铁皮PQCR面积的最大值和此时θ的值.参考答案：1．D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式计算可得. 【详解】解：22cos sin cos884πππ-==故选：D 2．B 【解析】 【分析】对四个选项，依次代入，求出相应的函数最大值，选出正确答案. 【详解】当0α=时，()()2sin 3cos f x x x x ϕ=++，其中3tan 2ϕ=A 错误； 当π2α=时，π()2sin 3cos 5cos 2f x x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，函数最大值为5，B 正确；当πα=时，()()2sin 3cos f x x x x β=-++，其中3tan 2ϕ=-故C 错误； 当3π2α=时，()2cos 3cos cos f x x x x =-+=，函数最大值为1，故D 错误. 故选：B 3．A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得1sin 2αα==，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】解：因为角α的终边经过点(P ，所以1sin 2αα==，故π1cos 2sin 22sin cos 222αααα⎛⎫+=-=-=-= ⎪⎝⎭故选：A. 4．D 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得结果. 【详解】原式)2210sin 102sin10cos1012cos 101=+--+-()sin102cos102cos10sin102cos102sin10--=--=-.故选：D. 5．C 【解析】 【分析】由二倍角公式、同角间的三角函数关系化简函数式，然后求出函数的周期和值域，判断各选项． 【详解】由已知222sin2cos2()sin sin 21cos 2x x f x x xx ==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2f T π=，[-1,1]f M =， 2222cos sin 22()cos cos sin 22xxg x x xx -==+，22x k ππ≠+，2x k ππ≠+，Z k ∈，2gT π=，(1,1]g M =-，故选：C ． 6．B 【解析】 【分析】由已知可得出tan 3α=，由已知条件结合两角差的正切公式可求得tan β的值，即可得解.【详解】设第()1,2i i =次的“晷影长”是i l ，“表高”为i h ， 由题意可知11tan 3l h α==，又因为()7tan 9αβ-=， 则()()()73tan tan 2029tan tan 71tan tan 303139ααββααβααβ---=--====⎡⎤⎣⎦+-+⨯， 故222tan 3l h β==. 故选：B. 7．D 【解析】 【分析】由已知结合和的正弦公式和辅助角公式即可求出. 【详解】因为sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin sin 12θθθ+=，即3sin 12θθ=16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：D. 8．D 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式、诱导公式求得正确答案. 【详解】依题意：,αβ均为锐角，且tan cos sin 1αββ-=， sin sin cos cos sin cos sin 1,1cos cos ααβαβββαα-⋅-==， sin cos cos sin cos αβαβα-=，()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，ππππ0,0,0,0,2222αβαβ<<<<-<-<-<-<ππππ,02222αβα-<-<<-<， 所以ππ,222αβααβ-=--=. 故选：D 9．C 【解析】 【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案. 【详解】 因为ππ2θ<<，tan 3θ=-，所以cos 0θ<，sin 0θ>， ()22cos 2cos sin sin cos 1sin 2cos 2sin cos θθθθθθθθθ+-++-=()222cos sin cos 2cos cos sin sin cos 2cos θθθθθθθθθ-+-=22222222cos sin 1tan 194cos sin cos sin 1tan 195θθθθθθθθ---=-====-+++． 故选: C ． 10．A 【解析】 【分析】化简函数()f x 的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于ϕ的等式，即可求得ϕ的最小值. 【详解】因为()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，因为函数2sin 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则()2Z 32k k ππϕπ+=+∈，解得()Z 122k k ππϕ=+∈， 0ϕ>，则当0k =时，ϕ取最小值12π. 故选：A. 11．B 【解析】 【分析】 先表示出HD，再用二倍角公式进行化简即可求解. 【详解】因为2H (1cos 2)4v g α=-，2D sin 2v gα=， 所以()222(1cos 2)112sin H 1cos 2tan 4D 4sin 242sin cos 4sin 2v g v gαααααααα----=====⨯故选：B 12．A 【解析】 【分析】先得到函数()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质判断.【详解】 解：()1cos 2π12sin(2)262x f x x x -=+=-+， 2π2T π==，故①正确， 因为 ππ11sin 212622⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，所以函数的一个对称中心为 π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，故②错误，因为 ππ1π13sin 2sin 362222⎛⎫⨯-+=+= ⎪⎝⎭，所以π3x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故③正确；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，即可得到函数ππ11sin 2sin 212622y x x ⎡⎤⎛⎫=+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故④正确.故选：A.13．2 【解析】 【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值. 【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：214．⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】根据积化和差公式即可化简得1πsin sin cos 226αββ⎡⎛⎫=-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，根据β 得范围即可求解. 【详解】6παβ-=()()()11sin sin cos cos cos 22αβαβαβαβ⎡⎡⎤∴=-+--=-+⎢⎣⎦⎣⎦1πcos 226β⎡⎛⎫=-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦β为锐角，即π03β<<，ππ5π2<666β∴<+ ，πcos 2+6β⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故1π0cos 226β⎡⎛⎫<-+⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦故答案为：⎛ ⎝⎭15．0【解析】【分析】判断函数的奇偶性，转化为函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，进而利用二倍角余弦公式转化为二次函数最值问题即可.【详解】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值， 此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈， ∴当1t =时，min 2110y =-++=.故答案为：0.16．23【解析】【分析】 利用倍角公式和辅助角公式先化简函数解析式得()=sin(2)3f x x π- ，结合函数图像的对称性找出12,x x 的关系代回求得122cos()3x x -=【详解】()=sin cos cos 2)f x x x x +1sin 22sin(2)23x x x π==-，令2,()32x k k Z πππ-=+∈， 得()f x 的对称轴方程为5,()122k x k Z ππ=+∈，(0,)x π∈时，2()03f x =>的 解为12,x x ，结合图像一定有121255521266x x x x πππ+=⨯=∴=-，代回得:12225cos()cos(2)sin(2)63x x x x ππ-=-=-，又(0,)x π∈时2()3f x =的 解为12,x x 222()sin(2)33f x x π∴=-=122cos()3x x ∴-=故答案为：2 3 .17．(2)1 8 -.【解析】【分析】（1）将分母化简或将分子展开，即可得出结论；（2）先弦化切，再代入计算即可.(1)解：2sin sin()sin()444sin cos2cos2sin cos1)2224πππααααααπααα⎛⎫+++⎪⎝⎭===++-+(2)sin2cos tan23215cos sin5tan5(3)8αααααα++-+===-----18．(1)π，()π5ππ,πZ88k k k⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)12⎡-⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()π24f x x⎛⎫+⎪⎝⎭，代入最小正周期2πTω=运算求解，再以π24x+为整体结合正弦函数可得ππ3π2π22π,Z242k x k k+≤+≤+∈，运算求解()f x的单调递减区间；（2）根据图像变换可得()π24x xg⎛⎫-⎝=⎪⎭，以π4x-为整体结合正弦函数图像求值域．(1)()2π1ππ11cos sin cos cos sin cos sin cos cos424422 f x x x x x x x x x⎛⎫⎫=+-=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎭11cos 2111πsin 2sin 2cos 22222224x x x x x +⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期为2ππ2T == ∵ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤+≤+∈，则π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈ ∴()f x 的单调递减区间为()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (2)根据题意可得：将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，得到πππ22444y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则()π4x x g ⎛⎫- ⎝=⎪⎭ ∵[]0,πx ∈，则ππ3π,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴πsin 4x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()12g x ⎡∈-⎢⎣⎦即函数()y g x =在区间[]0,π上的值域为12⎡-⎢⎣⎦． 19．(1)=1ω，πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (2)[)2,3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据最小正周期公式求解的ω，再以π26x +为整体，结合正弦函数的单调递增区间运算求解；（2）根据题意整理可得：π1sin 262m x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有两个不同的解，确定π26x +的范围结合正弦函数图像分析运算．(1)()2πcos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由题意可得：2π==π2T ω，则=1ω ∴()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，则ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈ ∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)()f x m =，即π2sin 216x m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ∴π1sin 262m x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有两个不同的解， ∵π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则ππ7π2666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ， ∴11122m -≤<，则23m ≤< ， 实数m 的取值范围为[)2,320．(1)2(2)选①，最小值为1T π=.选②，最小值为1-，周期为2π【解析】【分析】（1）直接将0x =代入即可得解；（2）选①，利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可得出答案.选②，根据平方关系可得()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =-=--+，求出sin x 的范围，再根据二次函数的性质即可求得最值，根据三角函数的周期性即可求出函数的一个周期.(1)解：()202cos 0sin02f =-=;(2)解：选①，由11ω=，22ω=，得()22cos sin cos 2sin 212142f x x x x x x π⎛⎫=-=-+=++ ⎪⎝⎭， 因为,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 21,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 T π=.选②，由11ω=，21ω=，得()2221172cos sin 2sin sin 22sin 48f x x x x x x ⎛⎫=-=--+=-++ ⎪⎝⎭，因为,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当sin 1x =时，()f x 取得最小值为1-，因为()()()()2222cos 2sin 22cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=-=，所以函数()f x 的周期可以为2π.21．（1）见解析；（2）⎡⎣；π4． 【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，并将函数sin 2y x =先平移再伸缩可得()f x ；（2）求出函数()g x 的解析式，利用正弦函数的有界性和周期性的定义可得答案．【详解】()214sin sin 4sin cos 2sin cos 62πf x x x x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)1cos 2sin 22sin 2π3x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ （1）sin 2y x =图象向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()1π1π112sin 22cos 2sin 2cos 21sin 42621222g x f x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则函数()g x 的值域为1,2⎡⎤⎣⎦；()g x 的最小正周期为π4． 22．(1)()π10090sin cos 81sin cos ,0,2S θθθθθ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦； (2)面积最大值为2281902m 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时π4θ=. 【解析】【分析】（1）延长RP 交AB 于点E ，用θ表示出,PE PQ 即可列式作答.（2）由（1）的结论，利用同角正余的关系，借助换元法、二次函数求解作答.(1)记矩形铁皮PQCR 的面积为S ，延长RP 交AB 于点E ，如图，四边形BQPE 、BCRE 均为矩形，依题意，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，9sin ,9cos PE AE θθ==，因此，109cos PQ BE AB AE θ==-=-， 109sin PR RE PE θ=-=-，所以()()()π109sin 109cos 10090sin cos 81sin cos ,0,2S θθθθθθθ⎡⎤=--=-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)由（1）知，令πsin cos 2)4t θθθ=+=+，因π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2t ⎡∈⎣， 22(sin cos )12sin cos t θθθθ+=+=，即21sin cos 2t θθ-=， 因此22181119100908190222t S t t t -=-+⋅=-+，显然此函数对称轴为109t =，则当t =，即π4θ=时，max 2812S =-所以矩形铁皮PQCR 面积的最大值是2281(2-，此时π4θ=. 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.。