空间解析几何(练习题参考答案)

8第八章空间解析几何答案第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算1.填空题（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .3. 在平面上，求与、、等距离的点.解：设该点为，则，即，解得，则该点为.4. 求平行于向量的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.§8.2 数量积向量积1.若，求的模.解：所以.2.已知，证明：.证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.3. 。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.解：，，. 因为，所以.5..§8.3 曲面及其方程1.填空题（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.3§8.4 空间曲线及其方程1. 填空题（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在面上的投影为（）.2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.解：将代入，得，因此投影方程为.4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）.解：将代入得，即. 令，，所求的参数方程为..§8.5 平面及其方程1. 填空题（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴相交；当（）时，直线与轴重合.2.求过三点，和的平面方程.解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为=0，即.3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于平面且经过点；（2）通过轴和点；（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为，即.（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面的法向量为，因此所求平面的方程为，即.（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为. 将点和分别代入得及，解得及. 因此所得方程为，即.§8.6 空间直线及其方程1. 填空题（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.（3）直线与直线的夹角为（）.2.化直线为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为. 取，代入直线方程可得，. 所以直线的对称式方程为.令，所给直线的参数方程为.3.求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即.所求平面的方程为，即.4. 确定的值，使直线与平面平行，并求直线与平面之间的距离.解：直线的方向向量，要使直线与平面平行，只要（其中为平面的法向量），即，解得. 令，代入直线的方程可得，，直线与平面之间的距离.第八章空间解析几何与向量代数综合练习1.填空题：（1）已知，，且与夹角为，则（）.（2）若向量，平行，则（）.（3）已知向量的模为，且与轴的夹角为，与y轴的夹角为，与z 轴的夹角为锐角，则=（）.（4）曲线 (a、b为常数)在xOy平面上投影曲线是（）.（5）xOy平面上曲线绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（）.（6）直线与平面的夹角的正弦（）.（7）方程所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线及都平行，且过原点的平面方程是（）.（9）已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，则点的轨迹方程为（）.（10）与两平面和等距离的平面方程为（）.2. 设，，求向量，使得成立，这样的有多少个，求其中长度最短的.解：设，则，则，因此这样的，有无穷个.由于，因此，当时，即长度最短.3.已知点和点，试在轴上求一点，使得的面积最小.解：设，则，，，故的面积为，显然，当时，的面积最小，为，所求点为.4. 求曲线在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在平面投影为；在平面投影为；在zOx平面投影为.5.求原点关于平面的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面的直线，该直线的方向向量等于平面的法向量，所求直线的对称式方程为，即为其参数方程. 将此参数方程代入平面，有，解得，即直线与平面的交点为. 设所求的对称点为，则，，，即所求的对称点为.6.求直线在平面上的投影直线绕轴线转一周所成曲面的方程.解：过作垂直于平面的平面，所求的直线在平面上的投影就是平面和的交线. 平面的法向量为：，则过点的平面的方程为：，即. 所以投影线为. 将投影线表示为以为参数的形式：，则绕轴的旋转面的方程为，即.7.求球心在直线上，且过点和点的球面方程.解：设球心为，则，即.又因为球心在直线上，直线的参数方程为，将直线的参数方程代入，可得，球心坐标为，所求球面方程为.8.已知两条直线的方程是，，求过且平行于的平面方程.解：因为所求平面过，所以点在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为. 因此所求平面的方程为，即.9. 在过直线的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为，即，平面与原点的距离为要使平面与原点的距离最大，只要，即该平面方程为.10. 设两个平面的方程为和（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程.（3）求通过两个平面的交线，且和坐标面垂直的平面方程.解：（1）两个平面的法向量为和，设两个平面的夹角为，则，所以.（2）因为角平分面上任意一点到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得，即，所求的角平分面方程为或.（3）设通过两个平面的交线的平面方程为，即，由于该平面垂直于坐标面，所以，可得，因此所求的平面方程为.。

.WORD 格式整理 ..一、计算题与证明题1．已知| a |1, | b | 4 ,| c | 5 ,并且 a b c0 ．计算 a b b c c a ．解：因为 | a | 1 ,|b | 4 , | c | 5 ,并且 a b c0所以 a 与b同向，且a b 与c反向因此 a b0 ， b c0 ， c a 0所以 a b b c c a02．已知| a b |3, | a b |4, 求| a | |b |．解： | a b | a b cos3（ 1）| a b |a b sin4（ 2）(1) 2 2 2得 a225 b所以a b54．已知向量x与a(,1,5,2)共线,且满足 a x 3 ,求向量x的坐标．解：设 x 的坐标为x, y, z ，又 a1,5,2则 a x x 5y 2z 3（ 1）又 x 与 a 共线，则x a0即i j ky z x y x y x y z i j5121k15225 2y 5z i z 2x j5x y k 0所以2 y5z 2z2x 25x y 20即 29x 25y226 220yz4xz10xy0（2）z又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0或cos01x a3x2y2z21252 2 2x 2y 2z230整理得x2y 2z23（3）10联立1、2、3解出向量 x 的坐标为 1 ,1,16．已知点A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3)AB 中垂面上的点到A、 B 的距离相等，设动点坐标为M x, y, z ，则由 MA MB 得x 3 2y 8 2z 7 2x 1 2y 2 2z 3 2化简得2x 3 y5z270这就是线段 AB 的中垂面的方程。

7 ．向量a , b , c 具有相同的模,且两两所成的角相等,若 a ,b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1),求向量c 的坐标．解： a b c r 且它们两两所成的角相等，设为则有 a b101 1 011则 cos a b1 a b r 2设向量 c的坐标为x, y, z则 a c1x1y0 z x y a b cos r r11（ 1）r 21b c0x1y1z y z bc cos r1（ 2）r2rc x2y 2z2r1212022所以 x2y 2z22（ 3）x 1 3x14联立（ 1）、（2）、 (3)求出y0 或y3z11z3所以向量 c 的坐标为1,0,1或1,4, 13338．已知点A(3,6,1) ,B(2,4,1) , C (0,2,3) , D (2,0,3) ，(1)求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2)求三棱锥 A BCD 的体积．(3) 求 BCD 的面积．(4)求点 A 到平面 BCD 的距离．解：因为 A 3，0，1 ， B 2, 4,1 ,C 0, 2,3 ,D 2,0, 3所以 AB1, 10,0AC 3, 8,2 AD5, 6, 4（1） AB, AC, AD 是以它们为邻边的平行六面体的体积1 10 0V3 8 23 100 00 120 12 176564（2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥 A BCD ）的体积V T1 V 1 176 88663（3）因为 BC2，2，2 ， BD4，4， 4ijkBC BD2 2 2 16i 16 j0k4 44所以 BC BD16 2 16 216 2 ，这是平行四边形 BCED 的面积因此 S BCD1S □ BCED1 162 8 22 2(4)设点 A 到平面 BCD 的距离为 H ，由立体几何使得三棱锥 ABCD 的体积V T1S BCDH33V T3 8811 11 2所以 H3 SBCD8 2221．求经过点 A(3,2,1) 和 B( 1,2, 3) 且与坐标平面 xOz 垂直的平面的方程． 解：与 xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为AxCzD 0(1)把点 A 3，2，1 和点 B1，2， 3 代入上式得.WORD 格式整理 ..3A C D 0 (2)A 3C D 0(3)由（ 2），（ 3）得 AD, CD22代入（ 1）得D D Dxz22消去 D 得所求的平面方程为x2 z 02．求到两平面: 3x y 2z 60 和 :xyz 1距离相等的点的轨迹方程．2 51解；设动点为 Mx, y, z ，由点到平面的距离公式得3z y 2z 65x 2 y 10 z 103222222221510所以 3xy 2z614 5x 2 y10z101293．已知原点到平面的距离为 120, 且在三个坐标轴上的截距之比为2:6:5, 求的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为x yz12k 6k 5k化成一般式为15x 5 y 6 z 30k又因点 O 0,0,0 到平面的距离为 120，则有30k1201525262求出 k 4 286所以，所求平面方程为15x 5 y 6z 120 2865．已知两平面: mx 7 y 6z 24 0 与平面: 2x3my 11z 19 0 相互垂直， 求 m的值．解：两平面的法矢分别为n 1m, 1, 6 ， n 22, 3m,11 ，由 n 1 ⊥ n 2 ，得2m21m 66求出 m66196．已知四点A(0,0,0) , B(,2, 5,3) , C(0,1, 2) , D(2,0,7) , 求三棱锥 D ABC 中 ABC. WORD 格式整理 . .面上的高．解：已知四点 A 0,0,0 , B 2, 5,3 ,C 0,1, 2 , D 2,0,7 ,则 DA2,0, 7,DB 0,5, 4 ,DC2,1,9由 DA , DB , DC 为邻边构成的平行六面体的体积为2 0 7 VDA,DB, DC5 4219900 0700 890 70828由立体几何可知，三棱锥DABC 的体积为V DABC1 V 1 28 14设 D 到平面 ABC 的高为 H6 63则有VD ABC1 H SABC3所以H3V D ABCSABC又 AB2,5,3 , AC0,1, 2ij k AB AC2 53 7i4 j2k0 12所以， S ABC1ABAC1 7242 221 692223 1428 28 69因此， H1 369696927．已知点 A 在 z 轴上且到平面: 4x 2 y 7z 14 0 的距离为 7, 求点 A 的坐标．解： A 在 z 轴上，故设 A 的坐标为（ 0 0 z ），由点到平面的距离公式，得7z1474222727z 1469则 z 2 69那么 A 点的坐标为 A 0,0,2698．已知点． A 在 z 轴上且到点 B(0,2,1) 与到平面: 6x 2y 3z9 的距离相等 , 求点 A的坐标。

空间解析几何与向量代数测试题一、 选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（ ）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=， 则p n m a -+=34在x 轴上投影是（ ）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分 ）1．（12分） 求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。

2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分 所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分 又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分 由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。

高等数学（ B ）—向量代数与空间解析几何练习题及解答1、 已知 M 11,2,3 ， M 2 0,1, 2 ，M 1M 2 的坐标式？ M 1M 2 ？与 M 1M 2 平行的单位向量？方向余弦？[解]：1） M 1M 20 1,1 2, 2 31,1,5M 1M 2 21 222)1 5 273） cosx 2 x 1 1,cosy 2 y 1 1,cosz 2 z 1 5M 1M 227 M 1M 227M 1M 2274）与 M 1M 2 平行的单位向量为：cos ,cos ,cos1 , 1 , 5 。

272727x 1y z 1 x y 1z 2 2、 设直线n4与直线1平行，求 n,m 。

2m3[解 ] ： s 12,n,4 , s 2 m,1,3 ，因为两直线平行，r m 1 n 1 p 1 2 n 4 4 3 所以 l 1 / /l 2s 1 / / s 2s 1s 2。

m 2n 2 p 2n, m2m 1 333Ax y 2z 1 与平面： 3x y z3垂直，求 A 。

、 已知平面：[解 ] ： n 1A,1, 2 , n 2 3, 1,1 ，因为两平面垂直，所以12n 1 n 2 n 1 n 2 0 A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 2 0 A 3 1 1 210 A14、 已知平面x 1 y z 1 : x By 3z 1 0 与直线4垂直，求 B ， m 。

m6[ 解 ]： n 1,B, 3 , s m,4,6 ，因为垂直，所以有n/ / s n s 0m4 6 。

1BB2, m 235、 求由 a 1,2,3 , b 1,2,4 为邻边组成的平行四边形的面积。

[ 解] ：由两向量叉积的几何意义知：以a ，b 为邻边组成的平行四边行的面积S a bi j k86, 43,222,7,4a b 123，因为124故 S a b22269 。

7426、求以A x1, y1, z1, B x2, y2, z2, C x3 , y3, z3为顶点的三角形面积。

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ ）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（ ） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=，则14//236（ ） A ．)4612(-+± B ．)612(+± C ．)412(-± D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（ ） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（ ）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （ ） A ．30o B ．60o C ．90oD ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________．1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=b a λ或两向量对应坐标成比例。

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，)，B (，－1)，则直线AB 的斜率是( )33A. B ．－33C.　D ．－3333解析：斜率k ＝＝－，故选D.－1－33－(－3)33答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝，a ＋2a 则＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.a ＋2a 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C.　D ．5132671020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝＝.|1－(－6)|62＋2271020故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0　B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0　D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角3的取值范围是( )A.　B ．[π6，π3)(π6，π2)C.　D ．(π3，π2)[π3，π2]解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含3端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为.故选B.(π6，π2)答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0　B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0　D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝，12∴方程为y －3＝(x －2)，即x －2y ＋4＝0.12答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＋＝1，x a yb 由Error!解得Error!或Error!.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝＝－2，解得m ＝－8.4－mm ＋2答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即<0，化简得<0，∴－2<a <1.2a －(1＋a )3－(1－a )a －1a ＋2答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组Error!得Error!所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sinα－1＝0和l 2：2x sinα＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一　当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－，k 2＝－2sin α.1sin α要使l 1∥l 2，需－＝－2sin α，1sin α即sin α＝±，∴α＝k π±，k ∈Z .22π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4法二　由l 1∥l 2，得Error!∴sin α＝±，22∴α＝k π±，k ∈Z .π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k ＋2＝0，这与21k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一　由方程组Error!解得交点P 的坐标为，(2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1)而2x 2＋y 2＝22＋2(2k 2－k 1)(k 2＋k 1k 2－k 1)＝8＋k 2＋k 21＋2k 1k 2k 2＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2＋4k 21＋k 2＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二　交点P 的坐标(x ，y )满足Error!故知x ≠0.从而Error!代入k 1k 2＋2＝0，得·＋2＝0，y －1x y ＋1x 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇　第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则＝1，得t ＝2，12＋(t －2)2所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2＝，(x －2)2＋y 2(x －8)2＋y 2化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝＝1<2，(3－2)2＋(0－0)2点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0　B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0　D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －＝0B ．x ＋y ＋1＝02C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋＝02解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得＝1，故b ＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形|b |12＋122分析知b ＝－，则直线方程为x ＋y －＝0.故选A.22答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦3AB 的长度等于( )A ．2B ．253C.　D ．13解析：因为圆心到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝1，半径r ＝2，3|0＋3×0－2|12＋(3)2所以弦长|AB |＝2＝2.22－123故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝＝，|2×3－4＋3|4＋15∴弦长为2×＝2＝4.25－5205答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝＝2，|1－1＋4|12＋(－1)22又圆半径r ＝.2所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝.2答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴＝1，|4m －9m |5∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一　直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二　直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝，2mm 2＋1∴x ＝.mm 2＋1当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝，y －1x 代入x ＝，得x＝，mm 2＋1[(y －1x )2＋1]y －1x 化简得x 2＋2＝.(y －32)14经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2＝.(y －32)1412．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2时，求直线l 的方程．2解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有＝2.解得a ＝－.|4＋2a |a 2＋134(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得Error!解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇　第3节一、选择题1．设P 是椭圆＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )x 225y 216A ．4 B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D 2．(2014唐山二模)P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若x 24y 23∠F 1PF 2＝60°，则·等于( )PF1→ PF 2→ A ．3　B ．3C ．2　D ．23解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝，c ＝1，3∴Error!∴|PF 1||PF 2|＝4.∴·＝||||cos 60°＝4×＝2.PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→ 12答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.　B ．1455C.　D ．－2125解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝＝.故应选B.ca 55答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的x 2a 2y 2b 2直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率45为( )A.　B ．3557C.　D ．4567解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×＝36，45则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝|AB |12＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝＝.c a 57故选B.答案：B5．已知椭圆E ：＋＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与x 2m y 24l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A 、B 、C ，故选D.答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使＝，则该椭圆的离心率的asin ∠PF 1F 2csin ∠PF 2F 1取值范围为( )A ．(0，－1)　B ．2(22，1)C.D ．(－1,1)(0，22)2解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得＝，|PF 2|sin ∠PF 1F 2|PF 1|sin ∠PF 2F 1所以由＝a sin ∠PF 1F 2c sin ∠PF 2F 1可得＝，a|PF 2|c|PF 1|即＝＝e ，|PF 1||PF 2|ca 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝.2ae ＋1由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <<a ＋c ，2ae ＋1即1－e <<1＋e ，2e ＋1也就是Error!解得－1<e .2又0<e <1，∴－1<e <1.故选D.2答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中x 225y 216点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线x 2a 2y 2b 2与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋，332c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝＝2－.ca 3答案：2－39．(2014西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方35y 225x 29程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m <9)，y 225－m x 29－m 代入点(，－)，35得＋＝1，525－m 39－m 解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24答案：＋＝1y 220x 2410．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且x 2a 2y 2b 2⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF1→ PF 2→ 解析：由题意得Error!∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，12∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得Error!∴Error!故椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得Error!消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得Error!消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得Error!解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝时，k ＝，b ＝－时，k ＝－.222222即直线l 的方程为y ＝x ＋或y ＝－x －.22222212．(2014海淀三模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一x 2a 2y 2b 2内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的x 2a 2y 2b 2菱形的四个顶点．所以a ＝，b ＝1，3椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝2，|PO |＝3，3所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以Error!化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝，33k 2＋1则|AO |＝＝.1＋k 233k 2＋13k 2＋33k 2＋1设AB 的垂直平分线为y ＝－x ，1k 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以Error!解得Error!则|PO |＝，9k 2＋9(k －1)2因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝|AO |，3代入得＝，9k 2＋9(k －1)233k 2＋33k 2＋1解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇　第4节一、选择题1．设P 是双曲线－＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若x 216y 220|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17　D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C 1：－＝1与C 2：－π4x 2sin2θy 2cos2θy 2cos2θ＝1的( )x 2sin2θA ．实轴长相等　B ．虚轴长相等C ．离心率相等　D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.cos2θ＋sin2θ答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：－＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近x 2a 2y 2b 2线上，则C 的方程为( )A.－＝1　B ．－＝1x 220y 25x 25y 220C.－＝1　D ．－＝1x 280y 220x 220y 280解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝x 得a ＝2b .ba a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为－＝1.故选A.x 220y 25答案：A 4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.　B ．1435C.　D ．3445解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，22由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝＝.故选C.(42)2＋(22)2－422×42×2234答案：C5．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆513C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.－＝1　B ．－＝1x 242y 232x 2132y 252C.－＝1　D ．－＝1x 232y 242x 2132y 2122解析：在椭圆C 1中，因为e ＝，2a ＝26，513即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.x 242y 232答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域x 29y 216(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]　D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线－＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )x 29y 2162＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数|4m |5m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的x 29y 216点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点x 2a 2y 2b 2的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，ca ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－＝1.y 23答案：x 2－＝1y 239．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)和圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3该双曲线的离心率等于＝＝＋1.|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||2m3m －m 3答案：＋1310．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若x 2a 2y 2b 2在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt △F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，3根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(－1)c ＝2a ，3e ＝＝＝＋1.c a 23－13答案：＋13三、解答题11．已知双曲线x 2－＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，y 22且点P 是线段AB 的中点？解：法一　设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由Error!得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝＝.x 1＋x 22k (1－k )2－k 2由题意，得＝1，k (1－k )2－k 2解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x －＝1，x －＝1，21y 2122y 22两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－＝0，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2即2－＝0，y 1－y 2x 1－x 2即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立Error!得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.13(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝，13设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则Error!解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为＋＝1，x 249y 236双曲线方程为－＝1.x 29y 24(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2，13∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝.102＋42－(213)22×10×445第八篇　第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A. B ．(1,0)(12，0)C.　D ．(0，18)(0，14)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝y ，它的焦点坐标是.故选C.12(0，18)答案：C2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )x 24y 29A ．x 2＝－4y B ．y 2＝－4x55C ．x 2＝－4yD ．y 2＝－4x1313解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝＝，a 2－b 25∴抛物线焦点坐标为(0，－)，5∴抛物线方程为x 2＝－4y .故选A.5答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离　B ．相交C ．相切　D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝(|AA 1|＋|BB 1|)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.1212答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.　B ．5383C.　D ．10103解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由Error!解得x 1＝3，x 2＝，13故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于＋1＝.故选B.x 1＋x 2283答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.　B ．134C.　D ．5474解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB 254故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)　D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，3联立Error!消去y ，得x 2＝2p (x ＋b )，3即x 2－2px －2pb ＝0，3∴x 1＋x 2＝2p ＝3，3∴p ＝，则抛物线的方程为x 2＝y .323答案：x 2＝y38．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为，3∴直线方程为y ＝(x －1)．3联立方程Error!解得Error!或Error!由已知得A 的坐标为(3,2)，3∴S △OAF ＝|OF |·|y A |＝×1×2＝.121233答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则(72，4)|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－，焦点F 坐标为.12(12，0)求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋，12所以|PA |＋|PM |≥5－＝.1292答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－，求实数m 的值．12解：法一　如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由Error!得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.12n2由x 1x 2＝－，得n ＝1.12又x 0＝＝－，x 1＋x 2214y 0＝－x 0＋n ＝＋1＝，1454即点M 为，(－14，54)由点M 在直线l 上，得＝－＋m ，5414∴m ＝.32法二　∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴Error!∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝＝4x 0.y 1－y 2x 1－x 2又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－.14又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －，14即M ，(－14，m －14)∴AB 的方程是y －＝－，(m －14)(x ＋14)即y ＝－x ＋m －，代入y ＝2x 2，12得2x 2＋x －＝0，∴x 1x 2＝－＝－，∴m ＝.(m －12)m －122123212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，2B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，2(x －p2)从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)，22即C (4λ＋1,4λ－2)，22所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，2即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。

空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。

表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。

1.过点M o (1, — 1, 1)且垂直于平面X - y —z + 1 = 0及2x+ y + z + 1 = 0的平面方程.3的.3.10.曲面方程为:4.X 2 +y 2 +4z 2 =4 ,它是由曲线旋转而成19 7292口 =止=口 ；10 .曲线L + z 2=1绕z 轴1 2-3 439. y —z+2=03.在平面x-y-2z=0上找一点p ,使它与点(2,1,5), (4-3,1)及(—2,—1,3)之间的距离相等.7. (-,1,^).5 55. 已知：A(1,2,3), B(5,_1,7),C(1,1,1), D(3,3,2),则 prj AB =7.设平面方程为X-y =0，则其位置(8.平面 X-2 y + 7z+3=0 与平面 3x + 5y + z-1=010 .设点 A(0,—1,0)到直线[—y+I~0[x + 2z-7=0c(arb) =4.过点(2,-8,3)且垂直平面x + 2y —3z-2 = 0直线方程为&动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为9.曲面方程：16X 2 -9y 2—9Z 2 =25则曲面名称为A .平行于X 轴B .平行于y 轴C .平行于D .过轴.A .平行9.直线匕3-2 A .平行B . y +4 --7 B .C .相交D .重合垂直 =-与平面4x-2y-2z-3=0的位置关系(3垂直C •斜交D .直线在平面内5. & B 9. A 10 . A .3. 当m= 时，2i -3j +5k 与3i+mj -2k 互相垂直.设 a=2i+j +kb =i -2j +2kc = 3i -4j +2k的位置关系(的距离为(1C . 5旋转而成.1.设 a =i 2, jH b ={1,—1,3},c = ^,—2,0}，则(a x b)x 2=(4.若 M I (1,1,1),M 2(221),M 3(2,1,2),则 M i Mb 与M 1M 3的夹角申x —2 y —3 z — 49.直线〒=亍=〒与平面2x+y +z =6夹角为（7•求与平面2X —6y + 3z =4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点.3.确定k 值，使三个平面：kx —3y + Z = 2,3X + 2y + 4z = 1, X —8y - 2Z = 3通过同一条 直线.5•求以向量i + j, j +k,k + i 为棱的平行六面体的体积.7.与平面2X + y + 2Z + 5 = 0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为 1的平面方程B . 10C . to ,—1,—1}D . {2,1,21}3.若 a =6i +3j -2k,b//a, 且 b =14,则 b =(A . ±(12i+6j-4k)B . ±(12i+6j)C . ±(12i -4k)D . ±(6j -4k)6.求平面 x-y+2z-6=0 与平面2x + y + z — 5 = 0的夹角（兀C.—3&设点 M o (3,-1,2),直线 |[x + y -，则l 2x —y + z —4 = 0M O 到I 的距离为3U 2A . -----2 3^5B .——5 3(5C .——4D .——21. DA . 30o, .5 D . arcsi n-6B . 60oC . 90o10.曲线 尸2J 2在y z 面上的投影方程 [z=(x-1)2+(y -1)21.设 a=i —2j+3k , b=2i+j , c = —i + j+k ，贝U a+b 与 c 是否平行1不平行f2 22y +2yz + z -4y-3z + 2 = 0 I X =0练习题选参考答案1 •两非零向量7、、b 垂直，则有?^b =0或P 门尽话=0 ；平行则有7^=0或:=屈或两向量对应坐标成比例 。

第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。

间解析几何与 向量代数1. 2. 3. 4. 5. 、选择题 已知 A(1,0,2), 设 a = (1,-1,3 (-1,1,5 ). 设 a = (1,-1,3 -i -2 j +5k B B(1,2,1)求两平面x 2y已知空间三点 是空间两点，向量AB 的模是 (A ),b= (2,-1,2 ),求 c=3a-2b 是(B )(-1,-1,5 ) . C (1,-1,5 ).D (-1,-1,6 ),b= (2, 1,-2 -i -j +3k C z 3 0和2x）,求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A-i -j +5k D -2i - j +5ky z 5 0的夹角是（C ）M(1,1,1) 、A(2,2,1) 和 B (2, 1, 2),求/ AMB 1( C )6.求点M （2, 1,10）到直线L ：1 z 21的距离是：（A ）A 138B ,118 158 Dr r r r r2i 3j k,求 a b 是：(D )A -i -2j +5kB - i -j +3kC - i -j +5kC x+y+1=011、设a,b 为非零向量,a b ,则必有（C ）A a b | |a | |baba8.设/ ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1), C(0, 1,3), 求三角形的面积是：（A ） 9.求平行于z 轴, 且过点 M 1(1,0,1)和 M 2(2, 1,1）的平面方程是：（D ） A 2x+3y=5=0x-y+1=010、若非零向量a,b 满足关系式,则必有 （C ）；12、已知 a= 2, 1,2 ,b = 1, 3,2，则 Prj b a =）；A5；5■■ 14 •7.设 a i k,D 3i -3j+3ka b| |a | |b13、直线y 1 Z 1与平面2x y z 4 0的夹角为（B ）1 0 1A-；B7C D634214点(1,1,1)在平面x 2y z 10的投影为(A )、(A) 丄,0,3；(B) 丄,0,3；(C) 1, 1,0 ； (D) 1 1 12 222 2 215向量a与b的数量积a b= ( C).、A a rj b a ；B a rj a b ；C a rj a b；D b rj a b .16、非零向量a,b满足a b0，则有（C ）.A a // b;B a b （为实数）；C a b;D a b 0.17、设a与b为非零向量，则a b 0是（A ）.A a // b的充要条件；B a丄b的充要条件；C a b的充要条件；D a // b的必要但不充分的条件.18、设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量c 2a b在y轴上的分向量是（B）.A 7B 7 jC - 1;D -9 k2 2 .219、方程组2x y 4z 9表示（B ）.x 1A 椭球面；B x 1平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在x 1平面上的投影.20、方程x 2 y 2 0在空间直角坐标系下表示 （C ）A 坐标原点（0,0,0） ；B xoy 坐标面的原点（0,0） ；C z 轴；D xoy 坐标面.22、设空间三直线的方程分别为A L 1 // L 2 ；B L 1 // L 3 ；C L 2 L 3 ；D L 1 L 2 .23、 直线 J $ 4 Z 与平面4x 2y 2z 3的关系为（A ）.273A 平行但直线不在平面上；B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直.24、 已知 a 1,b.2,且（a,b ）-,贝 U a b = （ D ）.4A 1 ；B 1 2 ；C 2 ；D 5 .25、下列等式中正确的是（C ）21、设空间直线的对称式方程为0 I 2则该直线必A 过原点且垂直于x 轴;B 过原点且垂直于y 轴;C 过原点且垂直于z 轴;D 过原点且平行于x 轴.3tL i；x 2y z 100,则必有（Dy2 7t、计算题解：由题设知的投影及在y 轴上的分向量。

空间解析几何第三版答案【篇一：空间解析几何复习资料含答案】1. 求点m(a,2. 设 a(?3,3. 证明 a(1,b,c)分别关于（1）xz坐标面（2）x轴（3）原点对称点的坐标． x,2)与b(1,?2,4)两点间的距离为29，试求x． 2,3)b(3,1,5) c(2,4,3)是一个直角三角形的三个顶点．4. 设?abc的三边?，?，?，三边的中点依次为d，e，f，试用向量表示，，，并证明：??? ．5. 已知：a?i?j?2k，b?3i?j?k求2a?3b，2a?3b．6. 已知：向量与x轴，y轴间的夹角分别为??60，??1200求该向量与z轴间的夹角?．7. 设向量的模是5，它与x轴的夹角为0?，求向量在x轴上的投影．43,5)，c(3,?1,?2)计算：2?3，8. 已知：空间中的三点a(0,?1,2)，b(?1,?4．9. 设a??2,10. 设：??2,0,?1?，b??1,?2,?2?试求a?b，2a?5b，3a?b． ?2,1?，试求与a同方向的单位向量．11. 设：?3?5?2，?2?4?7，?5??4，?4?3?试求（1）在y轴上的投影；（2）在x轴和z轴上的分向量；（3．12. 证明：(?)?(?)??．13. 设：a??3,??220,?1?，b???2,?1,3?求?，(?)． ?????????14. 设a?2i?xj?k，b?3i?j?2k且a?b求x15. 设??0,1,?2?，??2,?1,1?求与和都垂直的单位向量．0)，b(?2,1,3)，c(2,?1,2)求?abc的面积．16. 已知：空间中的三点a(1,1,17. （1）设∥求? （2??1求?18.?3?5，试确定常数k使?k，?k相互垂直．?19. 设向量与互相垂直，(a?c)??3?，(b?c)??6?1?2?3?．20. 设：??3?5，??2??3求a?b21. 设：a?3i?6j?k，b?i?4j?5k求（1）a?a；（2）(3?2)?(?3)；（3）a与b的夹角．?22. 设：(?)?23. 设：a??1,?6?1?．?（1）a?b；（2）a?b；（3）cos(?)． ?1,2?，???1,?2,1?，试求： 24.?3?26?72，求a?b．25. 设a与b相互垂直，?3?4，试求（1）(a?b)?(a?b)；（2）(3a?b)?(a?2b)．26. 设：a?b?c?0证明：a?b?b?c?c?a27. 已知：求（1）（2）（3）4） ?3?2?，???2，a?b；a?i?b．(?2)?(2?3)；(?)?28. 求与a??2,2,1?b???8,?10,?6?都垂直的单位向量．29. 已知：a??3,?6,?1?，b??1,4,?5?，c??3,?4,12?求(a?c)b?(a?b)c在向量上的投影．30. 设：a?b?c?d，a?c?b?d且b?c，a?d证明a?d与b?c必共线．31. 设：a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，求非零向量a与b的夹角．32. 设：??2,?3,6????1,2,?2?向量在向量与?342，求向量的坐标．?33.?4?3，(a?b)?34. 求过点p0(7,35. 过点p0(1,36. 过点m(1,37. 过点a(3,?6求以?2和?3为边的平行四边形面积． 2,?1)，且以??2,?4,3?为法向量的平面方程． 0,?1)且平行于平面x?y?3z?5的平面方程．?3,2)且垂直于过点a(2,2,?1)与b(3,2,1)的平面方程． ?1,2)，b(4,?1,?1)，c(2,0,2)的平面方程．38. 过点p0(2,1,1)且平行于向量??2,1,1?和??3,?2,3?的平面方程．39. 过点mo（1，?1，1）且垂直于平面x?y?z?1?0及2x?y?z?1?0的平面方程．40. 将平面方程 2x?3y?z?18?0 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（?3，1，?2）及z 轴；（2）过点a（?3，1，?2）和b（3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点a（3，1，?5）；（4）过点p1（1，?5，1）和p2（3，2，?2）且垂直于x z 面． 42. 求下列各对平面间的夹角（1）2x?y?z?6， x?y?2z?3；（2）3x?4y?5z?9?0，2x?6y?6z?7?0．43. 求下列直线方程（1）过点（2，?1，?3）且平行于向量???3，?2，1?；（2）过点mo(3，4，?2)且平行z 轴；（3）过点m1（1，2，3）和m2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面3x?y?2z?6?0垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程?x?2y?3z?4?0?x?2y?2?3x?2z?1?0 （1）?；（2）?；（3）? 3x?2y?4z?8?0y?z?4y?z?0???45. 将下列直线方程化成参数式方程?x?6z?1??x?5y?2z?1?0? （1）?；（2）?25． 5y?z?2???y?2?046. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面x?y?2z?1?0及x?2y?z?1?0 的直线方程．x?4y?3z??的平面方程． 521x?1y?1z?1x?1y?1z?1????48. 求通过两直线与的平面方程． 1?12?12147. 求过点（3，1，?2）且通过直线64．求下列各对直线的夹角（1）x?1yz?4x?6y?2z?3????，； 1?2751?1（2）??5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?0，?．?3x?2y?z?1?0?3x?8y?z?18?0?x?7y?z?0 相互平行． ?x?y?z?2?0?x?1yz?1??49. 证明直线与4?1350. 设直线 lx?1y?3z?4?? 求n为何值时,直线l 与平面2x?y?z?5?0 平行？ 1?2n51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面2x?y?5z?7?0的夹角为52. 设直线l在平面?:x?y?z?1?0 内，通过直线l1:?与平面?的交点，且与直线l1垂直、求直线l的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ?． 3?y?z?1?0 x?2z?0??x?2y?z?1?0 与 ??x?y?z?1?0?2x?y?z?0 平行的平面方程． ??x?y?z?054. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面z?4?0的距离，求它的轨迹方程．55. 直线l:??2x?y?1?0 与平面?:x?2y?z?1?0 是否平行？若不平行，求直线l与平面??3x?z?2?0的交点，若平行，求直线l与平面?的距离．?x?3?4tx?1yz?5???56. 设直线l经过两直线l1:，l2:?y?21?5t 的交点，而且与直线l1与l2都?18?3?z??11?10t?垂直，求直线l的方程．57. 已知直线：l1:??x?y?z?1?0?1，2) 过点p作直线l与直线l1垂直相交，求直线l的方程．及点 p(3，?2x?y?z?4?058. 方程：x2?y2?z2?4x?2y?2z?19?0 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：x2?y2?z2?2x?6y?4z?11 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．?z2?5x60. 将曲线：? 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程． ?y?0?4x2?9y2?3661. 将曲线：?绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．?z?062. 说明下列旋转曲面是怎样形成的x2y2z2y22x??z2?2；（1???10；（2）（3）（4） x2?y2?z2?1；(z?a)2?x2?y2．434363. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形x2y2z222?1．??1；（3）z?4x；（4）4y? （1）3x?4y?1；（2）32322自测题 (a)(一) 选择题1．点m(4,?1,5)到 x y 坐标面的距离为（）a．5b．4 c．1d．422．点a(2,?1,3)关于y z 坐标面的对称点坐标（）a．(2,?1,?3)b．(?2,?1,3)c．(2,1,?3) d．(?2,1,?3)3．已知向量a??3,5,?1?,b??2,2,2?,c??4,?1,?3?，则2a?3b?4c?（）a．?20,0,16?b．?5,4,?20?c．?16,0,?20? d．??20,0,16?4．设向量?4?2?4，?6?3?2，则(3?2)(?3)=（）a．20 b．?16c．32 d．?325．已知：a(1,2,3),b(5,?1,7),c(1,1,1),d(3,3,2)，则prja．4 b．1 c．cd?ab= （） ?1 d．2 26．设?2????2?，则(?)?(?)?（）a．?i?3j?5k b．?2i?6j?10kc．2?6?10 d．3i?4j?5k7．设平面方程为x?y?0，则其位置（）a．平行于x 轴 b．平行于y 轴 c．平行于z 轴 d．过z 轴．8．平面x?2y?7z?3?0与平面3x?5y?z?1?0 的位置关系（）a．平行 b．垂直 c．相交 d．重合9．直线x?3y?4z??与平面4x?2y?2z?3?0的位置关系（） ?2?73 a．平行 b．垂直c．斜交d．直线在平面内10．设点a(0,?1,0)到直线???y?1?0 的距离为（） ?x?2z?7?0c．a．5 b．(二) 填空题 1611d． 58【篇二：空间解析几何及向量代数测试题及答案】=txt>一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点o(0,0,0),a(1,0,0),b(0,1,1),c(0,0,1)组成的四面体的体积是___??___. 2.已知向量a?(1,1,1),b?(1,2,3),c?(0,0,1),则(a?b)?c=__(-2,-1,0)____.?????????x?y3.点(1,0,1)到直线?的距离是3x?z?0?4.点(1,0,2)到平面3x?y?2z?1的距离是___________. ?x2?y2?z?05.曲线c:?对xoy坐标面的射影柱面是___x2?x?y2?1?0____,?z?x?1对yoz坐标面的射影柱面是__(z?1)2?y2?z?0_________,对xoz坐标面的射影柱面是____z?x?1?0__________.?x2?2y6.曲线c:?绕x轴旋转后产生的曲面方程是__x4?4(y2?z2)_____，曲线?z?0c绕y轴旋转后产生的曲面方程是___x2?z2?2y_______________. x2y2z27.椭球面???1的体积是_____??????____________.9425二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点p(a,b,c)作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里a,b,c是3个非零实数.解: 设点p(a,b,c)在平面z?0上的射影点为m1(a,b,0)，在平面x?0上的射影???????点为m2(0,a,b)，在平面y?0上的射影点为m3(a,0,c)，则m1m2?(?a,0,c)，???????m1m3?(0,?b,c)x?a??????????????于是m1，m1m2，m1m3所确定的平面方程是?ay?b0?bzc?0 c即 bc(x?a)?ac(y?b)?abz?0 .?x?y?0?x?y?02.已知空间两条直线l1:?,l2:?.z?1?0z?1?0??(1)证明l1和l2是异面直线;(2)求l1和l2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l1的标准方程是v1?{1,?1,0} l2的标准方程是xyz?2??，l2经过点m2(0,0,2)，方向向量v2?{1,1,0}，于110xyz?1??，l1经过点m1(0,0,?1)，方向向量1?10是003???????(m1m2,v1,v2)?1?10?6?0，所以l1和l2是异面直线。

第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。

第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）： 已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。

{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ.,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36 （C ）4X 2-9(y 2+z 2)=36; (D) 4x 2-9y 2=36.答：（ ）2. 方程y 2+z 2-4x+8=0表示：（A ）单叶双曲面； （B ）双叶双曲面； （C ）锥面； （D ）旋转抛物面。

第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。

第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）：已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。

.{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321同时垂直的单位向量求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ..,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36（C）4X2-9(y2+z2)=36; (D) 4x2-9y2=36.答：（）2. 方程y2+z2-4x+8=0表示：（A）单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。

空间解析几何练习2解答1. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0.2. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离.解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d . 3. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量, 即 k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=. 所平面的方程为-16(x -2)+14(y -0)+11(z +3)=0, 即16x -14y -11z -65=0.4. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行. 解 直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 的方向向量分别为 k j i k j i s 531121211++=--=, k j i k j i s 15391123632---=---=. 因为s 2=-3s 1, 所以这两个直线是平行的.5. 设M 0是直线L 外一点, M 是直线L 上任意一点, 且直线的方向向量为s , 试证: 点M 0到直线L 的距离→||||0s s ⨯=M M d . 解 设点M 0到直线L 的距离为d , L 的方向向量→MN =s , 根据向量积的几何意义, 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为 →→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M ,又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||s ⋅=⋅d MN d . 因此→||||0s s ⨯=⋅M M d , →||||0s s ⨯=M M d . 6. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程. 解 根据题意, 有222)2()1()1(||-+++-=z y x z ,或 z 2=(x -1)2+(y +1)2+(z -2)2,化简得(x -1)2+(y +1)2=4(z -1),这就是点M 的轨迹方程.7. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使∆ABC 的面积最小.解 设所求的点为C (0, 0, z ), 则→) ,0 ,1(z AC -=, →)1 ,2 ,0(--=z BC .因为 →→k j i k j i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC , 所以∆ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S . 令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS , 得51=z , 所求点为)51 ,0 ,0(C . 设|a |=4, |b |=3, 6) ,(^π=b a , 求以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积. 解 (a +2b )⨯(a -3b )=-3a ⨯b +2b ⨯a =5b ⨯a .以a +2b 和a -3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a。