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近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。
本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。
答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。
由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。
再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。
因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。
答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。
根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。
因此，元素a的逆元素是唯一的。
二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。
答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。
由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。
再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。
因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。
2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。
答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
近世代数(抽象代数)
“近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程（组）是否可解，如何求出代数方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
【大学数学】重新理解系列之三：抽象代数我学过一学期的抽象代数，但感觉啥都没学到，对那些定义、定理没啥理解，完全就是考验记忆能力，但是下面的几篇文章居然勾起了哥学习抽象代数的欲望，对现代数学三大支柱一直的抽象代数感兴趣的同学可以慢慢看看，其实学习一门数学课时先读读这方面的科普文章，对整体把握和学习效果有非常大的提升。
文章列表：1. 初学者应该如何学习抽象代数2. 漫谈抽象代数（非常好）3. 抽象代数不抽象4. 抽象代数的人间烟火5. 抽象代数学习方法6. 近世代数概论前言7. 近世代数学习方法（之后的几篇文章还没来得及看）8. 群论问题与物理问题（和众多牛人的讨论总结）9. 近世代数基础课件（感觉很不错）10. 近世代数发展简史11. 近世代数的应用12. 抽象代数学习报告初学者应该如何学习抽象代数曾经看到一些抽象代数（近世代数）的初学者有这样的疑问：我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢？有人解释说这是刻画对称性，也有人解释说是现代数学的一种语言，有点道理却又语焉不详。
【为什么学抽象代数？多么实际而迫切的问题，但学了也没能回答这个问题。
既然抽象代数研究的是结构，那么就对应数学物理工程医学中的实际的结构，如化学中物质结构、网络结构等等，我觉得都是可以用上去的，这都是一下想到的，没有详细去考证。
】为什么要研究群呢？提出这类问题的人困惑的并不是群的本质，而是需要一个合理的过渡，我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。
记得我第一次遇到代数时感到很奇怪，为什么一眼就能看出答案的问题，非要设个未知量x来解方程。
直到后来发现几个x可以抵消，我才算领会了方程的方便，再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。
如果说方程中字母x代表某个数的话，那么群中的字母g又代表什么呢？它不仅代表处在某个地位上的数，更是代表一个特殊的位置，这样的位置是与整个群的结构相互联系的。
比如在三阶循环群中，两个生成元尽管作为数是不同的，但它们在群的地位却是一致的。
抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。
抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。
关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。
我问她哪门课程学得最好。
答曰“抽象代数”。
不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。
我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。
让她举一个非交换群。
举不出来。
举一个有限域，举不出来。
我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。
如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。
问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。
这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。
现有的抽象代数教材，不是没有例子。
这些例子本来就很精彩。
三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。
但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。
要讲清楚，课时也不够。
只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。
考试也不考用知识解决问题，只考背定义。
抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。
金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。
近世代数基础知识点总结近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。
本文将对近世代数的基础知识点进行总结，包括群、环、域和向量空间等的定义和性质。
一、群群是近世代数的基础概念，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。
群的定义包括四个要素：集合、封闭性、结合律和单位元，还需要满足可逆性。
群的性质有唯一性、消去律、幂等性和逆元的唯一性等。
二、环环是在群的基础上引入了乘法运算的代数结构。
环的定义包括三个要素：集合、封闭性和满足环公理。
环的性质有零元的唯一性、加法逆元的唯一性、分配律和幂等性等。
三、域域是在环的基础上引入了除法运算的代数结构。
域的定义包括四个要素：集合、封闭性、满足域公理和乘法逆元的存在性。
域的性质有乘法单位元的唯一性、乘法逆元的唯一性和消去律等。
四、向量空间向量空间是线性代数的基础概念，它是一个集合和一个数域上的向量运算构成的代数结构。
向量空间的定义包括十个要素：集合、封闭性、加法单位元、加法逆元、加法交换律、加法结合律、标量乘法结合律、标量乘法分配律、标量乘法单位元和标量乘法结合律。
向量空间的性质有零向量的唯一性、加法逆元的唯一性和标量乘法的分配律等。
五、同态映射同态映射是近世代数中的一个重要概念，它是保持代数结构之间运算关系的映射。
同态映射的定义要求保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元。
同态映射的性质有保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元等。
六、理想理想是环和域中的一个重要概念，它是一个子集，并且满足加法逆元、封闭性和分配律。
理想的性质有加法单位元的存在性、加法逆元的存在性和分配律等。
七、同余关系同余关系是环中的一个重要概念，它是一种等价关系，表示两个元素具有相同的余数。
同余关系的性质有自反性、对称性和传递性等。
八、域的扩张域的扩张是域论中的一个重要概念，它是在一个域上构造出一个更大的域。
域的扩张可以通过添加一个或多个元素来实现，使得新的域仍然满足域公理。
近世代数教案西南大学数学与统计学院张广祥学时数：80（每周4学时）使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。
本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。
如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。
教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加教学的教师集体研讨备课。
每节配有3—5题常规练习作业。
每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。
整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。
教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。
主要参考书：1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,19993.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社20024.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002第二章数环与数域本章教学目标：1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。
3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程〔组〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为 0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d= de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b= bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
抽象代数的基本概念抽象代数是数学的一个分支，研究的是各种代数结构及其相应的运算规则。
它的基本概念主要包括群、环、域三个方面。
本文将对这三个基本概念进行详细介绍。
一、群群是抽象代数中最基本的一种代数结构，它由一个非空集合 G 和一个在 G 上定义的二元运算 * 组成。
如果满足以下四个条件，即可称为一个群：1. 封闭性：对于任意的 a, b ∈ G，a * b 也属于 G。
2. 结合律：对于任意的 a, b, c ∈ G，(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 存在唯一单位元：存在一个元素 e ∈ G，使得对于任意的 a ∈ G，a * e = e * a = a。
4. 存在逆元素：对于任意的 a ∈ G，存在一个 b ∈ G，使得 a * b =b * a = e。
群可以分为有限群和无限群。
有限群指群中元素个数有限，无限群指群中元素个数无限。
群还可以通过群的运算性质来进一步分类，比如阿贝尔群（也叫交换群），它满足交换律，即对于任意的a, b ∈G，a *b = b * a。
二、环环是一个比群更为一般的代数结构，它由一个非空集合 R 和两个在R 上定义的二元运算 + 和 * 组成。
如果满足以下八个条件，即可称为一个环：1. 封闭性：对于任意的 a, b ∈ R，a + b 和 a * b 也属于 R。
2. 加法结合律：对于任意的 a, b, c ∈ R，(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 加法交换律：对于任意的 a, b ∈ R，a + b = b + a。
4. 存在加法单位元：存在一个元素 0 ∈ R，使得对于任意的 a ∈ R，a + 0 = 0 + a = a。
5. 存在加法逆元素：对于任意的 a ∈ R，存在一个元素 -a ∈ R，使得 a + (-a) = (-a) + a = 0。
6. 乘法结合律：对于任意的 a, b, c ∈ R，(a * b) * c = a * (b * c)。
第一章古典代数以研究代数方程求解为中心，其历史源远流长。
19世纪初，年轻数学家伽罗华（Galois）应用群的概念对高次代数方程是否可用根式求解问题进行了透彻研究并给出了明确回答，他成为抽象代数新思想的启蒙者。
随后，这种把代数变成集合论的、公理化的科学的改造不断强化，产生了很多新的方法、新的观点、新的结果。
到了20世纪20年代，数学最古老的分支之一的代数学完成了一次根本性的革命，完成了初等代数到近世代数的“飞跃”，即从研究数的运算到研究抽象代数系统的结构之“飞跃”。
他的标志是范德瓦尔登的《近世代数学》一书的出版。
时至今日抽象代数已经成为很多数学分支中最常用的工具，空前普及。
以至近年来，人们不再把这门学问冠以“近世”“抽象”等高贵头衔，而朴素地称它为“一般代数学”“基础代数学”甚至“代数学”。
本书仍称为《抽象代数》只是想把它与仅仅讨论以数为对象的那种经典代数加以区别。
抽象代数是数学中最适合于自学的学科之一，本课程只假定读者学过中学代数并知道一点矩阵运算规则，此外不要求任何高等数学内容作为准备知识。
学好本课程的关键在于对“公理化方法”实质和一些重要抽象概念的理解。
切忌把抽象代数单纯作为“知识”来学，平均使用力量，每个定义都能背下来，但没有一个能“悟出真谛”。
学习抽象代数的一个重要目的就是要提高“抽象思维”能力。
本书共7章，本人将着重介绍二、三、四、五、六章，第一张过于基础，都是些普通的概念，第七章的内容已在《Galois Theory》中详细介绍。
大致内容包括：群，环，域，三个方面，三、四章主要介绍群的定义，及几类特殊群；第四章介绍了群同态——仅仅是保运算的一种n对1的对应关系，n取决于ker中元素个数。
同样第四章完成的是环的这方面的介绍。
第五章主要是对域的一些定义性的介绍，以及如何构造域，当然也对多项式环做了一点介绍，主要是为第六章研究多项式分解做一点铺垫。
学完抽象代数印象最深的就是代数系统的定义方式，仅仅是满足几条公理的体系，以至于学拓扑感觉很代数，很亲切！再一个就是同态的那种对应关系，看似复杂的定理形式实际的内涵确实如此的简单，明了！第一章集合映射和关系这一章是抽象代数的基础，也差不多是所有现代数学分支的基础。
近世代数和抽象代数的区别代数几何主要研究现实世界中某些形状、大小、方向、面积、位置等的度量性质，即它们的数量表示。
例如，给出两个线段长度的比，并不能给出关于这两条线段相对位置的精确描述，但我们却可以利用比值的数量表示来刻画它们之间的相对位置。
为了在计算机上模拟现实世界的形状、大小和方向，必须要对数据进行抽象。
这样一种抽象可以说是代数的：首先要用集合论的语言给数据集合起名字；然后把这些数据元素按照一定的方式组合起来，得到一个有意义的新数据；最后要为这个新数据赋予某种意义（如“距离最短”）。
这里我们要特别注意代数与数学其他分支的区别。
代数不能讨论这个新数据本身，也就是说，不能讨论数据中蕴含着什么新信息。
数学家经常从数据中寻找知识，而代数学家却不必如此。
代数学家很少解决代数问题，而只解决一些带有启发性质的问题。
这样，代数学就成了数学中的强力部队。
这些概念和定理被记录在20世纪初出版的“国际数学家大会”论文集中，其中一部分会继续被写下去。
这些成果汇集成《数学百科全书》中的第五卷——“代数学”，由西格弗里德·威廉·阿佩尔写成，后来还包括了许多新内容，如单复变函数论、超几何级数、傅里叶分析、双曲函数、调和分析等。
西格弗里德·威廉·阿佩尔的工作深受高斯和埃米尔·诺特的影响，尽管他当时已经是一位享誉欧洲的数学家了。
他曾在“柏林科学院”（波恩）的办公室中与当时仅十六岁的格奥尔格·康托尔有过一段愉快的交往。
后来，他在索菲娅女皇奖章颁发典礼上的演讲也充满激情。
《数学百科全书》第五卷的标题便来源于此。
他写道：“是谁从柏林的一家烟草店得到了伟大的近世代数定理的消息呢？当时，这个消息甚至还没有传到瑞士……”在这个辉煌的事件之后，西格弗里德·威廉·阿佩尔把自己的科学生涯划分为三个阶段：他在索菲娅女皇奖章颁发典礼上演讲的一年前，完成了两篇简短的论文；他一生最著名的工作是《微积分》（出版于1817年）；以及后来的《分析教程》。
抽象代数的人间烟火李尚志北京航空航天大学数学与系统科学学院北京, 100191摘要抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。
抽象代数能不能有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。
关键词：抽象代数，精彩案例某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。
我问她哪门课程学得最好。
答曰“抽象代数”。
不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。
我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。
让她举一个非交换群。
举不出来。
举一个有限域，举不出来。
我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“抽象代数就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。
如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。
问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是10%--20%，我估计：学习抽象代数的大学生中有90%都持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。
这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。
现有的抽象代数教材，不是没有例子。
这些例子本来就很精彩。
三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。
但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。
要讲清楚，课时也不够。
只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。
考试也不考用知识解决问题，只考背定义。
抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。
金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八,哈瓜儿,宁血契卡,混花察察,学根许八涂,米尔米尔。
”只要认识字，小学生也可以化功夫死记硬背下来，但是根本不懂它的意思，更不可能照着去练习，难道就因为背熟了这些句子就成了武功高手吗？显然不是。
同样，死记硬背抽象代数教材中的定义而根本不懂它的意思，举不出一个例子，不会用来解决任何一个问题，这样学习的抽象代数就是假冒的，通通都应当给零分！这些年来，我们在抽象代数课程建设中所做的全部努力，就是要破除这种“就是没有例子”的假抽象代数。
我们取得的主要成绩，就是积累了一批既能体现数学本质、又为学生喜欢的案例。
下面是其中的一部分案例。
1. 幻方一变八----正方形的对称群我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。
这不是考小学奥数。
而是考正方形的对称群：旋转90o,180o,270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。
为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。
将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共2×4=8 个。
这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。
这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。
其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。
非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。
这些概念和知识都自然而然引入了。
类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。
特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S3。
2．0与1的算术----二元域许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。
其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。
我的抽象代数考试每次必考有限域。
小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶×整数=偶，奇×奇=奇。
将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0×a=0 (a=0或1),1×1=1。
按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。
我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。
貌似概率题，其实是代数题。
将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。
归结为二元域上的线性代数题。
另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。
二元域在信息与计算机科学中至关重要。
会算1+1=0，就懂了一点真正的抽象代数。
为什么两个整数a,b的和、差、积的奇偶性只与a,b的奇偶性有关而与奇数与偶数的不同取值无关？将a,b分别用它们除以2的余数r,s代表（r,s取值为0或1），写成a=r+偶，b=s+偶的形式，则a±b=(r+偶)±(s+偶)=(r±s)+(偶±偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r×偶+偶×s+偶×偶。
不论其中的“偶”取什么偶数值，总有：偶±偶=偶，偶×整数=偶，就好象0±0=0, 0×数=0一样。
可以将算式中的“偶”看作0来运算，得到a±b = (r±s)+偶，ab = rs+偶。
也就是说：将a,b 替换成与它们奇偶性相同的0或1进行运算，得到的和、差、积的奇偶性不变。
这件事可以推广：a,b取值的整数集合Z替换成对合法的加法与乘法封闭的任意集合D，称为环; 偶数集合替换成D中具有类似于0的运算性质O±O=O，D×O=O的子集O，称为理想。
D中两个元素a,b的差如果在O中，就将a,b“看成”同一类，得到的同余类组成的集合可以定义加、减、乘运算，这就是商环D/O。
特别，当D=Z，O=nZ时，商环D/O 就是整数模n的同余类环Z n 。
另一个重要例子：D 是在某点c连续的全体全体实函数f(x)组成的环，记∆x=x－c，O(∆x)与o(∆x)分别是当Dx→0时的无穷小量和高阶无穷小量组成的集合，则O(∆x)与o(∆x)都是D的理想，同余式f(x)≡a (mod O(∆x))表示当x→c时f(x)的极限是a，而f(x)≡a+b∆x (mod o(∆x)) 表示b是f(x)在c的导数。
3．从凯撒密码谈起-----整数的同余类。
密码的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。
最早的一种简单密码是凯撒设计的，加密方案是将每个英文字母用它后面第3个字母代替。
将26个字母依次用整数模26的各个同余类表示，凯撒密码的加密就可以用最简单的加法函数y = x+3 表示，解密函数为x = y－3。
更进一步，可以用Z26上的一次函数y=ax+b 加密，其中a可逆，称为仿射密码。
例如3×9 =1就说明9=3-1，加密函数y=3x+5的解密函数就是x=9(y-5)。
Z26中的乘法可逆元组成乘法群Z26*，由与26互素的整数所在的同余类组成。
更进一步，可以将若干个字母对应的同余类组成列向量X，用矩阵运算Y=AX+B来加密，其中A的行列式在Z26*中。
也可以将信息写成二元域Z2上的列向量，用Z2上的矩阵运算Y=AX+B加密。
更一般地，讨论Z n的乘法群Z n*。
特别，当n为素数p时，Z p中的p-1个非零元都可逆，组成乘法群Z p*。
Z p是有限域，Z p*中的元素都可以写成一个元素的幂，Z p*是循环群。
在另一种情形，n = pq是两个素数p,q的乘积，为了讨论Z n及其乘法群Z n*的构造，将每个整数a除以p,q各得到一个余数r,s，将a对应到“坐标”(r,s)，就建立了环同态Z→Z p×Z q，进而得到环同构Z n→Z p×Z q，这就引出了中国剩余定理，环同态基本定理，环的直积。
进而可以讨论Z n上的幂函数y=x m 是可逆变换的条件，得到RSA公钥密码。
4．复数的几何模型--- 同构、同态与单位根群中学数学强行定义i2=–1，不解释这种定义的合理性。
其实，很容易给出i2 =–1的一个几何解释：–1乘向量是向后转180度; 用i表示向左转90度, 则i2就是向后转180度，就是–1。
这其实是将虚数单位i用“左转90度”的线性变求逆运算，是复数域C与它的几何版本(由线性变换组成)和矩阵版本(由矩阵组成)之间的环同构、域同构。
在这个同构下，复数cos♋ + i sin♋对应的变换是旋转角♋ 其 n次幂就是旋转nα 由此立即得到 ☎cosα + i sinα ✆n cos nα + i sin nα (棣美弗公式)及其矩阵版本。
由旋转角α到复数cosα+isinα 的对应关系f具有性质f(α+β) = f(α)f(β)，将实数的加法对应到复数的乘法，这说明加法与乘法本质上是一回事（都满足结合律与交换律，加法的0对应于乘法的1，加法的负元对应于乘法的逆元），对加减法封闭的与对乘除法封闭的集合同样都称为群。
以上对应关系f是实数加法群R 到表示旋转的(模为1)的复数乘法群P的同态，同态核为2π的全体整倍数2πZ。
将相差2π 的整倍数的角α对应于同一个复数f(α)。
将相差2π 的整倍数的角α看成相等，组成一个同余类，得到同余类集合R/2πZ到P的1-1对应σ 并且保持运算(将加法变到乘法)，σ 是群同构R/2πZ→P。
这就是群同态基本定理。
既然群同态f将2π 的整数倍2kπ对应到1，求1的n次方根也就相当于将2kπ 除以n，得到的方根为f(2kπ/n) = cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)= ωk，让k取遍n个值0,1,2,…,n-1就得到n个不同的方根，称为n次单位根，它们都可以写成其中一个根 ω = cos(2π/n)+isin(2π/n) 的整数次幂，其几何意义就是旋转2kπ 的n分之一。
对应关系φ ：k → ωk 是整数加群到单位根乘法群的同态，同态核由n的全体整数倍组成。
让相差n的整倍数的整数组成一个同余类，得到同余类 Z n的加法群到单位根乘法群的同构，这是群同态基本定理又一个例子。
5. x15-1在有理数范围内的因式分解x15－1在复数范围内分解为一次因子的乘积(x－1)(x－ω)…(x－ω n-1 )，每个一次因子x－ωk对应于一个15次单位根ωk，每个ωk的在乘法群中的阶d都是15的因子，共有4个不同的值1,3,5,15。
