近世代数历年真题10099

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元,则G 的子集（ )是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G,＊）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合,＊为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a —bB 、a*b=max ｛a,b ｝C 、 a ＊b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12)(23）（13），2σ=（24）(14），3σ=（1324），则3σ=（ ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ )。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——----—-——同构。

2、一个有单位元的无零因子——-—-称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—--——-.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与—-—--——同构.5、A=｛1。

2。

3} B=｛2。

5.6} 那么A ∩B=——-——.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为—--—-———-——--——--。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的—————n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为—---—-——-。

近世代数期末练习题一、判断题（在括号里打上 √ 或 ⨯ ）1、一个阶是11的群只有两个子群。

( )2、循环群的子群是循环子群。

( )3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

( )4、消去律在无零因子环中一定成立。

( )5、在环中，逆元一定不是零因子。

( )6、在一个域中一定不存在零因子。

( )7、模99的剩余类环99Z 是一个域。

( )8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。

( )9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。

( )10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。

( )11、群G 的两个子群的交还是子群。

( )12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。

( )13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。

( )14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。

( )15、一个域一定是一个整环。

( )二、填空题1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123）所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。

2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。

3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ，[7]-1= 。

三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶.四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ⇔ n | ( s – t ) .五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。

六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

近世代数复习题例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部子加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?.(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。

因为有零因子。

一、选择题1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。

2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(?)={a ∈S: 有?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

内蒙古广播电视大学2008—2009年度第二学期期末《近世代数》试题一、（16分）叙述概念或命题1．正规子群；2．唯一分解环；3．代数数；4．鲁非尼-阿贝尔定理 二、（12分）填空题1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。

2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。

3．一个有单位元的无零因子 称为整环。

4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。

三、（10分）设G 是群。

证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。

四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元dk cj bi a x +++=，定义其共轭dk cj bi a x ---=。

1．证明：x x x x =是一个非负实数；2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。

六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。

1．21I I +；2．21I I ⋂； 3．21I I ⋅七、（10分）设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；3．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。

《近世代数》试卷答案一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。

2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。

3．有理数域上的代数元称为代数数。

4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。

二、1．32．253．交换环 4．6 三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。

近世代数期末考试试卷及答案.⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是⽣成元，则G 的⼦集（）是⼦群。

A 、{}aB 、{},a eC 、{}3,e aD 、{}3,,e a a2、下⾯的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1(12)(23)(13)σ=，2(24)(14)σ=，3(1324)σ=，则3σ=（）A 、21σB 、12σσC 、21σσD 、22σ5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它（）。

A 、不可能是群B 、不⼀定是群C 、⼀定是群D 、是交换群 6、12阶有限群的任何⼦群⼀定不是（）。

A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 5 阶7、设G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个8、有限布尔代数的元素的个数⼀定等于（）。

A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂9、若I,J 均是环A 的理想，则（）不⼀定是A 的理想。

A 、I+JB 、I ∩JC 、I ∪JD 、IJ10、3S 中元素(123)的中⼼化⼦有（）A 、(1),(123),(132)B 、（12），(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个同构。

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

近世代数练习题题库§1 第一章基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。

（）1.2 A ×B = B ×A （）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。

（）1.7 在整数集Z 上，定义“”：ab=ab(a,b ∈Z)，则“”是Z 的一个二元运算。

（）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a ff 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A 到B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

近世代数期末考试试卷及答案⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是⽣成元，则G 的⼦集（c ）是⼦群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下⾯的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。

A 、不可能是群B 、不⼀定是群C 、⼀定是群D 、是交换群⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个----变换群------同构。

2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-交换环----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于----25--。

4、a 的阶若是⼀个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。

6、若映射?既是单射⼜是满射，则称?为----双射-------------。

7、α叫做域F 的⼀个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成⽴x a x = ，则称a 为---右单位元------。

《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。

2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。

4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。

5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。

6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。

7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。

8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。

9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。

10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。

11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。

12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。

13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。

（ ）14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。

（ ）15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。

（ ）三．证明题1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。

近世代数期末考试真题近世代数期末练习题一、判断题（在括号里打上√ 或 ? ）1、一个阶是11的群只有两个子群。

( )2、循环群的子群是循环子群。

( )3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。

( )4、消去律在无零因子环中一定成立。

( )5、在环中，逆元一定不是零因子。

( )6、在一个域中一定不存在零因子。

( )7、模99的剩余类环99Z 是一个域。

( )8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。

( )9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。

( )10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。

( )11、群G 的两个子群的交还是子群。

( )12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。

( )13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。

( )14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。

( )15、一个域一定是一个整环。

( )二、填空题1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为，（123）的逆元为，（123）所生成的子群在3S 中的指数为，该子群是否3S 的不变子群？。

2、环Z 6的全部零因子是，全部可逆元是。

3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ，[7]-1= 。

三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a –1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a–1有相同的阶.四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) .五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。

六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元， 则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则 （ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、 对称律 、 推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个 不变 子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律 、 推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中 单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个 理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个 域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想 （1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为 【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是 零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的 相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是 唯一分解 环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为 素 数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想 （7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个 相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是 群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个 理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解： 因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律： 若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律： 若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。

《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？解只有在A=B时才能出现。

证明如下：当A=B时，即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾；若BuA,但B不是A的真子集，可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100｝,找一个AXA 到 A 的映射。

解S(a"2)= 1易证。

102都是AXA到A的映射。

3.在你为习题1所找的映射下，是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象？解在0]下，有' A的元不是AX A的任何元的象；容易验证在啊下，A的每个元都是AXA的一个元的象。

4.A=｛所有实数｝。

O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律？解这个代数运算不适合结合律。

(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射，a是A的一个元。

厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;当巾是A的一个一一变换时(/)-' [©(a)] =。

0[厂(a)] = a.6.假定A和，对于代数运算。

和：来说同态，云和云对于代数运算：和；来说同态, 证明A和云对于代数运算。

和；来说同态。

、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射iiE /Il —— ». _—,©2 ：。

t。

表示A SU A的同态满射容易验证。

是A到葡满射a。

b T ONMa。

b)l =(/)2(a。

b) = a。

b所以6是A到工的关于代数运算：和；来说同态满射。

7.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的自同构(映射x<^x除外)证© : x —> 2x对于普通加法来说是A的一个同构，很容易验证。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元,则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，＊为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a ＊b=a-bB 、a*b=max ｛a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a —b ｜4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=(12)(23）（13)，2σ=（24）（14），3σ=（1324)，则3σ=( ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---—-----—同构.2、一个有单位元的无零因子-———-称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于---———.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-————--同构。

5、A={1。

2。

3} B=｛2.5。

6｝ 那么A ∩B=-—---.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为—---—-——----—-———。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的----—n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为——----—-—。

晚世代数摹拟试题一之袁州冬雪创作一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那末，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素.A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来讲A 、不是唯一B 、唯一的C 、纷歧定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、纷歧定相等.5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------.2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------.3、环的乘法一般不交换.如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------.4、偶数环是---------的子环.5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------.6、每个有限群都有与一个置换群--------.7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来讲作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------.8、设I 和S 是环R 的抱负且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大抱负，那末---------.9、一个除环的中心是一个-------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，断定σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积.2、证明：任何方阵都可唯一地暗示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=，定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G 是群.证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群.2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那末F 包含R 的一个商域.晚世代数摹拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪类运算是可连系的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）A 、12σB 、1σ2σC 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）.A 、不成能是群B 、纷歧定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构.2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那末G 与-------同构.5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那末A ∩B=-----.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------.7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------.9、有限群的另外一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果知足G 对于乘法封闭；连系律成立、---------.10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集.2、设E 是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E 中的运算，（E ，•）是一个代数系统，问（E ，•）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G ，*>是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b.2、设m 是一个正整数，操纵m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b.晚世代数摹拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）.A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 6 阶2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不克不及必定G 是交换群.A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）.A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂4、下列哪一个偏序集构成有界格（ ）A 、（N,≤）B 、（Z,≥）C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D 、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那末，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A 、(1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的.2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------.3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5、环Z 8的零因子有-----------------------.6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------.8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那末m 与n 存在整除关系为--------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种分歧的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ.1．求στ和στ-1；τ-1的奇偶性.2．确定置换στ和σ四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个抱负就是零抱负和单位抱负.2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分需要条件是aba=a和ab2a=e.晚世代数摹拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那末，A与B的积集合A×B中含有（）个元素.A.2B.52.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射ϕ：x→x＋2，∀x∈R，则ϕ是从A到B的（）3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那末，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)3中的所有元素15是以15为模的剩余类加群，那末，Z15的子群共有（）个.5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法n(Q)关于矩阵的加法与乘法“ ”：∀m， n∈Z， m n＝0“ ”：∀m， n∈Z， m n＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.“～”是集合A的一个关系，如果“～”知足___________，则称“～”是A 的一个等价关系.7.设(G，·)是一个群，那末，对于∀a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________.σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那末στ＝___________(暗示成若干个没有公共数字的循环置换之积).9.如果G是一个含有15个元素的群，那末，根据Lagrange定理知，对于∀a ∈G，则元素a的阶只能够是___________.3中，设H ＝{(1)，(123)，(132)}是S 3的一个不变子群，则商群G/H 中的元素(12)H ＝___________.6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是___________.12.设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那末，n 是___________.13.设Z ［x ］是整系数多项式环，(x)是由多项式x 生成的主抱负，则(x)＝________________________.14.设高斯整数环Z ［i ］＝{a ＋bi|a ，b ∈Z}，其中i 2＝－1，则Z ［i ］中的所有单位是______________________. 2+3在Q 上的极小多项式是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.设Z 为整数加群，Z m 为以m 为模的剩余类加群，ϕ是Z 到Z m 的一个映射，其中ϕ：k →［k ］，∀k ∈Z ，验证：ϕ是Z 到Z m 的一个同态满射，并求ϕ的同态核Ker ϕ.6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z 6的抱负.18.试说明唯一分解环、主抱负环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主抱负环.四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G ＝{a ，b ，c}，G 的代数运算“ ”由右边的运算表给出，证明：(G ， )作成一个群.已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环.证明：I 是R 的一个子环，但不是抱负. 21.设(R ，＋，·)是一个环，如果(R ，＋)是一个循环群，证明：R 是一个交换环. 晚世代数摹拟试题一 参考答案一、单项选择题.1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） a b c a a b c b b c a c c a b1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：可知σ为奇置换，τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对换的乘积：2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=.若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是双方必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，暗示法唯一.3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个分歧的单位元素0和m.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）.2、证明在F 里有意义，作F的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有 -Q 显然是R 的一个商域 证毕.晚世代数摹拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n 乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（E ，•）不是群，因为（E ，•）中无单位元.3、解方法一、辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339.然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明 设e 是群<G ，*>的幺元.令x ＝a －1*b ，则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b.所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解.若x ∈G 也是a*x ＝b 的解，则x ＝e*x ＝(a －1*a)*x ＝a －1*(a*x )＝a －1*b ＝x.所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解.2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z 记为Zm ，每个整数a 所在的等价类记为[a]=｛x ∈Z ；m ︱x –a ｝或者也可记为a ，称之为模m 剩余类.若m ︱a –b 也记为a ≡b(m).当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1].晚世代数摹拟试题三 参考答案一、单项选择题1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用列举法.用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类停止计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种.2、证由上题子环的充分需要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环.S1+S2纷歧定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-； 2．两个都是偶置换.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个抱负而μ不是零抱负，那末a 0≠∈μ，由抱负的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕.2、证需要性：将b 代入即可得.充分性：操纵连系律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1.近 世 代 数 试 卷一、断定题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那末{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且. （ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算.（）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那末必有唯一的逆映射1-f . （ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构. （ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那末G 也是循环群. （ ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,. （ ）7、如果环R 的阶2≥，那末R 的单位元01≠. （ ）8、若环R 知足左消去律，那末R 必定没有右零因子. （ ）9、)(x F 中知足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式. （ ）10、若域E 的特征是无限大，那末E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主抱负. （ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者，该题无分.每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那末（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不克不及调换；③n A A A ⨯⨯⨯ 21中分歧的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一.2、指出下列那些运算是二元运算（ ）①在整数集Z 上，abb a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= .3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那末 在Z 中（ ）①不适合交换律；②不适合连系律；③存在单位元；④每个元都有逆元.4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数.那末群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-.5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那末=x （ ） ①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-.6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,.如果6，那末G 的阶=G （ ）①6； ②24； ③10； ④12.7、设21:G G f →是一个群同态映射，那末下列错误的命题是（ ）①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群.8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那末下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元； ③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换.9、下列正确的命题是（ ）①欧氏环一定是唯一分解环； ②主抱负环必是欧氏环；③唯一分解环必是主抱负环； ④唯一分解环必是欧氏环.10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那末（ ）①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=；③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=.三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分.每空1分，共10分）1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B .2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1.3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那末=j i A A .4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那末m 与n 存在整除关系为.5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构.6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那末=-1π. 7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主抱负，那末I 中的元素可以表达为.8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个抱负，那末I R 是一个域当且仅当I 是.9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果.10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果.四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面.指出错误1分，更正错误2分.每小题3分，共15分）1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那末在n a a a 21里，元的次序可以掉换.2、有限群的另外一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果知足G 对于乘法封闭；连系律成立、交换律成立.3、设I 和S 是环R 的抱负且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大抱负，那末0≠S .4、唯一分解环I 的两个元a 和b 纷歧定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那末必有'd d =.5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换组成的群G ，试写出G 的乘法表，而且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群.2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈.如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数.六、证明题（每小题10分，共40分）1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，而且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =.2、设R 为实数集，0,,≠∈∀a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群.3、设1I 和2I 为环R 的两个抱负，试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的抱负.4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子.晚世代数试卷参考解答一、断定题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10××√√×√√√××二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②④③④①②④③①④三、填空题1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--.2、a .3、φ.4、n m .5、变换群.6、()13524. 7、R y x ay x i i i i ∈∑,,. 8、一个最大抱负. 9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子.10、E 的每个元都是F 上的一个代数元.四、改错题1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那末在n a a a 21里，元的次序可以掉换.连系律与交换律2、有限群的另外一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果知足G 对于乘法封闭；连系律成立、交换律成立.消去律成立3、设I 和S 是环R 的抱负且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大抱负，那末0≠S .S=I 或S=R4、唯一分解环I 的两个元a 和b 纷歧定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那末必有d=d ′.一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα .不都等于零的元检验题三、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也知足连系律；当 时， 也知足交换律.2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有=；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a =；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与同构；若n a =||， 则a 与同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有；子群有；6、n 次对称群n S 的阶是；置换)24)(1378(=τ的阶是；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|=；10、任意一个群都同一个同构.二、证明题（24）1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都知足方程e x n =.2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群.3、 证明:如果群G 中每个元素都知足方程e x =2，则G 必为交换群.三、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群.2、写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集.基础测试参考答案：一、 填空题1、知足连系律； 知足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都知足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交 设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈综上所述，H 也是G 的子群.3、证：G 是交换群.三、解答题1、解：设G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果知足以下条件：（1）连系律成立，即对G 中任意元素)()(,,c b a c b a c b a =，有（2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a a e a = ，都有（3）对G 中每个元素e a a a G a =-- 11,，使中有元素在则G 对代数运算 作成一个群.对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯一确定，故 为G 的代数运算. （a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a (b c)=a+b+c+8即（a b ） c= a (b c)知足连系律∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a故-4为G 的左单位元.（-8-a ） a=-8-a+a+4=-4故-8-a 是a 的左逆元.2、解：6||3=S 其子群的阶数只能是1，2，3，61阶子群｛（1）｝2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝6阶子群3S左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H （23）H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）。